非线性回归预测法——高斯牛顿法(詹学朋)
非线性回归预测法
前面所研究的回归模型，我们假定自变量与因变量之间的关系是线性的，但社会经济现象是极其复杂的，有时各因素之间的关系不一定是线性的，而可能存在某种非线性关系，这时，就必须建立非线性回归模型。 一、非线性回归模型的概念及其分类
非线性回归模型，是指用于经济预测的模型是曲线型的。常见的非线性回归模型有下列几种： (1)双曲线模型：
i i
i x y εββ++=1
2
1 (3-59) (2)二次曲线模型：
i i i i x x y εβββ+++=2321 (3-60)
(3)对数模型：
i i i x y εββ++=ln 21 (3-61)
(4)三角函数模型：
i i i x y εββ++=sin 21 (3-62)
(5)指数模型：
i x i i ab y ε+= (3-63)
i i i x x i e y εβββ+++=221110 (3-64)
(6)幂函数模型：
i b i i ax y ε+= (3-65)
(7)罗吉斯曲线：
i x x i i
i
e e y εββββ++=++1101101 (3-66)
(8)修正指数增长曲线：
i x i i br a y ε++= (3-67)
根据非线性回归模型线性化的不同性质，上述模型一般可细分成三种类型。 第一类：直接换元型。
这类非线性回归模型通过简单的变量换元可直接化为线性回归模型，如：(3-59)、(3-60)、(3-61)、(3-62)式。由于这类模型的因变量没有变形，所以可以直接采用最小平方法估计回归系数并进行检验和预测。 第二类：间接代换型。
这类非线性回归模型经常通过对数变形的代换间接地化为线性回归模型，如：(3-63)、(3-64)、(3-65)式。由于这类模型在对数变形代换过程中改变了因变量的形态，使得变形后模型的最小平方估计失去了原模型的残差平方和为最小的意义，从而估计不到原模型的最佳回归系数，造成回归模型与原数列之间的较大偏差。 第三类：非线性型。
这类非线性回归模型属于不可线性化的非线性回归模型，如：(3-66)和(3-67)式。第一类和第二类非线性回归模型相对于第三类，又称为可线性化的非线性回归模型。本节重点研究第一类和第二类即可线性化的非线性回归模型。 二、可线性化的非线性回归模型的模型变换及参数估计 1.直接换元法
换元过程和参数估计方法，如表3-6所示。例设某商店1991～2000年的商品流通费用率和商品零售额资料如下表：
表3-7 直接换元法计算表
根据上述资料，配合适当的回归模型分析商品零售额与流通费用率的关系，若2001年该商店商品零售额将为36.33万元，对2001年的商品流通费用额作出预测。 解：(1)绘制散点图(图略)。从图中可清楚看到：随着商品零售额的增加，流通费用率有不断下降的趋势，呈双曲线形状。 (2)建立双曲线模型。
i i
i x y εββ++=12
1 令 i i x x 1'=
得 i i i x y εββ++='21 (3)估计参数。
Eviews4.0 软件，hzz －暴P92表3－7
得回归模型为：i
i x y 17610.425680.2+=∧
2.间接代换法
代换过程和参数估计方法如（暴经济预测P96）表3-8所示。
三、高斯—牛顿迭代法
高斯—牛顿迭代法的基本思想是使用泰勒级数展开式去近似地代替非线性回归模型，然后通过多次迭代，多次修正回归系数，使回归系数不断逼近非线性回归模型的最佳回归系数，最后使原模型的残差平方和达到最小。高斯—牛顿法的一般步骤为： (1)初始值的选择。其方法有三种，一是根据以往的经验选定初始值；二是用分段法求出初始值；三是对于可线性化的非线性回归模型，通过线性变换，然后施行最小平方法求出初始值。
(2)泰勒级数展开式。设非线性回归模型为：
i i i r x f y ε+=),( i=1,2,…,n (3-68)
其中r 为待估回归系数，误差项 i ε～N(0, 2
σ)，设：
')0(1)0(1)
0(00),,(-=p g g g g ，
为待估回归系数'110),,(-=p r r r r 的初始值，将(3-68)式),(r x f i 在g 0
点附近作泰勒展开，并略去非线性回归模型的二阶及二阶以上的偏导数项，得
()
)
0(1
0)
0()
0(),(),(),(k
k
g
r p k k i i i g r
r r x f g x f r x f -?
??
??
???+≈=-=∑ (3-69) 将(3-69)式代入(3-68)式，则
()
i k k
g
r p k k i i i g r r r x f g x f y ε+-?
??
??
???+≈=-=∑)
0(1
0)
0()
0(),(),(
移项：
()
i k k
g
r p k k i i i g r
r r x f g x f y ε+-?
??
??
???≈-=-=∑)
0(1
0)
0()
0(),(),(
令：
)
0()0()
0()0()0()
0(),(),(k
k k g r k i ik i i i g r r r x f D g x f y y -=?
???????=-==β 则：i k p k ik i
D y
εβ+≈∑-=)
0(1
)0()0( i=1,2，…，n 用矩阵形式表示，上式则为：ε+≈)0()0()
0(B D Y (3-70)
其中：
????
?
? ??=?????
? ??=????
?
??--=-?--??)0(1)
0(0)
0(1
)0(1)0(0)0(11)0(10)
0()0()0(11)
0(1
),(),(p p np
n p p n n n n B D D D D D g x f y g x f y Y ββ
(3)估计修正因子。用最小平方法对(3-70)式估计修正因子B （0）
，
则：(
)
)0()0(1
)
0()0()
0('
'
Y D D D b
-= (3-71)
设g (1)
为第一次迭代值，则：)0()0()
1(b g g
+=
(4)精确度的检验。设残差平方和为：
[]
2
1
)()0(),(∑=-=n
i s i i g x f y SSR ，S 为重复迭代次数，对于给定的允许误差率K ，当
k SSR SSR SSR s s s ≤--)
()
1()(时，则停止迭代；否则，对(3-71)式作下一次迭代。
(5)重复迭代。重复(3-71)式，当重复迭代S 次时，则有： 修正因子：(
)
)()(1
)
()()
('
'
s s s s s Y D D D b
-=
第(S+1)次迭代值：)()()1(s s s b g g +=+ 四、应用举例
设12个同类企业的月产量与单位成本的资料如下表：
表3-9 间接代换法计算表
(注：资料来源《社会经济统计学原理教科书》第435页)
试配合适当的回归模型分析月产量与单位产品成本之间的关系。
解：(1)回归模型与初始值的选择。根据资料散点图的识别，本数据应配合指数模型：
i x i ab y =∧
对指数模型两边取对数，化指数模型为线性回归模型，然后施行最小平方法求出初始值。即：b b a a y y b
x a y i i
i i lg ,lg ,lg lg lg lg '''
===+=∧
∧
∧
令：
则上述指数模型变为：i i
x b a y '
'
'+=∧ i i x y 00831.026109.2'
-=∧
对'
',b a 分别求反对数，得182.43,0.981a b ==，带入原模型，
得回归模型：i x
i y 981.043.182?=∧
高斯—牛顿迭代法 初始回归模型：(0)
(,)182.430.981i x i f x g =?
