首届全国中学生数理化学科能力竞赛数学学科能力解题技能初赛试题(高二)参考答案及评分标准

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首届全国中学生数理化学科能力竞赛数学学科能力解题技能初赛试题（高二）参考答案及评分标准

１．Ｄ．

２．Ｃ．

３．Ｂ．４．Ｃ．

５．Ａ．６．Ｄ．

７．１７．８．翟或２南．９．卜２，卦１０．ａ＜一ｂ．

１１．』ｋ．１２．２００８．

竹１－ｊ

１３．（Ｉ）解：因为％＋ｌ一２ａ。＋托一１，所以口。＋１＋（咒＋１）一２（口。＋竹），而ａ１＋１—２，所以ａ。卡竹≠ｏ，所以

坠也三掣一２，即数列｛ｎ。＋咒）是首项和公比都为

２的等比数列．（６分）

ａ。＋竹一２?２”１，所以数列｛ｎ。）的通项公式为ａ。一２”一，１．（４分）

（１Ｉ）证明：由（Ｉ）及题设知玩一撇。＋咒２一椎?２”，

那么Ｓ。一１?２＋２?２２＋３?２３＋…＋ｎ?２“所以２Ｓ。一１?２２＋２?２３－ｔ－３?２４＋…＋咒?２“１以上两个等式两边相减得

一ｓ一２＋２２＋２。＋…＋２一一ｎ．２ｎ＋ｌ一垒掣一

竹．２“１一（１一咒）．２ｎ＋ｌ一２，所以Ｓ。一（ｎ一１）?２川＋２，进而得Ｓ＋。一规?２“２＋２．（６分）

所以Ｓ＋１—２Ｓ．一（ｎ?２抖２＋２）一２［（竹一１）?２“。１＋２］一

２计２—２≥２１＋２—２—６．所以Ｓ＋１≥２Ｓ＋６．（４分）

１４。解：根据三角形的性质知：ｚ＋ｙ＋ｚ一７ｃ净ｚ一７ｃ一（ｚ＋了）．根据诱导公式可将方程转化为：

２ｃｏｓｚ＋２ｃｏｓｙ一２ｃｏｓ（ｚ＋３，）一３．（４分）根据三角公式方程可进一步转化为

４螂Ｔｘ＋ｙｃｏｓ掣一２（２ｃＯｓ２也２—１）一３．（６分）配方得（２ｃ。ｓＴｘ＋ｙ—ｃ。ｓ孚）。＋ｓｉｒ？孚；ｏ．（４分）

ｆ２ｃｏｓ字一ｃ。ｓ孚一０，

①ｓｉｎ与≯一０，

②

Ｌ

厶

又因为ｚ，ｙ是一个三角形内角的弧度数，所以

兰尹∈（一号，号）所以由②知兰产一０，③．（４分）

由①、③联立解得ｚ—ｙ一詈，进而得到三元方程

的解为（号，号，号）．（２分）

１５．解：由题意得２优７２ｐ一（优＋２）（摊＋２）（夕＋２），所以

（?＋去）（?十鲁）（?＋吾）一２．ｃ４分，

（１）当ｍ≥８时，因为ｍ≤ｎ≤Ｐ，所以

（?＋鲁）（?＋吾）（，＋吾）≤（，＋百２）３＜２，矛盾；（３分）（２）当ｍ≤２时。，（１＋－５１（１＋－５１（?＋吾）＞２，

矛盾；（３分）

（３）当ｍ一３时，则６ｎｐ一５（咒＋２）（Ｐ＋２），即

（”一１０）（声一１０）一１２０，所以Ｐ的最大值为１３０；（３分）

（４）当ｍ一４时，则４ｎｐ一３（”＋２）（Ｐ＋２），即

（竹一６）（Ｐ一６）一４８，所以Ｐ的最大值为５４；（４分）

。’当ｍ≥５时，（１＋蚩）一ｉｊ弓耥＞

——１—Ｌ—＿厂，解得ｐ＜９８．

（，＋号）（，＋号）

综上所述Ｐ的最大值为１３０．（３分）

首届全国中学生数理化学科能力竞赛物理学科能力解题技能初赛试题（高二）参考答案及评分标准

１．Ａ、Ｃ．

２．Ａ、Ｂ．３．Ｃ．

４．Ｃ．

５．Ｂ、Ｄ．６．Ｄ．

７．Ｃ、Ｄ．

８．Ａ、Ｄ．

９．Ａ、Ｄ．１０．Ａ．

１１．（１）ｓ饭／Ｚｈ；Ｆ，Ｌ

（２）Ｓ；Ｌ（每空２分）

１２．（１）保护电源，防止短路（３分）

（２）如图所示（有一处错就不给分）（３分）（３）２．９５；１．２１（每空２分）

（４）多测几组Ｒ、Ｕ，分别求出电动势Ｅ、内阻ｒ，Ｎ－求Ｅ、ｒ的平均值，或利用图象处理数据．（２分）

１３．设甲、乙两车的质量分别为ｍ１和ｍｚ．紧急刹车时两车的制动力分别为Ｆ－和Ｆｚ，刹车时两车运动的加速度大小分别为ｏ．１和ｎ：，根据牛顿第二定律分勇Ｕ可

得口１＿鲁一５ｍ嘻２’（１分）

ｎ。一垦一４ｍ．Ｓ－２＂（１分）

ｍ２

（１）设甲车停下来滑行的距离为ｓ，则ｓ一杀一

１０

ｍ．（１分）得ｓ一１０ｍ＜１５ｍ，所以甲车司机能避免闯红灯．（２分）

（２）因为ａ。＞ｎ：。所以当乙车速度为零时恰不与甲车相撞，此时甲乙辆车车距最小．（１分）

一２则有甲车的位移Ｓ，一｝一１０

ｍ，（１分）厶ａ１—２乙车的位移ｓ。一材粕＋÷一１７．５

ｍ，（１分）

二ａ，

Ａｓ—ｓｚ—ｓｌ一７．５

ｍ．（２分）

１４．（１）（３分）根据轮子的实际直径０．４５ｍ和它在照

理化?高二

作为一个人。要是不经历过人世上的悲欢离合，不跟生活打过交手仗，就不可能懂得人生的意＝；Ｌ．——杨朔

万方数据