21 线性赋范空间

第二章 线性赋范空间与内积空间

Normed Linear Spaces and Inner Product Spaces

前面介绍了度量空间及其性质，在那里通过定义距离的概念，引入了点列的极限，这种点列极限是微积分中数列极限在抽象空间的推广．然而只有距离结构，没有代数结构的空间在应用上受到许多限制．本章通过在线性空间中定义范数来赋予线性空间上的一种特殊距离，从而将收敛的概念引入到线性空间，由此导出线性赋范空间的概念，如果这种空间的两个向量再赋予类似欧氏空间的“内积”或“点积”的概念后，便是内积空间．因此本章的主要内容就是线性赋范空间与内积空间．

2.1 线性赋范空间的定义与极限

在学习高等代数时，我们已了解到线性空间的概念，线性赋范空间，简单地说，就是给线性空间赋予范数．

定义2.1.1 线性空间

设X 为一非空集合，R 表示实数域(或为复数域C )．在X 中定义了元素的加法运算以及实数(或复数)与X 中元素的乘法运算，且满足下列条件：

1. 关于加法“+”：,xy X ?∈，u X ?∈与之对应，记为u x y =+，称u 为x 与y 的和，且具

有,,x y z X ?∈，

(1) x y y x +=+ (交换律)；

(2) ()()x y z x y z ++=++ (结合律)；

(3) 在X 中存在唯一元素θ，使得x X ?∈，有x x θ+=，则称θ为X 中零元素； (4) x X ?∈，存在唯一元素x '∈X ，使得x +x '=θ，称x '为x 的负元素，记为x -. 2. 对X 中每个元素x 及任何实数(或复数)a ，存在元素u ∈X 与之对应，记为u =a x ，称u 为a 与x 的数乘，且满足,x y X ?∈，,λμ?∈R (或C )

(1) ()x x x λμλμ+=+ (分配律)；

(2) ()x y x y λλλ+=+ (数因子的分配律)； (3) ()()x x λμλμ= (结合律)； (4) 1x x = (单位1).

则称X 按上述加法和数乘运算成为线性空间或向量空间，X 中的元素称为向量.如果数乘运算只对实数(或只对复数)有意义，则称X 是实(或复)线性空间. 满足上述加法和数承运算的性质，统称为线性运算．

我们知道，n 维欧式空间n R 是线性空间；[,]C a b 在通常加法和数乘意义下构成线性空间；n 阶实矩阵在矩阵的加法和数乘意义下构成线性空间．

2.1.1 线性赋范空间的定义与举例

定义 2.1.2 线性赋范空间Normed Linear Spaces

设X 是数域K 上的线性空间，其中K 表示R 或者C ．若对每个x ∈X ，有一个确定的实数，记之为x ，与之对应，并且,x y X ?∈，α∈K 满足：

(1) ||||0x ≥，||||0x =0x ?= (正定性or 非负性)；Positive definiteness or Nonnegativity (2) ||||||||||x x αα=? (齐次性)；Multiplicativity

(3) ||||||||||||x y x y +≤+ (三角不等式). Triangle inequality

则称||||x 为向量x 的范数(norm )，称(,|| ||)X 为线性赋范空间.简记为X ．通常称定义中的(1)、 (2) 、(3)为范数公理．

注1：线性赋范空间诱导的度量空间

在线性赋范空间X 中可定义距离：,x y X ?∈，定义

(,)||||d x y x y =-

容易验证非负性、对称性和三角不等式(,)X d 为度量(距离)空间，并称d 为由范数||||?导出的距离，X 按导出的距离成为一个度量空间．从而在线性赋范空间X 中，关于点的邻域、开集、闭集、点列的收敛、极限点、列紧、可分性以及完备性等概念都有了确定的含义．

定义 2.1.3 巴拿赫空间Banach space

设X 为一线性赋范空间，如果X 按照距离(,)||||d x y x y =-是完备的，则称X 为巴拿赫(Banach)空间.即完备的线性赋范空间称为Banach 空间.

例 2.1.1 在n 维欧式空间n R 上，12(,,,)n n x x x x R ?=∈ ，定义范数||||?

