数学竞赛三角形五心讲义

数学竞赛讲义第一节

一．高中数学竞赛介绍

一试

考试时间为上午8：00-9：20，共80分钟。试题分填空题和解答题两部分，满分120分。其中填空题8道，每题8分；解答题3道，分别为16分、20分、20分。

加试（二试）

考试时间为9：40-12：10，共150分钟。试题为四道解答题，前两道每题40分，后两道每题50分，满分180分。试题内容涵盖平面几何、代数、数论、组合数学。

二．答题策略

保证1试所有知识点都练习过的基础上，2试选择平面几何+1题的方式去练习。

三．考试知识点

一试

全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不考。

二试

1、平面几何

基本要求：掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。

补充要求：面积和面积方法。

几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。三角形内到三边距离之积最大的点--重心。

几何不等式。

简单的等周问题。了解下述定理：

在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。

在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。

在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。

在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。

几何中的运动：反射、平移、旋转。

复数方法、向量方法。

平面凸集、凸包及应用。

2、代数

在一试大纲的基础上另外要求的内容：

周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。

三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。

第二数学归纳法。

递归，一阶、二阶递归，特征方程法。

函数迭代，求ｎ次迭代，简单的函数方程。

ｎ个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。

复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。

圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。

一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。

简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。

3、立体几何

多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。

正多面体，欧拉定理。

体积证法。

截面，会作截面、表面展开图。

4、平面解析几何

直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。

二元一次不等式表示的区域。

三角形的面积公式。

圆锥曲线的切线和法线。

圆的幂和根轴。

5、其它

抽屉原理。

容斤原理。

极端原理。

集合的划分。

覆盖。

四、初中数学竞赛大纲

1、实数

十进制整数及表示方法。整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定。

素数和合数，最大公约数与最小公倍数。

奇数和偶数，奇偶性分析。

带余除法和利用余数分类。

完全平方数。

因数分解的表示法，约数个数的计算。

有理数的表示法，有理数四则运算的封闭性。

2、代数式

综合除法、余式定理。

拆项、添项、配方、待定系数法。

部分分式。

对称式和轮换对称式。

3、恒等式与恒等变形

恒等式，恒等变形。

整式、分式、根式的恒等变形。

恒等式的证明。

4、方程和不等式

含字母系数的一元一次、二次方程的解法。一元二次方程根的分布。

含绝对值的一元一次、二次方程的解法。

含字母系数的一元一次不等式的解法，一元一次不等式的解法。

含绝对值的一元一次不等式。

简单的一次不定方程。

列方程（组）解应用题。

5、函数

y=|ax+b|,y=|ax2+bx+c|及y=ax2+bx+c的图像和性质。

二次函数在给定区间上的最值。简单分式函数的最值，含字母系数的二次函数。

6、逻辑推理问题

抽屉原则（概念），分割图形造抽屉、按同余类造抽屉、利用染色造抽屉。

简单的组合问题。

逻辑推理问题，反证法。

简单的极端原理。

简单的枚举法。

7、几何

四种命题及其关系。

三角形的不等关系。同一个三角形中的边角不等关系，不同三角形中的边角不等关系。

面积及等积变换。

三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质。

五．数学竞赛题解题逻辑

高考题的解题逻辑：

数学竞赛的解题逻辑：

六．2试各题型的主要解题思想1.平面几何

2.不等式

3.组合

4数论

七．其他一些常用的数学竞赛解题思想数形结合

赋值

特殊到一般

分类讨论

构造函数

建模

点线面转化

递推

极限

数学竞赛讲义第二节

