初中数学竞赛专题7：根式

专题7：根 式

01 根式

一、选择题

1．（第18届五羊杯竞赛题）下列各式的结果中最小的是（ ） A

1

B

．2C

D ．0.8

2．（第17

2=的解是（ ）

A

B

C

D

3．（第17

有意义，则x 的取值范围是（ ）

A ．4x >

B ．7x ≥且5x ≠

C ．4x >且5x ≠

D ．45x <<

4．（第17届五羊杯竞赛题）设n ，k 为正整数，

1A =

，2A

，

3A

()41,214,

k k A A n k A -==

+++．已知A

100=2005，则n 的值

为（ ） A ．1806

B ．2005

C ．3612

D ．4011

5．

（20072

的值为（ ） A ．3

B

．4

C ．5

D ．6 6．（2005

的值为（ ）

A ．无理数

B ．真分数

C ．奇数

D ．偶数

二、填空题

7．（第17

22006=__________． 8．（第8届五羊杯竞赛题）已知a =

43

25654a

a a a -+-

+=__________．

9．（第12届希望杯竞赛题）设a ，b ，c 均为不小于31的最小值是__________．

10．（第17届希望杯竞赛题）设0m >m ==__________（用m 表示）．

11．（第17= __________．

12．（2007年浙江省竞赛题）若a 是一个完全平方数，则比a 大的最小完全平方数是__________．

13．（第16届希望杯数学竞赛培训题）已知a >0，b >0，且((:231:2a b a b -++=，那么b ：a =__________．

14．（2007年全国初中数学联赛题）设

x =，a 是x 的小数部分，b 是-x 的小数部分，则

333a b ab ++=__________．

三、解答题

15．（2006年全国初中数学竞赛题）某同学在计算“22

22

244244x x x x x x x ??--+÷ ?+--??

，其中x =”

时，把“x =”错抄成“x ”，但他的计算结果仍是正确的，请你说明这是为什么？

16．（第8届希望杯竞赛题）求(的值．

17．（第4届希望杯竞赛题）如果x y +=x y -=xy 的值．

18．（1996

19．

20．（2000的值．

21．（第11届希望杯竞赛题）当12x ≤≤

22．（1989年北京市竞赛题）已知1

2

x =，12

y =

，求22x xy y -+的值．

23．（1999年黄冈市竞赛题）已知a =b =

，求334a b +-的值．

24．（第5届希望杯竞赛题）设x =y ，求出2

222x y xy ??-+ ???

的值．

25．（1994年江苏省竞赛题）化简：(3a -．

26．（1995年昆明市竞赛题）若a ，b ，c 是△ABC 的三边，化简：

27．（2000年江苏省竞赛题）三个互不相等的有理数，既可分别表示为1，a +b ，a 的形式，又可分

a b ，b的形式，求20002001

a b

的值．

别表示为0，

02 二次根式

赛题练习

1.（第172=的解是（ ）

2.（第18届五羊杯竞赛题）下列各式的结果中最小的是（ ）

1

B. 2- D.0.8

3. ）

A. B. C. D.

4.（希望杯竞赛题）若实数x 、y 满足224250x y x y +--+=的值是（ ）

A.1

B.3

2

+ C.3+ D.3-

5.（第13届希望杯竞赛题）已知0b <，0||||||a b c <<<=a 、b 、c 的大小顺序是（ ） A.a b c <<

B.c b a <<

C.b a c <<

D.b c a <<

6.2(0a b +-=，那么b

a

的值是（ ）

A.1

B.1-

C.5-

D.5

7.（武汉市竞赛题）如果a b +=a b -=

，3333b c b c +=-，那么333a b c -的

值为（ ）

A. B.2001

C.1

D.0

8.（20072=+的值为（ ） A.3

B.4

C.5

D.6

9.（2004年山东省竞赛题）若0ab ≠，则等式a = ） A.0a >，0b > B.0a <，0b > C.0a >，0b < D.0a <，0b <

10.（2004=，则此方程的正整数解的组数是（ ） A.1

B.2

C.3

D.4

11.（2005 ）

A.2

B.2-

D.

12.（2005a 的和为（ ） A.396

B.1002

C.1200

D.2004

13.（20070=，则x y -的值为（ ） A.2

B.6

C.2或2-

D.6或6-

14.（2007年山东省竞赛题）已知0a >，0b >，=，的值为（ ）

A.1

B.2

C.

19

11

15.后的值是（ ）

1

1

16.（五羊杯竞赛题）设[]x 表示最接近x 的整数（0.5x n ≠+，n 为整数），则

[100+++

+的值为（ ）

A.5151

B.5150

C.5050

D.5049

17.（2006年全国竞赛题）已知1m =+，1n =()()

227143678m m a n n -+--=，则a 的值等于（ ） A.5-

B.5

C.9-

D.9

18.（2001年全国联赛题）a 、b 、c 为有理数，且等式a +成立，则29991001a b c ++的值是（ ） A.1999

B.2000

C.2001

D.不能确定

19.（2002年全国联赛题）已知1a ，b =2c =，那么a 、b 、c 的大小关系是（ ） A.a b c <<

B.b a c <<

C.c b a <<

D.c a b << 20.（2005

的结果是（ ） A.无理数

B.真分数

C.奇数

D.偶数

21.（2005 ）

A.和为1

B.差为1

C.积为1

D.商为1

22.（2005年全国联赛题）若a =

，2b =a

b 的值为（ ） A.

