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常微分方程
4．1 基本概念和一阶微分方程
内容要点
一．基本概念
1．常微分方程
含有自变量、未知函数和未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程，若未知函数
而未知函数是多元函数则称为偏微分方程，我们只讨论常微
2．微分方程的阶
微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为该微分方程的阶
3．微分方程的解、通解和特解
满足微分方程的函数称为微分方程的解；
通解就是含有独立常数的个数与方程的阶数相同的解；
通解有时也称为一般解但不一定是全部解；
不含有任意常数或任意常数确定后的解称为特解。
4．微分方程的初始条件
要求自变量取某定值时，对应函数与各阶导数取指定的值，这种条件称为初始条件，满
5．积分曲线和积分曲线族
微分方程的特解在几何上是一条曲线称为该方程的一条积分曲线；而通解在几何上是一
6．线性微分方程
如果未知函数和它的各阶导数都是一次项，而且它们的系数只是自变量的函数或常数，
不含未知函数和它的导数的项称为自由项，自由项为零
二．变量可分离方程及其推广
1．变量可分离的方程
（1）方程形式：0yQyQxP
dy
通解CdxxP
Qdy
（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外
（2）方程形式：0
211dyyNxMdxyNxM
通解Cdy
NyNdxxMxM
221 0,012yNxM
2．变量可分离方程的推广形式
（1）齐次方程
yfdxdy
令u
y，
则uf
duxudxdy
cxc
dxuufdu||ln
（2）0,0bacbyaxf
dy
令ucbyax，
则ubfa
du
cxdx
bfadu
（3）
22111cybxacybxafdxdy
①当0
211baba情形，先求出00222111cybxacybxa的解,
令xu，yv
则
vbauvbafvbuavbuafdudv22112211属于齐次方程情形
②当0
211baba情形，
令
212bbaa
则
11111cybxacybxafdxdy
令ybxau
1，
则
11111cucufbadxdybadxdu
属于变量可分离方程情形。
三．一阶线性方程及其推广
1．一阶线性齐次方程
0yxP
dy
它也是变量可分离方程，通解公式dxxPCey，（c为任意常数）
2．一阶线性非齐次方程
xQyxP
dy
用常数变易法可求出通解公式
令dxxPexCy
代入方程求出xC
则得CdxexQeydxxPdxxP
3．贝努利方程
1,0yxQyxP
dy
令1yz
把原方程化为xQzxP
dz11
再按照一阶线性非齐次方程求解。
4．方程：
yPyQdxdy1
可化为yQxyP
dx
以y为自变量，x为未知函数
再按照一阶线性非齐次方程求解。
四．全微分方程及其推广（数学一）
1．全微分方程
0,,dyyxQdxyxP，满足
PxQ
通解：Cyxu,，
其中yxu,满足dyyxQdxyxPyxdu,,,
求yxu,的常用方法。
第一
种：凑全微分法
yxdudyyxQdxyxP,,,
把常见的一些二元函数的全微分公式要倒背如流，就很有帮助。
（1）
22yxdydyxdx；
（2）
22yxdydyxdx；
（3）xydxdyydx；
（4）xyd
xdyydxln；
（5）22
2ln
1yxdyxydyxdx；
（6）22
2ln
1yxdyxydyxdx；
（7）
yd
ydxxdy2；
（8）
xdyxdyydx2；
（9）
xdyxxdyydxarctan22；
（10）
ydyxydxxdyarctan22；
（11）
xyxd
xxdyydxln2122；
（12）
xyxdyxydxxdyln2122；
（13）
22
2121yxd
xydyxdx；
（14）
22
2121yxd
xydyxdx；
（15）22
2arctan21
yxdyxydyxdx；
（16）22
2arctan21
yxdyxydyxdx；
第二种：特殊路径积分法（因为积分与路径无关）
yx
xdyyxQdxyxPyxuyxu,,00
0,,,,
y
xxdyyxQdxyxPyxu
0,,,000
第三种：不定积分法
由yxP
u,得
yCdxyxPyxu,,
对y求导，
得yCdxyxP
yuyxQ,,，
求出yC积分后求出yC
2．全微分方程的推广（约当因子法）
设0,,dyyxQdxyxP不是全微分方程。
不满足
PxQ
但是存在yxR,
使得0,,,,dyyxQyxRdxyxPyxR为全微分方程，
也即满足
RPxRQ
则yxR,称为约当因子，
按全微分方程解法仍可求出yxdudyyxQyxRdxyxPyxR,,,,,
通解Cyxu,。
这种情形，求约当因子是关键。
典型例题
考研论坛（https://www.360docs.net/doc/2d10419984.html,）友情提供下载
一．变量可分离方程及其推广
例1．求下列微分方程的通解。
（1）022dyyxydxxxy
（2）0dyeedxeeyyxxyx
例2．求下列微分方程的通解。
（1）
yedxdyxy （2）
dyxydxdyxy22
（3）xyy
dyxlnln （4）214yxdxdy
解：（1）令u
y，则dxduxudxdy，原方程化为
ue
duxuu，1Cxdx
duu
CxCxeulnln
Cxexyln
（注：10,0Cxexy）
（2）022
dyxyxy；222
yxyxxyydxdy
令u
y，则12uudxduxu
01duuxudx
1C
dxduuu
lnCuxu
uuCCeexu
，xyCey
（3）
yxydxdyln，令uxy，则uudxduxuln
lnCxdxuudu Cxuln1lnln
Cxu1ln，Cxeu1，Cxxey1
（4）令uyx14，则dx
du142，1214Cdxudu
CyxCux142arctan
12arctan21
例3．求微分方程22yxy
dyx的通解。
例4．求微分方程
2
xxydxdy
例5．求微分方程232211y
dyxxy的通解。
例6．求微分方程
222
xyxxyydxdy的通解。
例7．求微分方程2
22yxydxdy
例8．求微分方程
1xyxydxdy的通解
二．一阶线性方程及其推广
例．求下列微分方程的通解
（1）
51
2xxydxdy （2）xydxdyxsin2
（3）
xydxdy （4）0tansinydxdyyx
解：（1）直接用常数变易法
对应的齐次线性方程为
2xydxdy，通解21xCy
令非齐次线性方程
51
2xyxdxdy的通解为21xxCy
代入方程得
5211xxxC
11xxC， CxxC231
2
故所求方程的通解为 2
722311
21132xCxxCxy
（2）直接用通解公式（先化标准形式
xyxdxdysin2）
xP2，xxxQsin
通解 Cdxe
xeydxxdxx22si
n
Cxxx
Cxdxxxcossin1sin122
（3）此题不是一阶线性方程，但把x看作未知函数，y看作自变量，
所得微分方程
yxdydx4即31yxydydx
是一阶线性方程
yP1，3yyQ
yCdyeyexdyydyy4131
1
（4）此题把x看作未知函数，y看作自变量所得微分方程为
yxy
dxcoscot，yyPcot，yyQcos
Cy
Cdyyeexydyydy2cotcotsin21sin1cos
4．2 特殊的高阶微分方程（数学四不要）
内容要点
一．可降阶的高阶微分方程
解法及解的表达式
fyn
通解nnnnn
CxCxCxCdxxfy12211次
xfy,
令py，则py，原方程 pxfp,——一阶方程，设其解为
,Cxgp，
,Cxgy，则原方程的通解为21,CdxCxgy。
yfy,
令py，把p看作y的函数，则dydppdxdydydpdxdpy 把y，y的表达式代入原方程，得pyfpdydp,1——一阶方程，
,,
Cygp即1,Cyg
dy，则原方程的通解为
,CxCygdy。
二．线性微分方程解的性质与结构
我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分
二阶齐次线性方程 0yxqyxpy （1）
二阶非齐次线性方程 xfyxqyxpy （2）
1．若xy
，xy2为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合
yCxyC
211（1C，2C为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当xyxy21（
，也即xy
与xy2线性无关时，则方程的通解为xyCxyCy2211
2．若xy
，xy2为二阶非齐次线性方程的两个特解，则xyxy21为对应的二
