三角形中做辅助线的技巧
三角形中做辅助线的技巧口诀：
三角形
图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。
线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
一、由角平分线想到的辅助线
口诀：
图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。
角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。
①从角平分线上一点向两边作垂线；
②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。
通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
与角有关的辅助线
（一）、截取构全等
如图1-2，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。
已知：如图1-4，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求证：AB-AC=CD
（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等
过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。
例1． 如图2-1，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC 。
求证：∠ADC+∠B=180?
例2． 已知如图2-3，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P 。求证：∠BA
C 的平分线也经过点P 。 练习：
1．如图2-4∠AOP=∠BOP=15?，PC//OA ，PD ⊥OA ，
如果PC=4，则PD=（ ）
A 4
B 3
C 2
D 1
2.已知：如图2-6,在正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为BC
上的点，∠FAE=∠DAE 。求证：AF=AD+CF 。
3.已知：如图2-7，在Rt △ABC 中，∠ACB=90?,CD ⊥AB ，垂足为D ，AE 平分∠CAB 交CD 于F ，过F 作F H//AB 交BC 于H 。求证CF=BH 。
（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形
从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。
例1． 已知：如图3-1，∠BAD=∠DAC ，AB>AC,CD ⊥AD 于D ，H 是BC 中点。求证：DH=
2
1
（AB-AC ） 分析：延长CD 交AB 于点E ，则可得全等三角形。问题可证。
图2-3
B
图2-6
E
C
D
B
例2.已知：如图3-2，AB=AC ，∠BAC=90?，AD 为∠ABC 的平分线，CE ⊥BE.求证：BD=2CE 。
分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。
例3．已知：如图3-3在△ABC 中，AD 、AE 分别∠BAC 的内、外角平分线，过顶点B 作BFAD ，交AD 的延长线于F ，连结FC 并延长交AE 于M 。
求证：AM=ME 。
分析：由AD 、AE 是∠BAC 内外角平分线，可得EA ⊥AF ，从而有BF//AE ，所以想到利用比例线段证相等。
例3． 已知：如图3-4，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AD=AB ，CM ⊥AD 交
AD 延长线于M 。求证：AM=
2
1
（AB+AC ） 分析：题设中给出了角平分线AD ，自然想到以AD 为轴作对称变换，作△A BD 关于AD 的对称△AED ，然后只需证DM=
21EC ，另外由求证的结果AM=2
1
（AB+AC ），即2AM=AB+AC ，也可尝试作△ACM 关于CM 的对称△FCM ，然后只需证DF=CF 即可。
练习：
1． 已知：在△ABC 中，AB=5，AC=3，D 是BC 中点，AE 是∠BAC 的平分线，且CE ⊥AE 于E ，连接DE ，求DE 。
2． 已知BE 、BF 分别是△ABC 的∠ABC 的内角与外角的平分线，AF ⊥BF 于F ，AE ⊥BE 于E ，连接EF 分别交AB 、AC 于M 、N ，求证MN=
2
1
BC （四）、以角分线上一点做角的另一边的平行线
有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。如图4-1和图4-2所示。
例1 如图，BC>BA ，BD 平分∠ABC ，且AD=CD ，求证：∠A+∠C=180。
例2 如图，AB ∥CD ，AE 、DE 分别平分∠BAD 各∠ADE ，求证：AD=AB+CD 。
图3-2
D
A
B
E
F
C
图3-3
D
B
E
F
N
A
C M
图3-4
n
E
B
A
D C
M
F
B
D
C
A
E C
D
练习：
1. 已知，如图，∠C=2∠A ，AC=2BC 。求证：△ABC 是直角三角形。
2．已知：如图，AB=2AC ，∠1=∠2，DA=DB ，求证：DC ⊥AC
3．已知CE 、AD 是△ABC 的角平分线，∠B=60°，求证：AC=AE+CD 4．已知：如图在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BD 是∠ABC 的平分线，求证：BC=AB+AD
二、 由线段和差想到的辅助线
口诀：
线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。
遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：
1、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；
2、补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。
对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。
一、 在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：
C
A B A
B
C
D
A
E
B D
C A B D
C 1 2
例1、 已知如图1-1：D 、E 为△ABC 内两点,求证:AB+AC>BD+DE+CE.