残差平方和：(0)(0)2
((,))1124.1526i i
SSR y
f x
g =
-=∑
（2）泰勒级数展开式。先对指数模型 i x
i ab y =∧
中的a 和b 分别求偏导数。
000
0.981i
i a a b b x x i a a b b y b a ==∧
==?==?
1
1000
182.43**0.981i i a a b b x x i a a i i b b y ax b x b
--==∧
==?==?
然后用泰勒级数展开指数模型，移项整理得(注：参见(3-69)、(3-70)式)：
(0)Y
(0)D
(0)B
160-150.5866 0.82545 1535.0316 151-134.2148 0.73571 2189.0282 114-124.3015 0.68137 2534.1796 128-112.9332 0.61905 2878.0110
85-100.6550 0.55175 3180.7400 a (0)
91- 91.4493 = 0.50128 3355.9387 75- 84.6948 0.46246 3453.4052
76- 76.9488 0.42180 3529.7593 b (0) 66- 68.5829 0.37594 3565.4701 60- 62.3104 0.34156 3556.9658 61- 57.7081 0.31633 3529.5468 60- 52.4302 0.28740 3473.9702
(3-72)
(3)估计修正因子。解(3-72)式矩阵，得：
a (0)
12.09660288
=
b (0)
－0.00180342
第一次迭代值：
a 1 a 0 a (0)
194.5266
= ＋ ＝
b 1 b 0 b (0)
0.9792
第一次迭代回归模型：(1)(,)194.52660.9792i x
i f x g =?
(4)精确度的检验。残差平方和：
(1)(1)2((,))999.4077i i SSR y f x g =-=∑
给定误差率K=10-3
,则：
(1)(0)(1)1124.1526
10.12482999.4077
SSR SSR k SSR -=-=>
作下一次迭代。 (5)重复迭代。
将 a 1 代入(3-71)式作第二次迭代。得估计修正因子：
b 1
a (1)
0.647654043
=
b (1)
－0.000066948
第二次迭代值：
a 2 a 1 a (1)
195.1743
= ＋ ＝
b 2 b 1 b (1)
0.9791
第二次迭代回归模型：(2)(,)195.17430.9791i x
i f x g =?
残差平方和：(2)(2)2
((,))999.1241i i
SSR y
f x
g =-=∑ 误差率：
(2)(1)(2)
999.4077
10.00028999.1241
SSR SSR k SSR -=-=<
误差率达到要求，停止迭代。表3-10计算结果比较
从上表可看出：高斯—牛顿迭代法具有收敛快，精确度高的优点，二次迭代就使
精确度高达99.97%，相关指数也明显提高。理论上可以证明高斯—牛顿迭代法经过数次迭代后，估计回归系数将逼近最佳的待估回归系数，使残差平方和达到最小，从而明显地克服了最小平方法的不足。其缺陷是计算量较大，但随着电子计算机的日益普及，这点计算就显得微不足道了。
SPSS10.0 软件，hzz －暴P98表3－9
根据最小平方法，参数为：
Eviews4.0 软件，hzz －暴P98表3－9
或：Quick/generate Series (生成系列) lny=log(y)，Lny c x 结果不对？ 对b ′及a ′分别求反对数，得初始值：a 0=182.43，b 0=0.981，初始回归模型：
i x i g x f 981.043.182),()0(?= f
残差平方和：[]
1526.1124),(2
1
)()0(=-=
∑=n
i s i i
g x f y
SSR
(2)高斯—牛顿迭代法。用SPSS10.0 软件计算。 (3)估计修正因子。解(3-72)式矩阵，得： (4)精确度的检验。残差平方和： (5)重复迭代。
高斯—牛顿迭代法可用于各种间接代换型、非线性型回归模型。
例：冯P158增长型曲线模型，P162生命周期曲线模型。数据参见SPSS10.0软件计算课本练习数据。
ICA使用牛顿迭代法对FastICA算法经行改进
ICA用牛顿迭代法改进的FastICA算法 ICA算法原理： 独立分量分析（ICA）的过程如下图所示：在信源()st中各分量相互独立的假设下，由观察xt通过结婚系统B把他们分离开来，使输出yt逼近st。 图1-ICA的一般过程 ICA算法的研究可分为基于信息论准则的迭代估计方法和基于统计学的代数方法两大类，从原理上来说，它们都是利用了源信号的独立性和非高斯性。基于信息论的方法研究中，各国学者从最大熵、最小互信息、最大似然和负熵最大化等角度提出了一系列估计算法。如FastICA算法, Infomax算法，最大似然估计算法等。基于统计学的方法主要有二阶累积量、四阶累积量等高阶累积量方法。本实验主要讨论FastICA算法。 1. 数据的预处理 一般情况下，所获得的数据都具有相关性，所以通常都要求对数据进行初步的白化或球化处理，因为白化处理可去除各观测信号之间的相关性，从而简化了后续独立分量的提取过程，而且，通常情况下，数据进行白化处理与不对数据进行白化处理相比，算法的收敛性较好。 若一零均值的随机向量 满足 ， 其中：I为单位矩阵，我们称这个向量为白化向量。白化的本质在于去相关，这同主分量分析的目标是一样的。在ICA中，对于为零均值的独立源信号 ， 有： ， 且协方差矩阵是单位阵cov( S ) = I，因此，源信号 S( t )是白色的。对观测信号X( t )，我们应该寻找一个线性变换，使X( t )投影到新的子空间后变成白化向量，即：
其中，W0为白化矩阵，Z为白化向量。 利用主分量分析，我们通过计算样本向量得到一个变换 其中U和 分别代表协方差矩阵XC的特征向量矩阵和特征值矩阵。可以证明，线性变换W0满足白化变换的要求。通过正交变换，可以保证 因此，协方差矩阵： 再将 代入 且令 有 由于线性变换A~连接的是两个白色随机矢量Z( t )和S( t )，可以得出A~ 一定是一个正交变换。如果把上式中的Z( t )看作新的观测信号，那么可以说，白化使原来的混合矩阵A简化成一个新的正交矩阵A~。证明也是简单的： 其实正交变换相当于对多维矢量所在的坐标系进行一个旋转。 在多维情况下，混合矩阵A是N*N 的，白化后新的混合矩阵A~ 由于是正交矩阵，其自由度降为N*(N-1)/2，所以说白化使得ICA问题的工作量几乎减少了一半。 白化这种常规的方法作为ICA的预处理可以有效地降低问题的复杂度，而且算法简单，用传统的PCA就可完成。用PCA对观测信号进行白化的预处理使得原来所求的解混合矩阵退化成一个正交阵，减少了ICA的工作量。此外，PCA本身具有降维功能，当观测信号的个数大于源信号个数时，经过白化可以自动将观测信号数目降到与源信号维数相同。