3．若xy为二阶非齐次线性方程的一个特解，而xy为对应的二阶齐次线性方程的
xyxy为此二阶非齐次线性方程的一个特解。
4．若y为二阶非齐次线性方程的一个特解，而xyCxyC
211为对应的二阶齐次线
C，2C为独立的任意常数）则xyCxyCxyy2211是此二阶非
5．设xy
与xy2分别是xfyxqyxpy1与
xfyxqyxpy
的特解，则xyxy21是
xfxfyxqyxpy
1的特解。
三．二阶和某些高阶常系数齐次线性方程
1．二阶常系数齐次线性方程
0qyypy
其中p，q为常数，
特征方程02qp
特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式
（1）当042qp，特征方程有两个不同的实根
，2
则方程的通解为xxeCeCy
1
1
（2）当042qp，特征方程有二重根
1
则方程的通解为xexCCy
1
（3）当042qp，特征方程有共轭复根i，
则方程的通解为xCxCeyx sin cos
1
2．n阶常系数齐次线性方程
0
2211ypypypypynnnnn
其中nip
,,2,1为常数。
相应的特征方程
2211nnnnnpppp
特征根与方程通解的关系同二阶情形很类似。
（1）若特征方程有n个不同的实根
,,, 21
则方程通解 x
xxneCeCeCy2121
（2）若
为特征方程的k重实根nk
则方程通解中含有 xk
exCxCC0121
（3）若i为特征方程的k重共轭复根nk2
则方程通解中含有
xxDxDDxxCxCCek
kkx sin cos121121
由
此可见，常系数齐次线性方程的通解完全被其特征方程的根所决定，但是三次及三次
因此只能讨论某些容易求特征方程的根所对应的高阶常
四．二阶常系数非齐次线性方程
方程：xfqyypy 其中qp,为常数
通解：xyCxyCyy
211
其中xyCxyC
211为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨论。所以关
y如何求？
我们根据xf的形式，先确定特解y的形式，其中包含一些待定的系数，然后代入方
y，常见的xf的形式和相对应地y的形式如下：
1．xPxf
，其中xPn为n次多项式
（1）若0不是特征根，则令
nnnnaxaxaxaxRy1110
其中nia
,,2,1,0为待定系数。
（2）若0是特征方程的单根，则令xxRy
（3）若0是特征方程的重根，则令xRxy
2
2．x
exPxf其中xPn为n次多项式，为实常数
（1）若不是特征根，则令x
exRy
（2）若是特征方程单根，则令x
exxRy
（3）若是特征方程的重根，则令x
exRxy2
3．xexPxfx
sin 或 xexPxfxn cos
其中xP
为n次多项式，,皆为实常数
（1）若i不是特征根，则令xxTxxRey
nx sin cos
其中
nnnnaxaxaxaxR1110
nia
,,1,0为待定系数
nnnnbxbxbxbxT1110
nib
,,1,0为待定系数
（2）若i是特征根，则令xxTxxRxey
nx sin cos
五．欧拉方程（数学一）
0
111ypyxpyxpyxnnnnnn，其中nipi,,2,1为常数称为n阶
tex代入方程，变为t是自变量，y是未知函数的微分方程，一定是常系数
注意下面变换公式：
dyxdtdyedxdtdtdydxdyt1， dtdydxdyx，
dyedtydedtdyedtdedxdydtddxdtdxydtttt222222
dydtydx2221， dtdydtyddxydx22222，
……。
典型例题
一．可降阶的高阶微分方程
例1．求下列微分方程的通解
（1）0222yyxyx
（2）1ln1xyyx
解：（1）令py，则py，原方程化为
0222pxppx
2
12p
pxp 属于贝努里方程
再令1pz 则有
12
zxdxdz
通解：
22211Cx
Cdxexezdxxdxx
Cxzp
21
121212
2ln21CCxCCxCdxxCxy
（2）令py，则py，原方程化为
1ln1xppx
1ln11xxpxp 属于一阶线性方程
1111
1lnCdxexxepdxxdxx
11ln1ln1111xCxCdxxx
1
11lnCdxxCxy
121lnCxxCx
例2．求下列微分方程的通解
（1）012yyy
（2）122yyy
二．常系数齐次线性微分方程
例1．求下列微分方程的通解。
（1）067yyy （2）096yyy
（3）0136yyy （4）0244yyyy
解：（1）特征方程 0672，即061
特征根 1
，62
微分方程通解 xxeCeCy6
1
（2）特征方程 0962，即032
特征根 3 二重根
微分方程通解 xexCCy3
1
（3）特征方程 01362
特征根 23
微分方程通解 xCxCeyx2sin2cos
13
（4） 特征方程 024 4 23 即0212
特征根 1
二重根，22
微分方程通解 xxeCexCCy2
21
例2．设方程043yyy，求满足0
xy，50xy的特解。
三．二阶常系数非齐次线性微分方程
例1．求微分方程xexyyy132的一个特解。
解：这是二阶线性常系数非齐次方程，其自由项呈x
exP的形状，其中
xxP
1m，1。而该微分方程的特征方程是：
322
特征根是1
，32。由于1不是特征根，故设特解为
bxby
1
为了确定
b和0b，把y代入原方程，经化简，可得
44
1xbxb
令此式两端同次幂系数相等，有
414
1bb
由此解得
11b，410b，因此特解为
xy1
1
例2．求微分方程
yyy265
答案：最后得原方程通解为yYy
xxxexxecec223
212
1
例3．求xeyyy244的通解。
答案：因此原方程的通解为
xx
xxececy222
21
例4．求方程12232xxyyy的通解。
答案：原方程的通解为
13252221xxeCeCyxx
例5．求xeyyy232的通解。
答案：原方程的通解为
xx
eCeCy
1231
例6．求方程xyyy2cos22的通解。
答案：原方程的通解为
xeCeCyxx2sin
12cos103221
例7．求微分方程xyysin的通解。
答案：原方程的通解为：
xeCCyxsincos
121。
向量代数与空间解析几何（数学一）
5．1 向量代数
内容要点
一．空间直角坐标系
从空间某定点O作三条互相垂直的数轴，都以O为原点，有相同的长度单位，分别称
x轴，y轴，z轴，符合右手法则，这样就建立了空间直角坐标系，称O为坐标原点。
1．两点间距离
设点
111,,zyxM，2222,,zyxM为空间两点，则这两点间的距离可以表示为
2
221221221zzyyxxMMd
2．中点公式
设zyxM,,为
111,,zyxM，2222,,zyxM联线的中点，则
,2,2212121zzzyyyxxx
二．向量的概念
1．向量
既有大小又有方向的量称为向量。方向是一个几何性质，它反映在两点之间从一点A到
B的顺序关系，而两点间又有一个距离。常用有向线段AB表示向量。A点叫起点，
AB的长度叫做模，记为AB。
模为1的向量称为单位向量。
2．向量的坐标表示
若将向量的始点放在坐标原点O，记其终点M，且点M在给定坐标系中的坐标为
yx,,
kji,,，则向量OM可以表示为
zkyjxiOM
称之为向量OM的坐标表达式，也可以表示为
zyxOM,,
称zkyjxi,,分别为向量OM在x轴，y轴，z轴上的分量。称zyx,,分别为向量OM
x轴，y轴，z轴上的投影。
记OM与x轴、y轴、z轴正向的夹角分别为,,，则
22cos
yxx
22cos
yxy
22cos
yxz
方向余弦间满足关系1coscos222cox
,,描述了向量OM的方向，常称它们为向量的方向角。OM的模可以表示为
222zyxOM
与向量zyxOM,,同方向的单位向量可以表示为OM
1。与向量OM平行的单
OM
1。
向量a同方向上的单位向量常记
为a。
三．向量的运算
21321,,aaakajaiaa
21321,,bbbkbjbibb
21321,,ccckcjcicc
1．加法。
32211,,babababa
减法。
32211,,babababa
2．数乘。
21,,aaa（是常数）
向量的加、减和数乘运算统称线性运算。
3．数量积。
ababa,cos
32211bababa
其中
a,为向量ba,间夹角
ba为数量也称点乘。
0ba表示向量a在向量b上的投影，即
ajba
Pr0
4．向量积ba也称为叉乘。
ababa,sin
ba的方向按右手法则垂直于ba,所在平面，且
21321bbbaaakjiba
ba是向量，abba。ba等于以ba,为邻边的平行四边形的面积。
5．混合积：定义cbacba,,，坐标公式
21321321,,cccbbbaaacba
几何意义cba,,表示以cba,,为棱的平行大面体的体积。
四．两向量间的关系
设
21321,,,,,bbbbaaaa
向量表示 向量坐标表示
a,
abacos 2
