高二数学竞赛试题和答案
2011年高二数学竞赛试卷
2011年3月6日上午8:20---10:00 总分 150分
一.选择题(每小题5分,共50分)
1. 若,,A B C 为三个集合,C B B A ?=?,则一定有 ……………………… ( )
A . φ=A
B .A
C ? C .C A ≠
D .C A ?
2.定义运算()()y x y x y x x y ?*=??
≥<,则函数()(sin 2)(cos )f x x x =*的最大值为 ……… ( )
A .12
B
C
D . 1
3.已知椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的中心为原点O ,右焦点为F ,若在直线2
:L x =上存在点M ,使线段OM 的垂直平分线经过点F ,则椭圆的离心率的取值范围是…… ( )
A . ??? ??22,0
B . ??? ??23,0
C . ???????1,22
D . ???????1,23 4.,a b r r 为单位向量,则“对任意的()0,1t ∈都有a tb a b -≤-r r r r ”是“14
a b ? C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 5.已知()1122,,(,)A x y B x y 是函数2()12x f x x =-图像上不同的两点,若AB 的中点落在x 轴上,则2212x x +的取值范围为 ………………………………………………………………… ( ) A .1(,)16+∞ B .1(,)8+∞ C .1(,)4+∞ D .1(,)2 +∞ 6.在ABC ?中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若23 C π∠=,c =,过C 作AB 的垂线,垂足为 D ,设AD DB λ=u u u r u u u r ,则 …………………………………………………… ( ) A .01λ<< B .1λ= C .1λ> D .0λ< 7.平面上三点))(,(i f i P i ,(3,2,1=i ,{}4,3,2,1)(∈i f ).若点Q 满足()0i j i j QP QP PP +?=u u u r u u u r u u u u r ,{}(,,1,2,3)i j i j ≠∈且123()QP QP QP R λλ+=∈u u u r u u u r u u u r .则这样的三角形321P P P 的个数为…( ) A .2 B .6 C .12 D .16 8.如果从数1,2,3,,14???中,按由小到大的顺序取出123,,a a a ,使同时满足:213a a -≥, 323a a -≥,则所有符合上述要求的不同取法有 ……………………………… ( ) A .310C B . 312 C C .314C D . 316C 9.已知函数2()f x ax ax =+和()g x x a =-(a R ∈).若方程()()0f x g x -=的两实根p 和q 满足10p q a <<<.则当()0,x p ∈时,下列不等式成立的是 …………………………… ( ) A .()()g x p a f x <-< B .()()f x g x p a <<- C .()()g x f x p a <<- D .()()f x p a g x <-< 10.已知,,,a b c d 是正数,且21,21a b c d +=+=,则11a bcd +的最小值为………… ( ) A . 116 B . 18 C . 14 D . 25 二.填空题(每小题7分,共49分) 11.函数22y x x =-在区间[],a b 上的值域是[]1,3-,则点(,)a b 所在轨迹的长度为 . 12.实数,x y 满足:20 40250x y x y x y -+≥??+-≥??--≤? ,且2z x y m =++的最大值为21,则实数m = . 13.在正方体1AC 中,过1C 的直线与1,AC A D 所成角都等于θ,则θ的取值范围为 . 14. n S 为数列{}n a 前n 项和,若12011a =且对所有的n (12011n ≤≤)都有2n n S n a =. 则2011a = . 15.中心在原点的正方形,四个顶点都在函数()3 ()0f x ax bx a =+>图象上,且其中的一个顶点坐标为(2,1),则函数()f x 的单调递增区间为 . 16.在等差数列21384{},0,,n n a a a a a a >++=中且则310a S 最大值是 . 17.已知1,1x y ≤≤,且124k x y y y x =++++--,则max min k k += . 三.解答题(每小题17分,共51分) 18.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和,且满足:)1(2+=+n n a n n S . (Ⅰ)求证:数列{}n a 为等差数列; (Ⅱ)若存在不小于2的正整数m 满足m m a S =,求数列{}n a 的首项1a 所能取值的集合. 19.椭圆C :22 221(0)x y a b a b +=>>,12,A A 为椭圆C 的左右顶点,12,B B 为椭圆C 的上下顶点. (Ⅰ)设点0(,0)M x ,若当且仅当椭圆C 上的点P 在椭圆的顶点时,PM 取得最大值与最小值,求0x 的取值范围; (Ⅱ)若椭圆C 上的点P 到焦点距离的最大值为3,最小值为1,且与直线:l y kx m =+相交于A , B 两点(A B ,不是椭圆的左右顶点) ,并满足22AA BA ⊥.试研究:直线l 是否过定点?若过定点,请求出定点坐标,若不过定点,请说明理由. 20.已知集合{}(,)|,0D x y x y k x y =+=?>.