非线性回归预测法——高斯牛顿法(詹学朋)
非线性回归预测法 前面所研究的回归模型，我们假定自变量与因变量之间的关系是线性的，但社会经济现象是极其复杂的，有时各因素之间的关系不一定是线性的，而可能存在某种非线性关系，这时，就必须建立非线性回归模型。 一、非线性回归模型的概念及其分类 非线性回归模型，是指用于经济预测的模型是曲线型的。常见的非线性回归模型有下列几种： (1)双曲线模型： i i i x y εββ++=1 2 1 (3-59) (2)二次曲线模型： i i i i x x y εβββ+++=2321 (3-60) (3)对数模型： i i i x y εββ++=ln 21 (3-61) (4)三角函数模型： i i i x y εββ++=sin 21 (3-62) (5)指数模型： i x i i ab y ε+= (3-63) i i i x x i e y εβββ+++=221110 (3-64) (6)幂函数模型： i b i i ax y ε+= (3-65) (7)罗吉斯曲线： i x x i i i e e y εββββ++=++1101101 (3-66) (8)修正指数增长曲线： i x i i br a y ε++= (3-67) 根据非线性回归模型线性化的不同性质，上述模型一般可细分成三种类型。 第一类：直接换元型。 这类非线性回归模型通过简单的变量换元可直接化为线性回归模型，如：(3-59)、(3-60)、(3-61)、(3-62)式。由于这类模型的因变量没有变形，所以可以直接采用最小平方法估计回归系数并进行检验和预测。 第二类：间接代换型。 这类非线性回归模型经常通过对数变形的代换间接地化为线性回归模型，如：(3-63)、(3-64)、(3-65)式。由于这类模型在对数变形代换过程中改变了因变量的形态，使得变形后模型的最小平方估计失去了原模型的残差平方和为最小的意义，从而估计不到原模型的最佳回归系数，造成回归模型与原数列之间的较大偏差。 第三类：非线性型。
各种迭代法编程
雅可比迭代法： function x=jacobi(a,b,p,delta,n) %a为n维非奇异矩阵；b为n维值向量 %p为初值；delta为误差界；n为给定的迭代最高次数 N=length（b）; for k=1:n for j=1：N x(j)=(b(j)-a(j,[1:j-1,j+1:N])*p([1:j-1,j+1:N]))/a(j,j); end err=abs(norm(x’-p)); p=x’; if(err function [x,k,err,p]=ddf(f,x0,tol,n) %ddl.m为用迭代法求非线性方程的解 %f为给定的迭代函数；x0为给定的初始值 %tol为给定的误差界；n为所允许的最大迭代次数 %k为迭代次数；x为不动点的近似值；err为误差 p(1)=x0; for k=2:n p(k)=feval(f,p(k-1)); k, err=abs(p(k)-p(k-1)) x=p(k); if(err 非线性回归问题, 知识目标：通过典型案例的探究，进一步学习非线性回归模型的回归分析。 能力目标：会将非线性回归模型通过降次和换元的方法转化成线性化回归模型。 情感目标：体会数学知识变化无穷的魅力。 教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点：通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的 过程中寻找更好的模型的方法. 教学难点：了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较. 教学方式：合作探究 教学过程： 一、复习准备： 对于非线性回归问题,并且没有给出经验公式,这时我们可以画出已知数据的散点图,把它与必修模块《数学1》中学过的各种函数（幂函数、指数函数、对数函数等）的图象作比较,挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数,然后采用适当的变量代换,把问题转化为线性回归问题,使其得到解决. 二、讲授新课： 1. 探究非线性回归方程的确定： 1. 给出例1：一只红铃虫的产卵数y 和温度x 有关，现收集了7组观测数据列于下表中，试建立y 与x 之间 2. 讨论：观察右图中的散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，即两个变量不呈线性相关关系，所以不能直接用线性回归方程来建立两个变量之间的关系. ① 如果散点图中的点分布在一个直线状带形区域，可以选线性回归模型来建模；如果散点图中的点分布在一个曲线状带形区域，就需选择非线性回归模型来建模. ② 根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y =2C 1e x C 的周围（其中12,c c 是待定的参数），故可用指数函数模型来拟合这两个变量. ③ 在上式两边取对数，得21ln ln y c x c =+ ，再令ln z y =，则21ln z c x c =+， 可以用线性回归方程来拟合. ④ 利用计算器算得 3.843,0.272a b =-=，z 与x 间的线性回归方程为0.272 3.843z x =-$，因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为$0.272 3.843x y e -=. ⑤ 利用回归方程探究非线性回归问题，可按“作散点图→建模→确定方程”这三个步骤进行. 其关键在于如何通过适当的变换，将非线性回归问题转化成线性回归问题. 三、合作探究 例 2.：炼钢厂出钢时所用的盛钢水的钢包,在使用过程中,由于钢液及炉渣对包衬耐火材料的侵蚀,使其容积不断增大,请根据表格中的数据找出使用次数x 与增大的容积y 之间的关系. 非线性回归预测法——高斯牛顿法(詹学朋) 非线性回归预测法 前面所研究的回归模型，我们假定自变量与因变量之间的关系是线性的，但社会经济现象是极其复杂的，有时各因素之间的关系不一定是线性的，而可能存在某种非线性关系，这时，就必须建立非线性回归模型。 