相似三角形常用辅助线做法

作平行线构造相似三角形

1.添加平行线构造x型或A型相似三角形

2.从复杂图形中找出一个恰当的点，并做平行线达到解题目的。

【典例赏析】

【当堂练习】

【课后练习】

1.如图，D是△ABC的BC边上的点，BD：DC=2：1，E是AD的中点，连接BE并延长交AC于F，求（1）BE:EF的值。（2）AF：FC的值。

2.如图，在△ABC中，D为AC上一点，E为延长线上一点，且BE=AD，ED和AB 交于F。求证：

EF:FD=AC:BC

阅读下面的材料：

小明遇到一个问题：如图（1），在□ABCD中，点E是边BC的中点，点F是线段AE 上一点，BF的延长线交射线CD于点G. 如果，求的值

（2）如图（2），在原题的其他条件不变的情况下，如果，那么的值为（用含a的代数式表示）.

（3）请你参考小明的方法继续探究：如图（3），在四边形ABCD中，DC∥AB，点E 是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F. 如果，那么的值为（用含m，n的代数式表示）.

四边形辅助线专题训练

一、和平行四边形有关的辅助线作法 1．利用一组对边平行且相等构造平行四边形例1 如图1，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形. 求证:OE与AD互相平分. 说明：当已知条件中涉及到平行，且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，可试通过添加辅助线构造平行四边形. 2．利用两组对边平行构造平行四边形例2 如图2，在△ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED证:ED+FG=AC. 说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解决问题. 3．利用对角线互相平分构造平行四边形

例3 如图3，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证BF=AC. 图3 图4 说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边形.当已知中点或中线应思考这种方法. 二、和菱形有关的辅助线的作法和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题. 例4 如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF 例5 如图6，四边形ABCD是菱形，E为边AB上一个定点，F是AC上一个动点，求证EF+BF 的最小值等于DE长. 图6 说明：菱形是一种特殊的平行四边形，和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的不是很多，常见的几种辅助线的方法有：（1）作菱形的高；（2）连结菱形的对角线. 三、与矩形有辅助线作法和矩形有关的题型一般有两种：（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股

相似三角形添加辅助线的方法举例有答案新

相似三角形添加辅助线的方法举例例1：已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ．求证： BC 2 ＝2CD ·AC ．例2．已知梯形ABCD 中，BC AD //，AD BC 3=，E 是腰AB 上的一点，连结CE （1）如果AB CE ⊥ ，CD AB =，AE BE 3=，求B ∠的度数；（2）设BC E ?和四边形AECD 的面积分别为1S 和2S ，且2132S S =，试求 AE BE 的值例3．如图4-1，已知平行四边ABCD 中，E 是AB 的中点， AD AF 31= ，连E 、F 交AC 于G ．求AG ：AC 的值．例4、如图4—5，B 为AC 的中点，E 为BD 的中点，则AF ：AE=___________. 例5、如图4-7，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O 点，E 为AB 延长线上一点，OE 交BC 于F ，若AB=a ，BC=b ，BE=c ，求BF 的长．例6、已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．求证：CD BD AC AB = ．相似三角形添加辅助线的方法举例答案例1：已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ．求证： BC 2 ＝2CD ·AC ．分析：欲证 BC 2＝2CD ·AC ，只需证 BC AC CD BC = 2．但因为结论中有“2”，无法直接找到它们所在的相似三角形，因此需要结合图形特点及结论形式，通过添加辅助线，对其中某一线段进行倍、分变形，构造出单一线段后，再证明三角形相似．由“2”所放的位置不同，证法也不同．证法一（构造2CD ）：如图，在AC 截取DE ＝DC ， ∵BD ⊥AC 于D ， ∴BD 是线段CE 的垂直平分线， ∴BC=BE ，∴∠C=∠BEC ，又∵ AB ＝AC ， ∴∠C=∠ABC ． ∴ △BCE ∽△ACB ． ∴ BC AC CE BC =， ∴BC AC CD BC =2 ∴BC 2 ＝2CD ·AC ．证法二（构造2AC ）：如图，在CA 的延长线上截取AE ＝AC ，连结BE ， ∵ AB ＝AC ， ∴ AB ＝AC=AE ． ∴∠EBC=90°，又∵BD ⊥AC ． ∴∠EBC=∠BDC=∠EDB=90°， B C B C E B C

