一元二次方程知识点和易错点总结

元二次方程知识点总结

知识结构梳理

（ 1 ）含有 个未知数。

（ 2 ）未知数的最高次数是

1、概念 （3）是

方程。

（ 4 ）一元二次方程的一般形式是 。

（1） 法，适用于能化为（x + m ）2 = n （n 0 ） 的一元二次方

程

（2） 法，即把方程变形为 ab=0 的形式，

2 、解法 （ a ， b 为两个因式） , 则 a=0 或

（3）

法

（4） 法，其中求根公式是

根的判别式

当 时，方程有两个不相等的实数根。

（ 5 ） 当

时，方程有两个相等的实数根。 当

时，方程有没有的实数根。

可用于解某些求值

（ 1 ）

（2）

（3） 可用于解决实际问题的步骤

（ 4 ） （5） （6）

知识点归类

知识点一 一元二次方程的定义

如果一个方程通过移项可以使右边为 0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样 的方程叫做一元二次方程。

一元

二次方

程一元二次方程的应用

注意：1、一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。②它只含有一个未知数。

③未知数的最高次数是

2、同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。

例下列关于x的方程，哪些是一元二次方程？

2

⑴=3；⑵x2-6x=0；（3）x +x=5；（4）-x2=0；（5）2x（x-3）=2x2+1

x2+ 5 知识点二一元二次方程的一般形式

一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c = 0 （a，b，c是已知数，a0 ）。其中a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。

（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一

般形式。

（3）形如ax2+bx+c = 0不一定是一元二次方程，当且仅当a0时是一元二次方程。

例1 已知关于x的方程（m -1）x m2+2-（m+1）x-2 = 0是一元二次方程时，则m =

知识点三一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当x = 2时，x2-3x+2=0所以x=2是x2-3x+2 = 0方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。知识点四建立一元二次方程模型建立一元二次方程模型的步骤是：审题、设未知数、列方程。

注意：（1）审题过程是找出已知量、未知量及等量关系；（2）设未知数要带单位；（3）建立一元二次方程模型的关键是依题意找出等量关系。

例如图（1），有一个面积为150 ㎡的长方形鸡场，

鸡场一边靠墙（墙长18m），另三边用竹篱笆围成，

若竹篱笆的长为35m，求鸡场的长和宽各为多少？鸡场

因式分解法、直接开平方法

知识点一因式分解法解一元二次方程

如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq=0时，则p=0 或

q=0。用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：

（1）将方程的右边化为0；

（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。

（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

关键点：（1）要将方程右边化为0；（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。

例用因式分解法解下列方程：

（1）5x2= 4x；（2）（2x2-3）-25=0；（3）x2-6x+9 =（5-2x）2。

知识点二直接开平方法解一元二次方程

若x2= a（a0），则x叫做a 的平方根，表示为x = a，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。

（1）x2= a（a0）的解是x = a；（2）（x+m）2= n（n0）的解是x = n -m；（3）（mx + n）2= c（m0,且c0）的解是x = c -n。

m

例用直接开平方法解下列一元二次方程

（1）9x2-16 = 0；（2）（x + 5）2-16= 0；（3）（x - 5）2= （3x +1）2（因式分解）知识点三灵活运用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程

形如(ax + b)2-k =0(k0)的方程，既可用因式分解法分解，也可用直接开平方法解。例运用因式分解法和直接开平方法解下列一元二次方程。

(1) 4(x - 5)2-36=0；(2)(1-2x)2-3=0

知识点四用提公因式法解一元二次方程把方程左边的多项式(方程右边为0 时)的公因式提出，将多项式写出因式的乘积形式，然后利用“若pq=0时，则p=0或q=0”来解一元二次方程的方法，称为提公因式法。

如：0.01t2-2t = 0 ，将原方程变形为t(0.01t -2)=0 ，由此可得出t = 0或0.0t -2 = 0，即t = 0,t = 200 注意：在解方程时，千万注意不能把方程两边都同时除以一个含有未知数的式子，否则可能丢失原方程的根。

