必修五不等式知识点资料讲解

不等式的基本知识

（一）不等式与不等关系

1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：

(1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>,

(3)加法法则：c b c a b a +>+?>；d b c a d c b a +>+?>>,(同向可加)

(4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0,

bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向同正可乘)

(5) 倒数法则：b a ab b a 110,

>> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且

(7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且

2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）

3、应用不等式性质证明不等式

（二）解不等式

1、一元二次不等式的解法

一元二次不等式()0002

2≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002

≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=?，则不等式的解的各种情况如下表：

0>? 0=? 0

二次函数 c bx ax y ++=2

（0>a ）的图象

c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2

一元二次方程 ()的根

002

>=++a c bx ax 有两相异实根

)(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221-== 无实根 的解集)0(0

2>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或 ??????-≠a b x x 2 R

的解集)0(0

2><++a c bx ax {}21x x x x << ? ?

2、标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；

（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。()()()如：x x x +--<112023

3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。

()()0()()0()()0;0()0

()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠? 4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题

若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >

若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <

（三）线性规划

1、用二元一次不等式（组）表示平面区域

二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）

2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法

由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）

3、线性规划的有关概念：

①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．

②线性目标函数：

关于x 、y 的一次式z =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．

③线性规划问题：

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解：

满足线性约束条件的解（x ,y ）叫可行解．

由所有可行解组成的集合叫做可行域．

使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．

4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：

（1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；

（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；

（3）依据线性目标函数作参照直线a x +b y ＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解 （四）基本不等式2a b ab +≤ 1．若a,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时取等号. 2．如果a,b 是正数，那么).""(2

号时取当且仅当==≥+b a ab b a 变形： 有:a+b ≥ab 2；ab ≤22??

? ??+b a ,当且仅当a=b 时取等号. 3．如果a,b ∈R+,a ·b=P (定值),当且仅当a=b 时,a+b 有最小值P 2;

如果a,b ∈R+,且a+b=S (定值),当且仅当a=b 时,ab 有最大值4

2

S . 注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求

它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．

（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”

4.常用不等式有：（1）2222211a b a b ab a b

++≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）；（3）若0,0a b m >>>，则

b b m a a m

+<+（糖水的浓度问题）。 不等式主要题型讲解

（一） 不等式与不等关系 题型一：不等式的性质 1. 对于实数c b a ,,中，给出下列命题：

①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22；

③22,0b ab a b a >><<则若； ④b a b a 11,0<<<则

若； ⑤b

a a

b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦b

c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11,a b a b >>若，则0,0a b ><。 其中正确的命题是______

题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）

（二） 解不等式

题型三：解不等式

2. 解不等式

3. 解不等式2(1)(2)0x x -+≥。

4. 解不等式25123

x x x -<---

5. 不等式2120ax bx ++>的解集为{x|-1＜x ＜2}，则a =_____, b=_______

6. 关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞，则关于x 的不等式

02

>-+x b ax 的解集为

7. 解关于x 的不等式2(1)10ax a x -++<

题型四：恒成立问题 8. 关于x 的不等式a x 2+ a x +1＞0 恒成立，则a 的取值范围是_____________

9. 若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围.

10. 已知0,0x y >>且191x y +=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。

（三）基本不等式2

a b ab +≤ 题型五：求最值

11. （直接用）求下列函数的值域

（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x

12. （配凑项与系数）

（1）已知54x <

，求函数14245y x x =-+-的最大值。

（2）当

时，求(82)y x x =-的最大值。

求函数224y x =

+的值域。

13. （条件不等式）

（1） 若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 .

（2） 已知0,0x y >>，且

191x y

+=，求x y +的最小值。

（四）线性规划

题型八：目标函数求最值

14. 满足不等式组??

???>≤-+≤-+0,087032y x y x y x ，求目标函数y x k +=3的最大值