A
B
C
D
E
N M 1
1 图
二、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：
A
B
C
D
E F
N
1
3
图
1
234
例如：如图3-1：已知AD为△ABC的中线，且∠1=∠2,∠3=∠4,求证：BE+CF>EF。
三、截长补短法作辅助线。
例如：已知如图6-1：在△ABC中，AB>AC，∠1=∠2，P为AD上任一点
A
B
C
D
N
M
P
1
6
图
1
2
求证：AB-AC>PB-PC。
例1．如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 。
例2如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，AD+AB=2AE ，
求证：∠ADC+∠B=180o
例3已知：如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，∠A=108°，BD 平分∠ABC 。
求证：BC=AB+DC 。
例4如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AD 是∠CAB 的平分线，DM ⊥AB
于M ，且AM=MB 。求证：CD=21
DB 。
【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线
△ABC 中 方式1： 延长AD 到E ， AD 是BC 边中线 使DE=AD ，
连接BE
方式2：间接倍长
作CF ⊥AD 于F ， 延长MD 到N ， 作BE ⊥AD 的延长线于E 使DN=MD ，
连接BE 连接CD
【经典例题】
例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围
提示：画出图形，倍长中线AD ，利用三角形两边之和大于第三边
例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE 方法1：过D 作DG ∥AE 交BC 于G ，证明ΔDGF ≌ΔCEF
方法2：过E 作EG ∥AB 交BC 的延长线于G ，证明ΔEFG ≌ΔDFB 方法3：过D 作DG ⊥BC 于G ，过E 作EH ⊥BC 的延长线于H 证明ΔBDG ≌ΔECH
D
A
E C
B
A
E
B
C
D
D
C
B
A M
B
D C A
E
D
A
B
例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF
提示：倍长AD 至G ，连接BG ，证明ΔBDG ≌ΔCDA
三角形BEG 是等腰三角形
例4：已知：如图，在ABC ?中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点
F ，DF=AC.
求证：AE 平分BAC ∠
提示：
方法1：倍长AE 至G ，连结DG 方法2：倍长FE 至H ，连结CH
例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE 提示：倍长AE 至F ，连结DF 证明ΔABE ≌ΔFDE （SAS ）
进而证明ΔADF ≌ΔADC （SAS ） 【融会贯通】
1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论
提示：延长AE 、DF 交于G
证明AB=GC 、AF=GF 所以AB=AF+FC
2、如图，AD 为ABC ?的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于 F. 求证：
EF CF BE >+
提示：
方法1：在DA 上截取DG=BD ，连结EG 、FG 证明ΔBDE ≌ΔGDE ΔDCF ≌ΔDGF 所以BE=EG 、CF=FG 利用三角形两边之和大于第三边方法2：倍长ED 至H ，连结CH 、FH 证明FH=EF 、CH=BE 利用三角形两边之和大于第三边
3、已知：如图，?ABC 中，?C=90?，CM ?AB 于M ，AT 平分?BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC
第 1 题图
A
B
F
D
E
C
D
A
B
C
M
T
E
于E，求证：CT=BE.
提示：过T作TN⊥AB于N
证明ΔBTN≌ΔECD
三、由中点想到的辅助线
口诀：三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。
在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。
（一）、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形
即如图1，AD是ΔABC的中线，则SΔABD=SΔACD=SΔABC（因为ΔABD与ΔACD是等底同高的）。
例1．如图2，ΔABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中线。已知ΔABC的面积为2，求：ΔCDF的面积。
（二）、由中点应想到利用三角形的中位线
例2．如图3，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的
延长线G、H。求证：∠BGE=∠CHE。
（三）、由中线应想到延长中线
例3．图4，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，连BC上的中线AD=2，求BC的长。
例4．如图5，已知ΔABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，AD 又是BC 边上的中线。求证：ΔABC 是等腰三角形。
（四）、直角三角形斜边中线的性质
例5．如图6，已知梯形ABCD 中，AB//DC ，AC ⊥BC ，AD ⊥BD ，求证：AC=BD 。
（五）、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线
例6．如图7，ΔABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，CE 垂直于BD ，交BD 的延长线于点E 。求证：BD=2CE 。
（六）中线延长
口诀：三角形中有中线，延长中线等中线。
题目中如果出现了三角形的中线，常延长加倍此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。
例一：如图4-1：AD 为△ABC 的中线，且∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BE+CF>EF 。
例二：如图5-1：AD 为△ABC 的中线，求证：AB+AC>2AD 。
练习：
1 如图，AB=6，AC=8，D 为BC 的中点，求AD 的取值范围。
2 如图，AB=CD ，E 为BC 的中点，∠BAC=∠BCA ，求证：AD=2AE 。
3 如图，AB=AC ，AD=AE ，M 为BE 中点，∠BAC=∠DAE=90°。求证：AM ⊥DC 。 4，已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图5-2，求证EF=2AD 。
5．已知：如图AD 为△ABC 的中线，AE=EF ，求证：BF=AC
巩固练习
1、如图，D E ，分别为ABC △的
AC ，BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边
D
M
C
E
A
B
B
A
D
C 8
6 B
E
C D
A
A
B
D
C
E
F
上的点P 处．若48CDE ∠=°，则APD ∠等于（ ） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58°
2、如图所示，图中三角形的个数共有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3 个 D ．4个
3、 如图，ABC △的周长为32，且AB AC AD BC =⊥，于D ，ACD △的周长为24，那么AD
的长为 ．
4、长度为2㎝、3㎝、4㎝、5㎝的四条线段，从中任取三条线段能组成三角形的概率是______
5、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，且∠ABC ＝2∠C .求证：CD ＝AB +BD .
6、如图，在△ABC 中，∠BAC 、∠BCA 的平分线相交于点O ，过点O 作DE ∥AC ，分别交AB 、BC 于点D 、E .试猜想线段AD 、CE 、DE 的数量关系，并说明你的猜想理由.
