2017年北京理数高考真题(含答案)

绝密★本科目考试启用前

2017年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理）（北京卷）

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合A={x|–

2x1}，B={x|x–1或x3}，则A B=

（A）{x|–2x–1} （B）{x|–2x3}

（C）{x|–1x1} （D）{x|1x3}

（2）若复数（1–i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（A）（–∞，1）（B）（–∞，–1）

（C）（1，+∞）（D）（–1，+∞）

（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为

（A）2 （B）3

2

（C）

5

3（

D）

8

5

（4）若x，y满足

3

2

x

x y

y x

≤

?

?

+≥

?

?≤

?

，

，

，

则x + 2y的最大值为

（A）1 （B）3 （C）5 （D）9

（5）已知函数1()3()3

x x

f x =-，则()f x

（A ）是奇函数，且在R 上是增函数 （B ）是偶函数，且在R 上是增函数

（C ）是奇函数，且在R 上是减函数

（D ）是偶函数，且在R 上是减函数

（6）设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0

（C ）充分必要条件

（D ）既不充分也不必要条件

（7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为

（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）2

（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为

1080.则下列各数中与

M N

最接近的是

（参考数据：lg3≈0.48）

（A ）1033 （B ）1053 （C ）1073 （D ）1093

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）若双曲线2

2

1y x m

-=3m =_________.

（10）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=–1，a 4=b 4=8，则

2

2

a b =_______. （11）在极坐标系中，点A 在圆2

2cos 4sin 40ρρθρθ--+=上，点P 的坐标为（1,0），则|AP |的最小

值为___________.

（12）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1

sin 3

α=

，则cos()αβ-=___________.

（13）能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a +b ＞c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为

______________________________．

（14）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i 的横、纵坐标分别为第i

名工人上午的工作时间和加工的学科&网零件数，点B i 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i =1，2，3.

①记Q i 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1，Q 2，Q 3中最大的是_________. ②记p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1，p 2，p 3中最大的是_________.

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题13分）

在△ABC 中，A ∠ =60°，c =3

7

a . （Ⅰ）求sin C 的值；

（Ⅱ）若a =7，求△ABC 的面积.

（16）（本小题14分）

如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，PD//平面MAC ，PA =PD 6，AB=4．

（I）求证：M为PB的中点；

（II）求二面角B-PD-A的大小；

（III）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．

（17）（本小题13分）

为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.

（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；

（Ⅱ）从图中A，B，C，D四人中随机学科网.选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）；

（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.（只需写出结论）（18）（本小题14分）

已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0，1

2

）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过

点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.

（Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：A 为线段BM 的中点.

（19）（本小题13分）

已知函数f （x ）=e x cos x ?x .

（Ⅰ）求曲线y = f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程； （Ⅱ）求函数f （x ）在区间[0，π

2

]上的最大值和最小值.

（20）（本小题13分）

设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记

1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--???-(1,2,3,)n =???，

其中12max{,,,}s x x x ???表示12,,,s x x x ???这s 个数中最大的数．

（Ⅰ）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列； （Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时，

n

c M n

>；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++???是等差数列．

2017年普通高等学校招生全国统一考试

数 学（理）（北京卷）答案

一、 （1）A （2）B （3）C （4）D （5）A

（6）A

（7）B

（8）D

二、 （9）2 （10）1

（11）1

（12）7

9-

（13）1,2,3---（答案不唯一） （14）Q 1

p 2

三、

（15）（共13分）

解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为60A ∠=?，37c a =，

所以由正弦定理得sin 3333

sin 7c A C a =

=?=

. （Ⅱ）因为7a =，所以3

737

c =?=.

由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得2221

73232

b b =+-??， 解得8b =或5b =-（舍）.

所以△ABC 的面积113

sin 836322S bc A ==???=.

（16）（共14分）

解：（I ）设,AC BD 交点为E ，连接ME .

因为PD ∥平面MAC ，平面MAC I 平面PBD ME =，所以PD ME ∥. 因为ABCD 是正方形，所以E 为BD 的中点，所以M 为PB 的中点.

（II ）取AD 的中点O ，连接OP ，OE . 因为PA PD =，所以OP AD ⊥.

又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且OP ?平面PAD ，所以OP ⊥平面ABCD . 因为OE ?平面ABCD ，所以OP OE ⊥. 因为ABCD 是正方形，所以OE AD ⊥.

如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,2)P ，(2,0,0)D ，

(2,4,0)B -，

(4,4,0)BD =-u u u r ，(2,0,2)PD =-u u u r

.

设平面BDP 的法向量为(,,)x y z =n ，则00

BD PD ??=???=??u u u r u u u r

n n ，即440

220x y x z -=???-=??. 令1x =，则1y =，2z =

.于是(1,1,2)=n .