一、非线性回归模型的概念及其分类 非线性回归模型，是指用于经济预测的模型是曲线型的。常见的非线性回归模型有下列几种： (1)双曲线模型： i i i x y εββ++=1 2 1 (3-59) (2)二次曲线模型： i i i i x x y εβββ+++=2321 (3-60) (3)对数模型： i i i x y εββ++=ln 21 (3-61) (4)三角函数模型： i i i x y εββ++=sin 21 (3-62) (5)指数模型： i x i i ab y ε+= (3-63) i i i x x i e y εβββ+++=221110 (3-64) (6)幂函数模型： i b i i ax y ε+= (3-65) (7)罗吉斯曲线： i x x i i i e e y εββββ++=++1101101 (3-66) (8)修正指数增长曲线： i x i i br a y ε++= (3-67) 根据非线性回归模型线性化的不同性质，上述模型一般可细分成三种类型。 第一类：直接换元型。 这类非线性回归模型通过简单的变量换元可直接化为线性回归模型，如：(3-59)、(3-60)、(3-61)、(3-62)式。由于这类模型的因变量没有变形，所以可以直接采用最小平方法估计回归系数并进行检验和预测。 第二类：间接代换型。 这类非线性回归模型经常通过对数变形的代换间接地化为线性回归模型，如：(3-63)、(3-64)、(3-65)式。由于这类模型在对数变形代换过程中改变了因变量的形态，使得变形后模型的最小平方估计失去了原模型的残差平方和为最小的意义，从而估计不到原模型的最佳回归系数，造成回归模型与原数列之间的较大偏差。 第三类：非线性型。 1.填空 1) 计算 f=(2-1)6 , 取2＝1.4 , 利用下列算式，那个得到的结果最好？答：C (A) 6121 )(-, (B) (3-22)2, (C) 32231)(+, (D) 99-702 2) 称序列{x n }是p 阶收敛的条件为c x x x x p n n n =--+∞→** lim 1 3) 在等式∑==n k k k n x f a x x x f 010)(],,,[ 中, 系数a k 与函数f (x ) 无 关。 （限填“有”或“无”） 4) 设P k (x k ,y k ) , k =1,2,…,5 为函数y =x 2-3x +1上的5个互异的点，过P 1,…,P 5且次数不超过4次的插值多项式是 x 2-3x +1 。 5) 设f (x )∈C [a ,b ]， f (x )的最佳一致逼近多项式是__一定___存在的。 6) 求解微分方程数值解的E ul e r 法的绝对稳定区间是(-2,0) 。 7) n 个节点的插值型求积公式的代数精度不会超过2n －1次。 8) 高次插值容易产生________龙格（R u n g e ）现象。 9) R n 上的两个范数||x||p , ||x||q 等价指的是_?C,D ∈R,_C_||x||q _≤||x||p ≤D ||x||q _； R n 上的两个范数_一定__是等价的。（选 填“一定”或“不一定”）。 2.曲线151.03+-=x x y 与89.14.22-=x y 在点（1.6,1）附近相切，试用牛顿迭代法求切点横坐标的近似值1+k x ，使5110-+≤-k k x x 。 解 两曲线的导数分别为51.032-='x y 和x y 8.4='，两曲线相切，导数相等，故有 051.08.432=--x x 令51.08.43)(2--=x x x f ，则f(1)<0,f(2)>0，故区间[1,2]是f(x)=0的有根区间，又当]2,1[∈x 时，08.46)(>-='x x f ，因此f(x)=0在[1,2]上有惟一实根x*，对f(x)应用牛顿迭代法，得计算公式 ,2,1,0,8 .4651.08.4321=----=+k x x x x x k k k k k 由于06)(>=''x f ，故取20=x 迭代计算一定收敛，计算结果如表7-6所示。 表7-6 k k x k k x 0 2.0 3 1.706815287 1 2.293055556 4 1.700025611 2 1.817783592 5 1.7 继续计算仍得7.16=x ，故7.1*=x 。 注 本题也可令89.14.2151.02 3-=+-x x x ，解得切点横坐标满足方程089.2514.2)(23=+--=x x x x f ，用有重根时的牛顿迭代法（7.15）式计算，此时m=2，仍取x0=2，经四步可得x*=1.7。 高斯牛顿法 高斯—牛顿迭代法的基本思想是使用泰勒级数展开式去近似地代替非线性回归模型，然后通过多次迭代，多次修正回归系数，使回归系数不断逼近非线性回归模型的最佳回归系数，最后使原模型的残差平方和达到最小。高斯—牛顿法的一般步骤为： (1)初始值的选择。其方法有三种，一是根据以往的经验选定初始值；二是用分段法求出初始值；三是对于可线性化的非线性回归模型，通过线性变换，然后施行最小平方法求出初始值。 (2)泰勒级数展开式。设非线性回归模型为： i=1,2,…,n (3-68) 其中r为待估回归系数，误差项～N(0, )，设： ，为待估回归系数的初始值，将(3-68)式在g点附近作泰勒展开，并略去非线性回归模型的二阶及二阶以上的偏导数项，得 (3-69) 将(3-69)式代入(3-68)式，则 移项： 令： 则：i=1,2，…，n 用矩阵形式表示，上式则为：(3-70) 其中： (3)估计修正因子。用最小平方法对(3-70)式估计修正因子B， 则：(3-71) 设g为第一次迭代值，则： (4)精确度的检验。设残差平方和为： ，S为重复迭代次数，对于给定的允许误差率K，当时，则停止迭代；否则，对(3-71)式作下一次迭代。 (5)重复迭代。重复(3-71)式，当重复迭代S次时，则有：修正因子： 第(S+1)次迭代值： 四、应用举例 设12个同类企业的月产量与单位成本的资料如下表： 表3-9 间接代换法计算表 企业编号单位产品成 本（元） 月产量 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 160 151 114 128 85 91 75 76 66 60 61 60 10 16 20 25 31 36 40 45 51 56 60 65 (注：资料来源《社会经济统计学原理教科书》第435页) 试配合适当的回归模型分析月产量与单位产品成本之间的关系。 解：(1)回归模型与初始值的选择。