内切圆和外接圆刷题

三角形的外接圆和内切圆

三角形的外接圆和内切圆 重点：外接圆及内切圆的画法；外心和内心。 难点：知识的综合运用。 知识回顾： 1、什么是三角形的外接圆与内切圆 关系定义圆心实质半径图示 外接圆经过三角 形各顶点 的圆 外心 三角形各 边垂直平 分线的交 点 交点到三 角形各顶 点的距离 内切圆与三角形 各边都相 切的圆 内心 三角形各 内角角平 分线的交 点 交点到三 角形各边 的距离 2、如何画一个三角形的外接圆与内切圆画圆的关键：确定圆心；确定半径 3、性质有哪些 (1)外接圆性质： 锐角三角形外心在三角形内部。

直角三角形外心在三角形斜边中点上。 钝角三角形外心在三角形外。 有外心的图形，一定有外接圆。 直角三角形的外心是斜边的中点。 外接圆圆心到三角形各个顶点的距离相等（OA=OB=OC）。 (2)内切圆性质： 三角形一定有内切圆，圆心定在三角形内部。 一般三角形的内切圆半径：r=2S/(a+b+c)，r=sqrt[(p-a)(p-b)(p-c)/p]（a、b、c是3个边，S是面积，p=(a+b+c)/2） 直角三角形的内切圆半径：（a, b是Rt△的2个直角边，c是斜边） r=(a+b-c)/2 两直角边相加的和减去斜边后除以2 r=ab/(a+b+c) 两直角边乘积除以直角三角形周长

注意： 等边三角形的内心、外心重合。 主体部分：(未完成) 小结： 1、掌握外接圆和内切圆、外心和内心的知识。 2、会画三角形的外接圆和内切圆。 3、解决三角形的外接圆、内切圆半径的问题。 4、有关证明题。 练习： 1、△ABC中，∠A=55度，I是内心，则∠BIC＝（）度。 2、△ABC中，∠A=55度，其内切圆切△ABC 于D、E、F，则∠FDE＝（）度。 3、三角形的三边长分别为3cm、4cm、5cm，则其内切圆的半径为（1cm）。 4、直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm，则它的外接圆半径（）

三角形外接圆与内切圆半径求法

三角形的外接圆与内切圆半径的求法 一、求三角形的外接圆的半径 1、直角三角形 如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就 是直角三角形的斜边. 例 1 已知：在AABC 中.AB=13, BC = 12, AC=5 求 AABC 的外接圆的半径. 解:VAB=13, BC = 12, AC=5, .-.AB 2=BC :+AC \ A ZC = 90° , .?.AB 为△ ABC 的外接圆的直径， ???△ABC 的外接圆的半径为. 2、一般三角形 ① 已知一角和它的对边 例 2 如图，在ZXABC 中，AB=10, ZC=100° , 求 AABC 外接圆00的半径.（用三角函数表示） 分析： 利用直径构造含已知边AB 的直角三角形. 解：作直径 BD,连结AD. 则ZD=180° -ZC=80Q , ZBAD=90° .?沏=竺=旦 sinD sin 80° ??.△ABC 外接圆。。的半径为盘 注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一 边，都可以利用本题的方法求岀三 角形的外接圆的半径. 例 3 如图，已知，在AABC 中，AB = 10, ZA=70° , ZB=50° 求AABC 外接圆00的半径. 分析：可转化为①的情形解题. 解：作直径AD ，连结BD. 则ZD=ZC=180° -ZCAB-ZBAC=60° , ZDBA=90° ???△ABC 外接圆O0的半径为￥厲? ② 已知两边夹一角 例 4 如图，已知.在AABC 中，AC=2, BC=3, ZC=60° 求AABC 外接 圆00的半径. 分析：考虑求岀AB,然后转化为①的情形解题. 解：作直径AD ，连结BD ?作AE 丄BC,垂足为E. 则 ZDBA=90° , ZD=ZC=60° , CE=1AC=1, AE=的， /.AD= AB 10 sinD sin 60° BE=BC-CE=2, AB= y/AE 2 + BE 2 = 41 r c

任意三角形的外接圆与内切圆半径的求法

任意三角形的外接圆与内切圆半径的求法 圆与三角形有着密不可分的关系，对于任意一个三角形来说，三角形是圆的内接三角形或是外切三角形。而对于圆来说，三角形必定有它的外接圆和内切圆。那么三角形的各边数量关系与其对应的圆的半径有着怎样的一种关系呢？下面就上述问题作一探索。 一、特殊三角形―――直角三角形的外接圆和内切圆半径的求法。 例1、已知R t △ABC 中，∠C ＝900，AB ＝13，AC ＝5，BC ＝12，求外接圆半径R 和内切圆半径r 值。 解：由题意得；2132==c R ；22 131252=-+=-+=c b a r 。 二、非特殊三角形的外接圆和内切圆半径的求法。 例2、已知△ABC 中，AB ＝13，AC ＝14，BC ＝15，求外接圆半径R 和内切圆半径r 值。 解：如图：作BC 边上的高线AD ；设BD ＝x ，则CD ＝15－x 。由勾股定理得：AD 2＝AB 2－BD 2＝AC 2－CD 2， 即：()2222151413x x --=-，得x=5 33； 再得：AD ＝5 56， 1、先求内切圆半径： 根据()r c b a s ABC ++= ?21 得：()r 1514132 15561521++=?? 得： r ＝4 ； 2、作△ABC 的外接圆⊙O ，连接AO 并延长交⊙O 于 E ，连接CE 。则△ABD ∽△AEC ， 则AC AD AE AB = ，即14 556 213=R ，得R ＝865。 例3、已知△ABC 中，AB ＝13，AC ＝25，BC ＝17，求 外接圆半径R 和内切圆半径r 值。

