初中数学竞赛专题：三角形

初中数学竞赛专题：三角形

§9．1全等三角形

9．1．1★已知等腰直角三角形ABC ,BC 是斜边．B ∠的角平分线交AC 于D ,过C 作CE 与BD 垂直

且交BD 延长线于E ,求证：2BD CE =．

解析如图,延长CE 、BA ,设交于F ．则FBE ACF ∠=∠,AB AC =,得ABD ACF △△≌,CF BD =． 又BE CF ⊥,BE 平分FBC ∠,故BE 平分CF ,E 为CF 中点,所以2CE FC BD ==．

9．1．2★在ABC △中,已知60A ∠=?,E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点,P 、Q 为ABC △形外两点,使PE AB ⊥,2AB PE =

,QF AC ⊥,2

AC

QF =,若1GP =,求PQ 的长． F A

E D

B

C

解析如图,连结EG 、FG ,则EG AC ∥,FG AB ∥,故150PEG QFG ∠=?=∠．又

1

2

QF AC EG =

=,

1

2

PE AB FG =

=,故

PEG GFQ

△△≌,所以

PG GQ =,30EGP FGQ FQG FGQ ∠+∠=∠+∠=?,又60EGF ∠=?,所以90PGQ ∠=?,于

是PQ ==．

A

B

C

G Q

P

E

F

9．1．3★在梯形ABCD 的底边AD 上有一点E ,若ABE △、BCE △、CDE △的周长相等,求

BC

AD

． 解析作平行四边形ECBA ',则A BE CEB '△△≌,若A '与A 不重合,则A '在EA （或延长线）上,但由三角形不等式易知,A '在EA 上时,ABE △的周长>A BE '△的周长；A '在EA 延长线上时,ABE △的周长A BE '<△周长,均与题设矛盾,故A 与A '重合,AE BC ∥,同理ED BC ∥,

1

2

BC AD =．

B C

E D

AA'

