高等数学电子教案word

高等数学电子教案word

【篇一：同济第六版《高等数学》教案word版-第01

章函数与极限】

第一章函数与极限

教学目的：

1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问

题中的函数关系式。

2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

4、掌握基本初等函数的性质及其图形。

5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限

存在与左、右极限

之间的关系。

6、掌握极限的性质及四则运算法则。

7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两

个重要极限求极限

的方法。

8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等

价无穷小求极限。

9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间

断点的类型。

10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续

函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应

用这些性质。

教学重点：

1、复合函数及分段函数的概念；

2、基本初等函数的性质及其图形；

3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；

4、两个重要极限；

5、无穷小及无穷小的比较；

6、函数连续性及初等函数的连续性；

7、区间上连续函数的性质。

教学难点：

1、分段函数的建立与性质；

2、左极限与右极限概念及应用；

3、极限存在的两个准则的应用；

4、间断点及其分类；

5、闭区间上连续函数性质的应用。

1. 1 映射与函数

一、集合

1. 集合概念

集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用a, b, c….等表示.元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合m的元素表示为a m.

集合的表示:

列举法: 把集合的全体元素一一列举出来.

例如a={a, b, c, d, e, f, g}.

描述法: 若集合m是由元素具有某种性质p的元素x的全体所组成, 则m可表示为 a={a1, a2, ? ? ?, an},

m={x | x具有性质p }.

例如m={(x, y)| x, y为实数, x2+y2=1}.

几个数集:

n表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集.

n={0, 1, 2, ? ? ?, n, ? ? ?}. n+={1, 2, ? ? ?, n, ? ? ?}.

r表示所有实数构成的集合, 称为实数集.

z表示所有整数构成的集合, 称为整数集.

z={? ? ?, -n, ? ? ?, -2, -1, 0, 1, 2, ? ? ?, n, ? ? ?}.

q表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集.

p q={|p∈z,q∈n+且p与q互质} q

子集: 若x∈a, 则必有x∈b, 则称a是b的子集, 记为a?b(读作a包含于b)或b?a .如果集合a与集合b互为子集, a?b且b?a, 则称集合a与集合b相等, 记作a=b.若a?b且a≠b, 则称a是b的真子集, 记作a?≠b . 例如, n?≠z?≠q?≠r.

不含任何元素的集合称为空集, 记作?. 规定空集是任何集合的子集.

2. 集合的运算

设a、b是两个集合, 由所有属于a或者属于b的元素组成的集合称为a与b的并集(简称并), 记作a?b, 即

a?b={x|x∈a或x∈b}.

设a、b是两个集合, 由所有既属于a又属于b的元素组成的集合称为a与b的交集(简称交), 记作a?b, 即

a?b={x|x∈a且x∈b}.

设a、b是两个集合, 由所有属于a而不属于b的元素组成的集合称为a与b的差集(简称差), 记作a\b, 即

a\b={x|x∈a且x?b}.

如果我们研究某个问题限定在一个大的集合i中进行, 所研究的其他集合a都是i的子集. 此时, 我们称集合i为全集或基本集. 称i\a为a 的余集或补集, 记作ac.

集合运算的法则:

设a、b、c为任意三个集合, 则

(1)交换律a?b=b?a, a?b=b?a;

(2)结合律 (a?b)?c=a?(b?c), (a?b)?c=a?(b?c);

(3)分配律 (a?b)?c=(a?c)?(b?c), (a?b)?c=(a?c)?(b?c);

(4)对偶律 (a?b)c=ac ?bc, (a?b)c=ac ?bc.

(a?b)c=ac ?bc的证明:

x∈(a?b)c?x?a?b?x?a且x?b?x∈a c且x∈bc ?x∈ac ?bc, 所以(a?b)c=ac ?bc.直积(笛卡儿乘积):

设a、b是任意两个集合, 在集合a中任意取一个元素x, 在集合b 中任意取一个元素y, 组成一个有序对(x, y), 把这样的有序对作为新元素, 它们全体组成的集合称为集合a与集合b的直积, 记为a?b, 即 a?b={(x, y)|x∈a且y∈b}.