2221232221332211cosbbbaaabababa
b垂直 0ba 0
32211bbbaba
b平行 0ba
32211bababa
典型例题
例．设ba,为两个非零向量，为非零常数，若向量ba 垂直于向量b，则等于
）。
（A）
ba （B）2bba （C）1 （D）ba
分析：所给向量为抽象向量，宜用向量运算公式。如果ba 垂直于向量b，因此应
0 bba
即 0 bbba
0 2bba
由于b为非零向量，因而应有
ba，故应选（B）。
5．2 平面与直线
内容要点
一．空间解析几何
1．空间解析几何研究的基本问题
（1）已知曲面（线）作为点的几何轨迹，建立这曲面（线）的方程。
（2）已知坐标yx,和z间的一个方程（组），研究这方程（组）所表示的曲面（线）。
2．距离公式 空间两点
11,,zyxA与222,,zyxB间的距离d为
2
2212212zzyyxxd
3．定比分点公式 zyxM,,是AB的分点：
AM，点BA,的坐标为111,,zyxA，
22,,zyxB则
,1 ,1 212121zzzyyyxxx
当M为中点时，
,2,2212121zzzyyyxxx
二．平面及其方程
1．法（线）向量，法（线）方向数。
与平面垂直的非零向量，称为平面的法向量，通常记成n。法向量pnm,,的坐
，它的法向量有无穷多个，但它所指的方向只有
2．点法式方程 已知平面过
00,,zyxM点，其法向量CBAn,,，则平面的
0
00zzCyyBxxA
或0
rrn
其中zyxrzyxr,,,,,
000
3．一般式方程
0DCzByAx
其中CBA,,不全为零。zyx,,前的系数表示的法线方向数，CBAn,,是的法
特别情形：
0CzByAx，表示通过原点的平面。
0DByAx，平行于z轴的平面。
0DAx，平行yOz平面的平面。
0x表示yOz平面。
4．三点式方程
设
11,,zyxA，222,,zyxB，333,,zyxC三点不在一条直线上，则通过CBA,,的
0
31313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx
5．平面束
设直线L的一般式方程为
0
2221111DzCyBxADzCyBxA，则通过L的所有平面方程为
2
22211111DzCyBxAkDzCyBxAk，其中0,0,21kk。
6．有关平面的问题
两平面为
0:
1111DzCyBxA
0:
2222DzCyBxA
与2间
222222212121212121cosCBACBACCBBAA
0
12121CCBBAA
1212121DDCCBBAA
1212121DDCCBBAA
设平面的方程为0DCzByAx，而点
11,,zyxM为平面外的一点，则
的距离d：
22111
BADCzByAxd
三．直线及其方程
1．方向向量、方向数
与直线平行的非零向量S，称为直线L的方向向量，方向向量的坐标称为方向数。
2．直线的标准方程（对称式方程）。
zzmyylxx000
其中
00,,zyx为直线上的点，nml,,为直线的方向数。
3．参数式方程
zzmtyyltxx
00
tnmls,,,为参变量。
4．两点式
设
11,,zyxA，222,,zyxB为不同的两点，则通过A和B的直线方程为
21121121zzzzyyyyxxxx
5．一般式方程（作为两平面的交线）：
0
2221111DzCyBxADzCyBxA，方向向量222111,,,,CBACBAS
6．有关直线的问题
两直线为
111111:nzzmyylxxL
222222:nzzmyylxxL
L与2L间夹角
2222212121212121cosnmlnmlnnmmll
0
12121nnmmll
12121nnmmll
四．平面与直线相互关系
平面的方程为：
DCzByAx
直线L的方程为：
zzmyylxx000
间夹角（）
22222sin
mlCBACnBmAl
垂直条件
nBmAl
平行条件 0CnBmAl
重合条件 0CnBmAl
上
典型例题
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例1．已知直线
2131:zyxl，若平面过点5,1,2M且与l垂直，求平面
分析：由题意可知，直线l的方向向量1,2,3s必定平行于所求平面的法线向量
,2,3sn
利用平面的点法式方程可知
51223zyx
即 051223zyx
为所求平面方程。
或写为一般式方程01323zyx。
例2．设平面过点1,0,1且与平面0824zyx平行，则平面的方程为
。
例3．通过点3,2,1M且与直线l：
x32
ty2，tz1
垂直的平面方程为________。
例4．求点1,2,1
M到平面02543:zyx的距离。
例5．试确定过0,3,2
M，4,3,22M及0,6,03M三点的平面方程。
例6．求通过坐标原点且垂直于直线
63407:zyxzyxl的平面方程。
例7．求通过点1,2,1P且垂直于两平面：0yx和05zy的平面方程。
5．3 曲面与空间曲线
内容要点
一．曲面方程
1．一般方程
,,zyxF
2．参数方程
uzzvuyyvuxx,,. Dvu,（平面区域）
二．空间曲线方程
1．一般方程
,,0,,
1zyxFzyxF
2．参数方程
zztyytxx
三．常见的曲面方程
1．球面方程
设
000,,zyxP是球心，R是半径，zyxP,,是球面上任意一点，则RPP0，即
2
2020Rzzyyxx
2．旋转曲面的方程
（1）设L是xOz平面上一条曲线，其方程是
0,0,yzxfL绕z轴旋转得到旋转曲面，
zyxP,,是旋转面上任一点，由点
00,,zOxP旋转而来（点zM,0,0是圆心）。
由zzyxMPMPx
2200,得旋转面方程是
,2
2zyxf
或 由参数方程tfx，tgy，thz,t，得旋转面的参数方程
,sin,cos2222thztgtfytgtfx t，20
（2）求空间曲线
,,0,,
1zyxFzyxF绕z轴一周得旋转曲面的方程
第一步：从上面联立方程解出zfx，zgy
第二步：旋转曲面方程为 zgzfyx2222
绕y轴一周或绕x轴一周的旋转曲面方程类似地处理。
5．二次曲面
方程 曲面名称 方程
1
22222
zbyax 旋转抛物面 02222pzpypx
0,
222qpzqypx 双曲抛物面 0,2222qpzqypx
1
22222
zbyax 双叶双曲面 1222222czbyax
0
22222
zbyax 椭圆柱面 12222byax
1
222
yax 抛物柱面 022pypx
四．空间曲线在坐标平面上的投影
1．曲线C的方程
,,0,,zyxGzyxF
曲线C在xy平面上的投影
先从曲线C的方程中消去z得到0,yxH，它表示曲线C为准线，母线平行于z轴
0,zyxH
就是C在xy平面上的投影曲线方程。
曲线C在zx平面上投影或在yz平面上投影类似地处理
2．曲线C的方程
hztgytfx
则曲线C在xy平面上的投影曲线方程为
tgytfx 0
曲线C在zx平面上投影曲线方程为t
hzytfx0
曲线C在yz平面上投影曲线方程为t
hztgyx0
多元函数微分学
6．1 多元函数的概念、极限与连续性
内容要点
一．多元函数的概念
1．二元函数的定义及其几何意义
设D是平面上的一个点集，如果对每个点DyxP,，按照某一对应规则f，变量z
z是变量x，y的二元函数，记以yxfz,，D称为定义域。
二元函数yxfz,的图形为空间一卦曲面，它在xy平面上的投影区域就是定义域
例如 221yxz，1:22yxD
二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D就是xy平面上以
1的闭圆。
2．三元函数与n元函数
zyxfu,, zyx,,空间一个点集称为三元函数
xxxfu,,21 称为n元函数
它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。条件极值中，可能会
二．二元函数的极限
设yxf,在点
0,yx的邻域内有定义，如果对任意0，存在0，只要
20yyxx，就有Ayxf,
则记以Ayxf
yxx,lim
0或Ayxfyxyx,lim00,,
称当yx,趋于
0,yx时，yxf,的极限存在，极限值为A，否则，称为极限不存在。
值得注意：这里yx,趋于
0,yx是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于
0,yx，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂；但考试大纲只要求知道基本概念和
三．二元函数的连续性
1．二元函数连续的概念
若
0,,lim
0yxfyxfyyxx 则称yxf,在点00,yx处连续。
若yxf,在区域D内每一点皆连续，则称yxf,在D内连续。
2．闭区域上连续函数的性质
定理1．（有界性定理）设yxf,在闭区域D上连续，则yxf,在D上一定有界.
