初中数学解题技巧和方法以及练习

思想方法：方程思想，数形结合思想，归纳思想

解选择题的方法大致有以下几种：直接法、分析法、验算法、?排除法（筛选法）等． 有理数（数）

选择题除最后一道题外都为基础知识的考查，特别注重基础能力的考查 1、 数的比较大小

规则：正数大于0，0大于负数，正数大于负数，两负数绝对值大的反而小． 【1】．－2、0、2、－3这四个数中最大的是【 】 A ．2 B ．0 C ．－2 D ．－3 2、绝对值

规则：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值

【2】-3的绝对值是

3、相反数 ? （1）实数a 的相反数是 -a ； ? （2）a 和b 互为相反数a+b=0 【3】6的相反数是

4、倒数

.a 和b 互为倒数，则ab=1 【4】2的倒数是 5、科学计数法 ? 1、科学记数法：设N ＞0，则N= a ×（其中1≤a ＜10，n 为整数）。 ? 2、有效数字：一个近似数，从左边第一个不是0的数，到精确到的数位为止，所有的数字，叫做这个数的有效数字。精确度的形式有两种：（1）精确到那一位；（2）保留几个有效数字。 【5】我省2010年末森林面积为3804.2千公顷，用科学记数法表示3804.2千．

正确的是【 】 A ．3804.2×103 B ．380.42×104 C ．3.8042×106 D ．3.8042×107

6、幂的运算

同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a m ·a n ＝a m ＋n

(m 、n 都是整数)． 幂的乘方，底数不变，指数相乘，即 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所有的幂相乘，即 (n 为整数)． 同底数幂相除，底数不变，指数相减，即 (a ≠0，m 、n 都为整数)． 【6】、（2011福建龙岩，2，4分）下列运算正确的是

A ．

B ．

C ．

D ． 7、因式分解 ? 因式分解的一般步骤 ? (1)一提：如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； ? (2)二用：如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式法来分解； ? (3)三查：分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止．

【7】分解因式2x 2

? 4x + 2的最终结果是 （ ）

A ．2x (x ? 2)

B ．2(x 2 ? 2x + 1)

C ．2(x ? 1)2

D ．(2x ? 2)2

8、不等式和方程组

首先求出不等式和方程的解 第二步表示出不等式和方程的解 分式方程的解法：

分子或者分母化为相同的数或者式子（运用分式的性质）求解

??

???-==0

,0

,

00

,

a a a a a a

【7-1】不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组可能是（）

A、B、C、 D 、

【7-2】分式方程的解是( )，

A． B． C． D．或

8、数据的收集

全面调查与抽样调查

普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式；当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．

【8】（2011?重庆）下列调查中，适宜采用抽样方式的是（）

A、调查我市中学生每天体育锻炼的时间

B、调查某班学生对“五个重庆”的知晓率

C、调查一架“歼20”隐形战机各零部件的质量

D、调查广州亚运会100米参赛运动员兴奋剂的使用情况

9、一次函数图像（数形结合）

主要考虑特殊的情形（特殊点和面……）

【9】（2011?重庆）为了建设社会主义新农村，我市积极推进“行政村通畅工程”．张村和王村之间的道路需要进行改造，施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，不过施工队随后加快了施工进度，按时完成了两村之间的道路改造．下面能反映该工程尚未改造的道路里程y（公里）与时间x（天）的函数关系的大致图象是（）

A、B、C、D、

9、二次函数

图像的性质和字母的符号的判定

首先根据开口方向判定字母a、c的符号

第二步根据对称轴判定b的符号

最后根据选项判定正确的答案

【9】已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①b2﹣4ac＞0 ②a＞0 ③b＞0 ④c＞0 ⑤9a+3b+c＜0，则其中结论正确的个数是（）

A、2个

B、3个

C、4个

D、5个

10、归纳推理

做题原则

首先根据题目中所给的图写出数字；

找出数字之间的规律；

最后先出一般的式子。

如果是选择题代入法比较简单

【10】将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第n 个图形有个小圆. （用含n 的代数式表示）

