总体均值的假设检验

总体均值的假设检验

一、正态总体均值的检验

设n X X X ，，

， 21为总体),(２ N 的一个容量为n 的样本． 1．方差2 已知， 的检验——u 检验法． 当2

02 已知时，

假设检验问题：0100 ：；：H H ． 选择检验统计量n

X U /00

，当0H 成立时，)1,0(~N U ．

给定显著性水平 ，由标准正态分布分位点的定义, 有 }|{|2/u U P ，

故拒绝域}{}{}|{|2/2/2/ u U u U u U W ，

这种利用服从正态分布的检验统计量的检验方法称为u 检验法．

有时我们只关心总体的均值是否增大（或减小）．比如，经过工艺改革后，产品的质量（如材料的强度）比以前是否提高，此时我们要研究的是新工艺下总体的均值 是小于等于原来的均值0 ，还是大于0 ，

即检验假设 0100 ：；：H H ． 可以证明，在显著性水平 下，上述假设检验问题和

检验假设0100 ：；：H H 有相同的拒绝域，

因此，遇到形如00 ：H 的检验问题，可归结为后一个假设检验问题讨论． 类似地，形如0100 ：；：H H 的检验问题， 可归结为检验假设 0100 ：；：H H ．

这都是单边检验问题．给定显著性水平 ，求得的临界值点是上 分位点或上

1分位点．

例1 某厂生产的某种钢索的断裂强度X 服从),(２ N ，其中

40 (kg/cm 2)，现从这批钢索中抽取容量为9的样本，测得断裂强度的平均值

x 较以往正常生产的 大20(kg/cm 2

)，设总体方差不变，问在1.00 下，能否

认为这批钢索质量有显著提高？

解 依题意，检验假设0100 ：；：H H ， 由于40 已知，选择检验统计量n

X U /0

因为0H 中的 全部都比1H 中的 要小，从直观上看，当0H 成立时，X 的取值

x 不应比 大很多，若偏差0 x 过大，则拒绝0H 而接受1H ．

因为 0100 ：；：H H 的拒绝域为}{ u U W ， 故在显著性水平1.00 下原假设的拒绝域为

}{}{0n

u X u U W

．

本题中，9 n ，40 ，200 x ，33.201.0 u ， 计算U 的值33.25.1/0

n

x u

因此在显著性水平1.00 下不能拒绝0H ，即认为这批钢索质量没有显著提高．

2．方差2 未知， 的检验——t 检验法． 检验假设0100 ：；：H H ．

因为2 未知，而样本方差2S 是总体方差2 的无偏估计量，用S 代替 ． 选择检验统计量 n

S X T /0

，

当0H 成立时，)1(~ n t T ．给定显著性水平 ，由t 分布分位点的定义， 有 )}1(|{|2/n t T P ，

故拒绝域)}1({)}1({)}1(|{|2/2/2/ n t T n t T n t T W ， 这种利用服从t 分布的检验统计量的检验方法称为t 检验法．

例2 某切割机工作正常时，切割每段金属棒的平均长度为10.5cm ．今在某段时间随机地抽取15段进行测量，其结果如下(cm)：

10.4 10.6 10.1 10.4 10.5 10.3 10.3 10.2 10.9 10.6 10.8 10.5 10.7 10.2 10.7

问此段时间该机工作是否正常(5.00 )？假设金属棒长度服从正态分布．

解 依题意，检验假设0100.510 ：；：H H ， 由于2 未知，故选择检验统计量n

S X T /0

．

在0H 下，)1(~ n t T ，15 n ．给定显著性水平5.00 ，查t 分布表， 得临界值1448.2)14()1(025.02/ t n t ，故拒绝域)}1(|{|2/ n t T W ．

由已知条件可得48.102.15715

1

11 n i i x n x

056.0784.014

1)(1112

2

n i i

x x n s 故2366.0 s ．计算统计量的值3274.015

/2366.05.1048.10/0

n

s x t

因为)1(||2/ n t t ，所以接受0H ，认为切割机工作正常．

例3 设木材的小头直径),(~２ N X ，12 cm 为合格，今抽出12根测得小头直径的样本均值为2.11 x cm ，样本方差为44.12 s cm 2，问该批木材是否合格(5.00 )？

