(完整版)一元二次方程知识点和易错点总结

一元二次方程知识点总结

知识结构梳理

（1）含有 个未知数。 （2）未知数的最高次数是 1、概念 （3）是 方程。

（4）一元二次方程的一般形式是 。

（1） 法，适用于能化为)((0)2≥=+n n m x 的一元二次方程 （2） 法，即把方程变形为ab=0的形式，

2、解法 （a ，b 为两个因式）, 则a=0或

（3） 法

（4） 法，其中求根公式是 根的判别式

当 时，方程有两个不相等的实数根。

（5） 当 时，方程有两个相等的实数根。 当 时，方程有没有的实数根。

可用于解某些求值 （1） 一元二次方程的应用 （2）

（3）

可用于解决实际问题的步骤 （4） （5）

（6）

知识点归类

知识点一 一元二次方程的定义

如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。

注意：1、一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。②它只含有一个未知数。 ③未知数的最高次数是

一

元

二次方程

2、同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。

例 下列关于x 的方程，哪些是一元二次方程？

⑴35

2

2=+x ；⑵062=-x x ；（3）5=+x x ；（4）02=-x ；（5）12)3(22+=-x x x

知识点二 一元二次方程的一般形式

一元二次方程的一般形式为02=++c bx ax （a ，b ，c 是已知数，0≠a ）。其中a ，b ，c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。

注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。 （2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。

（3）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。 例1 已知关于x 的方程()()02112

2=-+--+x m x m m 是一元二次方程时，则=m

知识点三 一元二次方程的解

使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当2=x 时，0232=+-x x 所以2=x 是0232=+-x x 方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。 知识点四 建立一元二次方程模型

建立一元二次方程模型的步骤是：审题、设未知数、列方程。

注意：（1）审题过程是找出已知量、未知量及等量关系；（2）设未知数要带单位；（3）建立一元二次方程模型的关键是依题意找出等量关系。

例 如图（1），有一个面积为150㎡的长方形鸡场 ， 鸡场一边靠墙（墙长18m ），另三边用竹篱笆围成， 若竹篱笆的长为35m ，求鸡场的长和宽各为多少？ 鸡场

因式分解法、直接开平方法

知识点一 因式分解法解一元二次方程

如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq=0时，则p=0或q=0。 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： （1）将方程的右边化为0；

（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。 （3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。 （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

关键点：（1）要将方程右边化为0；（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。 例 用因式分解法解下列方程：

（1）x x 452=； （2）025)32(2=--x ； （3）()2

22596x x x -=+-。

知识点二 直接开平方法解一元二次方程

若()02≥=a a x ，则x 叫做a 的平方根，表示为a x ±=，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。

（1）()02≥=a a x 的解是a x ±=；（2）()()02

≥=+n n m x 的解是m n x -±=；

（3）()()0,02

≥≠=+c m c n mx 且的解是m

n

c x -±

=

。 例 用直接开平方法解下列一元二次方程

（1）01692=-x ； （2）()01652

=-+x ； （3）()()2

2

135+=-x x （因式分解）

知识点三 灵活运用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程

形如()()002

≥=-+k k b ax 的方程，既可用因式分解法分解，也可用直接开平方法解。

例 运用因式分解法和直接开平方法解下列一元二次方程。 （1）()036542=--x ； （2）()03212

=--x

知识点四 用提公因式法解一元二次方程

把方程左边的多项式（方程右边为0 时）的公因式提出，将多项式写出因式的乘积形式，然后利用“若pq=0时，则p=0或q=0”来解一元二次方程的方法，称为提公因式法。 如：0201.02=-t t ，将原方程变形为()0201.0=-t t ，由此可得出

200,0020.0021===-=t t t t ，即或

注意：在解方程时，千万注意不能把方程两边都同时除以一个含有未知数的式子，否则可能丢失原方程的根。

知识点五 形如“()()为常数b a b x b a x ,02=+++”的方程的解法。

对于形如“()()为常数b a b x b a x ,02=+++”的方程（或通过整理符合其形式的），可将左边分解因式，方程变形为()()0+++b x a x ，则00=+=+b x a x 或，即

b x a x -=-=21,。

注意：应用这种方法解一元二次方程时，要熟悉“()()为常数b a b x b a x ,02=+++”型方程的特征。

例 解下列方程：（1）0652=+-x x ； （2）0122=--x x

配方法

知识点一 配方法

解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。

注意：用配方法解一元二次方程02=++q px x ，当对方程的左边配方时，一定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数。