定理2．（最大值最小值定理）设yxf,在闭区域D上连续，则y
xf,在D上一定有
Myxf
yx,max,（最大值），myxfDyx,min,（最小值）
定理3．（介值定理）设yxf,在闭区域D上连续，M为最大值，m为最小值。若
Cm
Dyx
0,，使得Cyxf00,
典型例题
一．求二元函数的定义域
例1．求函数xyxz
arcsin的定义域
解：要求1
x 即33x；
又要求 0xy 即 0,0yx或0,0yx
综合上述要求得定义域
03yx或030yx
例2．求函数12ln4222xyyxz的定义域
二．有关二元复合函数
例1．设22,yyxyxyxf，求yxf,
解：设uyx，vyx解出vux
1，vuy21
代入所给函数化简22
181,vuvuvuvuf
故22
181,yxyxyxyxf
例2．设53,22yxyxxyyxf，求yxf,
例3．设1xfyz，当1y时，xz，求函数f和z
例4．设yxfyxz，当0y时，2xz，求函数f和z。
三．有关二元函数的极限
例1．讨论yxx
yxxy211lim （0a常数）
解：原式yxxyxxy
yxxy211lim
而e
xytxyt
xy
yx11lim_______11lim令
又
yyyxxyxayxayx111limlim2
原式ae1
例2．讨论
42
0limyxyxyx
例3．讨论
4232
0limyxyxyx
例4．讨论
2lim
xyxyx
x
6．2 多元函数的偏导数与全微分
内容要点
一．偏导数
1．定义
设二元函数yxfz,
若
yxfyxxf
00000,,lim存在，则记以00,yxfx，或
0,yxxz
或
0,yxzx称为yxfz,在点00,yx处关于x的偏导数。
同理，若
yxfyyxf
00000,,lim存在，则记以00,yxfy，或
0,yxyz
或
0,yxzy称为yxfz,在点00,yx处关于y的偏导数。
类似地，设zyxfu,,
00,,zyxfx即
00,,xxdxzyxdf
00,,zyxfy即
00,,yydyzyxdf
00,,zyxfz 即
00,,zzdzzyxdf
2．二元函数偏导数的几何意义
0,yxfx表示曲面yxfz,与平面0yy的截线在点0000,,,yxfyx处的切
关于x轴的斜率；
0,yxfy表示曲面yxfz,与平面0xx的截线在点
000,,,yxfyx处的切线关于y轴的斜率
3．高阶偏导数
设yxfz,的偏导数yxf
,和yxfy,仍是二元函数，那么它们的偏导数就称为
xfz,
yxf
zxzxxx,22
yxf
xzxzyxy,2
yxf
yzyzxyx,2
yxf
zyzyyy,22
当
xz2，xyz2在yx,处为连续则xyzyxz22
也就是说在这种情况下混合偏导数与求导的次序无关。
类似地可以讨论二元函数的三阶及n阶偏导数。
也可以讨论n元函数3n的高阶偏导数。
二．全微分
1．二元函数的可微性与全微分的定义
设yxfz,在点
0,yx处有全增量
000,,yxfyyxxfz
若0yBxAz 022yx
其中BA,不依赖于yx,只与
0,yx有关，
则称yxfz,在
0,yx处可微，而yBxA称为yxfz,在00,yx处的全
0,yxdz或00,yxdf
2．二元函数的全微分公式
当yxfz,在
0,yx处可微时
则yyxfxyxf
xdzyx0000
0,,,
dyyxfdxyxf
x0000,,
这里规定自变量微分xdx，ydy
一般地
dyyxfdxyxfyxdfdz
x,,,
3．二元函数全微分的几何意义
二元函数yxfz,在点
0,yx处的全微分
0,yxdz在几何上表示曲面
xfz,
000,,,yxfyx处切
平面上的点的竖坐标的增量。
4．n元函数的全微分公式
类似地可以讨论三元函数和n元3n函数的可微和全微分概念，在可微情况下
dzzyxfdyzyxfdxzyxfzyxdf
yx,,,,,,,,
nn
xndxxxfxxxdfk,,,,,1121
三．偏导数的连续性、函数的可微性，偏导数的存在性与函数的连续性之间的关系
考研论坛（https://www.360docs.net/doc/2d10419984.html,）友情提供下载
设yxfz,，则
zxz,连续dz存在
存在yxfzyzxz,,
四．方向导数与梯度（数学一）
1．平面情形
yxz,在平面上过点
00,yxP沿方向cos,cosl的方向导数
yxftytxfyxlf
00000
0,cos,coslim,
yxfz,在点
00,yxP处的梯度为
yxfxyxfyxgradf000000,,,,
而方向导数与梯度的关系为
lyxgradf
x
f00
0,,
lyxgradflyxgradf,,cos,
000
由此可见，当l的方向与
0,yxgradf的方向一致时，
0,yxlf为最大，这时等于
0,yxgradf又方向导数与偏导数的关系为
cos,cos,
0000
0yyxfxyxfyxlf
这相当用两向量的点乘的坐标公式
2．空间情形（略）
6．3 多元函数微分法
内容要点
模型 1．vufz,，yxuu,，yxvv,
vvzxuuzxz；yvvzyuuzyz
模型2．zyxfu,,，yxzz,
zffyuxzffxuzyzx
模型3．zyxfu,,，xyy，xzz
xzfxyff
duzyx
模型4．vufw,，zyxuu,,，zyxvv,,
vfzufzwyvfyufywxvfxufxwvuvuvu
还有其它模型可以类似处理
设0,,zyxF
（1）确定yxzz,则
xFFxz；zyFFyz
（2）确定zyxx,则
yFFyx；xzFFzx
（3）确定xzyy,则
zFFzy；yxFFxy
典型例题
例1．设zyxfu,,有连续的一阶偏导数，又函数xyy及xzz分别由下列
2xyexy和zxxdte
tsint，求dxdu
答案：
fzxzxeyfxyxfdxduxsin1
例2．设xyy，xzz是由yxxfz和0,,zyxF所确定的函数，其中f
F具有一阶连续偏导数，求
dz
答案：
yxyFfxFFfxFfxfdxdz
6．4 多元函数的极值和最值
内容要点
一．求yxfz,的极值
第一步
,0,yxfyxf
x 求出驻点kkyx,lk,,2,1
第二步 令2,,,
kxykkyykkxxkyxfyxfyxf
若0
则kkyxf,不是极值
若0
则不能确定（需从极值定义出发讨论）
若0
则kkyxf,是极值
进一步 若0,
kxxyxf 则kkyxf,为极小值
若0,
kxxyxf 则kkyxf,为极大值
二．求多元2n函数条件极值的拉格朗日乘子法
求
xxfu,,1的极值
约束条件
,, 0,,
11nmnxxxxnm
作
m
iinmnxxxxfxxFF,,,,,,,,,11111
,, 0,,0 0
1111nmnxxxxFxxFFF
n
求出lkxxk
k,,2,1,,1是有可能的条件极值点，一般再由实际问题的含义确
三．多元函数的最值问题
曲型例题
一．普通极值问题
例1．求函数22442yxyxyxz的极值
解：yxx
z243，yxyyz2243
要求0
zxz，得3322yxyx
故知yx，由此解得三个驻点
0yx，11yx，11yx，
又2122
2x
z，22yxz，212222yyz
在点1,1处
10
,122xzA，21,12yxzB，101,122yzC
0962BAC
又010A，
1,1是极小值点
极小值2
,1z
在点1,1处
10
,122xzA，21,12yxzB，101,122yzC。
0962BAC，010A，1,1也是极小值点
极小值2
,1z
在点0,0处
2
,022xzA，20,02yxzB，20,022yzC。
02BAC 不能判定。
这时取x，y（其中为充分小的正数）则024z而取yx时
4224z
0,0不是极值点。
例2．求函数2232368yxyxezyx的极值
二．条件极值问题（在强化班再讨论）