其中k 为正常数. (Ⅰ)设u xy =,求u 的取值范围. (Ⅱ)当1k ≥时不等式2112()()()2k x y x y k --≤-对任意(,)x y D ∈是否恒成立?说明理由; (Ⅲ)求使不等式2112()()()2k x y x y k --≥-对任意(,)x y D ∈恒成立的k 的范围. 2011年嵊州市高二数学竞赛试卷答案(3.6) 一选择题(每小题5分,共50分) DCCBD ABACD 10解:由平均值不等式及题设条件知2212( )24c d cd +≤=,即18 cd ≤,……○1 当且仅当11,24c d ==时取等号.这时由○1便得1118a bcd a b +≥+,…………○2 又由条件和柯西不等式可得21818()(2)(14)25a b a b a b +=++≥+=,……○3 ○3当且仅当2b a =时取等号,结合条件便知此时12,55a b ==.由○2○3○4便得1125a bcd +≥.当1211,,,5524a b c d ====时,11a bcd +取最小值25. 二填空题(每小题7分,共49分) 11. 4 12.4- 13. ,62ππ?????? 14.11006 15. (,-∞-和)+∞ 16. 3754 17. 10 三解答题(每小题17分,共51分) 18(Ⅰ)解答:当1=n 时显然成立; 当2≥n 时,有)1)(1()1(121++=++++n n a n n S 与已知式相减得:n na na n n 21+=+, 即21+=+n n a a , ……4分 故数列{}n a 构成首项为1a ,公差为2的等差数列. ………………8分 (Ⅱ)把m S 代入已知式得)1(2+=+m m a m m a 即)1()1(-=-m m a m m ,即m a m = ………………12分 又)1(21-+=m a a m 代入上式得: m a -=21 . ……………14分 因为m 为不小于2的正整数,所以1a 的取值集合为{}Λ,3,2,1,0--- 或写为{}N k k a a ∈-=,|. ……………………………………………17分 19(Ⅰ)设2 202)(||)(y x x PM x f +-==2 2220022c x x x x b a =-++. …………3分 对称轴方程202c x a x =,由题意a c x a ≥202或202a x a c ≤-或0202=c x a .………6分 ∴a c x 20≥或a c x 20-≤或00=x ,∴),[}0{],(2 20+∞??--∞∈a c a c x .……8分 (Ⅱ)由已知与(Ⅰ)得:3a c +=,1a c -=,2a ∴=,1c =,222 3b a c ∴=-=. ∴椭圆的标准方程为22 143 x y +=. …………………………………10分 设11()A x y ,,22()B x y ,, 联立22 1.4 3y kx m x y =+???+=??,得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=, 22222212221226416(34)(3)03408344(3).34m k k m k m mk x x k m x x k ???=-+->+->??+=-?+??-=?+? g ,即,则,………………12分 又2222 1212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+, 因为椭圆的右顶点为2(20)A ,,221AA BA k k ∴=-,即1212122 y y x x =---g , 1212122()40y y x x x x ∴+-++=,222222 3(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --∴+++=+++, 2271640m mk k ∴++=. ………………………14分 解得:12m k =-,227 k m =-,且均满足22340k m +->, 当12m k =-时,l 的方程为(2)y k x =-,直线过定点(20),,与已知矛盾;………15分 当227k m =-时,l 的方程为27y k x ??=- ???,直线过定点207?? ??? ,. ………………17分 20(Ⅰ)22()24x y k xy +≤=,当且仅当2 k x y ==时等号成立, 故u 的取值范围为2 (0,]4 k . ………………………4分 (Ⅱ) 变形,得1 11()()x y x y xy x y xy y x --=+-- 222211122x y k k xy xy u xy xy xy u +--=+-=-+=-+. ……………6分 由204k u <≤,又1k ≥,210k -≥,∴21()2k f u u u -=-+在2 (0,]4 k 上是增函数, 所以11()()x y x y --=212k u u --+22222214222()4424 k k k k k k k -≤-+=-+=-. 即当1k ≥时不等式21 12()()()2k x y x y k --≤-成立. ………………………10分 (Ⅲ)令11()()x y x y --=212()k u f u u -++=,则)4 ()22(22k f k k =-, 即求使2()()4k f u f ≥对2 (0,]4 k u ∈恒成立的k 的范围.…………………………12分 由(II )知,要使21 12()()()2k x y x y k --≥-对任意(,)x y D ∈恒成立,必有01k <<,因此210k ->,∴函数21()2k f u u u -=++ 在 上递减,在)+∞上递增, 要使函数()f u 在2 (0,]4 k 上恒有2()()4k f u f ≥ ,必有24k ≤, 即4216160k k +-≤ ,解得0k <≤ …………………………17分 高二数学期末考试试卷 出题人:冯亚如 一.