图形

11、图形对称

把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．

把一个图新沿一条直线对折，对折后两边能够完全重合的图形就是轴对称图形。

【11-1】下列图形中，即是中心对称又是轴对称图形的是（）

A、等边三角形

B、平行四边形

C、梯形

D、矩形

【11-2】下列图形中是中心对称图形的是

12、三视图

长对正、高平齐、宽相等

1.主视图与俯视图反映长度——长对正

2.主视图与左视图反映高度——高平齐

3.俯视图与左视图反映宽度——宽相等

【12-1】如图所示，下列几何体中主视图、左视图、俯视图都相同的是( )。：

【12-2】由四个大小相同的正方体组成的几何体如图所示，那么它的俯视图是（）

A、B、

C、D、

13、平行线性质、三角形外角性质

1.两直线平行，同位角相等。

2.两直线平行，内错角相等。

3.两直线平行，同旁内角互补。

三角形外角等于两内角和。

三角形内角和等于180度。

【13】如图，点B是△ADC的边AD的延长线上一点，DE∥AC，若∠C=50°，∠BDE=60°，则∠CDB的度数等于（）

A、70°

B、100°

C、110°

D、120°

14、圆周角定理同弧所对的圆周角是圆心角的一半

如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数等于（）

A、60°

B、50°

C、40°

D、30°

15、综合：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；勾股定理；三角形相似；三角形面积的计算

首先翻转和折叠中确定三角形全等；

第二步根据三角形全等确定角和边相等；

第三步构造直角三角形，解直角三角形；

第四步求三角形的面积。

三角形全等的判定方法

1．一般三角形全等的判定

(1)如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为(SSS)；

(2)如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为(SAS)；

(3)如果两个三角形的两角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为(ASA)；

(4)如果三角形的两角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为(AAS)．

2．直角三角形全等的判定

(1)两直角边对应相等的两个直角三角形全等；

(2)一边一锐角对应相等的两个直角三角形全等；

(3)如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等．简记为(HL)．矩形

1．定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．

2．性质：(1)矩形的四个角都是直角；(2)矩形的对角线互相平分且相等；(3)矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两个对称轴，它的对称中心是对角线的交点．

3．判定：(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形；(2)有三个角是直角的四边形是矩形；(3)对角线相等的平行四边形是矩形．

菱形

1．定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．

2．性质：(1)菱形的四条边都相等，对角线互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；(2)菱形既是轴对称图形又是中心对称图形．

3．判定：(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形；(2)四条边都相等的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

正方形

1．定义：有一个角是直角的菱形是正方形或有一组邻边相等的矩形是正方形．

2．性质：(1)正方形四个角都是直角，四条边都相等；

(2)正方形两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．

3．判定：(1)有一个角是直角的菱形是正方形；(2)有一组邻边相等的矩形是正方形．

三角形相似的判定和性质 平行、对应的边成比例

对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形 1、对应角相等，对应边成比例

2、对应角平分线、对应中线、对应高线、对应周长的比都等于相似比。

3、相似三角形面积的比等于相似比的平方。 直角三角形

【15-1】如图，正方形ABCD 中，AB=6，点E 在边CD 上，且CD=3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG=GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC =3．其中正确结论的个数是（ ）

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4

【15-2】已知：如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE 、BE 、DE ．过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ．若AE ＝AP ＝1，PB ＝．下列结论：①△APD ≌△AEB ；②点B 到直线AE 的距离为；③EB ⊥ED ；④S △APD ＋S △APB ＝1＋；⑤S 正方形ABCD ＝4＋．其中正确结论的序号是（）

A ．①③④

B ．①②⑤

C ．③④⑤

D ．①③⑤

16、与圆有关的公式 面积公式 弧长公式 扇形公式 练习题

一、选择题（本大题共l0小题，每小题4分，共40分．) 1.8-的相反数是( ) A ．8- B.18

-

C. 1

8 D. 8

2.我们身处在自然环境中，一年接受的宇宙射线及其它天然辐射照射量约为3 1 00微西弗(1西弗等于1000

毫西弗，1毫西弗等于1000微西弗)，用科学记数法可表示为( ) A ．6

3.110?西弗 8．3

3.110?西弗 C ．3

3.110-?西弗 D ．6

3.110-?西弗

3.如图所示，下列几何体中主视图、左视图、俯视图都相同的是( )。：

4.函数

6y x =-中，自变量x 的取值范围是( )

A 6x ≤

B 6x ≥ C. 6x ≤- D. 6x ≥-

5.分式方程253

22x x x

-=--的解是( )，

A ．2x =-

B ．2x =

C ．1x =

D ．1x =或2x =

6.如图，已知△ABC 中，∠ABC=45°，F 是高AD 和BE 的交点，CD=4，则线段DF 的长度为( )

A ．22

B ．4

C ．32

D ．42

7．已知直线y kx b =+经过点(k ，3)和(1，k)，则k 的值为( )

A ．

3 B ． 3± C ． 2 D ．2±

8．如图，直径为10的⊙A 山经过点C(0，5)和点0(0，0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点，则∠OBC 的余弦值为( )

A.

12 B ．

34

C.