知识点五形如“ x2+ (a + b)x + b = 0(a, b为常数)”的方程的解法。

对于形如“ x2+(a+b)x+b = 0(a,b为常数)”的方程(或通过整理符合其形式的)，可将左边分解因式，方程变形为(x+a)(x+b)+0 ，则x+a =0或x+b =0 ，即x = - a, x = -b。

注意：应用这种方法解一元二次方程时，要熟悉“ x2+(a+b)x+b = 0(a,b为常数)”型方程的特征。

例解下列方程：(1) x2-5x+6=0；(2)x2-x-12=0

配方法

知识点一配方法

解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。

注意：用配方法解一元二次方程x2+ px + q = 0 ，当对方程的左边配方时，一定记住

在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数。

例用配方法解下列方程：

7

（1）x2+6x-5=0；（2）x2- 7x-2 = 0

2

知识点二用配方法解二次项系数为1的一元二次方程

用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：

（1）在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数；

（2）把原方程变为（x + m）2= n的形式。

（3）若n0 ，用直接开平方法求出x的值，若n﹤0，原方程无解。

例解下列方程：x2-4x+3= 0

知识点三用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程

当一元二次方程的形式为ax2+bx+c =0（a0,a1）时，用配方法解一元二次方程的步

骤：（1）先把二次项的系数化为 1：方程的左、右两边同时除以二项的系数；

（2）

移项：在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，把原方

程 化为（x +m ）2

= n 的形式；

（3）若n 0 ，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。

例 用配方法解下列方程： （1）3x 2 -9x +2 = 0；

（2）- x 2 -4x +3= 0

公式法

知识点一 一元二次方程的求根公式

一元二次方程ax 2 +bx +c =0（a 0）的求根公式

是：

用求根公式法解一元二次方程的步骤是：（1）把方程化为ax 2 + bx + c = 0（a 0）的形式，确定

的值a ,b .c （注意符号）；（2）求出b 2

- 4ac 的值；（3）若b 2

-4ac 0，则a ,b .把及b 2

-4ac 的

值代人求根公式x = -b

b -4ac

，求出x 1, x 2 。

2a

1 2 例 用公式法解下列方程 （1）2x 2 -3x -1= 0； （2） 2x

（x + 2）+1= 0； （3）x 2

+ x +25=0

-b b 2 - 4ac x =

2a

知识点二选择适合的方法解一元二次方程

直接开平方法用于解左边的含有未知数的平方式，右边是一个非负数或也是一个含未知数的平方式的方程

因式分解要求方程右边必须是0，左边能分解因式；公式法是由配方法推导而来的，要比配方法简单。

注意：一元二次方程解法的选择，应遵循先特殊，再一般，即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再选用公式法，没有特殊要求，一般不采用配方法，因为配方法解题比较麻烦。

例用适当的方法解下列一元二次方程：

（1）（2x - 3）2=9（2x+3）2；（2）x2-8x+6 =0；（3）（x+2）（x-1）= 0

知识点三一元二次方程根的判别式

一元二次方程ax2+ bx + c = 0（a0）根的判别式△=b2-4ac 运用根的判别式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情况：

（1）△=b2-4ac﹥0方程有两个不相等的实数根；

（2）△=b2-4ac=0方程有两个相等的实数根；

（3）△=b2- 4ac﹤0 方程没有实数根；

利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把所有一元二次方程化为一般形式；

②确定a,b.c的值；③计算b2- 4ac的值；④根据b2- 4ac的符号判定方程根的情况。例不解方程，判断下列一元二次方程根的情况：

（1）2x2-3x-5=0；（2）9x2=30x-25；（3）x2+6x+10=0

知识点四根的判别式的逆用

在方程ax2+bx+c=0（a0）中，