9．1．4★★ABC △内,60BAC ∠=?,40ACB ∠=?,P 、Q 分别在边BC 、CA 上,并且AP 、BQ 分别是

BAC ∠、ABC ∠的角平分线．求证：BQ AQ AB BP +=+．

解析延长AB 到D ,使BD BP =,连结DP ．易知80ABC ∠=?,所以

40QBC ACB ∠=?=∠,AC AQ QC AQ QB =+=+．

A

B

C

D

Q

P

因1402

BDP BPD ABC ACB ∠=∠=∠=?=∠,所以ADP ACP △△≌,

AC AD AB BD AB BP ==+=+．

于是BQ AQ AB BP +=+．

9．1．5★★设等腰直角三角形ABC 中,D 是腰AC 的中点,E 在斜边BC 上,并且AE BD ⊥．求证：

BDA EDC ∠=∠．

解析如图,作BAD ∠的平分线AF ,F 在BD 上．

A

B

C

E

F

D

由于45BAF ACE ∠=?=∠,AB AC =,ABF CAE ∠=∠,故ABF CAE △△≌,故EC AF =． 又45C FAD ∠=∠=?,AD CD =,于是AFD CED △△≌,于是ADB EDC ∠=∠．

9．1．6★★设ABE △、ACF △都是等腰直角三角形,AE 、AF 是各自的斜边,G 是EF 的中点,求证：GBC △也是等腰直角三角形．

解析如图,作AQ 、GP 、EM 、FN 分别垂直于直线BC ,垂足为Q 、P 、M 、N ．

A

E F

G

M

B

Q P

C

由90EBM ABQ BAQ ∠=?-∠=∠,AB BE =,EMB BQA △△≌,故有EM BQ =,BM AQ =．同理

FN QC =,CN AQ =,所以BM CN =, EM FN BQ QC BC +=+=．

又EG GF =得BP CP =,且()1122

GP EM FN BC =+=,故GP BP CP ==．又由GP BC ⊥,故 结论成立．

9．1．7★★已知AB AC ⊥,AB AC =,D 、E 在BC 上（D 靠近B ）,求证：222DE BD CE =+的充要条件是45DAE ∠=?．

A

B

D

E

F

C

解析如图,作FC BC ⊥,且FC BD =,则45ACF B ∠=?=∠,又AB AC =,故ABD ACF △△≌,AD AF =,且

490D F BAC ∠=∠=?．

若45DAE ∠=?,则45EAF ∠=?,因AD AF =,得ADE AFE △△≌,则

222222DE EF EC FC EC BD ==+=+．

反之,若222DE EC BD =+,由222EF EC FC =+得EF DE =．又AD AF =,故ADE AEF △△≌,又

90DAF ∠=?,于是45DAE ∠=?．

9．1．8★★两三角形全等且关于一直线对称,求证：可以将其中一个划分成3块,每一块通过平移、

旋转后拼成另一个三角形．

解析如图,设ABC △与A B C '''△关于l 对称,分别找到各自的内心I 、I ',分别向三边作垂线ID 、IE 、

IF 与I D ''、I E ''、I F '',于是6个四边形AFIE ……均为轴对称的筝形,且四边形AFIE ≌四边形A E J F '''',所以两者可通过平移、旋转后重合；同理,另外两对筝形也可通过平移、旋转后重合．

A

E

C

D

F B

A'

B'

C'

D'F'E'

l l'

l

9．1．9★★★已知：两个等底等高的锐角三角形,可以将每个三角形分别分成四个三角形,分别涂上红色、蓝色、黄色和绿色,使得同色三角形全等．

解析如图,设BC B C ''=,A 至BC 距离等于A '至B C ''距离,取各自的中位线FE 、F E '',则FE FE '=．

由ABC △、A B C '''△均为锐角三角形,可在BC 、B C ''上各取一点D 、D ',使图中标相同数字的角相

等,于是AEF D E F '''△△≌,DEF A E F '''△△≌,FBD FD B ''△△≌,EDC E C D '''△△≌． 评注还有一种旋转而不是对称的构造法．

A B

D

E

F A'B'D'

C'

E'

F'

123451465

264152

432

51

9．1．10★已知ABC △与A B C '''△中,A A '∠=∠,BC B C ''=,ABC A B C S S '''=△△,ABC △与

A B C '''△是否一定全等？

A

B C

A'

解析如图,让B 与B '重合,C 与C '重合,A 、A '在BC 同侧,若A 与A '重合,则ABC A B C '''△△≌；否则由条件知四边形ABCA '为梯形和圆内接四边形,于是它是一个等腰梯形,于是

ABC A CB '∠=∠,AB A C '=,ABC A C B '''△△≌．综上,可知ABC △与A B C '''△全等．

评注本题也可以运用三角形面积公式、余弦定理结合韦达定理来证明．

9．1．11★★如图所示,已知ABC △、CED △均为正三角形,M 、N 、L 分别为BD 、AC 和CE 的中点,求证：MNL △为正三角形．

A

B

E

D

M

T

S

C

N L

解析如图,设BC 、CD 中点分别为S 、T ,连结NS 、SM 、MT 、TL ．则四边形CSMT 为平行四 边形,设BCD θ∠=,则60180240NSM LTM θθ∠=?+?-=?-=∠,360120240NCL θθ∠=?-?-=?-,又

NC SN SC MT ===,LC LT CT SM ===,故CNL SNM TML △△△≌≌, NL NM ML ==,于是MNL △为正三角形．

评注注意有时S 在MN 另一侧,此时120NSM LTM NCL θ∠=∠=∠=?+,不影响最终结论． 9．1．12★★★ABC △中,90A ∠=?,AB c =．6AC =,BC a =,M 是BC 中点,P 、Q 分别在AB 、AC 上（可落在端点）,满足MP MQ ⊥,求22BP CQ +的最小值（用a 、b 、c 表示）．