解：如图：作BC 边上的高线AD ；设BD ＝x ，则CD ＝17－x 。由勾股定理得：AD 2＝AB 2－BD 2＝AC 2－CD 2， 即：()()2222172 513x x --=-，得x=12； 再得：AD ＝5， 1、先求内切圆半径： 根据()r c b a s ABC ++= ?21 得：()r 2517132151721++=?? 得： r ＝2 26- ； 2、作△ABC 的外接圆⊙O ，连接AO 并延长交⊙O 于E ，连接CE 。则△ABE ∽△ADC ， 则AC AE AD AB = ，即252513R = ，得R ＝2 213。 三、小结 例2和例3中，求三角形内切圆半径是通过()r c b a s ABC ++= ?21公式，根据三角形的面积和周长来达到目的。 求三角形外接圆半径是通过三角形相似来计算的。它们有一共同的特征就是要求出一条边上的高线。 例2和例3中的三角形分别是锐角三角形和钝角三角形，为了避免在计算中分类的问题，可统一为选择最长的一边为底边，再计算这条边上的高线即可,这时就不需考虑这个三角形是锐角还是钝角三角形的问题。 2009-1-6

三角形的外接圆与内切圆半径的求法

三角形的外接圆与内切圆半径的求法 江苏省海安县曲塘镇花庄初中（226661）马金全 一、求三角形的外接圆的半径 1、直角三角形 如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边. 例1已知：在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5 求△ABC 的外接圆的半径. 解：∵AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5， ∴AB 2＝BC 2＋AC 2 ， ∴∠C ＝90°， ∴AB 为△ABC 的外接圆的直径， ∴△ABC 的外接圆的半径为6.5. 2、一般三角形 ①已知一角和它的对边 例2如图，在△ABC 中，AB ＝10，∠C ＝100°， 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.（用三角函数表示） 分析：利用直径构造含已知边AB 的直角三角形. 解：作直径BD ，连结AD. 则∠D ＝180°－∠C ＝80°，∠BAD ＝90° ∴BD ＝ D sin AB ＝? 80sin 10 ∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为 ? 80sin 5 . 注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以利用本题的方法求出三角形的外接圆的半径. 例3如图，已知，在△ABC 中，AB ＝10，∠A ＝70°，∠B ＝50° 求△ABC 外接圆⊙O 的半径. 分析：可转化为①的情形解题. 解：作直径AD ，连结BD. 则∠D ＝∠C ＝180°－∠CAB －∠BAC ＝60°，∠DBA ＝90° ∴AD ＝ D sin AB ＝?60sin 10＝ 33 20 ∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为 33 10 . ②已知两边夹一角 例4如图，已知，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝3，∠C ＝60° 求△ABC 外接圆⊙O 的半径. 分析：考虑求出AB ，然后转化为①的情形解题. 解：作直径AD ，连结BD.作AE ⊥BC ，垂足为E. 则∠DBA ＝90°，∠D ＝∠C ＝60°，CE ＝2 1 AC ＝1，AE ＝3，

三角形的外接圆和内切圆

三角形的外接圆和内切圆 1、一个三角形的内心，外心都在三角形内，则这个三角形一定是( ) A 、直角三角形 B 、锐角三角形 C 、钝角三角形 D 、等腰三角形 2、下列说法正确的是（ ） A ．三点确定一个圆 B ．三角形有且只有一个外接圆 C ．四边形都有一个外接圆 D ．圆有且只有一个内接三角形 3.如右图，I 是ABC ?的内心，则下列式子正确的是（ ） A 、∠BIC=?180-2∠A B 、∠BIC=2∠A C 、∠BIC=?90+∠A/2 D 、∠BIC=?90-∠A/2 4、等边三角形的外接圆的半径等于边长的（ ）倍． A ． 2 3 B ． 3 3 C ． 3 D ． 2 1 5.ABC ?外切于⊙O ，E 、F 、G 分别是⊙O 与各边的切点，则EFG ?的外心是ABC ?的 。 6.直角三角形的两条直角边分别为5和12，那么它的外接圆的半径为 ，内切圆半径为 ． 7. 等边三角形内切圆半径，外接圆半径分别为R r ,，则R r := ． 8.ABC ?的内切圆⊙I 与AB 、BC 、CA 分别切于D 、E 、F 点，且∠FID=∠EID=?135，则ABC ?为 9、设I 是△ABC 的内心，O 是△ABC 的外心 ，∠A=80°，则∠BIC= ，∠BOC= 。 10、．若三角形的三边长为5、12、13，则其外接圆的直径长等于 ，其内切圆的直径长为 。 11、如图11，⊙I 切△ABC 于D 、E 、F ，∠C=60°，∠EIF=100°，则∠B= 。 12、．如图12，⊙O 内切于Rt △ABC ，∠C=90°，D 、E 、F 为切点。若∠AOC=120°，则∠OAC= ， ∠B= ；若AB=2cm ，则AC= ,△ABC 的外接圆半径= ，内切圆半径= 。 13、如图，已知，在△ABC 中，AB ＝10，∠A ＝70°，∠B ＝50°求△ABC 外接圆⊙O 的半径. 14.已知：如图，△ABC 中，内切圆I 和边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，若 ∠FDE=70°，求∠A 的度数． A B C I E F 图11 A E B D O 图12 A B C O D · I A B C