例如, r?r={(x, y)| x∈r且y∈r }即为xoy面上全体点的集合, r?r常记作r2.

3. 区间和邻域

有限区间:

设ab, 称数集{x|axb}为开区间, 记为(a, b), 即

(a, b)={x|axb}.

类似地有

[a, b] = {x | a ≤x≤b }称为闭区间,

[a, b) = {x | a≤xb }、(a, b] = {x | ax≤b }称为半开区间.

其中a和b称为区间(a, b)、[a, b]、[a, b)、(a, b]的端点, b-a称为区间的长度.

无限区间:

[a, +∞) = {x | a≤x }, (-∞, b] = {x | x b } , (-∞, +∞)={x | | x | +∞}.

区间在数轴上的表示:

邻域: 以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域, 记作u(a).

二、映射

1. 映射的概念

定义设x、y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使得对x中每个元素x, 按法则f, 在y中有唯一确定的元素y与之对应, 则称f为从x 到y的映射, 记作

f : x→y ,

其中y称为元素x(在映射f下)的像, 并记作f(x), 即

y=f(x),

而元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像; 集合x称为映射f的定义域, 记作d f, 即

d f=x ;

x中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域, 记为r f, 或f(x), 即

r f=f(x)={f(x)|x∈x}.

需要注意的问题:

(1)构成一个映射必须具备以下三个要素: 集合x, 即定义域d f=x; 集合y, 即值域的范围: r f ?y; 对应法则f, 使对每个x∈x, 有唯一确定的y=f(x)与之对应.

(2)对每个x∈x, 元素x的像y是唯一的; 而对每个y∈r f, 元素y的原像不一定是唯一的; 映射f的值域r f是y的一个子集, 即r f ?y, 不一定r f=y .

例1设f : r→r, 对每个x∈r, f(x)=x2.

显然, f是一个映射, f的定义域d f=r, 值域r f ={y|y≥0}, 它是r的一个真子集. 对于r f 中的元素y, 除y=0外, 它的原像不是唯一的. 如

y=4的原像就有x=2和x=-2两个.

例2设x={(x, y)|x2+y2=1}, y={(x, 0)||x|≤1}, f : x →y, 对每个(x, y)∈x, 有唯一确定的(x, 0)∈y与之对应.

显然f是一个映射, f的定义域d f=x, 值域r f =y. 在几何上, 这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x轴的区间[-1, 1]上.

(3) f :[-, ]→[-1, 1], 对每个x∈[-, ], f(x)=sin x . 2222

f是一个映射, 定义域d f =[-, ], 值域r f =[-1, 1]. 22

满射、单射和双射:

设f是从集合x到集合y的映射, 若r f =y, 即y中任一元素y都是x 中某元素的像, 则称f为x到y上的映射或满射; 若对x中任意两个不同元素x 1≠x 2, 它们的像f(x 1)≠f(x 2), 则称f为x到y的单射; 若

映射f既是单射, 又是满射, 则称f为一一映射(或双射).上述三例各是什么映射？

2. 逆映射与复合映射

设f是x到y的单射, 则由定义, 对每个y∈r f , 有唯一的x∈x, 适合f(x)=y, 于是, 我们可定义一个从r f 到x的新映射g, 即

g : r f →x,

对每个y∈r f , 规定g(y)=x, 这x满足f(x)=y. 这个映射g称为f的逆映射, 记作f -1, 其定义域df-1=r f , 值域rf-1=x .

按上述定义, 只有单射才存在逆映射. 上述三例中哪个映射存在逆映射？

设有两个映射

g : x→y 1,f : y 2→z,

其中y 1?y 2. 则由映射g和f可以定出一个从x到z的对应法则, 它将每个x∈x映射成f[g(x)]∈z . 显然, 这个对应法则确定了一个从x 到z的映射, 这个映射称为映射g和f构成的复合映射, 记作f o g, 即f o g: x →z,

(f o g)(x)=f[g(x)], x∈x .