3

2

D ．45

9．如图，从边长为(4a +)cm 的正方形纸片中剪去一个边长为（1a +）cm 的正方形（0a >），剩余

部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则矩形的面积为( ) A ．2

2(25)a

a cm + B ．2(315)a cm + C ．2(69)a cm + D ．2(615)a cm +

10.二次函数

2y ax bx c =++的图象如图所示，则反比例函数a

y x

=

与一次函数y bx c =+在同一坐标系中的大致图象是( )

如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线MN 分别与x 轴正半轴、y 轴正半轴交于点M 、N ，且OM=6cm ，∠OMN=30°，等边△ABC 的顶点B 与原点O 重合，BC 边落在x 轴的正半轴上，点A 恰好落在线段MN 上，如图2，将等边△ABC 从图1的位置沿x 轴正方向以1cm/s 的速度平移，边AB 、AC 分别与线段MN 交于点E 、F ，在△ABC 平移的同时，点P 从△ABC 的顶点B 出发，以2cm/s 的速度沿折线B→A→C 运动，当点P 达到点C 时，点P 停止运动，△ABC 也随之停止平移．设△ABC 平移时间为t （s ），△PEF 的

面积为S （cm 2

）．

（1）求等边△ABC 的边长；

（2）当点P 在线段BA 上运动时，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；

（3）点P 沿折线B→A→C 运动的过程中，是否在某一时刻，使△PEF 为等腰三角形？若存在，求出此时t 值；若不存在，请说明理由．

思路：

（1）根据，∠OMN=30°和△ABC 为等边三角形，求证△OAM 为直角三角形，然后即可得出答案． （2）根据OM=6cm ，∠OMN=30°，利用勾股定理求出MN 和ON 的长，再根据△OMN ∽△BEM ，利用其对应边成比例求出BE 、PE ，然后利用三角形面积公式即可求得答案．

（3）△PEF 为等腰三角形，求出t 的值，如果在0＜t ＜3这个范围内就存在，否则就不存在．

填空题知识点 1、科学计数法 2、中位数、众数

3、分式的取值范围(分母不为零)

4、相似三角形的性质 周长之比等于相似比 面积之比等于相似比的平方

5、圆的基本概念 圆与直线的位置关系 圆的公式 弧长公式l=

6、概率 符合条件的情况除以总的满足情况数

7、方程（不定方程，等式方程）

练习：甲、乙两厂生产同一种产品，都计划把全年的产品销往重庆，这样两厂的产品就能占有重庆市场同

类产品的

43

，然而实际情况并不理想，甲厂仅有21的产品、乙厂有3

1

的产品销到了重庆，两厂的产品仅占了重庆市场同类产品的3

1

，则甲厂该产品的年产量于乙厂该产品的年产量的比为

解答题知识点

1、实数的运算；零指数幂；负整数指数幂。 练习：|﹣3|+（

﹣1）0﹣（）﹣

1

2、解一元一次不等式；二元一次方程。 练习：+=1

3、全等三角形的判定与性质；平行线的判定。

练习：20．如图，A 、C 、F 、B 在同一直线上，AC=BF ，AE=BD ，且AE ∥BD ．求证：

△AEF ≌△BDC ． 4、作图题（垂直平分线）

练习：某校把一块沿河的三角形废地（如图）开辟为生物园，现学校准备从点C 处向河岸AB 修一条小路CD 将生物园分割成面积相等的两部分．请你用尺规和圆规在图中作出小路CD （写出已知、求作和结论，不写作法，保留作图痕迹）

5、分式的化简求值

练习：先化简，再求值：????

?

?--22a a a 44423+--÷a a a a 其中a=

22-

6、反比例函数

练习：如图，将直线y=2x 沿y 轴向下平移后，得到的直线与x 轴交于点A(25，0)，与双曲线y=x

k 在第一象限交于点B ，且△OAB 的面积4

15

． （1）求直线AB 的解析式；

（2）求双曲线的解析式．

7、数据统计（条形统计图；扇形统计图；列表法与树状图法）。

练习：某厂将A，B，C，D四种型号的空调的销售情况绘制成了图1和图2两幅尚不完整的统计图．（1）请补全图2的条形统计图；

（2）为了应对激烈的市场竞争，该厂决定降价促销，A，B，C，D四种型号的空调分别降价30%，10%，10%，30%，因此该厂宣称其产品平均降价20%，你认为该厂的说法正确吗？请通过计算说明理由．（3）为进一步促销，该厂决定从这四种型号空调中任意选取两种型号空调降价销售，请用树状图或列表法求出降价空调中含D种型号空调的概率．

8、梯形的性质直角三角形性质中位线性质

练习：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=45°，CD=2，BD⊥CD．过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连接EG、AF．