1

22

1||||(||)n

i i x x ==∑． 记d 为由范数||||?导出的距离(,)||||d x y x y =-，证明(,)n R d 为Banach 空间.

证明 容易验证正定性和齐次性成立，由于第二章已经证明n R 上距离

122

1(,)||||(||)n

i i i d x y x y x y ==-=-∑

满足三角不等式，所以有

||||(,)(,0)(0,)||||||||x y d x y d x d y x y +=-≤+-=+

．

同时第二章已经证明n R 是完备的度量空间，故n R 为Banach 空间．□

例 2.1.2 在[,]C a b 在通常加法和数乘意义下构成线性空间，定义范数[,]

||||max |()|t a b x x t ∈=，此

范数导出的距离为[,]

(,)||||max |()()|t a b d x y x y x t y t ∈=-=-，证明在此距离下[,]C a b 是完备的，即在此

范数下[,]C a b 为Banach 空间．

证明 容易验证正定性和齐次性成立，又

[,]

||||max |()()|t a b x y x t y t ∈+=+[,]

[,]

max |()|max |()|t a b t a b x t y t ∈∈≤+||||||||x y =+

即满足三角不等式．第二章已证明[,]C a b 在此范数诱导的距离意义下是完备的度量空间，故

[,]C a b 为Banach 空间．□

也可证明线性空间l ∞，p l ，[,]p L a b (1p ≤<+∞)为Banach 空间，加之前两个例题的结果知在下列定义的范数意义下，均为Banach 空间：

n 维欧式空间n

R

122

1

||||(||)n

i i x x ==∑

12(,,,)n

n x x x x R =∈

有界数列空间l ∞

1

||||sup ||i i x x ==

12(,,,,)n x x x x l ∞

=∈

p 次幂可和的数列空间p l

11

||||(||)p

p

i i x x ∞

==∑

12(,,,,)p

n x x x x l =∈

连续函数空间[,]C a b [,]

||||max |()|t a b x x t ∈=

[,]x C a b ∈

p 次幂可积函数空间

[,]p

L a b

1[,]

||||(|()|)

p

p

a b x x t dt =?

[,]p x L a b ∈

例 1.3 在[,]C a b 上定义范数1|||||()|b

a x x t dt =?，其导出的距离为

11(,)|||||()()|b

a d x y x y x t y t dt =-=-?，

那么在范数1||||?下[,]C a b 不是Banach 空间．

证明 仿照前章证明[0,1]C 在1d 下不是完备的度量空间，可知1([,],)C a b d 不是完备的度量空间，又因1|||||()()||()||()|b

b

b

a a a x y x t y t dt x t dt y t dt +=+≤+???11|||||||||x y =+，可知1||||?符合范数的三条公理．故在范数1||||?下[,]C a

b 不是Banach 空间．□

如果在线性空间X 上具有定义好的距离函数(,)d x y ，那么(,)X d 就为一度量空间，试问是否在存在X 上的某范数||||?，使得d 是由这个范数||||?导出的距离，即满足(,)||||d x y x y =-．答案是否定的．

例 2.1.4 设X 为线性赋范空间，令

(,)||||1

x y d x y x y x y

=?=?

-+≠?

证明(,)X d 为度量(距离)空间，但d 不是由某范数||||?导出的距离．

证明 显然距离(,)d x y 定义中的非负性和对称性成立，,,x y z X ?∈，下证三角不等式成立 当x y =时，则(,)0(,)(,)d x y d x z d z y =≤+； 当x y ≠时分为三种情况：(1)x z ≠和y z ≠．

(,)||||1d x y x y =-+||||1x z z y =-+-+||||||||1x z z y ≤-+-+(,)(,)d x z d z y <+．