7、AD 为 △ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD 。
8、已知D 为△ABC 内的任一点，求证：∠BDC ＞∠BAC 。
遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。 1、已知，如图1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BD 平分∠ABC 。 求证：∠BAD +∠BCD =180°。
2、已知，如图2，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，AB +BC =2BD 。 求证：∠BAP +∠BCP =180°。
3、已知，如图3，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2。求证：AB =AC +CD 。
A
B
C
D
D C
B
A
C A
B E
D
O
C D B
A
相似三角形添加辅助线的方法举例有答案新
相似三角形添加辅助线的方法举例 例1： 已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ． 求证： BC 2 ＝2CD ·AC ． 例2．已知梯形ABCD 中，BC AD //，AD BC 3=，E 是腰AB 上的一点，连结CE （1）如果AB CE ⊥ ，CD AB =，AE BE 3=，求B ∠的度数； （2）设BC E ?和四边形AECD 的面积分别为1S 和2S ，且2132S S =，试求 AE BE 的值 例3．如图4-1，已知平行四边ABCD 中，E 是AB 的中点， AD AF 31= ，连E 、F 交AC 于G ．求AG ：AC 的值． 例4、如图4—5，B 为AC 的中点，E 为BD 的中点，则AF ：AE=___________. 例5、如图4-7，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O 点，E 为AB 延长线上一点，OE 交BC 于F ，若AB=a ，BC=b ，BE=c ，求BF 的长． 例6、已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．求证：CD BD AC AB = ． 相似三角形添加辅助线的方法举例答案 例1： 已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ． 求证： BC 2 ＝2CD ·AC ． 分析：欲证 BC 2＝2CD ·AC ，只需证 BC AC CD BC = 2．但因为结论中有“2”，无法直接找到它们所在的相似三角形，因此需要结合图形特点及结论形式，通过添加辅助线，对其中某一线段进行倍、分变形，构造出单一线段后，再证明三角形相似．由“2”所放的位置不同，证法也不同． 证法一（构造2CD ）：如图，在AC 截取DE ＝DC ， ∵BD ⊥AC 于D ， ∴BD 是线段CE 的垂直平分线， ∴BC=BE ，∴∠C=∠BEC ， 又∵ AB ＝AC ， ∴∠C=∠ABC ． ∴ △BCE ∽△ACB ． ∴ BC AC CE BC =， ∴BC AC CD BC =2 ∴BC 2 ＝2CD ·AC ． 证法二（构造2AC ）：如图，在CA 的延长线上截取AE ＝AC ，连结BE ， ∵ AB ＝AC ， ∴ AB ＝AC=AE ． ∴∠EBC=90°， 又∵BD ⊥AC ． ∴∠EBC=∠BDC=∠EDB=90°， B C B C E B C
〖数学专题〗北师大版九年级数学上专题(十一)含答案：相似三角形中的辅助线作法归类
思维特训(十一)相似三角形中的辅助线作法归类 在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段，或得出等角、等边，从而为证明三角形相似或进行有关的计算找到等量关系． 作辅助线的方法主要有以下几种： (1)作平行线构造“A”型或“X”型相似；(2)作平行线转换线段比；(3)作垂直证明相似． 图11－S－1 类型一作平行线构造“A”型或“X”型相似 1．如图11－S－2，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB 延长线上一点，OE交BC于点F，若AB＝a，BC＝b，BE＝c，求BF的长． 图11－S－2 2．如图11－S－3，在△ABC中，AD为BC边上的中线，CF为任一直线，CF交AD 于点E，交AB于点F. 求证：AE DE＝ 2AF BF.