根据资料散点图的识别，本数据应配合指数模型：对指数模型两边取对数，化指数模型为线性回归模型，然后施行最小平方法求出初始 值。即： 则上述指数模型变为： 对分别求反对数，得，带入原模型， 得回归模型： 高斯—牛顿迭代法 初始回归模型： 一、回归分析预测法概述 二、一元线性回归分析预测法 三、多元线性回归分析预测法 第九章回归分析预测法和马尔可夫 预测法 第一节回归分析预测法 一、回归分析预测法概述 要了解回归分析预测法的基本思想，必须先了解市场现象之间的两类因果关系。 （一）市场现象之间两类因果关系 客观世界中许多事物、现象、因素彼此关联，它们的发展变化由多种因素决定。市场活动中的许多现象也不例外，也都有其产生的原因，都要受一 定因素的制约，都是一定原因的必然结果。例如，市场是国民经济的综合反 映，国民经济的任何变化，诸如国民经济发展速度、积累和消费比例关系的 调整、人口增长和劳动就业状况、居民收入变化、消费者购买心理的变化，都会引起市场商品供需关系变化。 又如商品价格的变化、广告的宣传等也会引起消费者消费态度和消费行为的变化。这些市场现象之间就形成了因果关系。 在研究市场现象之间因素关系时，一般将引起某一市场现象变化的各种因素（或原因）称为自变量，将被引起变化的市场现象（即结果）称为因变 量。如人口增长是自变量，商品需求量就是因变量。居民收入水平变化是自 变量，市场消费需求就是因变量。自变量变了，因变量也随之发生变化。自 变量和因变量的依存关系是市场现象之间相互关联的必然反映，是市场现象 之间因果关系的表现。 市场现象之间的因果关系可以分为两类：函数关系和相关关系。所谓函数关系是指现象之间确定的数量依存关系，即自变量取一个数值，因变量必 然有一个对应的确定数值；自变量发生某种变化，因变量必然会发生相应程 度的变化。函数关系是确定性的数量关系。如某企业每销售一件产品，可获利a元，那么，产品销售量x与总利润Y之间就有确定性的函数关系。即Y=ax。 所谓相关关系则是指现象之间确定存在的不确定的数量依存关系，即自变量取一个数值时，因变量必在存在与它对应的数值，但这个对应值是不确定的；自变量发生某种变化时，因变量也必然发生变化，但变化的程度是不确定的。如婴儿出生数和奶粉需求量就属于相关关系。婴儿出生数增加了，奶粉需求量肯定也会增加，但究竟增加多少是无法确定的。对于函数关系的依存关系，用一个函数表达式来描述。对于相关关系的数量依存关系，用相关关系分析和回归方程的方法加以研究，即用统计分析的方法来研究现象之间的数量相关关系，找出其发展变化规律的关系式。 （二）回归分析预测法的含义 回归分析预测法，是在分析市场现象自变量和因变量之间相关关系的基础上，建立变量之间的回归方程，并将回归方程作为预测模型，根据自变量在预测期的数量变化来预测因变量关系大多表现为相关关系，因此，回归分析预测法是一种重要的市场预测方法，当我们在对市场现象未来发展状况和水平进行预测时，如果能将影响市场预测对象的主要因素找到，并且能够取得其数量资料，就可以采用回归分析预测法进行预测。它是一种具体的、行之有效的、实用价值很高的常用市场预测方法。 回归分析预测法有多种类型。依据相关关系中自变量的个数不同分类，可分为一元回归分析预测法和多元回归分析预测法。在一元回归分析预测法中，自变量只有一个，而在多元回归分析预测法中，自变量有两个以上。依据自变量和因变量之间的相关关系不同，可分为线性回归预测和非线性回归预测。 （三）回归分析预测法的步骤 1．根据预测目标，确定自变量和因变量 明确预测的具体目标，也就确定了因变量。如预测具体目标是下一年度的销售量，那么销售量Y就是因变量。通过市场调查和查阅资料，寻找与预测目标的相关影响因素，即自变量，并从中选出主要的影响因素。 2．建立回归预测模型 高斯消元法1.程序: clear format rat A=input('输入增广矩阵A=') [m,n]=size(A); for i=1:(m-1) numb=int2str(i); disp(['第',numb,'次消元后的增广矩阵']) for j=(i+1):m A(j,:)=A(j,:)-A(i,:)*A(j,i)/A(i,i); end A end %回代过程 disp('回代求解') x(m)=A(m,n)/A(m,m); for i=(m-1):-1:1 x(i)=(A(i,n)-A(i,i+1:m)*x(i+1:m)')/A(i,i); end x 2.运行结果： 高斯选列主元消元法1.程序: clear format rat A=input('输入增广矩阵A=') [m,n]=size(A); for i=1:(m-1) numb=int2str(i); disp(['第',numb,'次选列主元后的增广矩阵']) temp=max(abs(A(i:m,i))); [a,b]=find(abs(A(i:m,i))==temp); tempo=A(a(1)+i-1,:); A(a(1)+i-1,:)=A(i,:); A(i,:)=tempo disp(['第',numb,'次消元后的增广矩阵']) for j=(i+1):m A(j,:)=A(j,:)-A(i,:)*A(j,i)/A(i,i); end A end %回代过程 disp('回代求解') x(m)=A(m,n)/A(m,m); for i=(m-1):-1:1 x(i)=(A(i,n)-A(i,i+1:m)*x(i+1:m)')/A(i,i); end x 2.运行结果： 实验二：迭代法求解方程组 姓名：徐烨 学号：08072105 时间：2010-11-17 一、实验目的 利用jacobi 迭代法和gauss-seidei 迭代法求解线性方程组，利用newton 迭代法求解非线性方程组。在求解过程中，利用这三种方法的迭代原理，根据迭代法的求解流程，写出三种迭代法的迭代格式，学习三种迭代法的原理和解题步骤，并使用matlab 软件求解方程。在实验过程中，分别取不同的初值进行求解，并做结果分析，解怒同德方程来比较这三种迭代方法的利弊。 二、实验步骤 newton 迭代法 ⒈newton 迭代原理 考虑非线性方程f(x)=0，求解她的困难在于f 是非线性函数。为克服这一困难，考虑它的线性展开。设当前点为Xk, 在Xk 处的Taylor 展开式为 f ()x ≈f ()()()k k k x x x f x -'+ 令上式右端为0.解其方程得到 ()() k k k k x f x f x x '-=+1 ???=1,0k 此式就称为Newton 公式。 