多元函数积分学
7．1 二重积分
内容要点
1．定义
设yxf,是定义在有界闭区域D上的有界函数，如果对任意分割D为n个小区域
,,,
1n对小区域nkk,,2,1上任意取一点kk,都有
n
kkdf10,lim
存在，（其中
又表示为小区域k的面积，kd为小区域k的直径，而
kdd1max）
则称这个极限值为yxf,在区域D上的二重积分
记以
dyxf,，这时就称yxf,在D上可积。
如果yxf,在D上是有限片上的连续函数，则yxf,在D上是可积的。
2．几何意义
当yxf,为闭区域D上的连续函数，且0,yxf，则二重积分
dyxf,表示
yxfz,为顶，侧面以D的边界曲线为准线，母线平行于z轴的曲顶柱体的体积。
当封闭曲面S它在xy平面上的投影区域为D，上半曲面方程为yxfz,
，下半曲
yxfz,
，则封闭曲面S围成空间区域的体积为
dyxfyxf
,,12
3．基本性质
（1）
Ddyxfkdyxkf,,（k为常数）
（2）dyxgdyxfdyxgyxf
DD,,,,
（3）
2,,,DDDdyxfdyxfdyxf
其中
1UDDD，除公共边界外，1D与2D不重叠。
（4）若yxgyxf,,，Dyx,，则
Ddyxgdyxf,,
（5）若Myxfm,，Dyx,，则
MSdyxfmS,
其中S为区域D的面积。
（6）dyxfdyxf
D,,
（7）积分中值定理 设yxf,在有界闭区域D上连续，S为D的面积，则存在
,
Sfdyxf
,,
我们也把
dyxfS,1称为yxf,在D上的积分平均值。
4．对称区域上奇偶函数的积分性质
定理1．设yxf,在有界闭区域D上连续，若D关于x轴对称，则
yyxfdyxfyyxfdyxf为偶函数对为奇函数对, ,,2, ,0,
其中
D为D在x轴的上半平面部分。
定理2．设yxf,在有界闭区域D上连续，若D关于y轴对称，则
xyxfdyxfxyxfdyxf为偶函数对为奇函数对, ,,2, ,0,
其中
D为D在y轴的右半平面部分。
定理3．设yxf,在有界闭区域D上连续，若D关于原点对称，则
DyxyxfyxfdyxfDyxyxfyxfdyxf,,,,, ,,2,,,,, ,0,
其中
D为D的上半平面或右半平面。
定理4．设yxf,在有界闭区域D上连续，若D关于直线xy对称，则
Ddxyfdyxf,,
若
4DDD，
D，5D分别为D在xy的上方与下方部分，则
dxyfdyxf
D
4,,
模型I：设有界闭区域xyxbxayxD
1,,
其中x
，x2在ba,上连续，yxf,在D上连续。
则
Ddxdyyxfdyxf,,
b
xxdyyxfdx
2
,
模型II：设有界闭区域yxydycyxD
1,,
其中y
，y2在dc,上连续，yxf,在D上连续。
则
Ddxdyyxfdyxf,,
d
yydxyxfdy2
,
关于二重积分的计算主要根据模型I或模型II把二重积分化为累次积分从而进行计
D，如果既不符合模型I中关于D的要求，又不符合模型II中关
D的要求，那么就需要把D分解成一些小区域，使得每一个小区域能够符合模型I或模
II中关于区域的要求，利用二重积分性质，把大区域上二重积分等于这些小区域上二重
在直角坐标系中，两种不同顺序的累次积分的互相转化是一种很重要的手段，具体做法
D，然后根据D再把二重
在极坐标系中一般只考虑一种顺序的累次积分，也即先固定对进行积分，然后再对
D的不同类型，也有几种常用的模型。
模型：设有界闭区域
1,,D
其中
，2在,上连续，sin,cos,fyxf在D上连续，则
Dddfdyxf sin,cos,
2
sin,cosdfd
模型I：设有界闭区域
1,20,D
其中
1,在2,0上连续，sin,cos,fyxf在D上连续，则
Dddfdyxf sin,cos,
2
sin,cos2
dfd
模型II：设有界闭区域0,,D
其中在,上连续，sin,cos,fyxf在D上连续，则
Dddfdyxf sin,cos,
sin,cosdfd
模型III：设有界闭区域0,20,D
其中在2,0上连续，sin,cos,fyxf在D上连续，则
ddfdyxf
D sin,cos,
2
0 sin,cosdfd
1．空间物体的体积
dyxfyxfV
,,12
其中D为闭曲面S在xy平面上投影区域yxfz,
为上半曲面，yxfz,1为下半
2．空间曲面的面积
dyzxzA221
其中D为曲面S在xy平面上投影，曲面S的方程yxzz,
典型例题
例1．计算
xydxdy，其中D是由曲线1xy，25yx所围区域。
解：x
Dxydydxxydxdy251221
2
1212521dxxxx
12ln413582521432xxxx
2ln
165
例2．计算
dxdyyx22其中D是以xy，axy，ay和0 3aay
例3．计算
dxdyy2其中D是由摆线ttaxsin，
t0 cos1tay
x轴所围区域。
例4．计算
yxdxdyyx
例5．计算
012yxdxdyxy
例6．计算
ydxdye2，其中D由xy，1y和y轴所围区域。
例7．计算
dxdyyysin其中D由xy和xy所围区域。
例1．计算
ydxdy其中D由0222aaxyx与x轴围成上半圆区域。
解：D在极坐标系里
0，cos20ar，
cos2
20sina
rdrrdydxdy
dar2
3sin0cos231
2
33 sincos38da
343
2
2cos32aa
例1．交换x
dyyxfdx220,的积分顺序
解：原式
dxdyyxf,
其中D由xy，xy2和2x所围的区域。
按另一积分顺序把二重积分化累次积分
原式2
42220,,yyydxyxfdydxyxfdy
例2．交换x
dyyxfdx2
262,的积分顺序
例3．交换22
21,xxxdyyxfdx的积分顺序
例4．交换ax
axadyyxfdx22202,的积分顺序0a
例5．交换xdyyxfdxsin
20,的积分顺序
1．求空间物体
的体积
例1．求两个底半径为R的正交圆柱面所围立体的体积
答案：3
168RVV
例2．求球面22224Rzyx和圆柱面0222RRxyx所围（包含原点那一
解：根据对称性可知
dxdyyxRV22244
其中D为xy平面上22xRxy与x轴所围平面区域用极坐标系进行计算
cos2
2220224444R
rdrrRdrdrdrRV
22332sin133232
33RdR
例3．求曲面yxzcoscos，0z，
yx，2yx所围立体的体积。
7．2 三重积分（数学一）
内容要点
1．定义
设zyxf,,是定义在空间有界闭区域上的有界函数，如果对任意分割为n个小区
vvv,,,21且对小区域nkvk,,2,1上任意取一点kkks,,都有
n
kkkdvsf10,,lim
v又表示为小区域kv的体积，kd为小区域kv的直径，而k
kdd1max）则
zyxf,,在空间区域上的三重积分，记以dvzyxf,,。这时就称函
zyxf,,在上是可积的。
上的连续函数一定是可积的。
2．基本性质
（1）dvzyxfkdvzyxkf,,,,（k为常数）
（2）dvzyxgdvzyxfdvzyxgzyxf,,,,,,,,
（3）
1,,,,,,dvzyxfdvzyxfdvzyxf
其中
1，除公共边界外，1与2不重叠
（4）若zyxgzyxf,,,,，zyx,,，则
zyxgdvzyxf,,,,
（5）若Mzyxfm,,，zyx,,，则
dvzyxfmV,,
其中V为区域的体积
（6）dvzyxfdvzyxf,,,,
（7）积分中值定理
设zyxf,,在空间有界闭区域上连续，V为的体积，则存在s,,，使得
sfdvzyxf,,,,
我们也把dvzyxf
,,1称为zyxf,,在上的积分平均值。
3．对称区域上奇偶函数的积分性质
定理：设zyxf,,在空间有界闭区域上连续，而关于xy平面对称，则
.,,,,,2,zy,x,, 0,,是偶函数关于若是奇函数关于若zzyxfdvzyxfzfdvzyxf