解析如图,延长QM 至N ,使QM MN =,连结PN 、BN 、PQ 、AM 由于M 是BC 、NQ 的中点,故

BN CQ =,BN AC ∥,BN BP ⊥,又PM 垂直平分NQ ,故222222BP CQ BP BN PN PQ +=+==．

取PQ 中点K （图中未画出）,则2

a PQ AK MK AM =+=≥,于是22

BP CQ +的最小值为24a ,取到等号

仅当PQ AM =即四边形APMQ 为矩形时．

N

M

P C

B

Q

A

9．1．13★★★已知P 为ABC △内一点,PAC PBC ∠=∠,由P 作BC 、CA 的垂线,垂足分别是L 、M ．

C A

B

D

E

F

M

P L

设D 为AB 中点,求证：DM DL =．

解析如图所示,取AP 中点E ,BP 中点F ,连ME 、ED 、DF 、FL ．显然四边形DEPF 是平行四边形,所以EP DF =,FP DE =．DEP DFP ∠=∠．

又由PM AC ⊥,所以EM EA EP DF ===,2PEM PAC ∠=∠；同理FL DE =,2PFL PBC ∠=∠．由

PAC PBC ∠=∠,所以DEM DEP PEM DFP PFL DFL ∠=∠+∠=∠+∠=∠,从而DFM LFD △△≌,所以

DM DL =．

9．1．14★★在ABC △中,已知60CAB ∠=?,D 、E 分别是边AB 、AC 上的点,且

60AED ∠=?,ED DB CE +=,2CDB CDE ∠=∠,求DCB ∠的度数．

解析如图,延长AB 到F ,使BF ED =,连CF 、EF ．

C

E

A D

B F

因为60EAB AED ∠=∠=?,所以60FDA ∠=?,120EDB CED ∠=∠=?,

AD AE ED BF ===．

CE ED DB DB BF DF =+=+=．

于是,AC AF =,60ACF AFC ∠=∠=?． 又因为120EDB ∠=?,2CDB CDE ∠=∠, 所以

40CDE ∠=?,80CDB ∠=?,

18020ECD CED EDC ∠=?-∠-∠=?．

在CDA △和CBF △中,CA CF =,60CAD CFB ∠=∠=?,AD BF =,所以CDA CBF △△≌,故

20FCB ACD ∠=∠=?．

于是,6020DCB CDE FCB ∠=?-∠-∠=?．

9．1．15★★在ABC △中,B ∠、C ∠为锐角,M 、N 、D 分别为边AB 、AC 、BC 上的点,满足

AM AN =,BD DC =,且BDM CDN ∠=∠．求证：AB AC =．

解析若DM DN >,则在DM 上取一点E ,使DN DE =．连结BE 并延长交AC 于F ,连结EN ．在

BED △与CND △中,BD DC =,BDE CDN ∠=∠,DE DN =,故BDE CDN △△≌．于是有EBD NCD ∠=∠,BE NC =,所以FB FC =．又易知EN BC ∥,因此ENF ACB ∠=∠．

但另一方面,由DM DN >,知ABC FBC ACB ∠>∠=∠,所以

A

F

M N

E B

D

C

1

(180)2ANM BAC ∠=?-∠

()1

2

ABC ACB =∠+∠ ()1

2

ACB ACB ACB >

∠+∠=∠． 从而ENF MNA ACB ∠>∠>∠．矛盾,故假设DM DN >不成立． 若DM DN <,同法可证此假设不成立． 综上所述DM DN =,于是由BDM CDN △△≌ 知DBM DCN ∠=∠,从而AB AC =．

9．1．16★★如图,ABC △为边长是1的等边三角形,BDC △为顶角()BDC ∠是120?的等腰三角形,以D 为顶点作一个60?角,角的两边分别交AB 、AC 于M 、N ,连结MN ,形成一个AMN △． 求AMN △的周长．