例 用配方法解下列方程：

（1）0562=-+x x ； （2）022

7

2=--x x

知识点二 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程

用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：

（1） 在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数； （2） 把原方程变为()n m x =+2

的形式。

（3） 若0≥n ，用直接开平方法求出x 的值，若n ﹤0，原方程无解。 例 解下列方程：0342=+-x x

知识点三 用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程

当一元二次方程的形式为()1,002≠≠=++a a c bx ax 时，用配方法解一元二次方程的步

骤：（1）先把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二项的系数；

(2) 移项：在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，把原方程化为()n m x =+2

的形式；

（3）若0≥n ，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。

例 用配方法解下列方程：

（1）02932=+-x x ； （2）0342=+--x x 公式法

知识点一 一元二次方程的求根公式

一元二次方程()002

≠=++a c bx ax 的求根公式是：a

ac

b b x 242-±-=

用求根公式法解一元二次方程的步骤是：（1）把方程化为()002≠=++a c bx ax 的形式，确定的值c b a .,（注意符号）；（2）求出ac b 42-的值；（3）若042≥-ac b ，则.,b a 把及ac b 42-的

值代人求根公式a

ac b b x 242-±-=，求出21,x x 。

例 用公式法解下列方程

（1）01322=--x x ； （2）(

)

0122=++x x ； （3）0252=++x x

知识点二 选择适合的方法解一元二次方程

直接开平方法用于解左边的含有未知数的平方式，右边是一个非负数或也是一个含未知数

的平方式的方程

因式分解要求方程右边必须是0，左边能分解因式； 公式法是由配方法推导而来的，要比配方法简单。

注意：一元二次方程解法的选择，应遵循先特殊，再一般，即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再选用公式法，没有特殊要求，一般不采用配方法，因为配方法解题比较麻烦。

例 用适当的方法解下列一元二次方程：

（1）()()2

2

32932+=-x x ； （2）0682=+-x x ； （3）()0)1(2=-+x x

知识点三 一元二次方程根的判别式

一元二次方程()002≠=++a c bx ax 根的判别式 △=ac b 42-

运用根的判别式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情况：

（1） △=ac b 42-﹥0?方程有两个不相等的实数根； （2） △=ac b 42-=0?方程有两个相等的实数根； （3） △=ac b 42-﹤0?方程没有实数根；

利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把所有一元二次方程化为一般形式；②确定c b a .,的值；③计算ac b 42-的值；④根据ac b 42-的符号判定方程根的情况。 例 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况：

（1）05322=--x x ；（2）253092-=x x ；（3）01062=++x x

知识点四 根的判别式的逆用 在方程()002≠=++a c bx ax 中，

（1）方程有两个不相等的实数根?ac b 42-﹥0 （2）方程有两个相等的实数根?ac b 42-=0

（3）方程没有实数根?ac b 42-﹤0

注意：逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件。

例 m 为何值时，方程()0324122=-+++m mx x m 的根满足下列情况：

（1）有两个不相等的实数； （2）有两个相等的实数根； （3）没有实数根；

知识点五 一元二次方程的根与系数的关系

若21,x x 是一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两个根，则有a b x x -=+21， a

b

x x =21

根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系： （1）()212

212

22

12x x x x x x -+=+ （2）

2

121

211

1x x x x x x +=+ （3）()2212121))((a x x a x x a x a x ++++=++； （4）│21x x -│=

()2

21x x -=

()2

12214x x x x -+

例 已知方程03522=--x x 的两根为21,x x ，不解方程，求下列各式的值。

（1）2

22

1x x +； （2）()2

21x x -。

知识点六 根据代数式的关系列一元二次方程

利用一元二次方程解决有关代数式的问题时，要善于用一元二次方程表示题中的数量关系（即列出方程），然后将方程整理成一般形式求解，最后作答。

例 当x 取什么值时，代数式062=--x x 与代数式23-x 的值相等？

一元二次方程的应用

知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤

（1） 审题，（2）设未知数，（3）列方程，（4）解方程，（5）检验，（6）作答。 关键点：找出题中的等量关系。

知识点二 用一元二次方程解与增长率（或降低率）有关得到问题

增长率问题与降低率问题的数量关系及表示法：（1）若基数为a ，增长率x 为，则一次增长后的值为()x a +1，两次增长后的值为()2

1x a +；（2）若基数为a ，降低率x 为，则一次降

低后的值为()x a -1，两次降低后的值为()2

1x a -。

例 某农场粮食产量在两年内由3000吨增加到3630吨，设这两年的年平均增长率为x ，列出关于x 的方程为

知识点三 用一元二次方程解与市场经济有关的问题

与市场经济有关的问题：如：营销问题、水电问题、水利问题等。与利润相关的常用关系式有：（1）每件利润=销售价-成本价；（2）利润率=（销售价—进货价）÷进货价×100%；（3）销售额=售价×销售量