其中
是在xy平面上方的那一部分区域。
至于关于yz平面对称，或关于zx平面对称有类似的结果。
1．直角坐标系中三重积分化为累次积分
（1）设是空间的有界闭区域，
yxyxzzyxzzyx,,,,,,
1
其中D是xy平面上的有界闭区域，yxzyxz,,,
1在D上连续，函数zyxf,,在
xz
xz
dzzyxfdxdydvzyxf,,21,,,,
（2）设zDyxzzyx,,,,
其中zD为竖坐标为z的平面上的有界闭区域，则
Ddxdyzyxfdzdvzyxf,,,,
2．柱坐标系中三重积分的计算
dzddzfdxdydzzyxf ,sin,cos,,
相当于把yx,化为极坐标,而z保持不变。
3．球坐标系中三重积分的计算
sinsincossinzyx2000
dxdydzzyxf,,
dddf sincos,sinsin,cossin2
然后再根据把三重积分化为关于,,的累次积分。
乙 典型例题（强化班时再讨论）
考研论坛（https://www.360docs.net/doc/2d10419984.html,）友情提供下载
7．3 曲线积分（数学一）
内容要点
1．定义
平面情形：设xy平面上逐段光滑曲线L上定义函数yxf,把曲线L任意分割为n段，
SSS,,,21，在nkSk1上任取一点kk,，如果对任意分割，任意取点，
n
kkSf10,lim
（这里
S又表示第
k段曲线的弧长，k
kS1max）
则称此极限值为yxf,在曲线L上的第一类曲线积分也称为对弧长的曲线积分，记以
dSyxf,
如果曲线L是封闭曲线，则记以
dSyxf,
空间情形：空间一条逐段光滑曲线L上定义函数zyxf,,，把曲线L任意分割为n段，
SSS,,,21在nkSk1上任取一 点kkks,,，如果对任意分割，任意取点，
n
kkkkSsf10,,lim
（这里
S又表示第k段曲线的弧长，k
kS1max）
则称此极限值为zyxf,,在曲线L上的第一类曲线积分，也称为对弧长的曲线积分，
dSzyxf,,
如果曲线L是封闭曲线，也记以
dSzyxf,,
2．参数计算公式
我们只讨论空间情形（平面情形类似）
设空间曲线L的参数方程txx，tyy，tzz，t
则dttztytxtztytxfdSzyxf
222,,,,
（假设zyxf,,和tx，ty，tz皆连续）这样把曲线积分化为定积分来进行计
1．定义
平面情形：设xy平面一条逐段光滑有定向的曲线
L，函数yxP,和yxQ,皆
L上有定义，把L任意分成n段
SSS,,,21，在nkSk1上起点坐标为
1,kkyx，终点坐标为kkyx,（按L的定向决定起点和终点）令1kkkxxx，
kkkyyy nk1，再在kS上任取一点kk,，考虑极限
n
kkkkkkyQxP10,,lim
其中仍然是n段弧长中的最大值，如果对任意分割，任意取点，上述极限皆存在并且
则称此极限值为yxP,和yxQ,对曲线L的第二类曲线积分，也称对坐标的曲线积
dyyxQdxyxP
,,
第二类曲线积分有时也用向量形式表示
dSF，这时向量 yxQyxPF,,,，
dxdS,
dyyxQdxyxPdSF,,
另外，平面曲线L是封闭曲线时，它的定向用逆时针方向或顺时针方向加以指明。
空间情形：设空间一条逐段光滑有定向的曲线
L，函数zyxP,,，zyxQ,,，
yxR,,
L上皆有定义，把L任意分成n段，
SSS,,,21，在nkSk1上
11,,kkkzyx，终点坐标kkkzyx,,（按L的定向决定起点和终点）令
kkkxxx，1kkkyyy，1kkkzzz，nk1再在kS上任意一点
kks,,考虑极限
n
kkkkkkkkkkkkzsRysQxsP10,,,,,,lim
其中仍是n段弧长中最大值，如果对任意分割，任意取点，上述极限皆存在并且相等，
zyxP,,，zyxQ,,和zyxR,,对空间曲线L的第二类曲线积分，也称
dzzyxRdyzyxQdxzyxP,,,,,,
它的向量形式为
dSF
其中 zyxRzyxQzyxPF,,,,,,,, dzdydxdS,,
如果L是空间封闭曲线也要说明L的定向，在空间不能简单地说逆时针方向或顺时针
2．参数计算公式
我们只讨论空间情形（平面情形类似）
设空间有向曲线L的参数方程txx，tyy，tzz，起点A对应参数为，
B对应参数为（注意：现在和的大小不一定）如果zyxP,,，zyxQ,,，
yxR,,
tx，ty，tz也都连续，则
LdzzyxRdyzyxQdxzyxP,,,,,,
tztztytxRtytztytxQtxtztytxP,,,,,,
这样把曲线积分化为定积分来计算。值得注意：如果曲线积分的定向相反，则第二类曲
1．平面情形
设
L平面上一个逐段光滑有定向的曲线，yxP,，yxQ,在L上连续，则
dsyxQyxPdyyxQdxyxPcos,cos,,,
其中cos，cos为曲线弧在点yx,处沿定向A到B方向的切线的方向余弦。
2．空间情形
设
L为空间一条逐段光滑有定向的曲线，zyxP,,，zyxQ,,，zyxR,,在L
dzzyxRdyzyxQdxzyxP,,,,,,
dszyxRzyxQzyxP
cos,,cos,,cos,,
其中cos，cos，cos为曲线弧AB上点zyx,,处沿定向A到B方向的切线的
关于平面区域上的二重积分和它的边界曲线上的曲线积分之间的关系有一个十分重要
定理1．（单连通区域情形）
设xy平面上有界闭区域D由一条逐段光滑闭曲线L所围成的单连通区域。当沿L正定
D在L的左边，函数yxP,，yxQ,在D上有连续的一阶偏导数，则有
QdyPdxdxdyyPxQ
定理2．（多连通区域情形）
设xy平面上有界闭区域D是1n连通区域（也即有n个“洞”），它的边界
CCCL10，其中0C的定向为逆时针方向，nCC,,1定向皆为顺时针方向，
L的正定向移动时区域D在它的左边这个原则。
函数yxP,，yxQ,在D上有连续的一阶偏导数，则
DQdyPdxdxdyyPxQ
CnkCkQdyPdxQdyPdx
设yxQyxPF,,,的分量yxP,，yxQ,在单连通区域D内有一阶连续偏导数，
1．对D内任意一条逐段光滑闭曲线L，都有0
QdyPdx
2．任意ABL在D内，则
QdyPdx只依赖于起点A和终点B，与曲线ABL
3．yxdudyyxQdxyxP,,,成立。
4．D内处处有
PxQ成立。
5．向量场yxQyxPF,,,是有势场，即存在二元函数yxV,，具有gradVF，
xV,
VP，yVQ。
乙 典型例题（强化班再讨论）
7．4 曲面积分（数学一）
内容要点
1．定义
设S为分块光滑曲面，zyxf,,在S上有定义，把曲面S任意分成n块小曲面
SSS,,,21，在)1(nkSk上任取一点kkks,,，把小曲面kS的面积也记
S，而表示各小块曲面直径的最大值。如果对任意分割和任意取点，下列极限皆存
n
kkkSsf10,,lim
则称这极限值为zyxf,,在曲面S上的第一类曲面积分，也称对面积的曲面积分，记
dSzyxf,,
2．基本计算公式
设曲面S的方程Dyxyxzz,,,，yxz,在D上有连续偏导数。
zyxf,,在S上连续，则
SdxdyyzxzyxzyxfdSzyxf221,,,,,
这样把第一类曲面积分化为二重积分进行计算。
1．定义
设S为分块光滑有向曲面（已指定一侧为定向)，zyxP,,，zyxQ,,，zyxR,,皆
S上有定义，把曲面S任意分成n个小曲面
SSS,,,21，而nkSk1在yz平
kS，在zx平面上投影的面积记以zxkS，在xy平面上投影的
kS，又在nkSk1上任取一点kkks,,，令是各小块曲面直径的
n
xykkkkzxkkkkyzkkkkSsRSsQSsP10,,,,,,lim
如果对任意分割，任意取点，极限值都存在并且相等，则这个极限限称为zyxP,,，
yxQ,,
zyxR,,在
有向曲面S上的第二类曲面积分，也称为对面积的曲面积分，记以
dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP,,,,,,
如果令RQPF,,，dxdydzdxdydzdS,,
则向量形式为
dSF
2．基本计算公式
如果曲面S的方程yxzz,，
Dyx,
yxz,在
D上连续，zyxR,,在S上连续，则
DSdxdyyxzyxRdxdyzyxR,,,,,
若曲面S指定一侧的法向量与z轴正向成锐角取正号，成钝角取负号。这样把这部分曲
xy平面上的二重积分。
类似地，曲面S的方程表示为zyxx,，
Dzy,，则
DSdydzzyzyxPdydzzyxP,,,,,
曲面S指定一侧的法向量与x轴正向成锐角取正号，成钝角取负号，如果曲面S的方程
xzyy,，
Dxz,，则
DSdzdxzxzyxQdzdxzyxQ,,,,,
曲面S指定一侧的法向量与y轴成锐角取正号，成钝角取负号。由此可见，第二类曲
QP,,
0只剩下一项或二项时，也有可能用基本公式进行计算。
SdSRQPRdxdyQdzdxPdydzcoscoscos
其中cos,cos,cos为曲面S在点zyx,,处根据定向指定一侧的法向量的三个方
令RQPF,,， cos,cos,cos
n
SdSnFRdxdyQdzdxPdydz0
定理1．（单连通区域）
设是由分块光滑曲面S围成的单连通有界闭区域，zyxRzyxQzyxP,,,,,,,,在
RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP
（外侧）
dSRQPcoscoscos
其中cos,cos,cos为S在点zyx,,处的法向量的方向余弦。
定理2．（多连通区域）
设是1n连通区域，外面边界曲面
S为外侧，每一个“洞”的边界曲面
kS
1为内侧，彼此不重叠，都在0S的内部。这些曲面都是分块光滑的，是有界
zyxRzyxQzyxP,,,,,,,,在上有连续的一阶偏导数，则
SRdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP
（外侧）
n
RdxdyQdzdxPdydz1
（内侧）
定理：设L是逐段光滑有向闭曲线，S是以L为边界的分块光滑有向曲面，L的正向
S的侧（即法向量的指向）符合右手法则，函数zyxRzyxQzyxP,,,,,,,,在包含S的
L
QPzyxdxdydzdxdydzRdzQdyPdx
dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR
也可用第一类曲面积分
LdS
QPzyxRdzQdyPdxcoscoscos
讨论中有三个概念很重要，就是梯度、散度和旋度。前面我们已经讨论过梯度：
设 zyxuu,,算
yx,,
u
uyuxugradu,,称为u的梯度。
1．散度
设zyxRzyxQzyxPF,,,,,,,,
散度F
RyQxPdivF称为F的散度
高斯公式可写成
dSnFdivFdv0
（外侧）
cos,cos,cos
n
2．旋度
设 zyxRzyxQzyxPF,,,,,,,,
旋度
QPzyxkjiFrotF
k
PxQjxRzPizQyR
称为F的旋度。
斯托克斯公式可写成
LdSnrotFdrF0
其中dzdydxdr,,, cos,cos,cos
n
乙 典型例题（强化班再讨论）
无穷级数（数学一和数学三）
言
它与有限项相加有本质不同。历史上曾经对一个无穷
1)1(1111n
历史上曾有三种不同看法，得出三种不同的“和”，
第一种 0)11()11()11(
第二种 1)11()11()11(1
第三种 设Sn1)1(1111
则S11111
SS1， 12S，
1S
这种争论说明对无穷多项相加，缺乏一种正确的认识，
（1）什么是无穷多项相加？如何考虑？
（2）无穷多项相加，是否一定有“和”？
（3）无穷多项相加，什么情形有结合律，什么情形有交换律等性质。因此对无穷级数
8．1 常数项级数
内容要点
1．基本概念
无穷多个数,,,,,
21nuuuu，依次相加所得到的表达式
nuuuuu3211
称为数项级数（简称级数）
,3,2,1
21
nuuuuuSnnkkn
称为级数的前n项的部分和。
),3,2,1(nS
称为部分和数列。
若SS
存在lim，则称级数
nnu是收敛的，且其和为S，记以Sunn1
若
Slim不存在，则称级数
nnu是发散的，发散级数没有和的概念。
（注：在某些特殊含义下可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中，不
）
2．基本性质
（1）如果
nnu和1nnv皆收敛，ba,为常数，则
nnnbvau收敛，且等于11nnnnvbua
（2）在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。
（3）收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛，而且
发散级数不具有结合律，引言中的级数可见是发散的，所以不同加括号后得到级数的情
（4）级数
nnu收敛的必要条件是0limnnu。
（注：引言中提到的级数
11nn，具有1)1(limnn不存在，因此收敛级数的必要条
11nn发散。调和级数11nn满足01limnn，但11nn却是分散的。所以
0lim
u，而
nnu收敛性尚不能确定。）
3．两类重要的级数
（1）等比级数（几何级数）
nnar0a
当1r时，
aar
n10收敛；
当1r时，
nnar发散。
（2）p—级数
1npn
当1p时，
1npn收敛；
当1p时，
1npn发散。
（注：1p时，
1npn的和一般不作要求，但后面用特殊的方法可知61212nn。）
若),3,2,1(0nu
则
nnu称为正项级数，这时
,3,2,1
nSSnn
所以
S是单调增加数列，它是否收敛就只取决于nS是否有上界。
因此
nnu收敛nS有上界，这是正项级数比较判别法的基础。从而也是正项级数其
1．比较判别法
设0c，当Nn时，0
nucv皆成立。
如果
nnv收敛，则1nnu收敛；
如果
nnu发散，则1nnv发散。
2．比较判别法的极限形式
设0
u，0nv，,3,2,1n
若A
u
nnlim
（1）当A0时，
nnu与1nnv同时收敛或同时发散。
（2）当0A时，若
nnv收敛，则1nnu收敛。
（3）当A时，若
nnu收敛，则1nnv收敛。
3．比值判别法（达朗倍尔）
设0
u，而
nnuu1lim
（1）当1时，则
nnu收敛。
（2）当1（包括）
时，则
nnu发散。
（3）当1时，此判别法无效。
（注：如果
nnuu1lim不存在时，此判别法也无法用。）
4．根值判别法（柯西）
设0
u，而nn
ulim
（1）当1时，则
nnu收敛。
（2）当1（包括）时，则
nnu发散。
（3）当1时，此判别法无效。
事实上，比值判别法和根值判别法都是与等比级数比较得出相应的结论。应用时，根据
1情形都无能为力，数学上有更精细一些的判
1．交错级数概念
若0
u，
11nnnu称为交错级数。
2．莱布尼兹判别法
设交错级数
11nnnu满足：
（1）,3,2,1
nuunn
（2）0lim
u
则
11nnnu收敛， 且11110uunnn
1．定理
若
nnu收敛，则1nnu一定收敛；反之不然。
2．定义
若
nnu收敛，则称1nnu为绝对收敛；
若
nnu收敛，而1nnu发散，则称1nnu为条件收敛。
3．有关性质
（1）绝对收敛级数具有交换律，也即级数中无穷多项任意交换顺序，得到级数仍是绝
（2）条件收敛级数的正项或负项构成的级数，即
21nnnuu或121nnnuu一
4．一类重要的级数
设
11npnn
（1）当1p时，
11npnn是绝对收敛的。
（2）当10p时，
11npnn是条件收敛的。
（3）当0p时,
11npnn是发散的。
典型例题
例1．判定下列级数敛散性，若收敛并求级数的和。
（1）