图11－S －3 3．在一节数学课上，老师出示了这样一个问题让学生探究：如图11－S －4，在△ABC 中，D 是BA 延长线上一动点，点F 在BC 上，且CF BF ＝1 2 ，连接DF 交AC 于点E . (1)如图①，当E 恰为DF 的中点时，请求出AD AB 的值； (2)如图②，当DE EF ＝a (a ＞0)时，请求出AD AB 的值(用含a 的代数式表示)． 思考片刻后，同学们纷纷表达自己的想法： 甲：过点F 作FG ∥AB 交AC 于点G ，构造相似三角形解决问题； 乙：过点F 作FG ∥AC 交AB 于点G ，构造相似三角形解决问题； 丙：过点D 作DG ∥BC 交CA 的延长线于点G ，构造相似三角形解决问题． 老师说：“这三位同学的想法都可以”． 请参考上面某一种想法，完成第(1)问的求解过程，并直接写出第(2)问中AD AB 的值． 图11－S －4
三角形添加辅助线技巧(带答案)
三角形添加辅助线技巧 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线 （一）作平行线 作平行线,构造全等三角形 1、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D点在AB边上，E在AC边的延长线上，DE交BC于点F，BD=CE，求证：DF=EF. 由D点作BC的平行线交AC于G 因为DG∥BC，所以三角形ADG为等腰三角形，则：AD=AG 因为AB=AC，所以：BD=(AB-AD)=(AC-AG)=CG。 那么C为三角形DEG的边EG上的中点，DG∥BC 根据中位线定理，则有：F为ED的中点，即：DF=EF。得证 （二）作垂线 遇角平分线,在平分线上找点作角两边的垂线,利用角平分线的性质,通过三角形全等求解 2、如图，已知OP平分∠AOB，C，D分别在OA、OB上，若∠PCO+∠PDO=180°， 求证：PC=PD. O A B C P D 证明：过P做PE垂直于OA于E,过P做PF垂直于OB为F 3、已知：如图，在△ABC中，AB=2AC，∠1=∠2，AD=BD，求证：CD⊥AC. F B C A D E
2 1D A C B 证明：过D 作DM ⊥AB ，垂足为M, 因为AD=BD,所以AM=BM=AB/2(三线合一)， 因为AB=2AC,所以AC=AM, 因为AD 平分∠BAC ，所以∠1=∠2， 在△ADC 和△ADM 中,AC=AM,∠2=∠1,AD 为公共边， 所以△ADC ≌△ADM,所以∠ACD=∠ADM=90,即:CD ⊥AC (三)倍长中线, 构造中位线 相等线段的倍长也等,借助中点作平行线,构造中位线,利用中位线的性质求解 4、已知：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF. F D A B C E 延长AD 交BM 于M 点 因为D 为BC 的中点,所以ABMC 为平行四边形 所以BM=AC,因为BE=AC 所以BE=BM,所以角BEM=角BME 因为BM//AC,所以角CAM=角BME=角BEM 因为角BEM=角AEF(对等角),所以AF=EF 5、如图，已知：AD 是△ABC 的中线，且CD=AB ，AE 是△ABD 的中线，求证：AC=2AE.
三角形中做辅助线的技巧及典型例题
三角形中做辅助线的技巧 口诀： 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。 线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 一、由角平分线想到的辅助线 口诀： 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。 ①从角平分线上一点向两边作垂线； ②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。 通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。 与角有关的辅助线 （一）、截取构全等 如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并连接DE 、DF ， 则有△OED ≌△OFD ，从而为我们证明线段、角相等 创造了条件。 如图1-2，AB2AC2AC3 CAC 。 3．已知：如图2-5, ∠BAC=∠CAD,AB>A D ，CE ⊥AB ， AE=21 （AB+AD ）.求证：∠D+∠B=180。 4.已知：如图2-6,在正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为BC B 图2-3 C
上的点，∠FAE=∠DAE 。求证：AF=AD+CF 。 已知：如图2-7，在Rt △ABC 中，∠ACB=90,CD ⊥AB ，垂 足为 D ，A E 平分∠CAB 交CD 于 F ，过F 作FH 21 证：BD=2CE 。 分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线， 可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。 例3．已知：如图3-3在△ABC 中，AD 、AE 分别∠BAC 的内、 外角平分线，过顶点B 作BFAD ，交AD 连结FC 并延长交AE 于M 。 求证：AM=ME 。 分析：由AD 、AE 是∠BAC ⊥AF ，从而有BF 21212121已知，如图，∠C=2BC 。求证：△ABC 是直角三角形。 2．已知：如图，AB=2AC ，∠1=∠2，证：DC ⊥AC 3．已知CE 、AD 是△ABC 的角平分线，∠4．已知：如图在△ABC 中，∠A=90°，二、 由线段和差想到的辅助线 口诀： 线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。 遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法： 1、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； 2、补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。 对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。 1 2 A C D B C A B A B D 1 2 图3-2 B C
三角形常见的辅助线
全等三角形问题中常见的辅助线的作法 常见辅助线的作法有以下几种： 1. 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折” 2. 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 3. 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线， 利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常 是角平分线的性质定理或逆定理. 4. 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 5. 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用 三角形全等的有关性质加以说明?这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答. 一、倍长中线（线段）造全等 应用：1、（09崇文二模）以ABC 的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt^ABD 和等腰Rt^ACE , ? BAD = ? CAE = 90 （1）如图① 当 ABC 为直角三角形时，AM 与 DE 的位置关系是 线段AM 与DE 的数量关系是 （2）将图①中的等腰Rt'ABD 绕点A 沿逆时针方向旋转 二（0＜二＜90）后，如图②所示，（1 ）问中得到的两个结论是否发生改 变？并说明理由. 连接DE ，M 、N 分别是 BC 、DE 的中点?探究: AM 与DE 的位置关系及数量关系. 例1、已知, 例2、如图, 例3、如图,