A

M N

B

C D

E

解析延长AC 到E ,使CE BM =,连结DE ．易知在BMD △与CED △中有BD DC =,

90MBD ECD ∠=∠=?,BM CE =,从而MBD ECD △△≌．所以MD DE =,MDB EDC ∠=∠．

于是在DMN △与DEN △中有DN DN =,MD DE =,

60MDN MDB CDN EDC CDN EDN ∠=?=∠+∠=∠+∠=∠．从而MDN EDN △△≌,故NE MN =．

所以AM MN AN AM NE AN AM NC CE AN AM MB NC AN ++=++=+++=+++=

2AB AC +=．

9．1．17★★★ABC △为等腰直角三角形,90C ∠=?,点M 、N 分别为边AC 和BC 的中点,点D 在射线BM 上,且2BD BM =,点E 在射线NA 上,且2NE NA =,求证：BD DE ⊥． 解析取AD 中点F ,连EF ．

E

A

D

F M

B

N

C

在BMC △与DMA △中,AM MC =,12

BM BD MD ==,BMC DMA ∠=∠,故AMD CMB △△≌．于是有

ADM CBM ∠=∠,AD BC =,AD BC ∥．

同样易知BMC ANC △△≌,于是有CBM CAN ∠=∠．

在ANC △与EAF △中,12

NA NE AE ==,112

2

AF AD BC NC ===,由AD BC ∥知EAF ANC ∠=∠,所以

FAF ANC △△≌．于是有AEF NAC ∠=∠,90EFA ACN EFD ∠=∠=?=∠．

从而在EAF △与EDF △中有AF FD =,EF EF =,故FAF EDF △△≌．于是有EDF EAF ∠=∠,

FED FEA ∠=∠．

总之,90EDF MDA EDF NAC EDF AEF EDF FED ∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=?,即

BD DE ⊥．

9．1．18★★★已知ABCD ,延长DC 至P ,使DP AD =,连结PA 与BC 交于Q ,O 为PQC △的外心,

则B 、O 、C 、D 共圆．

A

D

B

C O P

Q

解析如图连好辅助线,由于DPA BAP PAD CQP ∠=∠=∠=∠,故CQ CP =,设

OCP OCQ OQC θ∠=∠=∠=,则180BQO DCO θ∠=?-=∠,又BQ AB CD ==,QO CO =,故

BQO DCO △△≌,于是QOB COD ∠=∠,于是2BOD QOC QPC BCD ∠=∠=∠=∠,因此B 、O 、C 、D 共

圆．

9．1．19★★★已知ABC △和A B C '''△,A A '∠=∠,且BC B C ''=,D 和D '分别是BC 、B C ''的中点,AD A D ''=,问两个三角形是否必定全等？

解析如图,作出ABC △外心O (A B C '''△及相应的O '、D '图中未画出)． 若O 在BC 上,则90A A '∠=?=∠,此时ABC △与A B C '''△未必全等． 若O 不与D 重合,则

2sin 2sin BC B C AO A O A A

''

''=

==',

cos cos OD BO A AO A == cos A O A O D '''''==,

AD A D ''=．

当A 、O 、D 共线,则AD BC ⊥,A D B C ''''⊥,所以ABD A B D '''△△≌,ACD A C D '''△△≌,从而

ABC A B C '''△△≌．

当A 、O 、D 不共线,则AOD A O D '''△△≌,ODA O D A '''∠=∠,于是'ADC A D C ''∠=∠（或A D B '''∠）,于是由三角形全等可得AC A C ''=(或A B ''),AB A B ''=（或A C ''）,故有ABC A B C '''△△≌（或A C B '''△）

． 评注此题亦可用中线长公式证明．

9．1．20★★如果两个三角形满足“ASS ”,它们不一定全等,此时称它们是相近的,现在有一三角形1△,作2△与之“相近”,……一般有1n +△与n △相近,问是否存在一个k ,使1△与k △相做且不全等？