应注意的问题:

映射g和f构成复合映射的条件是: g的值域r g必须包含在f的定义域内, r g?d f . 否则, 不能构成复合映射. 由此可以知道, 映射g和f 的复合是有顺序的, f o g有意义并不表示g o f也有意义. 即使f o g 与g o f都有意义, 复映射f o g与g o f也未必相同.

例4 设有映射g : r→[-1, 1], 对每个x∈r, g(x)=sin x,

映射f : [-1, 1]→[0, 1], 对每个u∈[-1, 1], f(u)=-u2.

则映射g和f构成复映射f o g: r→[0, 1], 对每个x∈r, 有

(f g)(x)=f[g(x)]=f(sinx)=-sin2x=|cosx|.

三、函数

1. 函数概念

定义设数集d?r, 则称映射f : d →r为定义在d上的函数, 通常简记为

y=f(x), x∈d,

其中x称为自变量, y称为因变量, d称为定义域, 记作d f, 即d f=d.应注意的问题:

记号f和f(x)的含义是有区别的, 前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则, 而后者表示与自变量x对应的函数值. 但为了叙述方便,

习惯上常用记号“f(x), x∈d”或“y=f(x), x∈d”来表示定义在d上的函数, 这时应理解为由它所确定的函数f .

函数符号: 函数y=f(x)中表示对应关系的记号f也可改用其它字母, 例如“f”, “?”等. 此时函数就记作y=? (x), y=f(x).

函数的两要素:

函数是从实数集到实数集的映射, 其值域总在r内, 因此构成函数的要素是定义域d f及对应法则f . 如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么这两个函数就是相同的, 否则就是不同的.

函数的定义域:

函数的定义域通常按以下两种情形来确定: 一种是对有实际背景的函数, 根据实际背景中变量的实际意义确定.

求定义域举例:

1 求函数y=-x2-4的定义域. x

要使函数有意义, 必须x≠0, 且x2 - 4≥0.

解不等式得| x |≥2.

所以函数的定义域为d={x | | x |≥2}, 或d=(-∞, 2]?[2, +∞]).

单值函数与多值函数:

【篇二：同济第六版《高等数学》教案word版-第02

章导数与微分】

第二章导数与微分

教学目的：

1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。

2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。

3、了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。

4、会求分段函数的导数。

5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。教学重点：

1、导数和微分的概念与微分的关系；

2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；

3、基本初等函数的导数公式；

4、高阶导数；

6、隐函数和由参数方程确定的函数的导数。

教学难点：

1、复合函数的求导法则；

2、分段函数的导数；

3、反函数的导数

4、隐函数和由参数方程确定的导数。

2. 1 导数概念

一、引例

1．直线运动的速度

设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t质点的坐标为s, s是t的函数:

s=f(t),

求动点在时刻t0的速度.

考虑比值

s-sf(t)-f(t),=t-t0t-t0

这个比值可认为是动点在时间间隔t-t0内的平均速度. 如果时间间隔选较短, 这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t0的速度. 但这样做是不精确的, 更确地应当这样: 令t -t0→0, 取

比值f(t)-f(t0)的极限, 如果这个极限存在, 设为v , 即 t-t0

t→t0 v=limf(t)-f(t), t-t0

这时就把这个极限值v称为动点在时刻t 0的速度.

2．切线问题

设有曲线c及c上的一点m, 在点m外另取c上一点n, 作割线mn. 当点n沿曲线c趋于点m时, 如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限

位置mt, 直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线.

设曲线c就是函数y=f(x)的图形. 现在要确定曲线在点m(x0,

y0)(y0=f(x0))处的切线, 只要定出切线的斜率就行了. 为此, 在点m外另取c上一点n(x, y), 于是割线mn的斜率为tan?=y-yf(x)-f(x), =x-x0x-x0