选择题(40分) 1.由数列1,10,100,1000,……猜测该数列的第n 项是( ) A.10n+1 B.10n C.10n-1 D. 10n 2.空间中垂直于同一条直线的两条直线( ) A.互相平行 B.互相垂直 C.异面或相交 D.平行或相交或异面 3.在正方体1111D C B A ABCD 中与直线1AC 异面的棱有( ) A.4条 B.6条 C.8条 D.10条 4.某中职学校一年级二年级各有12名女排运动员,要从中选出6人调查学习负担情况,调查应采取的抽样方法是( ) A.随机抽样 B.分层抽样 C.系统抽样 D.无法确定 5.已知点A(-3,-2),B(2,3)则直线AB 的倾斜角为( ) A.450 B.600 C.900 D.1350 6.已知12件同类产品中,有10件是正品,2件是次品,从中任意抽取3件的必然事件是 ( ) A .3件都是正品 B.至少有一件是正品 C.3件都是次品 D.至少有一件是次品 7.判断直线L 1:x+3y-4=0与L 2:3x-y+1=0的位置关系( ) A.平行 B.相交但不垂直 C.重合 D.垂直 8.在100张奖券中,有4张中奖卷,从中任取1张,中奖的概率是 ( ) A. 201 B. 101 C. 251 D. 30 1 9.侧棱长时2的正三棱锥,其底面边长是1,则棱锥的高是 ( ) A. 311 B. 313 C. 339 D. 333 10.直线5x+12y-8=0与圆(x-1)2+(y+3)2=9的位置关系是( ) A.相离 B.相交 C.相切 D.直线过圆心 二.填空题(20分) 11.直线x-3y+6=0在X 、Y 轴截距分别为_______、________; 12.圆x 2+y 2+4x-2y+1=0的圆心为_______________; 13.一条直线l 与平面α平行,直线m 在面α内,则l 与m 的位置关系是_______________; 14.正三棱锥的底面边长是4cm ,高是33cm ,则此棱锥的体积为________________; 15.已知球的半径r=3,则球的表面积和体积分别为_________、___ __。 三.解答题(60分) 16.光线从点M(-2, 3)出发,射到P(1, 0),求反射直线的方程并判断点N(4,3)是否在反射光线上。(10分) 【一】选择题:本大题共12小题,每题5分,总分值60分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合要求的. 1.命题〝假设2x =,那么2 320x x -+=〞的逆否命题是〔 〕 A 、假设2x ≠,那么2320x x -+≠ B 、假设2320x x -+=,那么2x = C 、假设2320x x -+≠,那么2x ≠ D 、假设2x ≠,那么2 320x x -+= 2.〝直线l 垂直于ABC △的边AB ,AC 〞是〝直线l 垂直于ABC △的边BC 〞的 〔 〕 A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件 C 、充要条件 D 、既非充分也非必要条件 3 .过抛物线24y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点.假设AB 中点M 到抛物线 准线的距离为6,那么线段AB 的长为〔 ) A 、6 B 、9 C 、12 D 、无法确定 4.圆 042 2=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为 ( ) A 、023=-+y x B 、043=-+y x C 、043=+-y x D 、023=+-y x 5.圆心在抛物线x y 22=上,且与x 轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 〔 〕 A 、0 122 2 =+--+y x y x B 、041 222=- --+y x y x C 、0 122 2 =+-++y x y x D 、 041222=+ --+y x y x 6.在空间直角坐标系O xyz -中,一个四面体的顶点坐标为分别为(0,0,2),(2,2,0), (0,2,0),(2,2,2).那么该四面体在xOz 平面的投影为〔 〕 高二数学上学期期末考试题 一、 选择题:(每题5分,共60分) 2、若a,b 为实数,且a+b=2,则3a +3b 的最小值为( ) (A )18, (B )6, (C )23, (D )243 3、与不等式x x --23≥0同解的不等式是 ( ) (A )(x-3)(2-x)≥0, (B)0 16、已知双曲线162x -9 2 y =1,椭圆的焦点恰好为双曲线的两个顶点,椭圆与双曲线的离心率互为倒数,则椭圆的方程为 . 三、 解答题:(74分) 17、如果a ,b +∈R ,且a ≠b ,求证: 4 22466b a b a b a +>+(12分) 19、已知一个圆的圆心为坐标原点,半径为2,从这个圆上任意一点P 向x 轴作线段PP 1,求线段PP 1中点M 的轨迹方程。(12分) 21、某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为4800m 3,深为3m ,如果池 222、131719x=x 2 000000将 x 44)1(2,2200=+==y x y y x 得代入方程 即14 22 =+y x ,所以点M 的轨迹是一个椭圆。 21、解:设水池底面一边的长度为x 米,则另一边的长度为米x 34800, 又设水池总造价为L 元,根据题意,得 答:当水池的底面是边长为40米的正方形时,水池的总造价最低,职业高中高二期末考试数学试卷
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(完整版)高二数学期末试卷(理科)及答案