让初中学生利用几何画板学数学的一些尝试

让初中学生利用《几何画板》学数学的一些尝试

王松萍

计算机的出现，网络技术的运用，信息时代的来临，正在给教育带来深刻的变化，教育技术的更新也更新了教学手段、教学方法。《全日制义务教育数学课程标准》指出，现代信息技术要“致力于改变学生的学习方式，使学生乐意

．．并有

更多的精力

．．．、探索性

．．．的数学活动中去”。

．．．．．投入到现实的

《几何画板》是一个适用于几何教学的软件，它给人们提供了一个观察几何图形的内在关系，探索几何图形奥妙的环境。它以点、线、圆为基本元素，通过对这些基本元素的变换、构造、测量、计算、动画、跟踪轨迹等，构造出其它较为复杂的图形。《几何画板》操作简单，容易学，被誉为二十一世纪的动态几何。

我们学校把《几何画板》作为校本课程，学生进入初中后，我们利用十课时左右的时间教学生掌握《几何画板》中的简单作图、变换、度量等基本功能，我们让学生自己动手做课件、设计作品，试图利用《几何画板》帮学生学习数学，让学生更乐意学习数学，收到了意想不到的效果。

一、用《几何画板》设计图案，使学生更乐意投入到现实的数学活动中去

在《全日制义务教育数学课程标准》中增加了能灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计，能运用任意一个三角形、四边形或正六边形这几种图形进行简单的镶嵌设计。并将这些内容贯穿在七年级到八年级的三册书中。（北师大版《数学（七年级上册）》第四章《平面图形及其位置关系》第八节《图案设计》，《数学（七年级下册）》第五章《三角形》第三节《图案设计》，第七章《生活中的轴对称》第四节《利用轴对称设计图案》，《数学（八年级上册）》第三章《图形的平移与旋转》第四节《简单的图案设计》，第四章《四边形性质探索》第七节《平面图形的密铺》）

图案设计丰富了学生对现实空间及图形的认识，发展学生的空间观念，并且它有很强的现实意义，在服装设计、家居装修等领域都要用到图案设计。

案例1：北师大《数学（八年级上册）》第四章《四边形性质探索》第七节《平面图形的密铺》中的“读一读”：用多边形及其组合可以拼成许多漂亮的密铺图案。下面的图案是现实生活中大量存在的密铺图案的一部分。欣赏这些图案，你能发现哪些多边形或其组合可以密铺。……，你能利用几种多边形，通过组合进行密铺吗？

我要求每位学生设计一个密铺的图案，但收到的作业质量不是很好，只有美术功底较好的学生的作品还算可以。还发现学生用纸笔等传统工具，不是很乐意去完成图案设计作业。于是我就想利用学生已经会用的《几何画板》，让他们完成图案设计的作业，没想到这一改，竟使学生完成的作业美不胜收，即使是数学功底不好的学生，也完成的相当出色。以下是收集的一些同学的作品。

在这里，学生自由发挥，利用反射、旋转、图形组合及色彩搭配等各种方法，充分展示了自己对几何图形的阐述。

如最后一个图案，学生的灵感来自本节“随堂练习”第2题：利用习题3.7所得的“鱼”形图案能否进行密铺？“鱼”形图案是由正三角形剪拼得到的，用“鱼”形图案可以密铺得到漂亮的图案，用正三角形也一定行。下图是它的操作步骤，在第一步画正三角形时要用到“旋转”，从第五步以后要用到“反射”，学生们在设计中体味到了“用数学”带来的快乐。

C

A

C

A

C

A

C

A

B

B

B

拖动第三步图形中的任意一个点的位置，可以改变最终的图案（如下图），学生也体会到利用《几何画板》进行图案设计的快捷与便利。

B'

C'

B'

C'

A'A'

二、运用《几何画板》开展探究，使学生更乐意投入到探索性的数学活动中去

探究性学习是区别于直接接受性学习的学习形式，它是指学生在好奇心的驱使下，以问题为导向，有高度智力投入且内容和形式都十分丰富的学习活动。目前，信息技术在初中数学教学中的应用主要还停留在教师制作课件、学生接受学习的层面上。

《几何画板》给学生提供了一个探究的平台，能够快速的度量线段的长度和角的度数，利用图形中点的运动，能够更直观的让学生观察变化、产生猜想、验证结论。用《几何画板》进行探究性学习使学生成为真正的主人，从而形成研究数学的积极态度。

案例2：北师大版《数学（八年级下册）》第六章A组复

习题第1题：将正方形的四个顶点用线段相连，什么样的连法

最短？研究发现，并非对角线最短，而是如图的连法最短（即

用线段AE，DE，EF，BF，CF把四个点连接起来）。如图已知

∠DAE=∠ADE=30°，∠AEF=∠BFE=120°，你能证明此时AB∥

EF吗？

学生对如何“研究发现

．．．．，并非对角线最短，而是如图的连法最短”感兴趣，问我：“到底是怎么研究发现的？我们初中生也能通过研究发现吗？”

D

B'

C'

B'

C'

B'

A'

A'A'