数学常见辅助线做法与小结

几何最难的地方就是辅助线的添加了，但是对于添加辅助线，还是有规律可循的，下面可小编给大家整理了一些常见的添加辅助线的方法，掌握了对你一定有帮助！ 1 三角形中常见辅助线的添加 1. 与角平分线有关的?? （1）可向两边作垂线。?? （2）可作平行线，构造等腰三角形?? （3）在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形?? 2. 与线段长度相关的?? （1）截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可?? （2）补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可?? （3）倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。?? （4）遇到中点，考虑中位线或等腰等边中的三线合一。? 3. 与等腰等边三角形相关的??

（1）考虑三线合一?? （2）旋转一定的度数，构造全都三角形，等腰一般旋转顶角的度数，等边旋转60?° 2 四边形中常见辅助线的添加特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线。下面介绍一些辅助线的添加方法。 1. 和平行四边形有关的辅助线作法? ???? 平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形。? （1）利用一组对边平行且相等构造平行四边形? （2）利用两组对边平行构造平行四边形? （3）利用对角线互相平分构造平行四边形?? 2. 与矩形有辅助线作法? ? （1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题? （2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少. 3. 和菱形有关的辅助线的作法? ??? ? ?

三角形常见的辅助线

全等三角形问题中常见的辅助线的作法常见辅助线的作法有以下几种： 1. 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折” 2. 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 3. 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理. 4. 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 5. 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明?这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答. 一、倍长中线（线段）造全等应用：1、（09崇文二模）以ABC 的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt^ABD 和等腰Rt^ACE , ? BAD = ? CAE = 90 （1）如图① 当 ABC 为直角三角形时，AM 与 DE 的位置关系是线段AM 与DE 的数量关系是（2）将图①中的等腰Rt'ABD 绕点A 沿逆时针方向旋转二（0＜二＜90）后，如图②所示，（1 ）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由. 连接DE ，M 、N 分别是 BC 、DE 的中点?探究: AM 与DE 的位置关系及数量关系. 例1、已知, 例2、如图, 例3、如图,

相似三角形之常用辅助线

相似三角形之常用辅助线在与相似有关得几何证明、计算得过程中 ,常常需要通过相似三角形,研究两条线段之间得比例关系,或者转移线段或角。而有些时候,这样得相似三角形在问题中,并不就是十分明显、因此,我们需要通过添加辅助线,构造相似三角形,进而证明所需得结论。专题一、添加平行线构造“Ａ"“X”型定理:平行于三角形一边得直线与其它两边(或两边延长线)相交,所构成得三角形与原三角形相似。定理得基本图形: 例1、平行四边形AＢCD中,E为ＡＢ中点,AF:ＦD＝1:2,求ＡＧ:GＣ变式练习: 已知在△ABC中,AD就是∠BAＣ得平分线.求证:、(本题有多种解法,多想想) 例2、如图,直线交△AＢＣ得BC,ＡＢ两边于D,E,与ＣA延长线交于F,若==2,求BE:EＡ得比值、变式练习:如图,直线交△ABC得ＢC,ＡＢ两边于D,E,与CA延长线交于F,若错误!= 错误!=2,求BＥ:E Ａ得比值。例3、BE=AD,求证:EF·BC＝AC·DF 变式1、如图,△ABＣ中,AB