解析这是不可能的．因为由正弦定理,1△与2△有等大的外接圆（它们有一对内角相等或互补）,从而

推出1△与x k △有等大的外接圆,它们不可能只相似不全等．

9．1．21★★★是否存在两个全等的三角形△与'△,△可划分为两个三角形1△与2△,'△可划分成两个三角形1'△与2'△,使12△△≌,2△与2'△却不全等？

解析这样的两个三角形是存在的,如图(a)、(b),设不等边三角形ABC A B C '''△△≌,其中

22''BC AB AC A B A C B C ''''=?=?=,不妨设AC A C ''=是各自的最长边,则AB 、A B ''为各自的最短

边．在AC 、B C ''上分别找D 、D ',使CD AB =,BA D C ''∠=∠,则由于2BC AB AC CD AC =?=?,故

ABC BDC △∽△,所以'BDC ABC A B C ''∠=∠=∠,又因为C B A D '''∠=∠,CD A B ''=,因此

BDC D B A '''△△≌,而ABD △显然不与A C D '''△全等．

（若90B B '∠=∠=?,还可避免相似．） A

B

C

D

A'

B'

D'

图(a)

图(b)

9．1．22★★★已知ABC △中,60A ∠=?,I 是ABC △内心,AI 的垂直平分线分别交AB 、AC 于M 、

N ,E 、F 在BC 上,BE EF FC ==,求证：ME NF ∥．

解析如图,连结MI 、BI 、CI 、NI ．易诮AMN △与IMN △为全等之正三角形,120BIC ∠=?,

180MIB NIC ∠+∠=?．

A

N

M

T

B E F C

I

S

两端延长MN 至S 与T ,使SM MN NT ==,则60SMB AMN BMI ∠=∠=∠=?,于是SMB IMB △△≌,同理

NTC NIC △△≌,因此180S T MIB NIC ∠+∠=∠+∠=?,SB TC ∥．

而M 、N 将ST 三等分,E 、F 将BC 三等分,于是由平行线分线段成比例,知ME NF ∥(SB ∥)． 评注读者可以考虑：如果ME NF ∥是否有60BAC ∠=?．

9．1．23★★★已知锐角三角形ABC ,60BAC ∠=?,AB AC >,ABC △的垂心和外心分别为M 和

O ,OM 分别与AB 、AC 交于X 、Y ,证明：AXY △的周长为AB AC +,OM AB AC =-．

解析如图,连结AO 、BO 、CO 、AM ．由AB AC >可知O 在AB 一侧,M 在AC 一侧． 因120BOC ∠=?,

故AO =

,

而tan BC AM BAC =

=

∠于是AO AM =,AOM AMO ∠=∠．

又90OAB C YAM ∠=?-∠=∠,故AXY AYX ∠=∠,AXY △为正三角形．

又60XOB YOC YOC OCY ∠+∠=?=∠+∠,故XOB YCO ∠=∠,120BXO CYO ∠=?=∠,又BO CO =,故

XBO YOC △△≌,XY XO YO BX YC =+=+．于是AX XY YA AB AC ++=+．

又XO MY YC ==,做()()1

1223

3

OM XY YC AB AC AC AB AC AB AC ??

=-=+--+=-???

?

．

§9．2特殊三角形

9．2．1★在直角三角形ABC 中,BC 是斜边,5AC =,D 是BC 中点,E 是AC 上一点,2DE AE ==,求

AB ．

B

A

D

E

C

解析如图,连结AD ．设AD CD x ==,因2DE =,2AE =,3CE =,则

22223x -=?