2. newton 迭代法的matlab 实现 function x=newton(fname,dfname,x0,e,N) %用途：牛顿迭代法解非线性方程组分f(x)=0 %fname 和dfname 分别表示f(x)及其到函数的M 函数句柄或内嵌函数的表达式%x0为迭代初值，e 为精度 %x 为返回数值解，并显示计算过程，设置迭代次数上线N 以防发散 if nargin<5,N=500;end if nargin<4,e=le-4;end x=x0;x0=x+2*e;k=0; fprintf('It.no=%2d x%[2d]=%12.9f\n',k,k,x) while abs(x0-x)>e&k 例1、已知函数表 求() f x的Lagrange二次插值多项式和Newton二次插值多项式。 解： （1）由题可知 插值基函数分别为 故所求二次拉格朗日插值多项式为 （2）一阶均差、二阶均差分别为 均差表为 故所求Newton 二次插值多项式为 例2、 设2()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的 最佳平方逼近多项式。 解： 若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，且()1x ρ=，这样，有 所以，法方程为 011231261192 34a a ??????????=?????????? ?????????? ，经过消元得012311 62110123a a ??? ???????=???????????????????? 再回代解该方程，得到14a =，011 6 a = 故，所求最佳平方逼近多项式为* 111 ()46 S x x = + 例3、 设()x f x e =，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平 方逼近多项式。 解： 若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，这样，有 所以，法方程为 解法方程，得到00.8732a =，1 1.6902a =， 故，所求最佳平方逼近多项式为 例4、 用4n =的复合梯形和复合辛普森公式计算积分1?。 解： （1）用4n =的复合梯形公式 由于 2h =，()f x =，()121,2,3k x k k =+=，所以，有 （2）用4n =的复合辛普森公式 由于2h =，()f x =，()121,2,3k x k k =+=，()1 2 220,1,2,3k x k k +=+=，所以，有 例5、 用列主元消去法求解下列线性方程组的解。 解：先消元 再回代，得到33x =，22x =，11x = 高斯牛顿法 ●问题描述：高斯牛顿法用于进行非线性最小二乘法拟合，即无约束最优化问题 n是变量数目，目标函数f(x)是由m个辅助剩余函数定义r(x)，最小二乘化就是要得到剩余函数平方和的最小值。 很多最优化的问题都是最小二乘法进行最小估计的问题。下面看一个例子： 上述函数是以t为自变量，y为函数值，t为年，y为人口数目；那么剩余函数就是我们所要构建的模型函数与实际函数的差值。 假设人口增长符合指数分布，那么令： 那么剩余函数就是： ●几何描述：最小化的问题就是求解上述函数平方和的最小值。若把r看做是一个向量， 可以得到： 这个问题就可以引申为寻找Rn中点x1和x2来得到模型函数，而且这个点对应在Rm 中的曲线是最接近函数原始值的。 ●Gradient and Hessian ?Gradient是这样定义的： 雅克比矩阵：在向量微积分中，雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵，其行列式称为雅可比行列式。雅可比矩阵的重要性在于它体现了一个可微方程与给出点的最优线性逼近。因此，雅可比矩阵类似于多元函数的导数。 ?Hessian是这样定义的： Hessian由两个函数决定，J(x)是一阶偏导数，Q(x)是二阶偏导数。 对于之前提到的那个应用问题： Hessian是两个部分的和 若r(x)=0，则Q(x)=0，那么结果就会比较接近； 高斯牛顿方法就是用来近似逼近使Q(x)=0，使用如下公式： 如果假设J(X)是满秩的，那么J(x)TJ(x)就是正定的，而且pGN是下降收敛。否则上式就无法得到收敛的结果。 假设r(x)用线性泰勒函数展开近似为： 前面的公式就可以改变为： 那么高斯牛顿线性逼近就如上图，即寻找O点距离模型图距离最近的点，也就是rk，那么就是这条直线与模型的切线。 那么与原来的牛顿方法进行比较： 若f(x)=0,即Q(x)=0，那么高斯牛顿方法就和普通的牛顿方法一样收敛，如果J(x)是满秩的话； 四、非线性回归法 （Method of nonlinear regression ） 在药物动力学中，血药浓度与时间的关系常常不是直线而是曲线，符合指数函数或抛物线等，如一室模型静脉注射即属指数函数kt e C C -=0，通常转化为对数形式 0log 303 .2log C kt C += ，以 log C 对t 进行线性回归求出k 值。但此法不尽合理，因这是log C 与t 之间最小二乘，而不是C 与t 之间最小二乘。故提出非线性回归法，此法所得结果更为准确，但其计算复杂，工作量大，必须采用电子计算机才能完成运算。 非线性回归一般采用高斯-牛顿（Gauss-Newton ）迭代法。迭代法是用某个固定公式反复地计算，用以校正方程所得根的近似值，使之逐步精确化，最后得到的精度要求的结果。一般非线性参数的确定，通常采用逐次逼近的方法，即逐次“线性化”的方法。设某药在体内的模型中待定参数a 1，a 2，a 3，…，a m ，求得隔室中药时关系的函数式为： C = f (t ，a 1，a 2，a 3，…，a m ) 其中t 是单个变量，t = ( t 1，t 2，t 3，…，t n )，今有n 组实验观测值（t k ，C k ）k = 1，2，…n ，在最小二乘意义下确定m 个参数a 1，a 2，a 3，…，a m 。下面介绍一般解法。 1．先给a i (i = 1,2,…m )一个初始值，记为)0(i a ，并记初值与真值之差i ?（未知），这时有 i i i a a ?+=) 0( 若知i ?则可求a i ，在) 0(i a 附近作Taylor 级数展开并略去i ?的二次以上各项得 f (t k ，a 1，a 2，…，a m )m m k k k k a f a f a f f ???+ +???+ ???+ ≈022 011 00 式中),,,,()0()0(2)0(10m k k a a a t f f = ) 0() 0(1 121) ,,,(m m k i m i ko a a a a t t a a a a t f a f ===??