专题二平行四边形常用辅助线的作法精排版

专题讲义平行四边形+几何辅助线的作法一、知识点 1．四边形的内角和与外角和定理：（1）四边形的内角和等于360°；（2）四边形的外角和等于360°. 2．多边形的内角和与外角和定理：（1）n 边形的内角和等于(n-2)180°；（2）任意多边形的外角和等于360°. 3．平行四边形的性质：四边形ABCD 是平行四边形 ?????????. 54321）邻角互补（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等；（）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（ 4、平行四边形判定方法的选择 5、和平行四边形有关的辅助线作法（1）利用一组对边平行且相等构造平行四边形例1、如图，已知点O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 的中点，四边形OCDE 是平行四边形求证: OE 与AD 互相平分. （2）利用两组对边平行构造平行四边形例2、如图，在△ABC 中，E 、F 为AB 上两点，AE=BF ，ED//AC ，FG//AC 交BC 分别为D ，G. 求证: ED+FG=AC. （3）利用对角线互相平分构造平行四边形例3、如图，已知AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE=EF.求证BF=AC. A B C D 1234A B C D A B D O C 性质判定说明：当已知条件中涉及到平行，且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，可说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边形.当已知中点或中线应思考这种方法.

（4）连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。例4、如图，在平行四边形ABCD 中，点F E ,在对角线AC 上，且CF AE =,请你以F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）（5）平移对角线，把平行四边形转化为梯形。例5、如右图2，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果12=AC ， 10=BD ，m AB =，那么m 的取值范围是（） A 、111<

(完整版)相似三角形中几种常见的辅助线作法(有辅助线)

相似三角形中几种常见的辅助线作法在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：一、添加平行线构造“A ”“X ”型例1：如图，D 是△ABC 的BC 边上的点，BD ：DC=2：1，E 是AD 的中点，求：BE ：EF 的值. 解法一：过点D 作CA 的平行线交BF 于点P ，则 ∴PE=EF BP=2PF=4EF 所以BE=5EF ∴BE ：EF=5：1. 解法二：过点D 作BF 的平行线交AC 于点Q ， ∴BE ：EF=5：1. 解法三：过点E 作BC 的平行线交AC 于点S ，解法四：过点E 作AC 的平行线交BC 于点T ， ∵BD=2DC ∴ ∴BE ：EF=5：1. 变式：如图，D 是△ABC 的BC 边上的点，BD ：DC=2：1，E 是AD 的中点, 连结BE 并延长交AC 于F, 求AF ：CF 的值. 解法一：过点D 作CA 的平行线交BF 于点P ，解法二：过点D 作BF 的平行线交AC 于点Q ，解法三：过点E 作BC 的平行线交AC 于点S ，解法四：过点E 作AC 的平行线交BC 于点T ，， 1==AE DE FE PE ,2==DC BD PF BP ，则2==EA DA EF DQ ,3==DC BC DQ BF ， EF EF EF EF DQ EF BF BE 563=-=-=-=，则DC CT DT 2 1 ==；TC BT EF BE =， DC BT 2 5=

例2：如图，在△ABC的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE， DE延长线与BC延长线相交于F ，求证：（证明：过点C作CG//FD交AB于G）例3：如图，△ABC中，AB

8下四边形中常见辅助线

四边形中常用的辅助线四边形中添辅助线的目的一般都是造就线段平行或垂直，构造全等三角形、直角三角形、平行四边形等，把难以解决的问题转化成常见的三角形、平行四边形等问题处理，其常用方法有以下几种： (1)连结对角线或平移对角线． (2)把图形中的一部分旋转，构造全等三角形． (3)涉及面积问题的，常构造直角三角形． (4)已有一组平行线或对角线互相平分的，常构造平行四边形． (5)涉及线段中点或平行四边形对角线交点的，常构造三角形的中位线．经典例题 1．如图，在四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点．E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从点C向点D移动而点R不动时，下列结论成立的是( ) A. 线段EF的长逐渐增大 B. 线段EF的长逐渐减少 C. 线段EF的长不变 D. 线段EF的长与点P的位置有关 2．如图，四边形ABCD放在一组距离相等的平行线中，已知BD＝6 cm，四边形ABCD的面积为24 cm2，则两条平行线间的距离为( ) A. 2 cm B. 3 cm C. 4 cm D. 1 cm 3．如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PG，PC.若∠ABC＝∠BEF＝60°，则等于( )

