1实数绝对值相反数和倒数讲义

一对一个性化讲义

实数

知识点一：实数及其分类

1．实数： 和 统称为实数.

2．有理数：能精确地表示为两个 之比的数叫做有理数. 有理数包括整数和通常所说

的分数，此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数. 如2、－3、3

1

等都为有理数.

3．无理数： 叫做无理数. 4．有理数的分类

①按有理数的“定义”分类 ②按数的“正负性”分类

知识点二：数轴 1、数轴的概念：

（1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．

这里包含两个内容：一是数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可．二是这三个要素都是规定的．

（2）数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数．

(1)数轴的三要素： 、 和 . (2)实数与数轴上的点建立了 的关系.

(3)数轴上点的大小比较：数轴上右边的点表示的数总是大于左边的点表示的数.

【例2】和数轴上的点一一对应的数是（ ）

A 、整数

B 、有理数

C 、无理数

D 、实数

【例3】已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示：

（1）你会比较实数a 、b 的大小吗？ （2）你会比较|a|与|b|的大小吗？相信你能！

（3）在什么条件下b a ＞0? b a ＜0? b

a

=0?并说明此时坐标原点的大致位置。

分数 零

负整数 正分数 有理数

正有理数

零 正整数

负整数

负分数 有理数 a b

【例4】A 为数轴上表示1-的点，将A 点沿数轴向左移动2个单位长度到B 点，则B 点所表示的数为（ ）

A ．3-

B ．3

C ．1

D ．1或3-

（**）【例4】如图，数轴上A B ，两点表示的数分别为1-和3，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的数为( )

A ．23--

B ．13--

C ．23-+

D ．13+

● 同步测试

1. 在数轴上表示数a 的点向右移动6个单位后，得到的数是其相反数，则a = .

2. 实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则a 与b 的大小关系是( )

(A)b a < (B)b a = (C)b a > (D)无法确定

3. 实数a 在数轴上对应的点如图所示，则a ，a -，1-的大小关系是（ ）

A ．1a a -<<-

B ．a a a -<-<

C 1a a <-<-

D ．1a a <-<-

4. 大家知道|5||50|=-，它在数轴上的意义是表示5的点与原点（即表示0的点）之间

的距离．又如式子|63|-，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．类似地，式子|5|a +在数轴上的意义是 ．

5. A 为数轴上表示－1的点，将A 点沿数轴向左移动2个单位长度到B 点，则B 点所表示

的数为( )

A.－3

B.3

C.1

D.1或－3

6. （**）将一刻度尺如图所示放在数轴上(数轴的单位长度是1cm)，刻度尺上的“0cm ”

和“15cm ”分别对应数轴上的 3.6-和x ，则(

)

A ．9

B ．10

C ．11

D ．12

知识点三：相反数、倒数、绝对值

C A O

B

a

1- 0

1． 相反数:只有性质符号不同的两个数，才互为相反数。如

31和-3

1

；-3和3；

7和-7都是互为相反数。0的相反数是0，由定义知相反数是成对出现的

2． ，数轴上表示它们的点分别在原点的两侧且与原点的距离相等。如图，5

2

1与-5

2

1

互为相反数，

【梳理总结】一般地，数a 的相反数是-a,记作-(a)=-a ；-a 的相反数是a,即-(-a)=a ，这里a 可表示正数，负数和0。

正数的相反数是负数；0的相反数还是0；负数的相反数是正数。

(1)求法：a 的相反数是 .如：5的相反数是－5. (2)性质：若a 与b 互为相反数，则=+b a ，=b

a

)0(≠b . 2．倒数

(1)求法：a 的倒数是 .如：6的倒数是

6

1. (2)性质：若a 和b 互为倒数，则=ab .

3．绝对值：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离，数的绝

对值记作│a │。

如│5│指在数轴上表示5的点与原点的距离，这个距离是5，所以5的绝对值是5，记作│5│。

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

无论是绝对值的代数意义还是几何意义，都揭示了绝对值的以下有关性质： （1）任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性，即│a │≥0；

（2）绝对值等于0的数只有一个，就是0，若│0│＝0； （3）绝对值等于一个正数的数有两个，这两个数互为相反数； （4）互为相反数的两个数的绝对值相等。

5

3

(1)求法：

正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的 ，0的绝对值是0.即??

???<-=>=.

0,,0,

0,0,a a a a a a .如：22=-.

(2)性质：①非负性，即0≥a ；a 表示数轴上点a 到原点的距离；

②几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0，因此，若0=+b a ，则

=a ，=b .

【例5】 －3的相反数是( ) A.3 B.－3 C.31 D.3

1

-

【例6】 2010

1

-

的倒数是( )

A.2010

B.2010-

C.2010

1

D.2010

1

-

【例7】 8-等于( )

A.8

B.－8

C.81-

D.81

同步测试

1. 2的相反数是( )，倒数是( )

A.2

B.2-

C.

2

1

D.21-

2. －2010的绝对值是( ) A.－2010 B.2010 C.2010

1-

D.

20101

3. 已知：xy ＜ 0，且|x|=3 ，|y|=1,则x+y 的值等于（ ）

A 、2或－2

B 、4或－4

C 、4或2

D 、4或－4或2或－2 4. 如果一个数的平方根与立方根相同，这个数为（ ）

A 、0

B 、1

C 、0或1

D 、0或+1或-1 5. 如果

2

()13

?-=，则“

”内应填的 数是（ ） A ． 32

B ．

23

C ．2

3-

D ．3

2

-

6.