三角形五心的性质和练习

三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心．

一．重心（）

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。

证明方法：

设三角形三个顶点为(x

1,y

1

),(x

2

,y

2

),(x

3

,y

3

) 平面上任意一点为（x，y）则该点

到三顶点距离平方和为：

(x

1-x)2+(y

1

-y)2+(x

2

-x)2+(y

2

-y)2+(x

3

-x)2+(y

3

-y)2

=3x2-2x(x

1+x

2

+x

3

)+3y2-2y(y

1

+y

2

+y

3

)+x

1

2+x

2

2+x

3

2+y

1

2+y

2

2+y

3

2

=3[x-1/3*(x

1+x

2

+x

3

)]2+3[y-1/3*(y

1

+y

2

+y

3

)]2+x

1

2+x

2

2+x

3

2+y

1

2+y

2

2+y

3

2-1/3(x

1

+x

2

+x

3

)2

-1/3(y

1+y

2

+y

3

)2

显然当x=(x

1+x

2

+x

3

)/3,y=(y

1

+y

2

+y

3

)/3（重心坐标）时

上式取得最小值x

12+x

2

2+x

3

2+y

1

2+y

2

2+y

3

2-1/3(x

1

+x

2

+x

3

)2-1/3(y

1

+y

2

+y

3

)2

最终得出结论。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其坐标为（）

5、三角形内到三边距离之积最大的点。

6、在△ABC中，若（），则M点为△ABC的重心，反之也成立。

7、设△ABC 重心为G 点，所在平面有一点O ，则（ ）

8、AD 2

＝41(2AB 2＋2AC 2－BC 2

)；(三角形中线公式)

例题1：AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线，P 是任意一点.证明：

在△PAD ，△PBE ，△PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和.

例题2：设凸四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O ，△OAB、

△OBC、△OCD、△ODA 的重心分别为E 、F 、G 、H ，则S EFGH ∶S ABCD ＝__________.

例题3： BD 和CE 是△ABC 的两条中线，求证：BD 2

＋CE 2

＞89BC 2

例题4：设P 是△ABC 内任意一点，G 是它的重心，若PG 的延长

线分别与边BC 、CA 、AB 或其延长线交于A'、B'、C'，则在

G C P

C G B P B G A P A '',

'',''中至少有一个不大于1，也至少有一个不小于1.

二．外心（ ） 性质1：（1）锐角三角形的外心在三角形内；

（2）直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合； （3）钝角三角形的外心在三角形外. （4）等边三角形外心与内心为同一点。

性质2：∠B O C=2∠A，（或∠B O C=2(180°-∠A)）. 性质3：∠O AC+∠B=90°

性质4：点O 是平面ABC 上一点，点P 是平面ABC 上任意一点，那么点O 是⊿ABC 外心的充要条件是：

性质5：三角形三条边的垂直平分线交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.外心到三顶点的距离相等。

性质6：点O是平面ABC上一点，那么点O是⊿ABC外心的充要条件

性质7：正余弦定理和三角形外接圆半径公式

性质8：四点共圆的判定方法

例题5在△ABC的边AB，BC，CA上分别取点P，Q，S.证明以△APS，△BQP，△CSQ的外心为顶点的三角形与△ABC相似.

例题6. 锐角△ABC 的外心为O ，线段OA 、BC 的中点分别为M 、N 。∠ABC=4∠OMN ，∠ACB=6∠OMN 。求∠OMN 。

例题7.在锐角△ABC 中，BC AD ⊥于D ，AC DE ⊥于E ，AB DF ⊥于F ，

O 为△ABC 的外心.

求证：（1）AEF ?∽ABC ? (2)EF AO ⊥

三．内心（ ）

1、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r ．

2、∠BIC=90°+∠BAC/2．

3、在RtΔABC中,∠A=90°,三角形内切圆切BC于D，则

4、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：

5、在△ABC中，若三个顶点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，

那么△ABC内心I的坐标是：

6、(欧拉定理)△ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O 和I分别为其外心和内心，则OI2=R2-2Rr．