（1）求EG的长；

（2）求证：CF=AB+AF．

9、一次函数和二次函数综合题

练习题：某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件，受美元走低的影响，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y1（元）与月份x（1≤x≤9，且x取整数）之间的函数关系如下表：

月份x 1 2 3 4 5 6 7 8 9

价格y1（元/件）560 580 600 620 640 660 680 700 720 随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至12月每件配件的原材料价格y2（元）与月份x （10≤x≤12，且x取整数）之间存在如图所示的变化趋势：

（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y1与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y2与x之间满足的一次函数关系式；

（2）若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，该配件在1至9月的销售量p1（万件）与月份x满足函数关系式p1=0.1x+1.1（1≤x≤9，且x取整数）10至12月的销售量p2（万件）与月份x满足函数关系式p2=﹣0.1x+2.9（10≤x≤12，且x取整数）．求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润；

（3）今年1至5月，每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元，人力成本比去年增加20%，其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高a%，与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少0.1a%．这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成了1至5月的总利润1700万元的任务，请你参考以下数据，估算出a的整数值．

（参考数据：992=9901，982=9604，972=9409，962=9216，952=9025）

考点：二次函数的应用；一元二次方程的应用；一次函数的应用。

专题：应用题；分类讨论。

分析：（1）把表格（1）中任意2点的坐标代入直线解析式可得y1的解析式．把（10，730）（12，750）代入直线解析式可得y2的解析式，；

（2）分情况探讨得：1≤x≤9时，利润=P1×（售价﹣各种成本）；10≤x≤12时，利润=P2×（售价﹣各种成本）；并求得相应的最大利润即可；

（3）根据1至5月的总利润1700万元得到关系式求值即可．

解答：解：（1）设y1=kx+b，

则，

解得，

∴y1=20x+540（1≤x≤9，且x取整数）；

设y2=ax+b，则，

解得，

∴y2=10x+630（10≤x≤12，且x取整数）；

（2）设去年第x月的利润为W元．

1≤x≤9，且x取整数时，W=P1×（1000﹣50﹣30﹣y1）=﹣2x2+16x+418=﹣2（x﹣4）2+450，

∴x=4时，W最大=450元；

10≤x≤12，且x取整数时，W=P2×（1000﹣50﹣30﹣y2）=（x﹣29）2，

∴x=10时，W最大=361元；

（3）去年12月的销售量为﹣0.1×12+2.9=1.7（万件），

今年原材料价格为：750+60=810（元）

今年人力成本为：50×（1+20%）=60元．

∴5×[1000×（1+a%）﹣810﹣60﹣30]×1.7（1﹣0.1×a%）=1700，

设t=a%，整理得10t2﹣99t+10=0，

解得t=，

∵9401更接近于9409，

∴≈97，

∴t1≈0.1，t2≈9.8，

∴a1≈10或a2≈980，

∵1.7（1﹣0.1×a%）≥1，

∴a≈10．

练习：25．未来一年，重庆将在打造“森林重庆”的过程中对“两翼一圈”中的“两翼”地区实施万元增收工程，为了提高农户收入，某县决定对在森林间的空地上种植中草药实行政府补贴，规定每种植一亩中草药一次性补贴农户若干元，经调查，种植亩数y（亩）与补贴数额x（元）之间成一次函数关系，且补贴与种植情况如下表：

补贴数额x（元）100 200 …

种植亩数y（亩）1600 2400 …

随着补贴数额x的不断增大，种植规模也不断增加，但每亩中草药的收益z（元）会相应降低，该县补贴政策实施前每亩中草药的收益为3000元，而每补贴10元，每亩中草药的收益会相应减少30元．

（1）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数y（亩）、每亩中草药的收益z（元）与政府补贴数额x（元）之间的函数关系式；

（2）要使全县种植这种中草药的总收益W（元）最大，政府应将每亩补贴数额x定为多少元？并求出总收益W的最大值和此时的种植亩数：（总收益=每亩收益×亩数）

（3）在取得最大收益的情况下，为了发展森林旅游，需占用其中不超过60亩的森林间空地修建一个森林公园．已知修建森林公园平均每亩的费用为650元，此外还要购置部分游乐设施，这项费用（元）等于空地面积（亩）的平方的25倍．这样，将空地用来修建森林公园比用来种植中草药时每亩的平均收益增加了2000元，在扣除所有修建费用后总收益为85000元，求修建的森林公元有多少亩？（精确到个位）（参考

数据：2=1.414，3=1.732，5=2.236）

数学最后一题

思想（分类思想；方程思想；函数思想）

首先解决思路；

其次细节；

最后步骤。

1、相似三角形的判定定理（AAA，SAS，SSS）

2、全等三角形的判定定理（SSS，SAS,ASA,AAS,HL）

(1)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似,(简叙为两角对应相等两三角形相似).