4-的相反数是( )

A.4

B.－4

C.

4

1

D.4

1-

7. 若实数a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，则a ＋b ＋cd 的值为( )

A.0

B.1

C.－1

D.2

8. 已知a 的绝对值是它自身；b 的相反数是它本身；c 的倒数是它自身，则结果不唯一的

是（ ）。

A ab

B ac

C bc

D abc

9. 对于式子(8)--，下列理解：（1）可表示8-的相反数；（2）可表示1-与8-的乘积；

（3）可表示8-的绝对值；（4）运算结果等于8．其中理解错误的个数是（ ） A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

10. （*）如果m m -=-，下列成立的是( )

A.0

B.0≤m

C.0>m

D.0≥m

知识点四：规律探究

【决战攻略】通过特殊到一般的数学思想来解决一些规律性问题是解决这一类问题的关键，这实际也是数学归纳法的呈现。

【例12】对于任意不相等的两个数a ，b ，定义一种运算※如下：a ※b =

b

a b

a -+，如3※2=52

32

3=-+．那么12※4=

【例13】定义2

*a b a b =-，则(12)3**=______． 【例14】下面是按一定规律排列的一列数：

第1个数：

11122-??-+ ???

； 第2个数：2311(1)(1)1113234????

---??-++

+ ??? ???????

； 第3个数：234511(1)(1)(1)(1)11111423456????????

-----??-++

+++ ??????? ???????????

；…… 第n 个数：232111(1)(1)(1)111112342n n n -????

??

----??-++++ ???

? ?+??????

??

．

那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是( ) A ．第10个数

B ．第11个数

C ．第12个数

D ．第13个数

● 同步测试

1. 在实数范围内定义运算“⊕”，其法则为：22

a b a b ⊕=-，求方程（4⊕3）⊕24

x =的解．

? 课后作业

1. -1.5的相反数是 、倒数是 、绝对值是 、1－ 2 的绝对值是 。

2. 倒数等于本身的数是 ，绝对值等于本身的数是 。

3. 如果5a -+和2a --互为相反数，那么a 是 。

4. 点A 在数轴上表示实数2，在数轴上到A 点的距离是3的点表示的数是 。

5. 比较大小：10

3

-

3- 6. 下列计算正确的是（ ）

A. 2

11-= B. 110--= C. 1

212

÷

= D. 110-+= 7. 下列说法正确的是（ ）

A. 整数包括正整数和负整数

B. 零是整数，但不是正数，也不是负数

C. 分数包括正分数和负分数和零

D. 有理数不是正数也就是负数 8. 下列说法错误的是（ ）

A. 一个数的绝对值一定是正数

B. 一个数的绝对值一定是非负数

C. 绝对值最小的数是0

D. 没有一个数的绝对值是-2 9. 已知：xy ＜ 0，且|x|=3 ，|y|=1,则x+y 的值等于（ ）

A. 2或－2

B. 4或－4

C. 4或2

D. 4或－4或2或－2 10. 计算 （1）1071()(2)()393-+---÷- （2）3221

(2)(2)22

----÷ （3）1000

31

1[5(3)]2

--?-- （4）4220102(26)2(1)---+-?-

（5）3

1

92(1)()(5)(1)(2)3343

--?-+-÷----

11. （**）N 国一个股民上星期买进某公司月股票1000股，每股28元，下表为本周内每日

该股的涨跌情况：（周末股市休市）（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌

+3

+5.5

-1.5

-2

-7

（1） 星期四收盘时，每股是多少元？

（2） 本周内每股最高价多少元？最低价是多少元？

（3） 已知该股民买进股票时付1.5%的手续费，卖出时还需付成交额的1.5%的手续费

和千分一的交易税，如果他在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？ （4） （3）绝对值等于5的数是______．（４）绝对值小于5的负整数是______． （5） （５）绝对值不大于5而又不小于2的整数是______．（６）绝对值不大于5.3

而又不小于2的整数是______．

（6） （７）已知a>b>0,-a_____-b ． 1、用“＜”“＝”或“＞”号填空

＋|－５| ___－|－４|； －(＋5) ___ －[－|－5|] 2、 |x|=3, 则x=_____； |－x|=|－2|,则x= ______．

３、相反数大于-2而又小于3的整数有__________；－(+7)的相反数是________. ４、

比－3大且比4小的整数有_______个，分别是__________．

5．绝对值大于1且不大于4的负整数有__________个，分别为__________． ６、 若,

,5,2y x y x <==且分别求x ，ｙ的值．

7、有理数a 、b 在数轴上如图，用 > 、= 或 < 填空

（1）a____b , (2) |a|___|b| ,

8、绝对值最小的数是____，绝对值不小于３的整数有 个，分别是

正数的绝对值是_______； 负数的绝对值是_______； 零的绝对值是______

一、选择题

1、如果|a|=-a ，那么 （ ） A a 〉0 B a ＜0 C a ≥0 D 0≤a

2、下列各数中，一定互为相反数的是 （ ） A -（-5）和-|-5| B |-5|和|+5| C -（-5）和|-5| D |a|和|-a|

3、若一个数大于它的相反数，则这个数是 （ ） A 正数 B 负数 C 非负数 D 非正数

4、下列判断中：（1）负数没有绝对值；（2）绝对值最小的有理数是0；（3）任何数的绝对值都是非负数；（4）互为相反数的两个数的绝对值相等，其中正确的个数有 （ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个