三角形的外接圆和内切圆

三角形的外接圆和内切圆 重点：外接圆及内切圆的画法；外心和内心。 难点：知识的综合运用。 知识回顾： 1、 什么是三角形的外接圆与内切圆？ 2、如何画一个三角形的外接圆与内切圆？ 画圆的关键：确定圆心；确定半径 3、性质有哪些？ (1)外接圆性质： 锐角三角形外心在三角形内部。 直角三角形外心在三角形斜边中点上。 钝角三角形外心在三角形外。 有外心的图形，一定有外接圆。 直角三角形的外心是斜边的中点。 外接圆圆心到三角形各个顶点的距离相等（OA=OB=OC ）。

(2)内切圆性质： 三角形一定有内切圆，圆心定在三角形内部。 一般三角形的内切圆半径：r=2S/(a+b+c)，r=sqrt[(p-a)(p-b)(p-c)/p] （a、b、c是3个边，S是面积，p=(a+b+c)/2） 直角三角形的内切圆半径：（a, b是Rt△的2个直角边，c是斜边） r=(a+b-c)/2 两直角边相加的和减去斜边后除以2 r=ab/(a+b+c) 两直角边乘积除以直角三角形周长 注意： 等边三角形的内心、外心重合。 主体部分：(未完成) 小结： 1、掌握外接圆和内切圆、外心和内心的知识。 2、会画三角形的外接圆和内切圆。 3、解决三角形的外接圆、内切圆半径的问题。 4、有关证明题。 练习： 1、△ABC中，∠A=55度，I是内心，则∠BIC＝（ 117.5 ）度。 2、△ABC中，∠A=55度，其内切圆切△ABC 于D、E、F，则∠FDE＝（62.5）度。 3、三角形的三边长分别为3cm、4cm、5cm，则其内切圆的半径为（1cm）。 4、直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm，则它的外接圆半径（6.5cm）内切圆半径（2cm）。 5、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比（2:1）

任意三角形外接圆半径、内切圆半径的求法及通用公式

一、任意三角形外接圆半径 设三角形各边边长分别为a,b,c 外接圆半径为R ，（如右图所示） 则βαβαβαsin sin cos cos 2)cos(2 22-=-+= +ab c b a （余弦定理） 而R b R b 22cos ==α，R b R 4sin 22 - = α R a R a 22cos ==β，R a R 4sin 2 2 - = β 即有：=-+ab c b a 2222R a R R b R R a R b 442222 22 - ? --? 即有：2 22222222) 4)(4(R a R b R ab ab c b a ---= -+ 所以：)4)(4()( 222222 222 a R b R ab c b a R ab --=-+- 即有：2222242 2224 2 2 2 2 2 )(416)( 4)(4)(b a R b a R ab c b a R c b a R ab ++-=-++-+- 所以：])( 4[2 2222 2 ab c b a R c -+-=，即：])(4[2222222222c b a b a R c b a -+-= 所以：) )()()((a c b b c a c b a c b a abc R -+-+-+++= 而三角形面积： ))()()((4a c b b c a c b a c b a S -+-+-+++= （海伦公式） 所以，有：S abc R 4= ※ 另一求法，可用正弦定理，即：R A a 2sin =，而bc a c b A 2cos 222-+= 所以： 2 222222 2222)(4) 2(12) (cos 12sin 2a c b c b abc bc a c b a A a A a R -+-= -+-= -==

三角形内切圆和外接圆(已整理)

圆一三角形外接圆、内切圆2018.12.16 3、 下列命题正确的是（） A .三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 B. 三角形的内心不一定在三角形的内部 C. 等边三角形的内心，外心重合 D. —个圆一定有唯一一个外切三角形 4、 小颖同学在手工制作时，把一个边长为12 cm 的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上 ，若三角形的三个顶点恰好都 在这个圆上，则圆的半径为 _______________ 。 5、 等边三角形的外接圆的半径等于边长的 _____________ 倍。 6、 直角三角形的两条直角边分别为 5和12,那么它的外接圆的半径为 _______________ ，内切圆半径为 ___________ . 7、 若三角形的三边长为 5、12、13,则其外接圆的半径等于 ________________ ，其内切圆的半径为 ____________ 。 &在平面直角坐标系中 A B 的坐标分别为 3,0、 0,4，则Rt ABO 内心的坐标是 _______________________ . 9、 如图，在 RtiABC 中，/ C=90°, BC=5 O O 与Rt 心ABC 的三边 AB BC AC 分相切于点 D E 、F ,若O O 的半径r = 2,贝V Rt ABC 的周长为 _____________________ . 10、 如图，O O 内切于 RtiABC ，/ C=90°, D E F 为切点。若/ AOC=120，贝U NOAC = , N B = _________ ；若 AB=2cm 贝U AC= , △ ABC 的外接圆半径 = ______ ，内切圆半径= _________ 。 11、 如图，已知 AABC , ￡B =40 . （1） 在图中，用尺规作出 「ABC 的内切圆O O,并标出O O 与边AB , BC , AC 的切点D , E , F （保留痕迹，不必 写作法）； （2） 连接EF , DF ，求Z EFD 的度数. 12、如图，AB 是O O 的直径，点 C 在AB 的延长线上，AD 平分/ CAE 交O O 于点D,且AE ± CD 垂足为点 E. （1）求证：直线 CE 是O O 的切线.（2）若BC=3 CD =3.2，求弦AD 的长. 1、三角形内心是 三角形外心是 ______________ 2、如图，在.'ABC 中，/ A=66° ,它是 ,它是 的交点。 I 是内心，则/ BIC 的大小为 B （2）「二 "（9） F （10）