,x =

AB ==

9．2．2★已知ABC △中,14AB =,16BC =,28CA =,P 为B 在A ∠平分线上的射影,M 为BC 中 点,求PM ．

解析延长BP 交AC 于Q ．由BAP QAP ∠=∠．AP BQ ⊥知BP QP =,AB AQ =．又BM CM =,故

()()111

28147222

PM CQ AC AQ =-=?-=∥．

A

B

C

Q P M

9．2．3★等腰三角形ABC 中,AB AC =,D 为直线BC 上一点,则

22AB AD BD CD -=?（D 在BC 上）,

22AD AB BD CD -=?（D 在BC 外）

． 解析如图,设D 在BC 上且较靠近B ．作AE BC ⊥于E ,则E 为BC 中点,于是

A

B D E C

()()BD CD BE DE CE DE ?=-?+

2222BE DE AB AD =-=-．

当D 在BC 外时的结论同理可证．

评注这是斯图沃特定理在等腰三角形的特殊情形,具有十分广泛的用途（例如题9．2．1）,亦可用相 交弦定理证明．

9．2．4★★已知锐角三角形ABC 中,AD 、CE 是高,H 为垂心,AD BC =,F 是BC 的中点,求证：

1

2

FH DH BC +=．

A

E

B

F

D

C

H

解析如图,连结EF ,则12

EF CF BC ==．于是2222FH EF EH CH EF AH HD EF =-?=-?=-

222AH HD HD HD EF HD AD ?-+=-?+22222HD EF HD BC HD EF HD =-?+=-? ()2

2EF HD EF HD +=-．

由于EF FH HD >>,故

1

2

FH EF DH BC DH =-=

-． 9．2．5★已知斜边为AC 的直角三角形ABC 中,B 在AC 上的投影为H ．若以AB 、BC 、BH 为 三边可以构成一个直角三角形,求

AH

CH

的所有可能值．

B

H

A

解析显然由AB 、BC 、BH 构成的直角三角形中,BH 不是斜边,且AB BC ≠．

若AB BC >,则AB 为斜边．设AB c =,BC a =,BH h =,则由ABC △的面积知h ac =,又

h ,故4422

c a a c -=．易知2222

AH AB c k

CH BC a ===,则由前式知2

1k k -=,得k =,故

AH CH ．

同理,若AB BC <,可得AH CH =

．

所以

AH

CH

的可能值为

9．2．6★★已知ABC △中,AD 为高,D 在BC 上, 以下哪些条件能判定AB AC =： (1)AB CD AC BD +=+： (2)AB CD AC BD ?=?； (3)

1111

AB CD AC BD

+=+

． A

B D C

解析设BD x =,CD y =,AD h =,则AB =AC

先看条件(1)：y x ．

若x y =,则AB AC =；否则不妨设x y >,则22

x y -==

．

x y +,于是0h =,矛盾． 故AB AC =．

再看见条件（2）：=22222222h y x y h x x y +=+,于是x y =,故AB AC =． 最后条件（3）：

1

1y

x =

+．于是

22

x y xy -=-=

．若x y ≠,则

()xy x y =+,仍有0h =,矛盾,故AB AC =．

所以三个条件都能判定AB AC =．

9．2．7★已知P 是等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上任意一点,求22

2

BP CP AP +．

解析如图,作AD BC ⊥于D ．

A

B D C

P

不妨设1AD BD CD ===．P 在CD 上,PD a =,则1BP BD PD a =+=+,1CP CD PD a =-=-,于是

()()

2

2

2

2

2

1122BP CP a a a +=++-=+．又2222

1AP AD PD a =+=+．故22

2

2BP CP AP +=．

评注请读者考虑,若对BC 上任一点P ,有22

2

BP CP AP +为定值,是否可认为ABC △为等腰直角三角

形．

9．2．8★★在ABC △中,19AB =,17BC =,18CA =,P 是ABC △内一点,过点P 向ABC △的 三边BC 、CA 、AB 分别垂线PD 、PE 、PF ,垂足分别为D 、E 、F ,且27BD CE AF ++=,求BD BF + 的长．

解析如图,由于2222220BD CD CE AE AF BF -+-+-=,于是

A

F

E

P

B

D

C

()()2

2

2222(17)18190BD BD CE CE AF AF --+--+--=,此即171819487BD CE AF ++=．

而181818486BD CE AF ++=,故1AF BD -=．所以118BD BF BD AB AF AB +=+-=-=． 9．2．9★★已知ABC △中,AB AC =,AE 是BC 的中垂线,AE BC =,3BDC BAC ∠=∠, 求