= ?? 当) 0(i a 给定时，0k f ， i ko a f ??均可由t 算得。 2．列出正规方程（线性方程组），若参数为4个即m = 4，则应列出以下方程 §3.4 牛顿迭代法 牛顿迭代法也称为牛顿-拉夫森(Newton-Raphson)迭代法，它是数值分析中最重要的方法之一，它不仅适用于方程或方程组的求解，还常用于微分方程和积分方程求解。 3.4.1 牛顿迭代法 用迭代法解非线性方程时，如何构造迭代函数是非常重要的，那么怎样构造的迭代函数才能保证迭代法收敛呢？牛顿迭代法就是常用的方法之一，其迭代格式的来源大概有以下几种方式： 1设 ],[)(2b a C x f ∈，对)(x f 在点],[0b a x ∈作泰勒展开： !2))((''))((')()(2 0000x x f x x x f x f x f -+-+=ξ 略去二次项，得到)(x f 的线性近似式： ))((')()(000x x x f x f x f -+≈。 由此得到方程=)(x f 0的近似根(假定 ≠)('0x f 0)，)(')(000x f x f x x -= 即可构造出迭代格式(假定≠)('k x f 0)：)(') (1k k k k x f x f x x -=+ 公式(3.4.1) 这就是牛顿迭代公式，若得到的序列{k x }收敛于α，则α就是非线性方程的根。 2 牛顿迭代法也称为牛顿切线法，这是由于)(x f 的线 性化近似函数)(x l ＝))((')(000x x x f x f -+是曲线y ＝ )(x f 过点))(,(00x f x 的切线而得名的，求)(x f 的零点代之 以求)(x l 的零点，即切线)(x l 与x 轴交点的横坐标，如右图 所示，这就是牛顿切线法的几何解释。实际上，牛顿迭代法 也可以从几何意义上推出。利用牛顿迭代公式，由k x 得到1+k x ，从几何图形上看，就是过点))(,(k k x f x 作函数)(x f 的切线k l ，切线k l 与x 轴的交点就是1+k x ，所以有 1)()('+-=k k k k x x x f x f ，整理后也能得出牛顿迭代公式： )(') (1k k k k x f x f x x - =+。 3 要保证迭代法收敛，不管非线性方程=)(x f 0的形式如何，总可以构造： )()()(x f x k x x x -==? )0)((≠x k 作为方程求解的迭代函数。因为：)(')()()('1)('x f x k x f x k x --=? 而且)('x ?在根α附近越小，其局部收敛速度越快，故可令：0)('=α? 第十三章 药动学数据的曲线拟合以及常用软件 计算药动学参数，是药代动力学进一步应用的基础。如何测定有关的动力学参数呢？常用的方法是：首先在用药后的若干不同时间，采取血样（或尿样），测定其血药浓度值或尿中药量（这些数值称为实测值或观察值，用C i 表示），这样就有了药物浓度经时曲线数据；然后，依据半对数坐标图，选定一种模型方程 （是时间t 的曲线函数）计算理论估算值(用i C )表示)，按照观察值和理论估算值之 差的平方和（即残差平方和）或加权残差平方和(均用Re 表示)最小的原则，采用适当的算法，求出有关的动力学参数。这种方法，在数学上称为曲线拟合(fitting a curve)。由于所采用的线性药代动力学的模型方程是多指数项之和的函数形式，并且是所含动力学参数的非线性函数，所以这种曲线拟合方法称为非线性最小二乘法。 一、最小二乘法的一般原理 设y 是变量x 的函数，含有m 个待定参数a 1，a 2，…，a m 。记为 y ＝f （x ；a 1，a 2，…，a m ） 若对x 和y 作n 次观察，测得观察值(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )。根据这样一组二维数据，即平面上的若干点，要求确定这个一元函数y ＝f （x ；a 1，a 2，…，a m ）；(i=1，2，…，n)，即一条曲线，使这些点与曲线总体来说尽量接近。并使y 的观察值y i 与理论估算值=i y )f （x i ；a 1，a 2，…，a m ） ；(i=1，2，…，m)的误差平方和，即残差平方和21 ()n e i i i y y ==?∑)2121((,,,,)n i i m i y f x a a a ==?…∑R )i 取得最小值， 或者加权残差平方和21()/n e i i i R y y w ==?∑)2121 ((,,,,))/n i i m i i y f x a a a w ==?…∑ 取得 最小值。其中w i 称为权重系数，在后面的段落会详细讲解。这时Re 有时候也称为目标函数。这就是数据拟合成曲线的思想，简称为曲线拟合。曲线拟合的目的是根据实验获得的数据去建立因变量和自变量之间有效的函数关系，这个函数关系对于药动学来讲就是通过房室模型推导出来的药时曲线公式。根据观察值求出待 311 高斯-牛顿法拟合一室模型药物血管外给药的药动学参数的电子表格程序 苏银法1，杜乐燕2 （1 浙江省温州市第二人民医院药剂科，温州325000；2 浙江省温州医学院附属第一医院，温州325000）， [摘要]目的建立一种简便的一室模型药物血管外给药的药动学参数求解方法。方法采用残数法获得药动学参数初值，根据最小二乘方原理设计获取一室模型药物血管外给药的药动学参数(A,k,B and ka)的Excel表格程序。结果实例显示该Excel表格程序的拟合效果与DAS2.1.1药动学软件一致。结论利用Excel表格求算药动学参数是一种有效而简便的方法。 [关键词] 药动学；Excel；高斯-牛顿法；血管外给药；参数 Pharmacokinetical Parameters Fitting by Gauss-Newton Method on Excel Software for Extravenous Administration of One-compartment Model Drug SU Yinfa1，DU Leyan2 (1 Department of Pharmacy, The Second People’s Hospital of Wenzhou ，Wenzhou 325000，China；) [ABSTRACT]AIM To establish a convenius method to be used for obtaining pharmacokinetical parameters of extravenous administration of One-compartment