三角形的外接圆与内切圆半径的求法

三角形的外接圆与内切圆半径的求法 一、求三角形的外接圆的半径 1、直角三角形 如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边. 例1已知：在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5 求△ABC 的外接圆的半径. 解：∵AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5， ∴AB 2＝BC 2＋AC 2 ， ∴∠C ＝90°， ∴AB 为△ABC 的外接圆的直径， ∴△ABC 的外接圆的半径为6.5. 2、一般三角形 ①已知一角和它的对边 例2如图，在△ABC 中，AB ＝10，∠C ＝100°， 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.（用三角函数表示） 分析：利用直径构造含已知边AB 的直角三角形. 解：作直径BD ，连结AD. 则∠D ＝180°－∠C ＝80°，∠BAD ＝90° ∴BD ＝ D sin AB ＝? 80sin 10 ∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为 ? 80sin 5 . 注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以利用本题的方法求出三角形的外接圆的半径. 例3如图，已知，在△ABC 中，AB ＝10，∠A ＝70°，∠B ＝50° 求△ABC 外接圆⊙O 的半径. 分析：可转化为①的情形解题. 解：作直径AD ，连结BD. 则∠D ＝∠C ＝180°－∠CAB －∠BAC ＝60°，∠DBA ＝90° ∴AD ＝ D sin AB ＝?60sin 10＝ 33 20 ∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为 33 10 . ②已知两边夹一角 例4如图，已知，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝3，∠C ＝60° 求△ABC 外接圆⊙O 的半径. 分析：考虑求出AB ，然后转化为①的情形解题. 解：作直径AD ，连结BD.作AE ⊥BC ，垂足为E. 则∠DBA ＝90°，∠D ＝∠C ＝60°，CE ＝2 1 AC ＝1，AE ＝3， BE ＝BC －CE ＝2，AB ＝22BE AE +＝7

三角形外接圆与内切圆半径求法

三角形的外接圆与内切圆半 径的求法 江苏省海安县曲塘镇花庄初中（226661）马金全 、求三角形的外接圆的半径 1、直角三角形 如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边 例 1 已知：在厶 ABC 中，AB= 13，BC= 12, AC= 5 求厶ABC 的外接圆的半径. 解：??? AB= 13 , BC= 12, AC= 5, ??? A B= BC+ AC, ???/ C = 90°, ? AB %A ABC 的外接圆的直径， ? △ ABC 的外接圆的半径为 6.5. 2、一般三角形 ① 已知一角和它的对边 例 2 如图，在△ ABC 中，AB= 10,/ C= 100°, 求厶ABC 外接圆O O 的半径.（用三角函数表示） 分析：利用直径构造含已知边 AB 的直角三角形. 解：作直径BD 连结AD. 则/ D= 180°-/ C= 80°,/ BAD= 90° ? BD A B = 10 sin D sin80° ? △ ABC 外接圆O O 的半径为 5 sin80° 角形的外接圆的半径 例 3 如图，已知，在△ ABC 中，AB= 10,/ A_ 70°,/ B_ 50° 求厶ABC 外 接圆O O 的半径. 分析：可转化为①的情形解题 . 解：作直径AD 连结BD. 则/ D=/ C_ 180°-/ CAB- / BAC= 60°,/ DBA_90° ? AD=^ _d _ 20.3 sin D sin 60* 3 ? △ ABC 外接圆O O 的半径为10?、3. 3 ② 已知两边夹一角 例 4 如图，已知，在△ ABC 中，AC_ 2, BC_ 3,/ C_ 60° 求厶ABC 外接圆O O 的半径. 分析：考虑求出 AB,然后转化为①的情形解题. 解：作直 径 AD 连结BD.作AE ± BC 垂足为E. 则/ DBA_ 90°,/ D_/ C_ 60°, CE_ - AC_ 1 , AE_、3 , 注：已知两边和其中一边的对角, 以及已知两角和一边, 都可以利用本题的方法求出三 C B C B

三角形的外接圆和内切圆之欧阳光明创编

三角形的外接圆和内切圆 欧阳光明（2021.03.07） 重点：外接圆及内切圆的画法；外心和内心。 难点：知识的综合运用。 知识回顾： 1、什么是三角形的外接圆与内切圆？ 关系定义圆心实质半径图示 外接圆经过三角 形各顶点 的圆 外心 三角形各 边垂直平 分线的交 点 交点到三 角形各顶 点的距离 内切圆与三角形 各边都相 切的圆 内心 三角形各 内角角平 分线的交 点 交点到三 角形各边 的距离 2、如何画一个三角形的外接圆与内切圆？ 画圆的关键：确定圆心；确定半径 3、性质有哪些？ (1)外接圆性质： 锐角三角形外心在三角形内部。 直角三角形外心在三角形斜边中点上。 钝角三角形外心在三角形外。 有外心的图形，一定有外接圆。 直角三角形的外心是斜边的中点。 外接圆圆心到三角形各个顶点的距离相等（OA=OB=OC）。 (2)内切圆性质：