相似三角形之常用辅助线
相似三角形之常用辅助线 在与相似有关得几何证明、计算得过程中 ,常常需要通过相似三角形,研究两条线段之间得比例关系,或者转移线段或角。而有些时候,这样得相似三角形在问题中,并不就是十分明显、因此,我们需要通过添加辅助线,构造相似三角形,进而证明所需得结论。 专题一、添加平行线构造“Ａ"“X”型 定理:平行于三角形一边得直线与其它两边(或两边延长线)相交,所构成得三角形与原三角形相似。 定理得基本图形: 例1、平行四边形AＢCD中,E为ＡＢ中点,AF:ＦD＝1:2,求ＡＧ:GＣ 变式练习: 已知在△ABC中,AD就是∠BAＣ得平分线.求证:、(本题有多种解法,多想想) 例2、如图,直线交△AＢＣ得BC,ＡＢ两边于D,E,与ＣA延长线交于F,若==2,求BE:EＡ得比值、 变式练习:如图,直线交△ABC得ＢC,ＡＢ两边于D,E,与CA延长线交于F,若错误!= 错误!=2,求BＥ:E Ａ得比值。 例3、BE=AD,求证:EF·BC＝AC·DF 变式1、如图,△ABＣ中,AB 相似三角形中几种常见的辅助线作法 在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种： 一、添加平行线构造“A ”“X ”型 例1：如图，D 是△ABC 的BC 边上的点，BD ：DC=2：1，E 是AD 的中点，求：BE ：EF 的值. 解法一：过点D 作CA 的平行线交BF 于点P ，则 ∴PE=EF BP=2PF=4EF 所以BE=5EF ∴BE ：EF=5：1. 解法二：过点D 作BF 的平行线交AC 于点Q ， ∴BE ：EF=5：1. 解法三：过点E 作BC 的平行线交AC 于点S ， 解法四：过点E 作AC 的平行线交BC 于点T ， ∵BD=2DC ∴ ∴BE ：EF=5：1. 变式：如图，D 是△ABC 的BC 边上的点，BD ：DC=2：1，E 是AD 的中点, 连结BE 并延 长交AC 于F, 求AF ：CF 的值. 解法一：过点D 作CA 的平行线交BF 于点P ， 解法二：过点D 作BF 的平行线交AC 于点Q ， 解法三：过点E 作BC 的平行线交AC 于点S ， 解法四：过点E 作AC 的平行线交BC 于点T ， ， 1==AE DE FE PE ,2==DC BD PF BP ，则2==EA DA EF DQ ,3==DC BC DQ BF ， EF EF EF EF DQ EF BF BE 563=-=-=-=，则DC CT DT 2 1 ==；TC BT EF BE =， DC BT 2 5= 例2：如图，在△ABC的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE， DE延长线与BC延长线相交于F ，求证： （证明：过点C作CG//FD交AB于G） 例3：如图，△ABC中，AB 第四讲-------常用的辅助线的方法 知识点一： 三角形问题添加辅助线方法 1）、方法1：三角形中线--------------中线加倍。 含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结 论恰当的转移，很容易地解决了问题。 2）、方法2：含有平分线------------构造全等三角形。 常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等 三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。 3）、 方法3：证明两线段相等，可通过 构成全等三角形； 利用关于平分线段的一些定理； 转化到同一三角形中，证明角相等； 4）、 方法4：证明一条线段与另一条线段之和等于第三条线段-----------常 采用截长法或补短法。 截长法是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而 另一部分等于第二条线段。 三角形中作辅助线的常用方法举例 一．倍长中线 1：已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图5-2， 求证EF ＝2AD 。 A B C D E F 2 5 图 二、截长补短法作辅助线。 在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠ACB ＝2∠B ，求证：AB ＝AC ＋CD 。 三、延长已知边构造三角形： 例如：如图7-1：已知AC ＝BD ，AD ⊥AC 于A ，BC ⊥BD 于B ， 求证：AD ＝BC 练习 如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD 的长。 A D C B E 12 A B C D E 1 7 图O 全等三角形中常见辅助线的添加方法举例 一． 有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。 例：如图1：已知AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE ＋CF ＞EF 。 二、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍 此线段，构造全等三角形。 例：：如图2：AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE ＋CF ＞EF 三、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造 全等三角形。 例：如图3：AD 为 △ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD 。 图3 练习：已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图4， 求证EF ＝2AD 。 A B C D E F N 1 图1234 2 图A B C D E F M 123 4A B C D E A B C D E F 4 图 四、截长补短法作辅助线。 例如：已知如图5：在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任一点。 求证：AB －AC ＞PB －PC 。 五、延长已知边构造三角形： 例如：如图6：已知AC ＝BD ，AD ⊥AC 于A ，BC ⊥BD 于B ， 求证：AD ＝BC 六、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。 例如：如图8：在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∠1＝∠2，CE ⊥BD 的延长于E 。求证：BD ＝2CE 7 七、连接已知点，构造全等三角形。 例如：已知：如图9；AC 、BD 相交于O 点，且AB ＝DC ，AC ＝BD ，求证：∠A ＝∠D 。 八、取线段中点构造全等三有形。 例如：如图10：AB ＝DC ，∠A ＝∠D 求证：∠ABC ＝∠DCB 。 A B C D N M P 5图12A B C D E 6 图O D B A 110 图O 10图D C B A M N 相似三角形之常用辅助线 在与相似有关的几何证明、计算的过程中，常常需要通过相似三角形，研究两条线段之间的比例关系，或者转移线段或角。