(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似(简叙为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似.)

(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例,两个三角形相似.)

解直角三角形（勾股定理）

3、等腰三角形的性质

4、二次函数的性质和最大值和最小值

5、三角形的面积的计算方法

如图（1），Rt△AOB中，∠A=90°，∠AOB=60°，OB=23，∠AOB的平分线OC交AB于C，过O点做与OB 垂直的直线ON．动点P从点B出发沿折线BC-CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t 秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO-ON以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．（1）求OC、BC的长；

（2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；

（3）当P在OC上Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．

思路：（1）求出∠B ，根据直角三角形性质求出OA ，求出AB ，在△AOC 中，根据勾股定理得出关于OC 的方程，求出OC 即可；

（2）有三种情况：①当P 在BC 上，Q 在OC 上时，t ＜2，过P 作PH ⊥OC 于H ，求出PH ，根据三角形的面积公式求出即可；②当t=2时，P 在C 点，Q 在O 点，此时，△CPQ 不存在；③当P 在OC 上，Q 在ON 上时，过P 作PG ⊥ON 于G ，过C 作CZ ⊥ON 于Z ，求出CZ 和PG 的值，求出△OCQ 和△OPQ 的面积，相减即可；

（3）有三种情况：①OM=PM 时，求出OP=2OQ ，代入求出即可；②PM=OP 时，此时不存在等腰三角形；③OM=OP 时，过P 作PG ⊥ON 于G ，求出OG 和QG 的值，代入OG+QG=t-2，即可求出答案． （1）解：∵∠A=90°，∠AOB=60°，OB=23，

∴∠B=30°， ∴OA=

2

1

OB=3， 由勾股定理得：AB=3， ∵OC 平分∠AOB ， ∴∠AOC=∠BOC=30°=∠B ， ∴OC=BC ，

在△AOC 中，AO 2+AC 2=CO 2

，

∴(3)2

+（3-OC ）2=OC 2

， ∴OC=2=BC ，

答：OC=2，BC=2．

（2）解：①当P 在BC 上，Q 在OC 上时，t ＜2， 则CP=2-t ，CQ=t ， 过P 作PH ⊥OC 于H ， ∠HCP=60°， ∠HPC=30°，

∴CH=

21CP=2

1

（2-t ），HP=23（2-t ），

∴S △CPQ =21CQ×PH=2

1

×t×23（2-t ），

即S=-43t 2+2

3t ； ②当t=2时，P 在C 点，Q 在O 点，此时，△CPQ 不存在，

同理当t=4时，△CPQ 也不存在， ∴S=0；

③当P 在OC 上，Q 在ON 上时2＜t ＜4，

过P 作PG ⊥ON 于G ，过C 作CZ ⊥ON 于Z ， ∵CP=2，∠NOC=60°， ∴CZ=3，

CP=t-2，OQ=T-2， ∠NOC=60°， ∴∠GPO=30°，

∴OG=

21OP=2

1

（4-t ），PG=23（4-t ），

∴S △CPQ =S △COQ -S △OPQ =21×（t-2）×3-2

1

×（t-2）×23（4-t ），

即S=4

3t 2

-33．

（3）解：①OM=PM 时， ∠MOP=∠MPO=30°， ∴∠PQO=180°-∠QOP-∠MPO=90°， ∴OP=2OQ ， ∴2（t-2）=4-t ， 解得：t=

3

8， ②PM=OP 时，

此时∠MPO=∠PMO=30°， ∴∠MPO=120°， ∵∠QOP=60°， ∴此时不存在； ③OM=OP 时，

过P 作PG ⊥ON 于G ， OP=4-t ，∠QOP=60°， ∴∠OPG=30°， ∴GO=

2

1

（4-t ），PG=23（4-t ），

∵∠AOC=30°，OM=OP ，

∴∠OPM=∠OMP=75°， ∴∠PQO=180°-∠QOP-∠QPO=45°， ∴PG=QG=

2

3

（4-t ）， ∵OG+QG=OQ ， ∴

2

1

（4-t ）+23（4-t ）=t-2，

解得：t=

3

326 ，

△OPM 是等腰三角形．

练习题：直线y=-

4

3

x+6与坐标轴分别交于A 、B 两点，动点P 、Q 同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O ?B ?A 运动． （1）直接写出A 、B 两点的坐标； （2）设点Q 的运动时间为t （秒），△OPQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当S=5

48

时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O 、P 、Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．