(2)x z =和y z ≠．注意到||||0x z -=和(,)0d x z =，所以有

(,)||||1d x y x y =-+||||||||1x z z y ≤-+-+(,)(,)d x z d z y =+．

(3)x z ≠和y z =．注意到||||0z y -=和(,)0d z y =，所以有

(,)||||1d x y x y =-+||||1||||x z z y ≤-++-(,)(,)d x z d z y =+．

因此(,)X d 是度量空间．假设d 是由某范数1||||?导出的距离，即1(,)||||d x y x y =-，于是当x θ≠及x αθ≠时有

1||||(,)||||1x d x x θ==+； 1||||(,)||||||1x d x x ααθα==+；

可见

1||||||||(,)||(||||1)x d x x ααθα==+

显然11||||||||||x x αα≠产生矛盾，故d 不是由某范数导出的距离．□

问题：对于实数集R 上定义的离散度量空间0(,)d d R ，是否存在某范数使得离散度量0d 是由该范数诱导的度量？

定义 2.1.4 线性赋范空间的子空间

设X 为一线性赋范空间，如果1X 是X 的线性子空间，并且1X 上的范数是X 上的范数在1

X 上的限制，则称1X 是线性赋范空间X 的子空间．如果1X 在X 中是闭的，则称1X 为X 的闭子空间．

复习：完备度量空间X 的子空间M 是完备的充要条件M 是X 的闭子空间．

2.1.2 线性赋范空间的极限

根据范数导出的距离(,)||||d x y x y =-可以得到有关极限的概念，并且可讨论线性赋范空间中点列的收敛性．

定义 2.1.5 依范数收敛

设X 为线性赋范空间，{}n x 是X 中的点列，x X ∈，如果lim 0n n x x →∞

-=，则称{}n x 依范数

收敛于x (简称{}n x 收敛于x )，记为lim n n x x →∞

=或()n x x n →→∞．

显然依范数收敛就是按范数导出的距离收敛．关于点列的极限有以下性质． 定理 2.1.1 设X 为线性赋范空间，{}n x X ?，

(1)范数的连续性：范数x 是x 的连续函数(即若n x x →，则有n x x →)． (2)有界性：若{}n x 收敛于x ，则{}n x 有界．

(3)线性运算的连续性：若n x x →，n y y →()n →∞，则n n x y x y +→+，n x x αα→()n →∞，其中α为常数．

证明 (1) 设()f x x =，则f ：X R →，若n x x →，即

(,)0n n x x d x x -=→，

又因为n n x x x x ≤-+，n n x x x x ≤-+，所以

()()0n n n f x f x x x x x -=-≤-→，

因此x 是x 的连续函数．

(2) 根据n n x x x x ≤-+易得结论． (3) 根据范数、极限的定义易证结论．□

在线性赋范空间中，由于范数刻画了向量的长度，因此，赋范空间中的概念具有更强的几何直观性．

定理 2.1.2 设X 为线性赋范空间，d 是由范数导出的距离，则0,,x y z X ?∈，α∈K (数域) 有：

(1)平移不变性：00(,)(,)d x z y z d x y ++=． (2)绝对齐次性：(,)(,)d x y d x y ααα=．

证明 (1) 0000(,)()()(,)d x z y z x z y z x y d x y ++=+-+=-=． (2) (,)()(,)d x y x y x y x y d x y ααααααα=-=-=-=．

2.1.3 线性赋范空间上的级数

在线性赋范空间中，既有代数运算，又有极限运算，因此可以引进无穷级数的概念． 定义 2.1.6 级数 Progression

设X 为线性赋范空间，点列{}n x X ?，称表达式121n n n x x x x ∞

=++++=∑ 为X 中的级

数．若部分和点列12n n S x x x =+++ 依范数收敛于s X ∈，则称级数1

n n x ∞

=∑收敛于s ，称s 为级

数的和，记为1

n n s x ∞==∑．如果数项级数1

n n x ∞=∑收敛，则称级数1

n n x ∞

=∑绝对收敛．

例 2.1.5 证明在Banach 空间中，绝对收敛的级数必收敛．(习题)

证明 设级数1

k k x ∞

=∑绝对收敛，令1

n

n k k S x ==∑，下面证明{}n S 是X 中的柯西列，当m n >时，

有

12m n n n m S S x x x ++-=+++

12n n m x x x ++≤+++

1

1

1

0n

k k k k n k k x x x ∞

∞=+==≤

=-→∑

∑∑,

因此{}n S 是完备空间X 中的柯西列，从而是收敛列，即级数的部分和点列收敛．

例 2.1.6 如果在线性赋范空间X 中，任何级数的绝对收敛总蕴含级数收敛，那么X 是完备的(即为Banach 空间)．(习题课)