A. B. C. D. 4．已知P是正方形ABCD内一点，PB＝，PC＝1，∠BPC＝135°，则AP的长为． 5．如图，已知正方形ABCD的边长为1，连结AC，BD相交于点O，CE平分∠ACD，交BD于点E，则DE的长为________． 6．如图，P为?ABCD内一点，△PAB，△PCD的面积分别记为S1，S2，?ABCD的面积记为S，试探究S ＋S2与S之间的关系． 1 7．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A∶∠C＝1∶2，AB＝2，CD＝1.求： (1)∠A，∠C的度数． (2)AD，BC的长度． (3)四边形ABCD的面积．

沪科版八年级数学下册四边形辅助线常用做法

四边形常用的辅助线做法 1．利用一组对边平行且相等构造平行四边形例1 如图1，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形. 求证:OE与AD互相平分. 2．利用两组对边平行构造平行四边形例2 如图2，在△ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED//AC，FG//AC交BC分别为D，G.求证:ED+FG=AC. 分析:要证明ED+FG=AC,因为DE//AC,可以经过点E作EH//CD交AC于H得平行四边形,得ED=HC,然后根据三角形全等,证明FG=AH. 3．利用对角线互相平分构造平行四边形例3 如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证BF=AC. 二、和菱形有关的辅助线的作法和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题. 例4 如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF//BC交AD于点F，求证：四边形CDEF是菱形.

例5 如图6，四边形ABCD 是菱形，E 为边AB 上一个定点，F 是AC 上一个动点，求证EF+BF 的最小值等于DE 长. 图6 说明：菱形是一种特殊的平行四边形，和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的不是很多，常见的几种辅助线的方法有：（1）作菱形的高；（2）连结菱形的对角线. 与矩形有辅助线作法和矩形有关的题型一般有两种：（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少. 例6 如图7，已知矩形ABCD 内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求 PD 的长. 图7 说明：本题主要是借助矩形的四个角都是直角，通过作平行线构造四个小矩形，然后根据对角线得到直角三角形，利用勾股定理找到PD 与PA 、PB 、PC 之间的关系，进而求到PD 的长. 四、与正方形有关辅助线的作法正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线. 例7如图8，过正方形ABCD 的顶点B 作BE//AC ，且AE=AC ，又CF//AE.求证：∠BCF=21 ∠AEB.

初中数学特殊四边形的辅助线做法及口决

特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形. 在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线. 下面介绍一些辅助线的添加方法. 一、和平行四边形有关的辅助线作法平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形. 1．利用一组对边平行且相等构造平行四边形例1 、如图1，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形. 求证:OE与AD互相平分. 分析: 因为四边形OCDE是平行四边形,所以OC//ED,OC=DE,又由O是AC的中点,得出AO//ED,AO=ED,则四边形AODE是平行四边形,问题得证. 证明:连结AE、OD，因为是四边形OCDE是平行四边形，所以OC//DE，OC=DE，因为0是AC的中点，所以A0//ED，AO=ED, 所以四边形AODE是平行四边形，所以AD与OE互相平分. 说明：当已知条件中涉及到平行，且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，可试通过添加辅助线构造平行四边形. 2．利用两组对边平行构造平行四边形例2、如图2，在△ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED//AC，FG//AC交BC分别为D，G.求证:ED+FG=AC.