其中?为割线mn的倾角. 当点n沿曲线c趋于点m时, x→x0. 如果当x→ 0时, 上式的极限存在, 设为k , 即

k=limx→x0f(x)-f(x0) x-x0

二、导数的定义

1. 函数在一点处的导数与导函数

从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限:

f(x)-f(x0) lim. x→x0x-x0

令?x=x-x0, 则?y=f(x0+?x)-f(x0)= f(x)-f(x0), x→x0相当于?x →0, 于是limx→x0f(x)-f(x0) x-x0

成为

limf(x+?x)-f(x)?y或lim. ?x→0?x?x→0?x

定义设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义, 当自变量x在x0处取得增量?x(点x0+?x仍在该邻域内)时, 相应地函数y取得增

量?y=f(x0+?x)-f(x0); 如果?y与?x之比当?x→0时的极限存在, 则称函数y=f(x)在点x0处可导, 并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数, 记为y|x=x0, 即

f(x0)=limf(x0+?x)-f(x0)?y, =lim?x→0?x?x→0?x

也可记为y|x=x0, dydf(x)或. dxx=x0dxx=x0

函数f(x)在点x0处可导有时也说成f(x)在点x0具有导数或导数存在.

导数的定义式也可取不同的形式, 常见的有

f(x0)=limh→0f(x0+h)-f(x0), h

f(x0)=limx→x0f(x)-f(x). x-x0

在实际中, 需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题, 在数学上就是所谓函数的变化率问题. 导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述.

如果极限lim?x→0f(x0+?x)-f(x0)不存在, 就说函数y=f(x)在点x0

处不可导. ?x

?x→0 如果不可导的原因是由于limf(x0+?x)-f(x0)=∞, ?x

也往往说函数y=f(x)在点x0处的导数为无穷大.

如果函数y=f(x)在开区间i内的每点处都可导, 就称函数f(x)在开区间i内可导, 这时, 对于任一x ∈i, 都对应着f(x)的一个确定的导数值. 这样就构成了一个新的函数, 这个函数叫做

dydf(x)原来函数y=f(x)的导函数, 记作 y,f(x), , 或. dxdx

导函数的定义式:

y=lim?x→0f(x+?x)-f(x)f(x+h)-f(x)=lim. h→0?xh

f (x0)与f (x)之间的关系:

函数f(x)在点x0处的导数f (x)就是导函数f (x)在点x=x0处的函数值, 即

f(x0)=f(x)x=x0.

导函数f (x)简称导数, 而f (x0)是f(x)在x0处的导数或导数f (x)在

x0处的值.

左右导数: 所列极限存在, 则定义

(x0)=lim f(x)在x0的左导数:f-h→0-f(x+h)-f(x); h

f(x+h)-f(x). h(x0)=lim f(x)在x0的右导数:f+

如果极限lim

如果极限limh→0+h→-0f(x+h)-f(x)存在, 则称此极限值为函数在

x0的左导数. hf(x0+h)-f(x0)存在, 则称此极限值为函数在x0的右导数. hh→+0

导数与左右导数的关系

2．求导数举例

例1．求函数f(x)=c（c为常数）的导数.

解: f(x)=limh→0f(x+h)-f(x)=c-c=0. h→0hh

即 (c ) =0.

例2. 求f(x)=1的导数. x

1-1f(x+h)-f(x) 解: f(x)=lim. =lim=lim-h=-lim1=-1

h→0h→0hhx2 h→0h(x+h)xh→0(x+h)x

例3. 求f(x)=的导数.

f(x+h)-f(x) 解: f(x)=li=li- h→0h→0hh

=limh1=lim=1. h→0h(+)h→0+nnf(x)-f(a)=limx-a=lim(x n-1+ax n-2+ ? ? ? +a n-1)=na n-1. x→ax-ax-ax→a 例2．求函数f(x)=x n (n 为

正整数)在x=a处的导数.解: f (a)=limx→a

把以上结果中的a 换成x 得 f (x)=nx n-1, 即 (x n)=nx n-1.

(c)=0, (1=-1

例3．求函数f(x)=sin x 的导数.

解: f (x)=limh→0sin(x+h)-sinxf(x+h)-f(x)= h→0hh

1hh =lim?2cos(x+)sin h→0h22

sinhh =limcos(x+)?=cosx. h→02

2

即 (sin x)=cos x .