例 某商店如果将进货价为8 元的商品每件10元售出，每天可售200件，现在采取提高售价，减少进货价的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销量减少10件。

（1）要使每天获得700 元，请你帮忙确定售价。

（2）当售价定为多少时，能使每天获得的利润最多？并求出最大利润。

易错知识辨析：

（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，

注意一元二次方程一般形式中0≠a .

（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1.

（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.

一元二次方程测试题

一、选择题

1、若关于x 的一元二次方程(m-1)x 2+5x+m 2-3m+2=0有一个根为0，则m 的值等于（ ） A 、1 B 、2 C 、1或2 D 、0

2、巴中日报讯：今年我市小春粮油再获丰收，全市产量预计由前年的45万吨提升到50万吨，设从前年到今年我市的粮油产量年平均增长率为x ，则可列方程为（ ）

A ．45250x +=

B ．245(1)50x +=

C ．250(1)45x -=

D ．45(12)50x +=

3、已知a b ，是关于x 的一元二次方程210x nx +-=的两实数根，则式子b a

a b

+的值是（ ）

A ．22n +

B ．22n -+

C ．22n -

D ．22n --

4、 已知a 、b 、c 分别是三角形的三边，则方程(a + b)x 2 + 2cx + (a + b)＝0的根的情况

是（ ）

A ．没有实数根

B ．可能有且只有一个实数根

C ．有两个相等的实数根

D ．有两个不相等的实数根

5、已知n m ,是方程0122=--x x 的两根，且8)763)(147(22=--+-n n a m m ，则a 的值等于 （ ）

A ．－5 B.5 C.-9 D.9

6、已知方程20x bx a ++=有一个根是(0)a a -≠，则下列代数式的值恒为常数的是（ ）

A ．ab

B ．

a

b

C ．a b +

D ．a b - 7、112,022x x x x 下面对的一较小根为=--的估计正确的是 （ ）

A ．121-<<-x

B ．011<<-x

C ．101<

D ．211<

8、关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、，且22

127x x +=，则

212()x x -的值是（ ） A ．1

B ．12

C ．13

D ．25

9、某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2450张相片，如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为( )

A 、2450)1(=-x x

B 、2450)1(=+x x

C 、2450)1(2=+x x

D 、

24502

)

1(=-x x 10、若关于x 的一元二次方程

()012

2=-+-k x x k 的一个根为1，则k 的值为 ( )

A ．－1

B ．0

C ．1

D ．0或1

11、设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ）

A ．2006

B ．2007

C ．2008

D ．2009

12、对于一元二次方程ax 2+bx+c=O(a≠0)，下列说法： ①若a+c=0，方程ax 2+bx+c=O 必有实数根； ②若b2+4ac<0，则方程ax 2+bx+c=O 一定有实数根； ③若a-b+c=0，则方程ax 2+bx+c=O 一定有两个不等实数根；

④若方程ax 2+bx+c=O 有两个实数根，则方程cx 2+bx+a=0一定有两个实数根． 其中正确的是( )

A ．①② B．①③ C．②③ D．①③④

二、填空题

1、若一元二次方程2x －(a+2)x+2a=0的两个实数根分别是3、b ，则a+b= ．

2、设21,x x 是一元二次方程2x +4x －3=0的两个根，则2

221x x += ．

3、方程（x ﹣1）（x + 2）= 2（x + 2）的根是

4、已知关于x 的一元二次方程

)0(012

≠=++a bx ax 有两个相等的实数根，求4)2(222

-+-b a ab 的值为__________．

5、在等腰△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中5a =，若关于x 的方程()2260x b x b +++-=有两个相等的实数根，则△ABC 的周长为__________．

6、已知关于x 的一元二次方程22

60x x k --=（k 为常数）． 设21,x x 为方程的两个实数

根，且

12214

x x +=，则K 的值为__________．

7、已知m 、n 是方程2200320040x x -+=的两根，则

2(20042005)n n -+与2(20042005)m m -+的积是 .