分析:要证明ED+FG=AC,因为DE//AC,可以经过点E作EH//CD交AC于H得平行四边形,得ED=HC,然后根据三角形全等,证明FG=AH. 证明:过点E作EH//BC,交AC于H,因为ED//AC,所以四边形CDEH是平行四边形,所以ED=HC,又FG//AC,EH//BC,所以∠AEH=∠B,∠A=∠BFG,又AE=BF,所以△AEH≌△FBG, 所以AH=FG,所以FG+DE=AH+HC=AC. 说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解决问题. 3．利用对角线互相平分构造平行四边形例3 、如图3，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证BF=AC. 分析：要证明BF=AC，一种方法是将BF和AC变换到同一个三角形中，利用等边对等角；另一种方法是通过等量代换，寻找和BF、AC相等的相段代换.寻找相等的线段的方法一般是构造平行四边形. 证明：延长AD到G，使DG=AD，连结BG，CG，因为BD=CD，所以四边形ABGC是平行四边形，所以AC=BG， AC//BG，所以∠1=∠4，因为AE=EF，所以∠1=∠2，又∠2=∠3，所以∠1=∠4，所以BF=BG=AC. 图3 图4 说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边形.当已知中点或中线应思考这种方法.

四边形辅助线常用做法

四边形常用的辅助线做法作辅助线的方法一：中点、中位线，延线，平行线。如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。二：垂线、分角线，翻转全等连。如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。三：边边若相等，旋转做实验。如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。四:造角、平、相似，和、差、积、商见。如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。” 五：面积找底高，多边变三边。如遇求面积，（在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积），往往作底或高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键。如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。四边形平行四边形出现，对称中心等分点。梯形问题巧转换，变为△和□。平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。上述方法不奏效，过腰中点全等造。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。添加辅助线解特殊四边形题特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线.下面介绍一些辅助线的添加方法. 和平行四边形有关的辅助线作法平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形. 平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：（1）连对角线或平移对角线：（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.

相似三角形常用辅助线

相似三角形之常用辅助线在与相似有关的几何证明、计算的过程中，常常需要通过相似三角形，研究两条线段之间的比例关系，或者转移线段或角。而有些时候，这样的相似三角形在问题中，并不是十分明显。因此，我们需要通过添加辅助线，构造相似三角形，进而证明所需的结论。专题一、添加平行线构造“A ”“X ”型定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：例1、平行四边形ABCD 中，E 为AB 中点，AF ：FD ＝1：2，求AG ：GC 变式练习：已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．求证：．（本题有多种解法，多想想） G F E D C B A G F E D C B A CD BD AC AB

例2、如图，直线交△ABC 的BC,AB 两边于D,E,与CA 延长线交于F,若 DC BD ＝FA FC =2,求BE:EA 的比值. 变式练习：如图，直线交△ABC 的BC,AB 两边于D,E,与CA 延长线交于F,若BD DC ＝ FE ED =2,求BE:EA 的比值. 例3、BE ＝AD ，求证：EF ·BC ＝AC ·DF 变式1、如图，△ABC 中，AB

例4、已知：如图，在△ABC 中，AD 为中线，E 在AB 上，AE=AC ，CE 交AD 于F ，EF ∶FC=3∶5，EB=8cm, 求AB 、AC 的长. 变式：如图，21==DE AE CD BD ，求BF AF 。（试用多种方法解）说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧．在解题中方法要灵活，思路要开阔．总结：（1）遇燕尾，作平行，构造字一般行。（2）引平行线应注意以下几点： 1）选点：一般选已知（或求证）中线段的比的前项或后项，在同一直线的线段的端点作为引平行线的点。 2）引平行线时尽量使较多已知线段、求证线段成比例。

初三数学平行四边形中常用辅助线的添法专题辅导

平行四边形中常用辅助线的添法徐卫东刘建英平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：一、连对角线或平移对角线：例1 如图1，E 是平行四边形ABCD 中AD 延长线上一点，ED 交BC 于F ，求证：CEF ABF S S △△=。简证：连BD ，由图易得BCE BDE S S △△=（同底等高），BDF ABF S S =△（同底等高）所以BEF BCE BEF BDE S S S S △△△△-=-，所以ECF BDF S S △△=，即CEF ABF S S △△=。例2 如图2，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O ，AC=a+b ，BD=a+c （c b >）， AB=m ，求m 的取值范围。简解：要求AB 的值，需把AC 、BD 、AB 集中在一个三角形中，过C 作CE ∥DB 交AB 的延长线于E ，由图易得DBEC 是平行四边形，所以c a DB CE +==， m AB DC BE ===，即m 2AE =，在△ACE 中， CE AC AE CE AC +<<-，即 ()()c b a 22 1m c b 21 ++<<-。二、过顶点作对边的垂线构造直角三角形例3 如图3，平行四边形ABCD 中，∠DBC=?30，DE ⊥DB 交BC 的延长线于E ，AD=a ，DE=b ，求DCE S △。