由上例子可知，当且仅当在Banach 空间中有级数的绝对收敛蕴含着收敛． 定义2.1.6 绍德尔(Schauder)基

设X 为线性赋范空间，{}n e 是X 中的一个点列，如果对于每一个x X ∈，存在唯一的数列

{}n α，使得

1122()0()n n x e e e n ααα-+++→→∞

则称{}n e 是空间X 中的一组绍德尔基，称1

n n n x e α∞

==∑为x 的展开式．

例如，p 次幂可和的数列空间p l 有一个绍德尔基{}n e ，其中(0,,0,1,0,,0,)n e = ，n e 的第n 个坐标等于1，其余坐标为0．可以证明，若线性赋范空间X 有一组绍德尔基，则X 是可分的线性赋范空间，反之不真．

2.1.4 线性赋范空间的完备化

由例 2.1.3及 2.1.4可知[,]C a b 在范数[,]

||||m a x |()|t a b x x t ∈=

下是Banach 空间，在范数1

2

2

2||||(|()|)b

a

x x t dt =?下不是Banach 空间，同时知2([,],)C a b ?2[,]L a b ?，而2[,]L a b 是完备的空

间，即为Banach 空间．

定义 2.1.7 线性等距同构

设11(,)X ?，22(,)X ?是同一数域K 上的两个线性赋范空间，如果存在一一映射T ：

12X X →，满足：

(1) 线性：1,x y X ?∈，,αβ∈K ，()()()T x y T x T y αβαβ+=+． (2) 等距：1x X ?∈，21Tx x =．

则称1X 和2X 线性等距同构，并称映射T 是线性等距同构映射．

在线性等距同构意义下，两个空间可看成“同”一个空间 定理 2.1.3 完备化定理

设X 为线性赋范空间，那么存在Banach 空间Y ，使X 和Y 的一个稠密子空间1Y 线性等距同构，且在线性等距同构意义下，Y 是唯一的．

数学家简介

斯特凡·巴拿赫（Stefan Banach ，1892年3月30日－1945年8月31日），波兰数学家

1892年3月30日生于克拉科夫,1945年8月31日卒于利沃夫曾在克拉科夫的贾吉洛尼亚大学和利沃夫工业大学短期学习,但他主要靠自学1916 年结识H.斯坦豪斯后，开始科学研究,1920年获博士学位,1922年任利沃夫大学讲师，1927年为教授．成为泛函分析的开创者之一．不久在他和斯坦豪斯周围集中了一批年轻学者,发展成为利沃夫学派,并在1929年创办了第一个泛函分析杂志《数学研究》．1932年出版了他的名著《线性算子理论》．他在1936年的国际数学家大会上做了全会报告，

这表明数学界重视波兰学者对泛函分析的研究．1939年被选为波兰数学会主席．第二次世界大战中，波兰被德国占领，他在一所医学研究所做喂养昆虫的工作．苏联军队攻克利沃夫后，他才回到大学工作，不过这时他已患肺癌．

巴拿赫的主要工作是引进线性赋范空间概念，建立其上的线性算子理论，他证明的三个基本定理（哈恩—巴拿赫线性泛函延拓定理，巴拿赫－斯坦豪斯定理即共鸣定理，闭图像定理）概括了许多经典的分析结果，在理论上和应用上都有重要的价值．人们把完备的线性赋范空间称为巴拿赫空间．此外,在实变函数论方面,他在1929年同K.库拉托夫斯基合作解决了一般测度问题．在集合论方面，他于1924年同A.塔尔斯基合作提出巴拿赫－塔尔斯基悖论．1945年8月31日巴拿赫因肺癌在乌克兰的利沃夫逝世，逝世后在当地被葬．1946年波兰数学协会为纪念他颁发巴拿赫奖．

线性与非线性泛函◇