而有些时候，这样的相似三角形在问题中，并不是十分明显。因此，我们需要通过添加辅助线，构造相似三角形，进而证明所需的结论。 专题一、添加平行线构造“A ”“X ”型 定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似． 定理的基本图形： 例1、平行四边形ABCD 中，E 为AB 中点，AF ：FD ＝1：2，求AG ：GC 变式练习： 已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．求证：． （本题有多种解法，多想想） 例2、如图，直线交△ABC 的BC,AB 两边于D,E,与CA 延长线交于F,若 DC BD ＝FA FC =2,求BE:EA 的比值. 变式练习：如图，直线交△ABC 的BC,AB 两边于D,E,与CA 延长线交于F,若BD DC ＝ FE ED =2,求BE:EA 的比 值. 例3、BE ＝AD ，求证：EF ·BC ＝AC ·DF 变式1、如图，△ABC 中，AB 2020 中考数学几何专题突破 模块二：三角形中常见辅助线添加技巧 例1. （2019· 吉林中考真题）性质探究 如图①，在等腰三角形ABC 中，0120ACB ∠=， 则底边AB 与腰AC 的长度之比为________． 理解运用 ⑴若顶角为120°的等腰三角形的周长为843+________； ⑵如图②，在四边形EFGH 中，EF EG EH ==． ①求证：EFG EHG FGH ∠+∠=∠； ②在边,FG GH 上分别取中点,M N ，连接MN ．若0120FGH ∠=，10EF =,直接写出线段MN 的长． 类比拓展 顶角为2σ的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为________（用含σ的式子表示）． 1. 与角平分线有关的辅助线 （1） 可向两边作垂线。 （2）可作平行线，构造等腰三角形 （3）在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形 【变式训练】 1．（2019·陕西中考真题）如图，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E 。若DE=1，则BC 的长为（ ） A ．2+2 B ．23+ C ．32+ D ．3 2. （2018?德州）如图，OC 为∠AOB 的平分线，CM ⊥OB ，OC=5，OM=4，则点C 到射线OA 的距离为 ． 3. （2018?广安）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF ∥OB ，EC ⊥OB 于C ，若EC=1，则OF= ． 例1．（2019·山东中考真题）如图，在ABC ?中，120 ACB ∠=?，4 BC=，D为AB的 中点，DC BC ⊥，则ABC ?的面积是_____． 【变式训练】 1．（2019·湖北黄石中考真题）如图，在ABC △中，50 B ∠=?，CD AB ⊥于点D，BCD ∠ 和BDC ∠的角平分线相较于点E，F为边AC的中点，CD CF =，则ACD CED ∠+∠= （） A．125°B．145°C．175°D．190° 2. 与线段长度相关的辅助线 （1）截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可（2）补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可 （3）倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。 （4）遇到中点，考虑中位线或等腰等边中的三线合一，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 中考数学几何辅助线添加技巧 当然添加辅助线的方法很多，不可能全都枚举全，但文中所列举的方法确实是最常用的方法，值得推荐： 辅助线对于同学们来说都不陌生，解几何题的时候经常用到。当题目给出的条件不够时，我们通过添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这便是辅助线的作用。一条巧妙的辅助线常常使一道难题迎刃而解。所以我们要学会巧妙的添加辅助线。 一、添辅助线有二种情况： 1.按定义添辅助线： 如证明二直线垂直可延长使它们相交后证交角为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线（还可以利用等腰三角形顶角的外角是底角的两倍添加辅助线）。 2.按基本图形添辅助线： 每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。举例如下： (1)平行线是个基本图形： 当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的第三条直线。 (2)等腰三角形是个简单的基本图形： 当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形（这个图形很重要！）。 (3)等腰三角形中的重要线段（即三线合一线，往往是加高用中点）是个重要的基本图形： 出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形（这个图形很重要！）中的重要线段的基本图形。 (4)直角三角形斜边上中线基本图形 出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。 (5)三角形中位线基本图形 几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带 三角形中位线中的常见辅助线 知识梳理 知识点一中点 一、与中点有关的概念 三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线 等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半． 中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半 斜边中线判定：若三角性一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形 二、与中点有关的辅助线 方法一：倍长中线 解读：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。 方法二：构造中位线 解读：凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取另一边中点，或延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。 方法三：构造三线合一 解读：只要出现等腰三角形，或共顶点等线段，就需要考虑构造三线合一，从而找到突破口 其他位置的也要能看出 方法四：构造斜边中线 解读：只要出现直角三角形，或直角，则考虑连接斜边中线段，第一可以出现三条等线段，第二可以出现两个等腰三角形，从而转化线段关系。 其他位置的也要能看出 C E D B A 常见考点 构造三角形中位线 考点说明：①凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取四边形对角线中点、等腰三 角形底边中点、直角三角形斜边中点或其他线段中点; ②延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。 “题中有中点，莫忘中位线”．