三角形中位线中的常见辅助线

三角形中位线中的常见辅助线知识梳理知识点一中点一、与中点有关的概念三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半斜边中线判定：若三角性一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形二、与中点有关的辅助线方法一：倍长中线解读：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。方法二：构造中位线解读：凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取另一边中点，或延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。

方法三：构造三线合一解读：只要出现等腰三角形，或共顶点等线段，就需要考虑构造三线合一，从而找到突破口其他位置的也要能看出方法四：构造斜边中线解读：只要出现直角三角形，或直角，则考虑连接斜边中线段，第一可以出现三条等线段，第二可以出现两个等腰三角形，从而转化线段关系。其他位置的也要能看出

C E D B A 常见考点构造三角形中位线考点说明：①凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取四边形对角线中点、等腰三角形底边中点、直角三角形斜边中点或其他线段中点; ②延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。 “题中有中点，莫忘中位线”．与此很相近的几何思想是“题中有中线，莫忘加倍延”，这两个是常用几何思想，但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来．平移也有类似作用．典型例题【例1】已知：AD 是ABC △的中线，AE 是ABD △的中线，且AB BD =，求证：2AC AE =．举一反三 1. 如右下图，在ABC ?中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证：2AB DE =．

平行四边形有关的常用辅助线

PART A 知识讲解六类与平行四边形有关的常见辅助线，供借鉴：第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。例1如左下图1，在平行四边形ABCD 中，点F E ,在对角线AC 上，且CF AE =,请你以F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可） ⑴连结BF ⑵DE BF = ⑶证明：连结DF DB ,,设AC DB ,交于点O ∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴OB DO OC AO ==, ∵FC AE = ∴FC OC AE AO -=- 即OF OE = ∴四边形EBFD 为平行四边形 ∴DE BF = 图2 图1 E C A A B 第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。例2如右图2，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果12=AC ， 10=BD ，m AB =，那么m 的取值范围是（） A 111<

常见三角形辅助线口诀

初二几何常见辅助线口诀三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，倍长中线得全等。四边形平行四边形出现，对称中心等分点。梯形问题巧转换，变为三角或平四。平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。上述方法不奏效，过腰中点全等造。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。由角平分线想到的辅助线一、截取构全等

如图， AB//CD, BE平分/ ABC CE平分/ BCD点E在AD上，求证：BC=AB+C。分析：在此题中可在长线段BC上截取BF=AB再证明CF=CD从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于点来证明。自已试一试。二、角分线上点向两边作垂线构全等如图，已知AB>AD, / BAC K FAC,CD=B C求证：/ ADC# B=180 分析：可由C向/BAD的两边作垂线。近而证/ ADC与Z B之和为平角三、三线合一构造等腰三角形如图，AB=AC Z BAC=90, AD为Z ABC的平分线，CEL BE.求证：BD=2CE 分析：延长此垂线与另外一边相交，得到等腰三角形，随后全等。四、角平分线+平行线女口图，AB>AC, Z 1 = Z2,求证：AB-AC>BD-CD c

专题二：平行四边形常用辅助线的作法(精排版)