三角形一定有内切圆，圆心定在三角形内部。 一般三角形的内切圆半径：r=2S/(a+b+c)，r=sqrt[(p-a)(p-b)(p-c)/p]（a、b、c是3个边，S是面积，p=(a+b+c)/2） 直角三角形的内切圆半径：（a, b是Rt△的2个直角边，c是斜边） r=(a+b-c)/2两直角边相加的和减去斜边后除以2 r=ab/(a+b+c) 两直角边乘积除以直角三角形周长 注意： 等边三角形的内心、外心重合。 主体部分：(未完成) 小结： 1、掌握外接圆和内切圆、外心和内心的知识。 2、会画三角形的外接圆和内切圆。 3、解决三角形的外接圆、内切圆半径的问题。 4、有关证明题。 练习： 1、△ABC中，∠A=55度，I是内心，则∠BIC＝（ 117.5 ）度。 2、△ABC中，∠A=55度，其内切圆切△ABC 于D、E、F，则∠FDE＝（62.5）度。 3、三角形的三边长分别为3cm、4cm、5cm，则其内切圆的半径为（1cm）。 4、直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm，则它的外接圆半径（6.5cm）内切圆半径（2cm）。

三角形的外接圆及内切圆

三角形的外接圓及內切圓 學習階段：三 學習範疇：度量、圖形與空間範疇 學習單位：以演繹法學習幾何 基本能力： KS3-MS9-3 識別三角形的中線、垂直平分線、高線及角平分線簡介： 1.教師派發「三角形的外接圓及內切圓」工作紙。 2.學生利用Java檔案“Circle1.html”及“Circle2.html”去完成工作 紙。（此檔案需與其他在Circles.zip內的所有檔案放於同一folder 內才可執行，電腦亦需安裝了Java軟體。） 3.學生利用檔案“Circle1.html”，在Java的互動幾何的環境中， 拖拉一個圓的中心，令到圓通過其中兩個頂點。再透過電腦追蹤 中心點的軌跡，從而認識到圓心的軌跡是一條垂直平分線，再認 識到外接圓的中心是三條垂直平分線的相交點。 4.學生再利用檔案“Circle2.html”，在Java的互動幾何的環境 中，拖拉一個圓的中心，令到圓與其中兩條邊只相交於一點。再 透過電腦追蹤中心點的軌跡，從而認識到圓心的軌跡是一條角平 分線，再認識到內切圓的中心是三條角平分線的相交點。

學習單位：以演繹法學習幾何–「三角形的外接圓及內切圓」工作紙 三角形的外接圓及內切圓 題一：三角形的外接圓 開啟檔案“Circle1.html”，可看到以下畫面： 畫面顯示 ABC及一個通過B的圓，它的圓心O可被隨意拖拉到不同的位置。 1. 將O拖拉到不同的位置，令它通過B及C。電腦會以紅點記錄O的位置，並以紅 色虛線連起O及C，如圖1所示。 圖1 2. 若一個圓通過B及C，它的圓心O必須位於通過的 線上。

3. 將O拖拉到不同的位置，令它通過B及A。電腦會以綠點記錄O的位置，並以綠 色虛線連起O及A，如圖2所示。 圖2 4. 若一個圓通過B及A，它的圓心O必須位於通過的 線上。 5. 若一個圓通過A及C，它的圓心O必須位於通過的 線上。 6. 三角形的外接圓的圓心O是三角形的三條線的交點。 題二：三角形的內切圓 開啟檔案“Circle2.html”，可看到以下畫面： 畫面顯示 ABC及一個與AB只相交於一點的圓，它的圓心I可被隨意拖拉到不同的位置。

三角形的外接圆和内切圆

三角形的外接圆和内切 圆 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

三角形的外接圆和内切圆 重点：外接圆及内切圆的画法；外心和内心。 难点：知识的综合运用。 知识回顾： 1、什么是三角形的外接圆与内切圆 关系定义 圆心实质半径图示外接圆 经过三角 形各顶点 的圆 外心 三角形各 边垂直平 分线的交 点 交点到三 角形各顶 点的距离 内切圆 与三角形 各边都相 切的圆 内心 三角形各 内角角平 分线的交 点 交点到三 角形各边 的距离 2、如何画一个三角形的外接圆与内切圆 画圆的关键：确定圆心；确定半径 3、性质有哪些 (1)外接圆性质： 锐角三角形外心在三角形内部。 直角三角形外心在三角形斜边中点上。 钝角三角形外心在三角形外。 有外心的图形，一定有外接圆。 直角三角形的外心是斜边的中点。 外接圆圆心到三角形各个顶点的距离相等（OA=OB=OC）。