7、△ABC中：a,b,c分别为三边，S为三角形面积，则内切圆半径

8、双曲线上任一支上一点与两交点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。

9、△ABC中，内切圆分别与AB，BC，CA相切于P，Q，

R，则AP=AR=(b+c-a)/2， BP =BQ =(a+c-b)/2,

CR =CQ =(b+a-c)/2,

r=[(b+c-a)tan(A/2)]/2。

B

A

I

10、三角形内角平分线定理：

△ABC 中，I 为内心，∠BAC 、∠ABC、 ∠ACB 的内角平分线分别交BC 、AC 、AB 于Q 、R 、P ，则

例题8. 如图所示，⊙1O 与⊙2O 相交于B A ,两点，且2O 在⊙1O 的圆周上，弦C O 2交

⊙2O 于D 。证明：D 是ABC ?的内心.

例题9如图，在ABC ?中，点D 、E 是ABC ∠，ACB ∠的三等分线的交点，当?

=∠60A 时，求BDE ∠度数

例题10如图，I 是ABC ?的内心，AI 的延长线交ABC ?的外接圆于D ， 求证：DC DB DI ==（重要结论）

例题11.如图所示，ABC ?的三边满足关系)(2

1

AC AB BC +=

，I O ,分别为ABC ?的外心，内心，BAC ∠的外角平分线交⊙O 于E ，AI 的延长线交⊙O 于D ，DE 交BC 于H .

求证：（1）BD AI =;(2)AE OI 2

1

=

例题12.设I 是△ABC 的内心，CI 的延长线与边AB 和外接圆分别交于D 和K ，求证:

1DK ID

ID CI CI

1IK 1ID 1=-=-⑵⑴

四．垂心（ ）

1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外.

2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；

O

I

H E

D

C

B

A

3、垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。

4、△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。

5、 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。

6、△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。

7、在非直角三角形中，过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则

8、三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。

9、设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则

∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。

10、锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。

11、 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。

12、西姆松(Simson)定理（西姆松线）

从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。

13、 设锐角⊿ABC 内有一点P ，那么P 是垂心的充分必要条件是

例题13. 在ABC ?中，若7,6,5===CA BC AB ，H 为垂心，求AH 的长。

例题14.锐角ABC ?中，已知H 为垂心，AD 为BC 边上的高，E 为BC 中点，若5==BC AD ，试求HE HD +的长.

例题15.已知ABC Rt ?中，CD 是斜边AB 上的高，

21,,O O O 分别是ABC ?,ACD ?,BCD ?的内心。

求证：（1）21CO O O ⊥ (2)21O O OC ⊥

B

F C

例题16.如图，AB 、BC 、CD 分别与圆O 相切于E 、F 、G ，CD BC AB ==，连结AC

与BD 相交于点P ，连结PF 求证：BC PF ⊥

五．旁心（ ）

性质1 ：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。 性质2：旁心到三角形三边的距离相等。

性质3：三角形有三个旁切圆，三个旁心。旁心一定在三角形外。 性质4：直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半。 性质5：旁切圆半径公式：

例题17.已知△ABC 的内切圆⊙I 与BC 边切于D ，DE 是⊙I 的直径，AE 的延长线交BC 边于F ，求证：BD ＝CF.

六．五心练习题

1.△ABC中，若∠A、∠B、∠C的平分线与外接圆分别交于P、Q、R，则AP＋BQ＋CR＞BC＋CA＋AB

2.已知△ABC的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆半径，试求∠A的度数.

3.设G 、I 分别是△ABC 的重心和内心，且CI ⊥GI ，又BC ＝a,CA

＝b,AB ＝c ，求证：b a ab

23c b a +=++.

4.已知△ABC 内接于⊙O ，P 、Q 、R 依次是圆弧BC 、CA 、AB 的中点，PR 交AB 于D ，PQ 交AC 于E. 求证：DE ＝BD ＋CE

5.△ABC 的外心为O ，AB=AC ，D 是AB 中点，E 是△ACD 的重心.证明OE 丄CD.

6. 若ABC ?的重心为G ，2=

AG ，3=BG ，5=CG ，求ABC ?的面积.