与此很相近的几何思想是“题中有中线，莫忘加倍延”，这两个是常用几何思想，但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来．平移也有类似作用． 典型例题 【例1】 已知：AD 是ABC △的中线，AE 是ABD △的中线，且AB BD =，求证：2AC AE =． 举一反三 1. 如右下图，在ABC ?中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证：2AB DE =． 三角形中做辅助线的技巧口诀： 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。 线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 一、由角平分线想到的辅助线 口诀： 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。 ①从角平分线上一点向两边作垂线； ②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。 通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。 与角有关的辅助线 （一）、截取构全等 如图1-2，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。 已知：如图1-4，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求证：AB-AC=CD （二）、角分线上点向角两边作垂线构全等 过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。 例1． 如图2-1，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC 。 求证：∠ADC+∠B=180? 例2． 已知如图2-3，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P 。求证：∠BA C 的平分线也经过点P 。 练习： 1．如图2-4∠AOP=∠BOP=15?，PC//OA ，PD ⊥OA ， 如果PC=4，则PD=（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 2.已知：如图2-6,在正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为BC 上的点，∠FAE=∠DAE 。求证：AF=AD+CF 。 3.已知：如图2-7，在Rt △ABC 中，∠ACB=90?,CD ⊥AB ，垂足为D ，AE 平分∠CAB 交CD 于F ，过F 作F H//AB 交BC 于H 。求证CF=BH 。 （三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形 从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。 例1． 已知：如图3-1，∠BAD=∠DAC ，AB>AC,CD ⊥AD 于D ，H 是BC 中点。求证：DH= 2 1 （AB-AC ） 分析：延长CD 交AB 于点E ，则可得全等三角形。问题可证。 图2-3 B 图2-6 E C D B 初二几何常见辅助线口诀 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，倍长中线得全等。四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。梯形问题巧转换，变为三角或平四。平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。上述方法不奏效，过腰中点全等造。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。 由角平分线想到的辅助线 一、截取构全等 如图， AB//CD, BE平分/ ABC CE平分/ BCD点E在AD上，求证：BC=AB+C。 分析：在此题中可在长线段BC上截取BF=AB再证明CF=CD从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于点来证明。自已试一试。 二、角分线上点向两边作垂线构全等 如图，已知AB>AD, / BAC K FAC,CD=B C求证：/ ADC# B=180 分析：可由C向/BAD的两边作垂线。近而证/ ADC与Z B之和为平角 三、三线合一构造等腰三角形 如图，AB=AC Z BAC=90, AD为Z ABC的平分线，CEL BE.求证：BD=2CE 分析：延长此垂线与另外一边相交，得到等腰三角形，随后全等。 四、角平分线+平行线 女口图，AB>AC, Z 1 = Z2,求证：AB-AC>BD-CD c 第四讲·三角形添加辅助线技巧 图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 （一）作平行线 作平行线,构造全等三角形 1、已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 点在AB 边上，E 在AC 边的延长线上，DE 交BC 于点F ，BD=CE ，求证：DF=EF. 2、如图，已知OP 平分∠AOB ，C ，D 分别在OA 、OB 上，若∠PCO+∠PDO=180°， 求证：PC=PD. 证明：过P 做PE 垂直于OA 于E,过P 做PF 垂直于OB 为 F O 3、已知：如图，在△ABC 中，AB=2AC ，∠1=∠2，AD=BD ，求证：CD ⊥AC. D C B 证明：过D 作DM ⊥AB ，垂足为M, 因为AD=BD, 所以AM=BM=AB/2(三线合一)， 因为AB=2AC, 所以AC=AM, 因为AD 平分∠BAC ， 所以∠1=∠2， 在△ADC 和△ADM 中, AC=AM, ∠2=∠1, AD 为公共边， 所以△ADC ≌△ADM, 所以∠ACD=∠ADM=90, 即:CD ⊥AC (三)倍长中线, 构造中位线 相等线段的倍长也等,借助中点作平行线,构造中位线,利用中位线的性质求解 4、已知：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线， E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于 F ，求证：AF=EF. B C 延长AD 交BM 于M 点 因为D 为BC 的中点 所以ABMC 为平行四边形 所以BM=AC 因为BE=AC 所以BE=BM 所以角BEM=角BME 因为 BM//AC 所以角CAM=角BME=角BEM 因为角BEM=角AEF(对等角) 所以AF=EF 5、如图，已知：AD 是△ABC 的中线，且CD=AB ，AE 是△ABD 的中线，求证：AC=2AE. C A 初二几何常见辅助线口诀三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 线段和差及倍半，延长缩短可试验。 线段和差不等式，移到同一三角去。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，倍长中线得全等。 四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。 梯形问题巧转换，变为三角或平四。 平移腰，移对角，两腰延长作出高。 如果出现腰中点，细心连上中位线。 上述方法不奏效，过腰中点全等造。 证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。 