AD

DE

． A

F D

B

E

C

解析如图,不妨设1BE CE ==,则2AE =,AB =．作ABD ∠的平分线BF ,由于

3BDE BAE ABD BAE ∠=∠=∠+∠,故ABF DBF BAE ∠=∠=∠．因此AF BF =,ABD BFD △∽△,

AB AD BD BF BD DF ==

,从而2BD DF DA =?,DB AD

DF AB DB

?=+,所以()2DA BD BD AB =?+． 设

DE x

=,则221

BD x =+,

2DA x

=-,因此

()

2

221x x -=++,

()2

23455x x -=+,2112440x x -+=,2

11

x =

（2x =舍）．于是2011AD =

,10AD DE

=． 9．2．10★★正三角形ABC 内有一点P ,P 关于AB 、AC 的对称点分别为Q 、R ,作平行四边形

QPRS ,求证：AS BC ∥．

A S

M

R

Q

B

C

P

解析如图,设QS 与AB 交于M ,连结MP ,则60Q ∠=?,AB 垂直平分PQ ,QM PM =,MPQ △ 为正三角形,MP PQ SR ==,于是四边形MPRS 为等腰梯形,PR 的中垂线即MS 的中垂线． 于是60SAC MAC C ∠=∠==∠,AS BC ∥．

9．2．11★★AB 与O 相切于点B ,AC 与O 相交于C 、D ,若45C ∠=?,60BDA ∠=?

,CD =求

AB ．

B

C D A

K T

解析如图,由题意可得45ABD ∠=?,作BK AC ⊥于K ,则BK CK =,

又CK CD DK =+=,

故32

BK =

+

,BD =

再作AT BD ⊥于T ,设BT AT x ==,

则DT =

,x =

,x =

于是6AB =．

9．2．12★已知大小相等的等边ABC △与等边PQR △有三组边分别平行,一个指向上方,一个指向

下方,相交部分是一个六边形,则这个六边形的主对角线共点．

A D K

R Q

E

H

B

F

G

C

P

解析如图,设两个三角形的边的交点依次为D 、E 、F 、G 、H 、K ．设ABC △、PQR △的高为

h ,则正ADK △的高h =（RQ 与BC 的距离）=正FPG △的高,于是DK FG ∥,DG 、KF 互相平分,

同理DG 、EH 互相平分,于是DG 、EH 、KF 的中点为同一点,结论成立．

9．2．13★★★★求证：过正三角形ABC 的中心O 任作一条直线l ,则A 、B 、C 三点至l 的距离平方和为常数．

A

l

B'A'

O

C'

B Q

C P

解析如图,不妨设l 与AB 、AC 相交,且与BC 延长线交于P (平行容易计算)．由中位线及重心性质,知BB CC AA '''+=．故222222()B B C C A A B B C C B B C C '''''''++=++?． 连结OB 、OC ,作OQ BC ⊥,易知B BP QOP C CP ''△∽△∽△,故C C CP OQ OP '=,B B BP