专题讲义平行四边形+几何辅助线的作法、知识点 1 ?四边形的内角和与外角和定理： (1) 四边形的内角和等于360°; (2) 四边形的外角和等于360° . 2. 多边形的内角和与外角和定理： (1) n 边形的内角和等于(n-2)180 ° (2) 任意多边形的外角和等于 360° 3. 平行四边形的性质： 4、平行四边形判定方法的选择 ..”■ 已知条件选择的狎定方法 i 边 1. 一鲫边幘 L .... 讹⑵沁⑶ 一组对边平行定文｛方法1),方送⑶ 一纽对命相等方法《5〉方搓⑷ 5、和平行四边形有关的辅助线作法 (1)利用一组对边平行且相等构造平行四边形例1、如图，已知点O 是平行四边形ABCD 勺对角线AC 的中点，四边形OCD 是平行四边形? 求证：OE 与AD 互相平分. 说明：当已知条件中涉及到平行，且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，可试通过添加辅助线构造平行四边形—: 性质四边形ABCD 是平行四边形判定 (1) 两组对边分别平行; (2) 两组对边分别相等; (3) 两组对角分别相等; (4) 对角线互相平分； (5) 邻角互补. B C C

(2)利用两组对边平行构造平行四边形例2、如图，在△ ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF ED//AC, FG//AC交BC分别为D, G. 说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解决问 (3)利用对角线互相平分构造平行四边形例3、如图，已知AD S^ ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF求证BF=AC. 说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边形.当已知中点或中线应思考这种方法?

与平行四边形有关的常用辅助线作法归类

与平行四边形有关的常用辅助线作法归类解析第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。例1如左下图1，在平行四边形ABCD 中，点F E ,在对角线AC 上，且CF AE =,请你以F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可） ⑴连结BF ⑵DE BF = ⑶证明：连结DF DB ,,设AC DB ,交于点O ∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴OB DO OC AO ==, ∵FC AE = ∴FC OC AE AO -=- 即OF OE = ∴四边形EBFD 为平行四边形 ∴DE BF = 图2 图1 E C A A B 第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。例2如右图2，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果12=AC ， 10=BD ，m AB =，那么m 的取值范围是（） A 111<

常见三角形辅助线口诀

由角平分线想到的辅助线一、截取构全等如图，AB证：BD=2CE。分析：延长此垂线与另外一边相交，得到等腰三角形，随后全等。四、角平分线+平行线如图，AB>AC, ∠1=∠2，求证：AB－AC>BD－CD。分析：AB上取E使AC=AE，通过全等和组成三角形边边边的关系可证。由线段和差想到的辅助线五、截长补短法 AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE。

分析：过C点作AD垂线，得到全等即可。由中点想到的辅助线一、中线把三角形面积等分如图，ΔABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中线。已知ΔABC的面积为2，求：ΔCDF的面积。分析：利用中线分等底和同高得面积关系。二、中点联中点得中位线如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。求证：∠BGE=∠CHE。分析：联BD取中点联接联接，通过中位线得平行传递角度。三、倍长中线如图，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，连BC上的中线AD=2，求BC的长。

相似三角形中的辅助线及动点问题(经典题型)

第2讲相似三角形中的辅助线及动点在解相似三角形问题时，常需要作辅助线来沟通已知条件和未知条件，在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：、作平行线例1.如图，.VABC 的AB 边和AC 边上各取一点 ” BF BD 求证： CF CE 例2.如图，△ ABC 中，AB

例4.如图从—ABCD 顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F，求证: 2 AB AE AD AF =AC2。三、作延长线例5.如图，在梯形ABCD中，AD // BC,若/ BCD的平分线CH丄AB于点H , BH=3AH，且四边形AHCD的面积为21,求厶HBC的面积。例6?如图，https://www.360docs.net/doc/1c1006575.html,BC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC 于F, FG _ AB于G, 求证：FG2=CF *BF

四、作中线例 7 如图，. ：ABC 中，AB 丄AC , AE 丄 BC 于 E , D 在 AC 边上，若 BD=DC=EC=1，求 AC 。 2、如图，正方形 ABCD 勺边长为2, AE = EB MN= 1,线段MN 的两端在CB CD 上滑动，当CM 为何值时，△ AED 与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似？动点题型 1、如图正方形ABCD 的边长为2, AE=EB ，线段MN 的两端点分别在 MN=1，当CM 为何值时厶AED 与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似？ CB 、CD 上滑动，且 u c D N C