(2)内切圆性质： 三角形一定有内切圆，圆心定在三角形内部。 一般三角形的内切圆半径：r=2S/(a+b+c)，r=sqrt[(p-a)(p-b)(p-c)/p] （a、b、c是3个边，S是面积，p=(a+b+c)/2） 直角三角形的内切圆半径：（a, b是Rt△的2个直角边，c是斜边） r=(a+b-c)/2 两直角边相加的和减去斜边后除以2 r=ab/(a+b+c) 两直角边乘积除以直角三角形周长 注意： 等边三角形的内心、外心重合。 主体部分：(未完成) 小结： 1、掌握外接圆和内切圆、外心和内心的知识。 2、会画三角形的外接圆和内切圆。 3、解决三角形的外接圆、内切圆半径的问题。 4、有关证明题。 练习： 1、△ABC中，∠A=55度，I是内心，则∠BIC＝（）度。 2、△ABC中，∠A=55度，其内切圆切△ABC 于D、E、F，则∠FDE＝（）度。 3、三角形的三边长分别为3cm、4cm、5cm，则其内切圆的半径为（1cm）。 4、直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm，则它的外接圆半径（）内切圆半径（2cm）。 5、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比（2:1）

正方形的内接圆与外接圆

正方形的内接圆与外接圆 教学内容：五年级数学奥林匹克自编教材 学习主体：四年级数学奥林匹克兴趣小组成员 教学目标： 1．学生通过演算推理，自主发现正方形与内接圆、正方形与外接圆的面积关系。 2．在探索过程中，渗透整体思想解题、用特殊值法解题、图形变换解题等思想，提升思维层次 3．能利用探究到的知识合理地、灵活地解决数学问题。 4．培养学生解题时要有整体把握的习惯，善于发现题中隐含着的丰富知识。 教学重点：整体思想解题、归纳运用知识解答新问题 教学准备：发给每人印有组合图形的练习纸 教学过程 一、复习引入 1．前面我们已经学习了圆的面积，圆的面积公式是（生：S=лr2） 正方形的面积公式是（生：S=a2，S=l2÷2） 2．口算 正方形的面积是36平方厘米，边长（）cm，他的对角线的平方是（）平方厘米。 正方形的对角线长是6厘米，面积是（）平方厘米。 2r×2r= （2r）2÷2= 圆的直径是6cm，面积是（） 3．引入 今天我们将圆与正方形组合在一起，得到内接圆、外接圆。研究一下它们与正方形的面积关系。（展示：正方形的内接圆、正方形的外接圆） 二、新课教学 1．出示例题 正方形与内接圆的面积关系正方形与外接圆的面积关系 2．用特殊值法计算它们各自的面积，推导出面积关系 1）学生上台板演第一题（优秀学生用特殊值法和假设法两种方法计算） 2）推导出正方形与内接圆的面积关系 正方形面积÷内接圆面积=4 π， 正方形面积=内接圆面积×4 π；内接圆面积=正方形面积× π 4（板书：电脑演示） 3）用特殊值法计算第二个图

正方形的面积是2×2=4， 设圆的半径为r ，正方形面积=2r ×2r ÷2=4，r 2=2 圆的面积是S=πr 2=2π 4）推导出正方形与外接圆的面积关系 学生表达： 正方形面积=外接圆面积×2π ；外接圆面积=正方形面积×π2（板书：电脑演示） 5）如何记住这两个公式 3．应用 1）口答： 正方形面积96，内接圆的面积是（）；圆面积628，内接正方形面积（）。 正方形面积16，外接圆面积是（）。 2）求阴影部分的面积 过程：4×4×π2-4×4= 重点：怎么求最后两个图形的阴影部分面积（怎么确认大正方形面积是小正方形面积的2倍——移位法） 推想：下图大圆、小圆之间的关系会是怎样的？怎样验证？ 三、小结 今天学到的知识同桌之间互相说说。 师：今天我们用到的数学思想有“整体思想解题、用特殊值法解题、图形变换解题”，另外还有推想、验证等。 四、作业将练习纸上的作业完成在练习簿上。（前面三个图中小正方形的边长是4厘米） 思考题：如图阴影部分的面积是6.84平方厘米，求圆环的面积。

三角形的内切圆和外接圆

三角形外接圆半径的求法及应用 方法一：R ＝ab/(2h) 三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商。 AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆直径．求证 AB ·AC ＝AE ·AD ． 证：连接AO 并延长交圆于点E ，连接BE ， 则∠ABE ＝90°. ∵∠E ＝∠C ， ∠ABE ＝∠ADC ＝90°， ∴Rt △ABE ∽Rt △ADC ， ∴AC AE AD AB ， ∴ AB ·AC ＝AE ·AD 方法二：2R ＝a/SinA ，a 为∠A 的对边 在锐角△ABC 中，外接圆半径为R 。求证： 2R ＝AB/SinC 证：连接AO 并延长交圆于点E ，连接BE ， 则∠ABE ＝90°. ∴AE ＝AB/SinE ∵∠C ＝∠E ，SinC ＝SinE ∴AE ＝AB/SinC ∴2R ＝AB/SinC 若C 为钝角，则SinC ＝Sin （180o －C ） 应用一、已知三角形的三边长，求它的外接圆的半径。 例1 已知：如图，在△ABC 中，AC ＝13，BC ＝14，AB ＝15，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r. 分析：作出直径AD ，构造Rt △ABD.只要求出△ABC 中BC 边上的高AE ，用方法一就可以求出直径AD. 解：作AE ⊥BC ，垂足为E. 设CE ＝x, ∵AC 2-CE 2＝AE 2＝AB 2-BE 2 ，∴132-x 2＝152-(14-x)2 ∴x=5,即CE ＝5，∴AE ＝12 R ＝ ab/(2h)=13x15/(2x12)=65/8 A B C O D E

∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为 8 65. 例2 已知：在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5，求△ABC 的外接圆的半径R. 分析：通过判定三角形为直角三角形，易求得直角三角形外接圆的直径等于斜边。 应用二、已知三角形的二边长及其夹角（特殊角），求外接圆的半径。 例3 已知：如图，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝3，∠C ＝60°，求△ABC 外接圆⊙O 的半径R. 分析：考虑求出角的对边长AB ，然后用方法一或方法二解题. 解：作直径AD ，连结BD.作AE ⊥BC ，垂足为E. 则∠DBA ＝90°，∠D ＝∠C ＝60°， ∠CAE ＝∠DAB ＝ 90°－ 60°＝30° CE ＝2 1AC ＝1，AE ＝ 3 ，AB=√7∴R=AC ·AB/2AE=2x √7/(2x 3 ) 应用三、已知三角形的一边长二角度或对角的度数（特殊角），求它的外接圆的半径。 用方法二 例4 已知AD=5,AC=7,CD=3,AB=10√3，求它的外接圆的半径 解 从A 作AM ⊥BC 于M ，则 AD 2－MD 2＝A M 2 ＝AC 2－(MD ＋CD)2．即 52－MD 2＝72－(MD ＋3)2． 得R ＝14， 则△ABC 外接圆面积S ＝πR 2＝196π． 例5 如图3，已知抛物线y ＝x 2－4x ＋h 的顶点A 在直线y ＝－4x －1上， 求①抛物线的顶点坐标； ②抛物线与x 轴的交点B 、C 的坐标； ③△ABC 的外接圆的面积． 解 ①A(2，－9)； A B C O D E

2020年三角形的外接圆和内切圆

作者：败转头 作品编号44122544：GL568877444633106633215458 时间：2020.12.13 三角形的外接圆和内切圆 重点：外接圆及内切圆的画法；外心和内心。 难点：知识的综合运用。 知识回顾： 1、什么是三角形的外接圆与内切圆？ 关系定义圆心实质半径图示 外接圆经过三角 形各顶点 的圆 外心 三角形各 边垂直平 分线的交 点 交点到三 角形各顶 点的距离 内切圆与三角形 各边都相 切的圆 内心 三角形各 内角角平 分线的交 点 交点到三 角形各边 的距离 2、如何画一个三角形的外接圆与内切圆？ 画圆的关键：确定圆心；确定半径 3、性质有哪些？ (1)外接圆性质： 锐角三角形外心在三角形内部。 直角三角形外心在三角形斜边中点上。 钝角三角形外心在三角形外。 有外心的图形，一定有外接圆。 直角三角形的外心是斜边的中点。 外接圆圆心到三角形各个顶点的距离相等（OA=OB=OC）。

(2)内切圆性质： 三角形一定有内切圆，圆心定在三角形内部。 一般三角形的内切圆半径：r=2S/(a+b+c)，r=sqrt[(p-a)(p-b)(p-c)/p] （a、b、c是3个边，S是面积，p=(a+b+c)/2） 直角三角形的内切圆半径：（a, b是Rt△的2个直角边，c是斜边） r=(a+b-c)/2 两直角边相加的和减去斜边后除以2 r=ab/(a+b+c) 两直角边乘积除以直角三角形周长 注意： 等边三角形的内心、外心重合。 主体部分：(未完成) 小结： 1、掌握外接圆和内切圆、外心和内心的知识。 2、会画三角形的外接圆和内切圆。

3、解决三角形的外接圆、内切圆半径的问题。 4、有关证明题。 练习： 1、△ABC中，∠A=55度，I是内心，则∠BIC＝（ 117.5 ）度。 2、△ABC中，∠A=55度，其内切圆切△ABC 于D、E、F，则∠FDE＝（62.5）度。 3、三角形的三边长分别为3cm、4cm、5cm，则其内切圆的半径为（1cm）。 4、直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm，则它的外接圆半径（6.5cm）内切圆半径（2cm）。 5、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比（2:1） 作者：败转头 作品编号44122544：GL568877444633106633215458 时间：2020.12.13

三角形的外接圆与内切圆

B A B B 圆 的 教 案 《圆》 八、三角形的外心、外接圆与圆的内接三角形. 1、经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫圆的内接三角形. 说明：①锐角△的外心在△的形内（如图①），直角△的外心在斜边的中点（如图②），钝角△的外心在△的形外（如图③） ③对于任意三角形它的外接圆只有1个（∵3条中垂线交点只有1个），而对于任意圆它的内接△则有无数个，如下图：△ABC 、△AED 、△ACD 、△ECD 、△BCD 、△ACE 等都是⊙O 的内接三角形.

2、应用举例： 例1 △ABC 中，AB=AC=10，BC=12，求其外接圆半径. 例2 如图，四边形ABCD 中，OA=OB=OC ，∠ABC=110°，求∠AOC 的度数. 3、变式练习 1．边长为6cm 的等边三角形的外接圆的半径长为__________cm. 2． △ABC 内接于⊙O ，且AB=AC=5cm ，∠BAC=120°，则⊙O 的半径=________cm. 3．△ABC 的三边长为3 ，2，其三条高的交点为A ，外心为O ，则OA=_____________. 4. 如图，△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，D 为弧BC 上任意一点，AD=6cm ，BD=5cm ，CD=3cm ，求DE 的长. 九、三角形的内切圆 1．三角形的内切圆： 与三角形三边都相切的圆可以作一个，并且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆. 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 2．直角三角形的内切圆半径r 与三边a 、b 、c （c 为斜边）的关系是2a b c r +-= .