平面PAD 的法向量为(0,1,0)=p ，所以1cos ,||||2

?=

=<>n p n p n p .

由题知二面角B PD A --为锐角，所以它的大小为

3

π.

（III ）由题意知2

(1,2,

)2

M -，(2,4,0)D ，2(3,2,)2MC =-u u u u r . 设直线MC 与平面BDP 所成角为α，则||26

sin |cos ,|9||||

MC MC MC α?===u u u u r u u u u r u u u u r <>n n n .

所以直线MC 与平面BDP 26

. （17）（共13分）

解：（Ⅰ）由图知，在服药的50名患者中，指标y 的值小于60的有15人， 所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y 的值小于60的概率为15

0.350

=. （Ⅱ）由图知，A,B,C,D 四人中，指标x 的值大于1.7的有2人：A 和C. 所以ξ的所有可能取值为0,1,2.

211

22222

222444C C C C 121(0),(1),(2)C 6C 3C 6

P P P ξξξ=========.

所以ξ的分布列为

故ξ的期望()0121636

E ξ=?+?+?=.

（Ⅲ）在这100名患者中，服药者指标y 数据的方差大于未服药者指标y 数据的方差.

（18）（共14分）

解：（Ⅰ）由抛物线C ：22y px =过点P （1，1），得1

2

p =. 所以抛物线C 的方程为2y x =. 抛物线C 的焦点坐标为（

14，0），准线方程为14

x =-. （Ⅱ）由题意，设直线l 的方程为1

2

y kx =+

（0k ≠），l 与抛物线C 的交点为11(,)M x y ，22(,)N x y . 由212y kx y x ?

=+???=?

，得224(44)10k x k x +-+=. 则1221k x x k -+=

，122

1

4x x k =. 因为点P 的坐标为（1，1），所以直线OP 的方程为y x =，点A 的坐标为11(,)x y . 直线ON 的方程为22y y x x =，点B 的坐标为2112

(,)y y

x x . 因为 211221121122

22y y y y y y x x y x x x +-+

-= 122112

211

()()222kx x kx x x x x +++-=

12212

1

(22)()

2k x x x x x -++=

2

22

11(22)42k k k k x --?+=

0=，

所以21

112

2y y y x x +

=. 故A 为线段BM 的中点.

（19）（共13分）

解：（Ⅰ）因为()e cos x f x x x =-，所以()e (cos sin )1,(0)0x

f x x x f ''=--=.

又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =.

（Ⅱ）设()e (cos sin )1x

h x x x =--，则()e (cos sin sin cos )2e sin x

x

h x x x x x x '=---=-. 当π

(0,)2

x ∈时，()0h x '<， 所以()h x 在区间π[0,]2

上单调递减.

所以对任意π(0,]2

x ∈有()(0)0h x h <=，即()0f x '<. 所以函数()f x 在区间π[0,]2

上单调递减.

因此()f x 在区间π[0,]2上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ()22

f =-.

（20）（共13分）

解：（Ⅰ）111110,c b a =-=-=

21122max{2,2}max{121,322}1c b a b a =--=-?-?=-，

3112233max{3,3,3}max{131,332,533}2c b a b a b a =---=-?-?-?=-.

当3n ≥时，1111()()()()20k k k k k k k k b na b na b b n a a n ++++---=---=-<， 所以k k b na -关于*k ∈N 单调递减.

所以112211max{,,,}1n n n c b a n b a n b a n b a n n =---=-=-L . 所以对任意1,1n n c n ≥=-，于是11n n c c +-=-，

所以{}n c 是等差数列.

（Ⅱ）设数列{}n a 和{}n b 的公差分别为12,d d ，则

12111121(1)[(1)]()(1)k k b na b k d a k d n b a n d nd k -=+--+-=-+--.

所以1121211121(1)(),,n b a n n d nd d nd c b a n d nd -+-->?=?

-≤?当时，当时，

①当10d >时，取正整数2

1

d m d >

，则当n m ≥时，12nd d >，因此11n c b a n =-. 此时，12,,,m m m c c c ++L 是等差数列. ②当10d =时，对任意1n ≥，

1121121(1)max{,0}(1)(max{,0}).n c b a n n d b a n d a =-+-=-+--

此时，123,,,,,n c c c c L L 是等差数列. ③当10d <时， 当2

1

d n d >

时，有12nd d <. 所以

1121121112(1)()()n c b a n n d nd b d n d d a d n n n

-+---==-+-++ 111212()||.n d d a d b d ≥-+-+--

对任意正数M ，取正整数121122

11

||max{

,}M b d a d d d m d d +-+-->-，

故当n m ≥时，n

c M n

>.