11nnn
（2）
211nnnn
1．正项级数情形
例1．若级数
nna0na收敛，则
（1）
2nna收敛
（2）
nnna收敛
（3）
1n
naa收敛
证：(1)
nna收敛0limnna，取1，存在N，
当Nn时，1
a，于是nnnaaa12再用比较判别法，
由
nna收敛可知12nna收敛
（2）)1(
122
ananannn（几何平均值算术平均值）
已知
nna收敛，121nn收敛，故21121nann收敛，
再用比较判别法，可知
nnna收敛
（3）0
a，,3,2,1
naaan
n
已知
nna收敛，用比较判别法可知11n
naa收敛。
例2．判别下列级数的敛散性
（1）
!nnnnna(0a常数) （2）
2! 2!nnn
解：用比值判别法
（1）
! 1limlim111nannnauunnnn
nn
a
ann11lim
当ea，则1
a，故级数收敛
当ea，则1
a，故级数发散
当ea时，1
a，比值判别法无效
但这时1
11(1n
n
euu，即nnuu1
那么收敛的必要条件0lim
u一定不满足，故级数也发散
（2）
21
! 2! 12! 1limlimnnnnuu
nn
122121lim2nnn
故级数收敛
8．2 幂级数
内容要点
1．函数项级数概念
设xu
,3,2,1n皆定义在区间I上，则xu
n1称为区间I上的函数项级数
2．收敛域
设I
x，如果常数项级数0
xunn收敛，则称0x是函数项级数1nnxu的收敛点，
如果
0nnxu发散，则称0x是1nnxu的发散点。
函数项级数
nnxu的所有收敛点构成的集合就称为收敛域。
所有
发散点构成的集合称为发散域。
3．和函数
在
nnxu的收敛域的每一点都有和，它与x有关，因此
nnxuxS， x收敛域
称)(xS为函数项级数
nnxu的和函数，它的定义域就是函数项级数的收敛域。
1．幂级数概念
0nnnxxa称为)(0xx的幂级数，),2,1,0(nan称为幂级数的系数，是常数。
当0
x时，
nnnxa称为x的幂级数。
一般讨论
nnnxa有关问题，作平移替换就可以得出有关00nnnxxa的有关结论。
2．幂级数的收敛域
幂级数
nnnxa的收敛域分三种情形
（1）收敛域为),(，亦即
nnnxa对每一个x皆收敛。我们称它的收敛半径
（2）收敛域仅为原点，除原点外幂级数
nnnxa皆发散，我们称它的收敛半径0R。
（3）收敛域为),(RR或RR,(或),RR或RR,中的一种，我们称它的收敛半
R)0(R。
所以求幂级数的收敛半径R非常重要，（1），（2）两种情形的收敛域就确定的。而)3(的
R两点上的敛散性。
如果l
a
nn1lim（包括）或lannnlim（包括）
则收敛半径
R1（若l，则0R；若0l，则R）
如果上述两极限不成立，那么就要用其它方法求收敛半径，后面有所讨论。
1．四则运算
设)(
xfxannn，1Rx；0nnnxgxb，2Rx
则
nnnnxgxfxba，21,minRRx
0000)(nnnknknnnnnnnxgxfxbababaxbxa
1,minRRx
2．分析性质
设幂级数
nnnxa的收敛半径0R，0nnnxaxS为和函数，则有下列重要性质
（1）xS在RR,内可导，且有逐项求导公式
110nnnnnnnnnxnaxaxaxS
求导后幂级数的收敛半径不变，因此得出xS在RR,内有任意阶导数，公式为
kn
nkxknnnxS11，Rx,3,2,1k
（2）xS在RR,内有逐项积分公式
10001nnnnxnnxxnadttadttS
且这个幂级数的收敛半径也不变
（3）若
nnnxSxa 在RRx成立。则有下列性质：
（i）
limnnnRxRaxS成立成立0limnnnRxRaxS
（ii）
101nnnRRnadxxS成立成立0011RnnnRnadxxS
（iii）
1nnnxna在RRx不一定收敛
也即RSRna
nn11不一定成立，RS
如果
nnnxa在RRx发散，那么逐项求导后的级数11nnnxna在RRx一
11nnnxna在RRx有可能收敛。
1．把已知函数的幂级数展开式（§8.3将讨论）反过来用
下列基本公式应熟背
（1）
x
n110，1x
（2）x
nenx0!，x
（3）x
xn
nsin! 121120，x
（4）x
xn
ncos! 2120，x
（5）x
xn
n1ln1110，11x
（6）xx
nn
1!1111，11x（为实常数）
2．用逐项求导和逐项积分方法以及等比级数的求和公式
3．用逐项求导和逐项积分方法化为和函数的微分方程，从而求微分方程的解
五．利用幂级数求和函数得出有关常数项级数的和（强化班再讨论）
典型例题
例1．求幂级数
212nnnx的收敛半径。
答案：收敛半径为
1
考研论坛（https://www.360docs.net/doc/2d10419984.html,）友情提供下载
例2．已知幂级数
nnnxa的收敛
半径3R，求幂级数122nnnxna的收敛区间。
答案：收敛区间为5,1
例3．已知幂级数
3nnnxa在0x处收敛，6x处发散，求其收敛域。
答案：收敛域为6,0。
例4．设0a，0b，讨论幂级数
2nnnnxnbna的收敛域。
解：
a ,ba ,lim2时当时当banbnalnnn
于是
当时当ba
1ba ,11balR
也即
aR1,1min
（1）当ba时，
Rx1，
21nnnnanbna条件收敛aRx1，
21nnnnanbna发散
故收敛域为
a1,1
（2）当ba时，
Rx1，
21nnnnbnbna绝对收敛，bRx1，
21nnnnbnbna绝对收敛
故收敛域为
b1,1
例1．求下列幂级数的和函数
12! 1211nnnxnn
解：可求出收敛半径R，故收敛域为,
012012! 1211! 1211nxnnnnndttnnxnnxS
xx
xx
nnsin2! 1212012
xxxcossin
1，,x
8．3 将函数展开成幂级数
内容要点
1．基本概念
设函数xf在点
x的某一领域0xx内具有任意阶导数，则级数
00!nnnxxnxf称为函数xf在0x处的泰勒级数。
（注：这里泰勒级数是否收敛？是否收敛于xf都不知道）特别地，当0
x，则级
n
nxnf0!0称为xf的麦克劳林级数。
2．函数展成幂级数的条件
设xf在Rxx
内有任意阶导数，它的泰勒公式
xRxx
xfxxxfxxxfxfxfnnn00200000!!2
其中xR
为n阶余项，它的拉格朗日型为
10
110001nnnxxnxxxfxR
则
00!nnnxxnxfxf， Rxx0
的充要条件为0limxR
Rxx0
而且xf在
x处幂级数展开式是唯一的。
特别地，0
x时得到函数展成麦克劳林级数的充分必要条件。
1．套公式
0nnnxxaxf， Rxx0
0nxfann ,2,1,0n
例
!1nnxxne， x
12! 121sinnnnnxx， x
!1111nnxnnx，1x，
（为实常数）
2．逐项求导
例：
2! 21sincosnnnnxxx，x
1021111nnnnnxxxx，1x
3．变量替换法
例：
02.!1!12nnnntxxntnee，x
022*******nnnnnxxxx，1x
4．逐项积分法
例：x
nxdttdttx000111ln
111nnnnx 11x
由此可得
112lnnnn
x
nnnnxnxdttdttx0001220212111arctan 11x
由此可得
1arctan121
nnn
5．其它方法
例：
221212122cos1cos2
2nxxxnnn
nn
xnn2211! 22211， x，
11211111212312xxxxxx
0221nnnnxx
1211nnnx， 1x，
上面都是把函数展成x的幂级数（麦克劳林级数）如果要展成
xx的幂级数（泰勒
，一般经过适当处理后可利用麦克劳林级数的结果，后面典型例题中再讨论。
乙 典型例题（强化班再讨论）