Model Drug. METHODS Gauss-Newton Method on Microsoft Excel software was used to obtain four pharmacokinetical parameters (A,k,B and ka) of extravenous administration of one-compartment drug. RESULTS Through an example, the powerful function with Excel to find out the optimum solution of these parameters was shown. CONCLUSION The Microsoft Excel spreadsheet is an effective method solving four-variable pharmacokinetic parameters. [Keywords]pharmacokinetics；Microsoft Excel；Gauss-Newton method；extravenous administration ；parameter 根据不同时间点的实测药物浓度计算药动学参数是药代动力学研究中的基本要求之一。在房室模型的药动学参数分析中，除了一室模型药物静脉给药后的药时数据可以通过对数变换予以线性化外，通常不能通过适当的变换将多指数函数线性化。作为药动学参数估计的经典方法已得到大家的公认。本文采用Excel表格程序实现高斯-牛顿法计算一室模型药物血管外给药药动学参数的过程。 1 原理 如某药在体内符合一室模型、一级吸收且一级消除的动力学过程，其药时数据符合以下关系： C＝Ae-kt-Be-kat (1) 采用残数法计算出式（1）中参数A， k ，B和ka的初始值（A（0），k（0），B（0）和k a（0）），并记它们与真值之差为⊿A、⊿k、⊿B和⊿k a，即：k＝k（0）＋⊿k，k a＝k a（0）＋⊿k a，A＝A（0）＋⊿A, B＝B（0）＋⊿B，至此问题转化为求修正值⊿k、⊿k a、⊿A和⊿B。在初始值附近作泰勒（Taylor）级数展开，并略去各修正值的二次及二次以上的项，然后按最小二乘准则，有 应用MATLAB进行非线性回归分析 摘要 早在十九世纪，英国生物学家兼统计学家高尔顿在研究父与子身高的遗传问题时，发现子代的平均高度又向中心回归大的意思，使得一段时间内人的身高相对稳定。之后回归分析的思想渗透到了数理统计的其他分支中。随着计算机的发展，各种统计软件包的出现，回归分析的应用就越来越广泛。回归分析处理的是变量与变量间的关系。有时，回归函数不是自变量的线性函数，但通过变换可以将之化为线性函数，从而利用一元线性回归对其进行分析，这样的问题是非线性回归问题。下面的第一题：炼钢厂出钢水时用的钢包，在使用过程中由于钢水及炉渣对耐火材料的侵蚀，使其容积不断增大。要找出钢包的容积用盛满钢水时的质量与相应的实验次数的定量关系表达式，就要用到一元非线性回归分析方法。首先我们要对数据进行分析，描出数据的散点图，判断两个变量之间可能的函数关系，对题中的非线性函数，参数估计是最常用的“线性化方法”，即通过某种变换，将方程化为一元线性方程的形式，接着我们就要对得到的一些曲线回归方程进行选择，找出到底哪一个才是更好一点的。此时我们通常可采用两个指标进行选择，第一个是决定系数，第二个是剩余标准差。进而就得到了我们想要的定量关系表达式。第二题：给出了某地区1971—2000年的人口数据，对该地区的人口变化进行曲线拟合。也用到了一元非线性回归的方法。首先我们也要对数据进行分析，描出数据的散点图，然后用MATLAB编程进行回归分析拟合计算输出利用Logistic模型拟合曲线。 关键词：参数估计，Logistic模型，MATLAB 正文 一、一元非线性回归分析的求解思路： ?求解函数类型并检验。 ?求解未知参数。可化曲线回归为直线回归，用最小二乘法求解；可化曲线回归为多项式回归。 二、回归曲线函数类型的选取和检验 1、直接判断法 2、作图观察法，与典型曲线比较，确定其属于何种类型，然后检验。 3、直接检验法（适应于待求参数不多的情况） 4、表差法（适应于多想式回归，含有常数项多于两个的情况） 三、化曲线回归为直线回归问题 用直线检验法或表差法检验的曲线回归方程都可以通过变量代换转化为直线回归方程，利用线性回归分析方法可求得相应的参数估计值。 题目： 例 8.5.1 炼钢厂出钢水时用的钢包，在使用过程中由于钢水及炉渣对耐火材料的浸蚀，其容积不断增大。现在钢包的容积用盛满钢水时的重量y (kg)表示，相应的试验次数用x表示。数据见表8.5.1，要找出y与x的定量关系表达式。 表8.5.1 钢包的重量y与试验次数x数据 牛顿迭代法（简写）就是一种近似求解实数域与复数域求解方程的数学方法。那么这个方法是具体是什么原理呢？ 牛顿迭代如何迭代？ 直接看数学公式描述如何迭代不直观，先来看动图就很容易理解牛顿迭代法为什么叫迭代法以及怎样迭代的： 牛顿迭代法是原理是根据一个初始点在该点做切线，切线与X轴相交得出下一个迭代点的坐标，再在处做切线，依次类推，直到求得满足精度的近似解为止。 由前面描述知道，牛顿迭代法是用来近似求解方程的，这里有两个点需要说明：?为啥要近似求解？很多方程可能无法直接求取其解 ?迭代法非常适合计算机编程实现，实际上计算机编程对于牛顿迭代法广为应用来看看，数学上如何描述的？ 其中为函数在处的一阶导数，也就是该点的切线。 来简单推一推上面公式的由来，直线函数方程为： 知道一个直线的一个坐标点以及斜率则该直线的方程就很容易可以得知： 那么该直线与轴的交点，就是y=0也即等式x 的解： 啥时候停止迭代呢？ 1.计算出 2.给出一个初始假定根值x0,利用上面迭代式子进行迭代 3.计算绝对相对迭代近似误差 4.将绝对相对近似误差与预定的相对误差容限进行比较。如果，则迭 代步骤2，否则停止算法。另外，检查迭代次数是否已超过允许的最大迭代次数。如果是这样，则需要终止算法并退出。另一个终止条件是： 如何编码呢？ 由于牛顿迭代法主要目的是解方程，当然也有可能用于某一个数学函数求极值，所以无法写出通用的代码，这里仅仅给出一个编代码的思路。相信掌握了思路，对于各种实际应用应该能很快的写出符合实际应用的代码。 假定一函数为 其波形图如下： 其一阶导数为： 那么对于该函数的根： 从图上大致可以知道有两个根，如果直接解方程，则很难求出其根，可以编个代码试试： #include 非线性回归分析
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