1

2

B.

14

23.（第17届希望杯竞赛题）已知1x =，则分式2329

1115x x x x ----的值等于____________.

24.（第1722006-的结果是___________.

25.（第18届五羊杯竞赛题）已知a =

4325654a a a a -+-+=____________.

26.（2001年全国竞赛题）已知x ，y =，那么

22y x x y

+=__________.

27.（20057x ，则x =___________.

28.（2004年天津市竞赛题）已知x =y =

，求44x y +的值.

29.（2002年北京市竞赛题）正数m 、n 满足43m n +=的

值.

30.（祖冲之杯竞赛题）

（111

a

a b ab =+-+；

（21

2000

的值.

31.（五羊杯竞赛题）若a =

2a 的值.

32.（2006年全国初中数学竞赛题）某同学在计算“22

22

244244x x x x x x x ??--+÷ ?+--??

，其中x =时，

把“x =”错抄成“x =”，但他的计算结果仍是正确的，请你说明这是为什么？

33.（全国初中数学联赛题）设x =y =

，t 为何值时，代数式22

204120x xy y ++的值为2001.

34.（全国初中数学联赛题）若0x >的最大值.

35.计算下列根式的值：

（1）

（2）

（3

（4）

问题解决

例1.（1）已知0a <______.

（2）当12x ≤≤

______. 例2.

设1a ，则32312612a a a +--=（ ） A.24 B.25

C.10

D.12

例3．计算： （1

）

；

（2

）

)

)

)

2001

2000

1999

1

2

1

2

1

2001--+.

例4.阅读材料：

黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌.这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比.在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”.

如：(

221+=

，

3=，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是

另一个的有理化因式.于是，二次根式除法可以这样解：

如

==

，

227

=

=+像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或

把根号的分母化去，叫做分母有理化

.

解决问题：

（1）4______

______.

（2）计算：

2003+

例5.（1）设实数x ，y 满足(1x y +=，求x y +的值.

（2）已知实数x，y

满足(

2002

x y

++=，求22

346658

x xy y x y

----+的

值.

例6.

.

数学冲浪

知识技能广场

1.

210

a b

-+=，则()2015

b a

-的值为______.

2.已知x，y

(

10

y-，那么20112011

x y

-=______.

3.

=

=

数()1

n n≥的代数式表示出来：______.

4.斐波那契（约1175-1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列），后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果.在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数.斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用.斐波那契数列中的第n个数可以

n n

??

?

-

?

?????

表示（其中，1

n≥）.这是用无理数表示有理数的一个范例.

任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数.

第1个数是______；第2个数是______.

5.

已知2

x=

(

(

2

72

x x

++）

A.0

C.2

D.2

6．如图数轴上有A，B，C，D四点，根据图中各点的位置，

判断图中的点所表示的数与11-最接近的是（）.

A.A

B.B

C.C

D.D

7．若化简1x -25x -，则x 的取值范围是（ ）. A.x 为任意实数 B.14x ≤≤ C.1x ≥

D.4x ≤

8．实数a ，b ，c a b b c

++可以化简为

（ ）. A.2c a - B.22a b -

C.a -

D.a

9．计算：

（1）

（2

-

（3）1

0120096-??-+-- ?

??

（40

++

10.先化简，再求值：

22

22

2a b a b a

a b a b a ab b

--?-+--+，其中1a =1b =

思维方法天地

11.若1x =，则实数x 的取值范围是______.

12.当

a =，化简2963a a a -+-的结果是______.

13.已知1a =-，则20122011201022a a a +-=______.

14.2

=-，则22

1

x x -

=______.

15.a ，b 为有理数，且满足等式a +a b +的值为（ ） A.2 B.4

C.6

D.8

16．计算

3

的值等于（ ）

A. B.-

C.

D.

17．若221x y +=的值为（ ） A.0

B.1

C.2

D.3

18．已知1a =，b =2c ，那么a ，b ，c 的大小关系是（ ） A.a b c <<

B.a c b <<

C.b a c <<

D.b c a <<

19．已知a ，b ，是一个三角形的三条边的长，求这个三角形的面积.

20.小明在学习二次根式后，发现一些含根号的句子可以写成另一个式子的平方，如(2

31+=，善于思考的小明进行了以下探索：

设(2

a m +=+（其中a ，

b ，m ，n 均为正整数），

则有2222a m n +=++ ∴222a m n =+，2b mn =.

这样小明就找到了一种把部分a +. 请你依照小明的方法探索并解决下列问题：

（1）当a ，b ，m ，n 均为正整数时，若(2

a m ++，用含m ，n 的式子分别表示a ，

b ，得a =______，b =______；

（2）利用所探索的结论，找一组正整数a ，b ，m ，n 填空：

______+=（______+2；

（3）若(2

a m ++，且a ，m ，n 均为正整数，求a 的值.

应用探究乐园

21.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它

的面积.用现代式子表示即为：S =…①（其中a ，b ，c 为三角形的三边

长，S 为面积）.而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的“海伦公式”：

S 2

a b c

p ++=

）. （1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积S ； （2）你能否由公式①推导出公式②？请试试.

22.有共同特征：

02367<<<<，且2736+=+. 5667<=<，且5766+=+.

请你类比提出猜想并证明.