OQ OP

'=

． 对于等腰三角形OBC ,有22OP OC CP BP -=?．因此

()()222

2

2

2

22

2223OQ OQ B B C C B B C C CP BP CP BP BC CP BP OP OP

''''++?=++?=+?= ()2

22222333OQ BC OP OC OQ OP

+-=(定值),这里用到了BC ． 于是A 、B 、C 三点至l 的距离平方和为221

62

OQ BC =,结论得证．

§9．3三角形中的巧合点

9．3．1★已知：H 是ABC △内一点,AH 、BH 、CH 延长后分别交对边于D 、E 、F ,若

AH HD BH HE CH HF ?=?=?,则H 是ABC △的垂心,

解析如图,由条件知AHE BHD △∽△,故AEH BDH ∠=∠,同理,AFH CDH ∠=∠,故

180AFH AEH ∠+∠=?．

A F

E

H

B

D

C

又FBH ECH △∽△,故BFH CEH ∠=∠,这样可得90AFH AEH ∠=∠=?,故H 为ABC △之垂 心．

9．3．2★★求证：到三角形三顶点的距离平方和最小的点是三角形的重心．

解析设ABC △中,AD 、BE 、CF 是中线,G 是重心,M 是任一点．由斯图沃特定理,并考虑到 结论成立．

123DG GA AD =∶∶∶∶,

得22221

22339

MG AM DM AD =+-

22212

233

AM DM GD =+-．① 又由中线长公式,有

()222211

24MD BM CM BC =+-, ()222211

24

GD BG CG BC =

+-． 代入式①,得

()()222222230MG MA MB MC GA GB GC =++-++≥．

结论成立．

9．3．3★★★已知,H 是锐角ABC △的垂心,D 是BC 中点,过H 作DH 的垂线,交AB 、AC 于M 、

N ,求证：H 是MN 中点．

A

Q N

M

H

B

D P

C

解析设ABC △两条高为AP 、CQ ．又不妨设D 在BP 上．由于HAM DCH ∠=∠,

90AHM DHP HDC ∠=?-∠=∠,故AMH CHD △∽△,于是

MH AH HD CD =,同理NH AH

HD BD

=

, 又CD BD =,故MH NH =．

9．3．4★★★ABC △的边BC 、CA 、AB 上分别有点D 、E 、F ,且BD CE AF

DC EA FB

==

,求证：ABC △的重心与DEF △的重心是同一点． 解析在AB 上取一点M ,使MD AC ∥,则

MD BD CE

AC BC AC

==

,所以MD CE =,四边形MDCE 为平行四边形,设MC 与DE 交于N ,又设BC 的中点为,P 连结PN 、AP 、FN ,AP 与FN 交于G ,于是由

BM BD CE AF AB BC AC AB ===,得RM AF =,于是1122PN BM AF ∥∥,于是1

2

PG GN PN GA FG AF ===,所以G 为ABC

△与DEF △之重心．

A

F

M

G E

B

D

P

C

N

9．3．5★★★已知ABC △,60A ∠=?,G 是ABC △重心,120BGC ∠=?,求证：ABC △是正三角形． 解析设ABC △三条中线分别为AD 、BE 、CF ．连EF 为中位线．于是由条件知A 、F 、G 、E 共圆,故GBD FEG BAD ∠=∠=∠,于是2BD GD DA =?．由于12BD BC =,13

GD AD =,代入,得

AD =

． 在ABC △外作等腰BCP △,使BP CP =,120BPC ∠=?,连结DP ,DP BC ⊥．由圆心角与圆周角的关

系

,211

333

GP BP AD AD AD GD PD ==

=

=+=+,故G 、D 、P 三点共线,故AD BC ⊥,于是AB AC =,又60RAC ∠=?,故ABC △为正三角形．

A

F

E

B

D C

P

G

9．3．6★★★已知D 是BC 上一点,ABD △、ECD △、BCF △都是正三角形,A 、E 在BC 同侧,F 在另一侧,求证：以这三个正三角形的中心为顶点的三角形是正三角形,且它的中心在BC 上．又问此题如何推广？

A B

C

E

F

R R'

D

Q'

P'

Q

解析如图,设P 、Q 、R 分别为BCF △、DCE △和ABD △的中心,则由题11．2．25知PQR △为正三角形．

过P 、Q 、R 分别作BC 的垂线PP '、QQ '、RR ',

则

RR QQ PP BD CD BC ?'''=== ??

,又BD CD BC +=, 故RR QQ PP '''+=．又设RQ 中点为S （图中未画出）,SS BC '⊥于S ',则SS PP ''∥,且

()1122SS RR QQ PP ''''=

+=．设SP 与BC 交于G ,则1

2

SG SS GP PP '=

=',所以G 为PQR 的中点． 评注此题不难推广,只需AB DE CF ∥∥,AD CE BF ∥∥,此时ABD DC FCB △∽△∽△,

P 、Q 、R 为各自对应的重心,则必有PQR △之重心位于BC 上．

9．3．7★★★ABC △内有一点P ,连结AP 、BP 、CP 并延长,分别与对边相交,把ABC △分成六