解 依题意，检验假设010012 ：；：H H ，

选择检验统计量n

S X T /0

．

在假设0100 ：；：H H 下，)1(~ n t T ，12 n ．给定显著性水平

5.00 ，查t 分布表，得临界值7959.1)11()1(05.0 t n t ，

故拒绝域)}1({ n t T W ，也是假设010012 ：；：H H 的拒绝域． 由于2.11 x ，44.12 s ，计算统计量的值3094.212

/44.1122.11/0

n

s x t

因为)1( n t t ，故拒绝0H ，认为该批木材是不合格的． 二、正态总体方差的检验——2 检验法

设n X X X ，，

， 21为来自总体),(２ N 的一个样本，检验假设 2

0212

020 ：；：H H ．

1．均值 已知． 因为

)1,0(~N X i

，n i ,,2,1 ，则选取检验统计量

n

i i

n

i i X

X 1

22012

02)(1

．

当0H 成立时，)(~22n ，给定显著性水平 ，由2 分布表分位点的定义，有

))}(())({(2

2/222/12n n P ，

故得拒绝域)}({)}({2

2/222/12n n W ．

2．均值 未知．

因为X 是总体均值 的无偏估计量，用X 代替 ．选择检验统计量

20

2

12

2)1(

S n X

X n

i i ． 当0H 成立时，)1(~22 n ，给定显著性水平 ，由2 分布表分位点的定义，

有 ))}1(())1({(2

2/222/12n n P

故得拒绝域)}1({)}1({2

2/222/12 n n W ．

类似地，在 已知和 未知时，可以求出检验假设

2

0212

020 ：；：H H 和2

0212

020 ：；：H H

的拒绝域．例如，在 未知时，检验假设2

020 ：H 的拒绝域为

)}1({22 n W ．

上述检验所用的检验统计量均服从2 分布，称这种检验方法为2 检验法

例4 某无线电厂生产的一种高频管，其中一指标服从正态分布),(２ N ，今从一批产品中抽取8只管子，测得指标数据：

68 43 70 65 55 56 60 72

(1) 总体均值60 时，检验228 (取5.00 )； (2) 总体均值 未知时，检验228 (取5.00 )． 解 本题是在显著性水平5.00 下，检验假设

2

021220208 ：；：H H ，

这里8 n ．

(1) 60 已知时

临界值35.517)8()(2025.022/ n ，80.12)8()(2

975.022/1 n ，

而检验统计量的值359.1066364

1

)(8

11

22

2

n

i i x ， 由于)()(2

2/222/1n n ，故接受0H ．

(2) 未知时

临界值13.016)7()1(2025.022/ n ，90.61)7()1(2

975.022/1 n ，

而125.614898111 n i i x n x ，875.652)()1(1

22

n

i i x x s n ，

检验统计量的值2012.1075.865264

1

2

， 由于)1()1(2

2/222/1 n n ，故接受0H ．

§8.3 两个正态总体参数的假设检验

设121n X X X ，，

， 为总体),(~11２

N X 的一个样本，221n Y Y Y ，，， 为总体),(~2

2２

N Y 的一个样本． 1111n i i X n X 和

2

1

2

1n i i

Y

n Y 分别是两个样本的样本

均值， 11212

1

)(11n i i X X n S 和 21

2222)(11n i i Y Y n S 是相应的两个样本方差．设这两个样本相互独立．．

一、两个正态总体均值的检验

考虑检验假设 211210 ：；：H H ． 1．方差2

1 与2

2 已知——u 检验法．

选取 2

2

2

1

2

1

21)

()(n n Y X U

．

当0H 成立时，检验统计量)1,0(~2

2

2

1

2

1

N n n Y

X U

．

给定显著性水平 ，由标准正态分布表分位点的定义,

有 }|{|2/u U P ，

故拒绝域}{}{}|{|2/2/2/ u U u U u U W ．

例1 设从甲乙两场所生产的钢丝总体X ，Y 中各取50束作拉力强度试验，得1208 x ，1282 y ，已知801 ，942 ，请问两厂钢丝的抗拉强度是否