用类似的方法, 可求得 (cos x )=-sin x .

例4．求函数f(x)= a x(a0, a ≠1) 的导数.

解: f (x)=limh→0x+hxf(x+h)-f(x)=lima-a h→0hh

hht =axlima-1令a-1=taxlim h→0ht→0loga(1+t)

=ax1=axlna. logae

特别地有(e x )=e x .

例5．求函数f(x)=log a x (a0, a ≠1) 的导数.

解: f(x)=limh→0log(x+h)-logxf(x+h)-f(x) =limh→0hh

x =1loga(x+h=1xloga(1+h=1limloga(1+h)h

h→0hxxh→0hxxh→0x

=1logae=1. xxlna

解:f(x)=limloga(x+h)-logax=lim1loga(1+h h→0hh→0xh

x=1limloga(1+hh=1logae=1. xxlnaxh→0x

即(logax)=1 . : xlna

x)=1.特殊地 (lnx

(logax)=1, (lnx)=1. xlnax

3．单侧导数:

极限limh→0f(x+h)-f(x)存在的充分必要条件是 h

limh→0-f(x+h)-f(x)f(x+h)-f(x)及lim h→0+hh

f(x+h)-f(x), h

f(x+h)-f(x).

h都存在且相等. (x0)=lim f(x)在x0处的左导数:f-h→0-(x0)=lim f(x)在x0处的右导数:f+h→0+

如果函数f(x)在开区间(a, b)内可导, 且右导数f +(a) 和左导数f -(b)

都存在, 就说f(x)有闭区间[a, b]上可导.