直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，比例中项一大片。 由角平分线想到的辅助线 一、截取构全等 如图，AB证：BD=2CE。 分析：延长此垂线与另外一边相交，得到等腰三角形，随后全等。 四、角平分线+平行线 如图，AB>AC, ∠1=∠2，求证：AB－AC>BD－CD。 分析：AB上取E使AC=AE，通过全等和组成三角形边边边的关系可证。 由线段和差想到的辅助线 五、截长补短法 AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE。 分析：过C点作AD垂线，得到全等即可。 由中点想到的辅助线 一、中线把三角形面积等分 如图，ΔABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中线。已知ΔABC的面积为2，求：ΔCDF的面积。 分析：利用中线分等底和同高得面积关系。 二、中点联中点得中位线 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。求证：∠BGE=∠CHE。 分析：联BD取中点联接联接，通过中位线得平行传递角度。 三、倍长中线 如图，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，连BC上的中线AD=2，求BC的长。 第2讲相似三角形中的辅助线及动点 在解相似三角形问题时，常需要作辅助线来沟通已知条件和未知条件， 在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得 出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种： 、作平行线 例1.如图，.VABC 的AB 边和AC 边上各取一点 ” BF BD 求证： CF CE 例2.如图，△ ABC 中，AB 例4.如图从—ABCD 顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F，求证: 2 AB AE AD AF =AC2。 三、作延长线例5.如图，在梯形ABCD中，AD // BC,若/ BCD的平分线CH丄AB于点H , BH=3AH，且四边形AHCD的面积为21,求厶HBC的面积。 例6?如图，https://www.360docs.net/doc/2c6257137.html,BC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC 于F, FG _ AB于G, 求证：FG2=CF *BF 四、作中线 例 7 如图，. ：ABC 中，AB 丄AC , AE 丄 BC 于 E , D 在 AC 边上，若 BD=DC=EC=1，求 AC 。 2、如图，正方形 ABCD 勺边长为2, AE = EB MN= 1,线段MN 的两端在CB CD 上滑动，当CM 为 何值时，△ AED 与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似？ 动点题型 1、如图正方形ABCD 的边长为2, AE=EB ，线段MN 的两端点分别在 MN=1，当CM 为何值时厶AED 与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似？ CB 、CD 上滑动，且 u c D N C 相似三角形中的辅助线 在解相似三角形问题时，常需要作辅助线来沟通已知条件和未知条件， 在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种： 一、作平行线 例1. 如图，?ABC 的AB 边和AC 边上各取一点D 和E ，且使AD ＝AE ，DE 延长线与BC 延长线相交于F ，求证： BF CF BD CE = B D A C F E 证明：过点C 作CG//FD 交AB 于G F ∴ = AD AG AE AC 又 AD AE =，∴=AG AC ∴=DG CE GC DF //，∴= BD DG BF CF ∴= BD CE BF CF 小结：本题关键在于AD ＝AE 这个条件怎样使用。由这道题还可以增加一种证明线段相等的方法：相似、成比例。 例2. 如图，△ABC 中，AB 分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。 欲证，需证 ，而这四条线段所在的两个三角形显然AB DF AC EF AB AC EF DF ?=?=不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平行线。 方法一：过E 作EM//AB ，交BC 于点M ，则△EMC ∽△ABC （两角对应相等，两三角形相似）。 ∴ =?=?EM AB EC AC EM AC AB EC 即， ∴= AB AC EM EC 同理可得??EMF DBF ~ ∴ =EF DF EM BD ， 又， BD EC EM EC EM BD =∴= （ 为中间比），EM BD ∴=AB AC EF DF ， ∴?=?AB DF AC EF 方法二：如图，过D 作DN//EC 交BC 于N 第四讲----- 常用的辅助线的方法 知识点一：三角形问题添加辅助线方法 1）、方法1：三角形中线---------- 中线加倍。 含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当 的转移，很容易地解决了问题。 2）、方法2：含有平分线-------- 构造全等三角形。 常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角 形，从而利用全等三角形的知识解决问题。 3）、方法3：证明两线段相等，可通过 构成全等三角形； 利用关于平分线段的一些定理； 转化到同一三角形中，证明角相等； 4）、方法4:证明一条线段与另一条线段之和等于第三条线段-------------- 常 采用截长法或补短法。 截长法是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部 分等于第二条线段。 三角形中作辅助线的常用方法举例 一?倍长中线 1:已知△ ABC AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角 三角形，如图5-2，求证EF= 2AD。 F 图5 、截长补短法作辅助线 在厶 ABC 中，AD 平分/ BAC , / AC 吐2/B ,求证：AB = AC + CDb 三、延长已知边构造三角形： 例如：如图7-1 :已知AC = BD, AD 丄AC 于A , BCL BD 于B, 练习 如图，在梯形 ABCD 中，AD//BC ,/ B=50°,Z C=80°, AD=2, BC=5,求 CD 的 长。 四、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。 例如：如图 8-1： AB// CD, AD // BC 求证：AB=CD 求证：AD = BC 图8- C(完整版)相似三角形中几种常见的辅助线作法(有辅助线)
第四讲------三角形中辅助线的常见的添加方法
全等三角形中常见辅助线的添加方法
相似三角形之常用辅助线
2020中考数学二轮复习几何专题突破 三角形中常见辅助线的添加技巧(原卷版)
2020 年中考数学几何辅助线添加技巧几种辅助线添加技巧
三角形中位线中的常见辅助线
三角形中做辅助线的技巧
常见三角形辅助线口诀
三角形添加辅助线技巧
常见三角形辅助线口诀
相似三角形中的辅助线及动点问题(经典题型)
相似三角形中的辅助线归纳总结
第四讲------三角形中辅助线的常见的添加方法