三角形的外接圆与内切圆

1 O C B A A B C O A B C O ①②③ A B C D E O A B C D O 圆 的 教 案 《圆》 八、三角形的外心、外接圆与圆的内接三角形. 1、经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫圆的内接三角形. 说明：①锐角△的外心在△的形内（如图①），直角△的外心在斜边的中点（如图②），钝角△的外心在△ 的形外（如图③） ③对于任意三角形它的外接圆只有1个（∵3条中垂线交点只有1个），而对于任意圆它的内接△则有无数个，如下图：△ABC 、△AED 、△ACD 、△ECD 、△BCD 、△ACE 等都是⊙O 的内接三角形. 2、应用举例： 例1 △ABC 中，AB=AC=10，BC=12，求其外接圆半径. 课题名称： 三角形的外接圆与内切圆 教学目标 1、掌握三角形的外接圆与内切圆的定义. 2、掌握圆内接四边形相关的关系 3、了解切线的性质与判定定理 重点 难点 1三角形的外接圆及内切圆的灵活运用 2.切线长定理

2 A B C O A B C D E O A B P O A B C E F O A B C D E F O A B T O 例2 如图，四边形ABCD 中，OA=OB=OC ，∠ABC=110°，求∠AOC 的度数. 3、变式练习 1．边长为6cm 的等边三角形的外接圆的半径长为__________cm. 2． △ABC 内接于⊙O ，且AB=AC=5cm ，∠BAC=120°，则⊙O 的半径=________cm. 3．△ABC 的三边长为3，2，13，其三条高的交点为A ，外心为O ，则OA=_____________. 4. 如图，△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，D 为弧BC 上任意一点，AD=6cm ，BD=5cm ，CD=3cm ，求DE 的长. 九、三角形的内切圆 1．三角形的内切圆： 与三角形三边都相切的圆可以作一个，并且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆. 内切圆的圆 心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 2．直角三角形的内切圆半径r 与三边a 、b 、c （c 为斜边）的关系是 2 a b c r +-= . 例4 已知边长分别为5、12、13的三角形作其内切圆，求其内切圆的半径. 变式练习： 1．以边长为3、4、5的三角形的三个顶点为圆心，分别作圆与对边相似，这三个圆的半径依次是_____________，这个三角形的内切圆半径是___________. 2．△ABC ，∠A=68°，点I 是内心，则∠BIC=___________. 3．如图AP 是⊙O 的切线，P 为切点，OA 交⊙O 于B ，若∠A=40°， 则∠APB=_________. 例5 如图，EF 与⊙O 切于点A ，AC 是⊙O 的一条弦，B 是⊙O 上一点，若∠FAC=40°，求∠ABC 的度数. 例6 AE 、AD 、BC 是⊙O 的切线切点为E 、D 、F. （1）求证：AD=AE ；（2）若AD=20，求△ABC 的周长. 例7 如图，AT 是⊙O 的切线，ABC 是⊙O 的割线，求证：AT2=AB 〃AC.

神奇的多边形内切圆与外接圆

神奇的多边形内切圆与外接圆 作者：王森淼 组长：王临沨 多边形与其外接圆、内切圆都有着神奇的关系。今天，我们就来深入研究一下。 内切圆： 在数学中，若一个二维平面上的多边形的每条边都能与多边形内部的一个圆形相切，该圆就是多边形的内切圆，这时称这个多边形为圆外切多边形。圆亦是多边形内部最大的圆形。内切圆的圆心被称为该多边形的内心。三角形的内心是三角形三条角 平分线的交点。（如右图） 其中，三角形一定有内切圆，正多边形有内接圆， 其他的图形不一定有内切圆。因为其他的图形内角角平分线不一定交于一点。且内切圆圆心定在多边形内部。 外接圆： 在数学中，一个二维平面上的多边形的外接圆是一个使 得该多边形的所有顶点都在其上的圆形，这时称这个多边形 为圆内接多边形，外接圆的圆心被称为该多边形的外心。三角形的外接圆圆心是三边的垂直平分线的交点。（如右图） 一个多边形只有一个外接圆，也就是说对于一个多边形，它的外接圆，如果存在的话，是唯一的。并非所有的多边形都有外接圆。三角形和正多边形一定有外接圆。 为了全面、深入、系统地研究内切圆、外接圆与多边形之间的关系。我们分为四个部分进行研究。 1、任意三角形内切圆、外接圆与三角形之间的关系 2、正n 边形内切圆、外接圆与正n 边形之间的关系 3、圆的外切正n 边形、内接正n 边形之间的关系 4、圆周率的推导 1、求任意三角形的内切圆半径r C

∵a+b+c 一定 ∴内切圆半径r 与 三角形面积S 成正比 ∵周长一定时，等边三角形面积S 最大 ∴r 最大 由此，我们可以得出： 周长一定时，等边三角形的内切圆面积最大。 2、求任意三角形的外接圆半径r 因为若要证明出外接圆半径公式，需要用到正弦公式 所以我们要先证明正弦定理（这只是一部分，在任意三角形外接圆半径计算公式中，还有后半部分）。 （1）、正弦公式证明 （2）、任意三角形外接圆半径计算公式 如图，延长BO 交外接圆于A ′,延长AO 交外接圆于P , 我们同样可以通过同弧内圆周角相等，来证明∠A=∠A ’ A B