【篇三：同济大学高等数学《导数及其应用》word教案】第 9次课2学时

第二章导数与微分

导数和微分是高等数学中的重要内容之一，也是今后讨论一切问题

的基础。导数反映出函数相对于自变量的变化快慢的程度，而微分

则指明当自变量有微小变化时函数大体上变化多少，它从根本上反

映了函数的变化情况。本章主要学习和讨论导数和微分的概念以及

它们的计算方法，以后将陆续的介绍它们的用途。

2、1 导数的概念

一、引例

1、切线问题：切线的概念在中学已见过。从几何上看，在某点的

切线就是一直线，它在该点和曲线相切。准确地说，曲线在其上某

点p的切线是割线pq当q沿该曲线无限地接近于p点的极限位置。设曲线方程为y=f(x)，设p点的坐标为p(x0,y0)，动点q的坐标为

q(x,y)，要求出曲线在p点的切线，只须求出p点切线的斜率k。由

上知，k恰好为割线pq的斜率的极限。我们不难求得pq的斜率为：f(x)-f(x0)；因此，当p→q时，其极限存在的话，其值就是k，即x-

x0

k=limx→x0f(x)-f(x0)。 x-x0

2、速度问题：设在直线上运动的一质点的位置方程为s=s(t)（t表

示时刻），又设当t为t0时刻时，位置在s=s(t0)处，问：质点在

t=t0时刻的瞬时速度是多少？

为此，可取t0近邻的时刻t，tt0，也可取tt0，在由t0到t这一段

时间内，质点的平均速度为s(t)-s(t0)s(t)-s(t0),显然当t与t0越近，

用代替t0的瞬时速度的效果越佳，特别地，当t-t0t-t0

t→t0时，s(t)-s(t0)→某常值v0，那么v0必为t0点的瞬时速度，此时， t-t0

s(t)-s(t0) t-t0 v0=limt→t0

二、导数的定义

综合上两个问题，它们均归纳为这一极限limx→x0f(x)-f(x0)x-x0为

自变量x在x0的x-x0

f(x)-f(x0)为相应的因变量的增量），若该极限存在，它就是所要讲

的导数。

定义：设函数y=f(x)在x0点的某邻域内有定义，且当自变量在x0

点有一增量?x（x0+?x仍在该邻域中）时，函数相应地有增量?y，

若增量比极限：limf(x)-f(x0)?y即lim存在，x→x0?x→0?xx-x0就

称函数 y=（在x0处可导，并称这个极限值为y=f(x)在x=x0点的导数，记为f(x0)，fx）

yx=x0，dydxx=x0或dfdxx=x0。即f(x0)=lim

x→x0f(x)-f(x0)等等，这时，也称y=f(x)在x=x0点可导或有导数，

导数存在。 x-x0

注 1：导数的常见形式还有：f(x0)=lim?x→0f(x0+?x)-f(x0)； ?x

f(x0+h)-f(x0)； h

f(x0)-f(x0-h)；（h即自变量的增量?） h

x=x0 f(x0)=limh→0 f(x0)=lim2：h→0?ydy反映的是曲线在[x0,x]上的平均变化率，而f(x)=?xdx是在点x0的变化率，它反

映了函数y=f(x)随x→x0而变化的快慢程度。

3：这里dy

dxx=x0与dfdxx=x0中的dydf与是一个整体记号，而不能视为分

子dy或df与分母dxdx

dx，待到后面再讨论。

4：若极限limf(x)-f(x0)?y即lim不存在，就称y=f(x)在x=x0点不可导。特别地，x→x0?x→0?xx-x0

若lim?y=∞，也可称y=f(x)在x=x0的导数为∞，因为此时y=f(x)在x0点的切线存在，?x→0?x

它是垂直于x轴的直线x=x0。

若y=f(x)在开区间i内的每一点处均可导，就称y=f(x)在i内可导，且对?x∈i，均有一导数值f(x)，这时就构造了一新的函数，称之为y=f(x)在i内的导函数，记为y=f(x)，或y，dydf(x)，等。 dxdx

f(x+?x)-f(x)f(x+h)-f(x)事实上， y=lim或y=lim ?x→0h→0?xh

注 5：上两式中，x为i内的某一点，一旦选定，在极限过程中就为不变，而?x与h是变量。但在导函数中，x是变量。

6：y=f(x)在x=x0的导数f(x0)就是导函数y=f(x)在x=x0点的值，不要认为是

[f(x0)]；

7：为方便起见，导函数就称为导数，而f(x0)是在x0点的导数。【例1】

证明：因为设f(0)=0，证明欲limx→0f(x)-f(0)f(x)=x-0xf(x)=a，那么a=f(0)。 xf(x)-f(0)?lim=a x→0x-0

所以a=f(0)。

【例2】若f(x)在x0点可导，问：f(x0+h)-f(x0-h)→？ h

解： f(x0+h)-f(x0-h)f(x0+h)-f(x0)f(x0)-f(x0-h) =+hhh

→f(x0)+f(x0)=2f(x0)。反过来，亦证明：f(x0+h)--f(x0-h)→f(x0)。2h

三、求导数举例

【例1】求函数f(x)=c（c为常数）的导数。

x）解： f（=limh→0（fx+h）-（fx）c-c=0 ==0 即（c）hh

注：这里是指f(x)=c在任一点的导数均为0，即导函数为0。

【例2】求f(x)=x（n为正整数）在x=a点的导数。 n

xn-an

解：f(a)=lim=lim(xn-1+axn-2+ +an-2x+an-1)=nan-1即f(a)=nan-1，x→ax-ax→a

亦即(x)

(x)=

【例3】 1111, ()=-22xxx(x≠0)。求f(x)=sinx在x=a点的导数。解： f(a)=limsinx-sina=cosa,即(sinx)x=a=cosa x→ax-a

同理：若视a为任意值，并用x代换，使得f(x)=cosx，即(sinx)=cosx。

注：同理可证：(cosx)=-sinx。

【例4】求f(x)=a(a0,a≠1)的导数。 x

f(x+h)-f(x)ax+h-axah-1x=lim=a?lim解：f(x)=lim

h→0h→0h→0hhh

注：特别地，(e)=e。

【例5】求f(x)=logaxxxx(a0,a≠1)的导数。 hloga(1+)loga(x+h)-logaxf(x+h)-f(x) 解：f(x)=lim=lim=limh→0h→0h→0hhh

1h11=lim?loga(1+)h=logae=。h→0xxxxlna

x