我建议学生利用《几何画板》试一试，为什么连接正方形四个顶点的线段数恰好是五条时长度和最小？点E 、F 为什么要摆在如图的位置？

1、如果用四条线段连接，一定要过中心

在正方形ABCD 所在平面上取一点M ，度量AM 、BM 、DM 、CM 的长度，计算它们的和，拖动M 点，观察长度和的变化情况。

m A M+m MB +m MD+m CM = 8.61 厘米

m CM = 2.17 厘米

m MD = 2.15 厘米

m MB = 2.15 厘米

m A M = 2.13 厘米

拖动点M

拖动点M

m A M+m MB +m MD+m CM = 8.84 厘米

m CM = 2.02 厘米

m MD = 2.84 厘米

m MB = 1.50 厘米

m A M = 2.49 厘米

D C

D C

学生很快猜得M 为AC 和BD 的交点时，长度和最小（当正方形边长为3cm 时，长度和约为8.61cm ）。这个猜测，很容易用“三角形两边之和大于第三边”加以证明(证明过程略)。

度量课本中图形中的线段和（当正方形边长为3cm 时，长度和约为8.32cm ）的情况，学生发现确实用五条线段连接比用四条要好。用六条线段呢？

2、六条线段的情况可以转化为五条线段

通过多次尝试，学生发现，移动图中的Q 点，只引起两条线段长度PQ 、QC 的改变（移动O 点或P 点都会引起三条线段长度的改变），比较容易发现规律。当O 、P 不动时，通过拖动点Q ，发现当P 、Q 、C 三点共线时，长度和最小，这个结论也可以用“三角形两边之和大于第三边”加以证明，从而发现，用六条线段连接的情况可以转化为五条线段连接的情况。

当用七条以上的线段连接正方形的顶点时，情况多种多样，非常复杂。在学生们尝试的几种情况中，都能够用固定一些点，变动一个点的方法，化曲为直，

m A O+m OD+m OP+m P B+m P Q+m QC = 8.61 厘米

m QC = 1.28 厘米

m P Q = 1.23 厘米

m P B = 1.54 厘米

m OP = 1.37 厘米m OD = 1.85 厘米m A O = 1.32 厘米

拖动点 Q

拖动点 Q

m A O+m OD+m OP+m P B+m P Q+m QC = 9.13 厘米m QC = 1.57 厘米

m P Q = 1.46 厘米

m P B = 1.54 厘米

m OP = 1.37 厘米m OD = 1.85 厘米m A O = 1.32 厘米

D

D

变为线段数较小的情况。本人认为，该问题的彻底解决，需要用到图论的知识，这是我的初中学生力所不能及的。学生们在电脑上对各种情形进行尝试后，虽然没有列举出所有的情况，但已经确信用五条线段连接的情况比

用六条以上的线段连接要好（指的是连接正方形四个顶点的线段总长度的最小值最小）。下面只要研究用五条线段连接的情况。

3、结论是可以猜到的

在五条线段连接正方形的四个顶点的情况中，学生们一时找不到观察的方向，是问题中的“如图已知∠DAE=∠ADE=30°，∠AEF=∠BFE=120°”给了他们灵感，要从角度方面观察，从而想到度量角度。

如图（1），F 点不动，拖动点E ，通过多次尝试，学生发现当∠AEF=∠DEF=∠AED 时，线段和较小（如图（2））。如图（3），E 点不动，拖动点F ，发现当∠BFE=∠CFE=∠CFB 时，线段和较小（如图（4））。重复以上两个步骤，经过若干次的逐步调整，∠AEF 、∠DEF 、∠DEF 、∠BFE 、∠CFE 、∠CFB 大致都是120°，此时线段和不再变小（这与计算机的计算精度有关）。

拖动点W

拖动点X

D

D

D

A

A

A

拖动点F （3）

m ∠EFB = 137.33?m ∠EFC = 112.30?

m ∠DEF = 120.75?m ∠FEA = 120.46?m AE+m ED+m FE+m CF+m FB = 8.37 厘米

m FB = 1.50 厘米

m CF = 2.18 厘米m FE = 1.17 厘米m ED = 2.02 厘米

m AE = 1.50 厘米（4）

m ∠EFB = 137.33?m ∠EFC = 112.30?

m ∠DEF = 120.75?m ∠FEA = 120.46?m AE+m ED+m FE+m CF+m FB = 8.37 厘米

m FB = 1.50 厘米

m CF = 2.18 厘米m FE = 1.17 厘米m ED = 2.02 厘米

m AE = 1.50 厘米（2）

m ∠EFB = 120.46?m ∠EFC = 120.07?

m ∠DEF = 112.06?m ∠FEA = 129.16?m AE+m ED+m FE+m CF+m FB = 8.34 厘米

m FB = 1.56 厘米

m CF = 1.95 厘米m FE = 1.30 厘米m ED = 2.02 厘米m AE = 1.50 厘米拖动点E （1）

m ∠DEF = 145.96?

m ∠FEA = 59.10?m AE+m ED+m FE+m CF+m FB = 9.32 厘米

m FB = 1.50 厘米

m CF = 2.18 厘米m

FE = 1.39 厘米m ED = 1.55 厘米

m AE = 2.70 厘米D

C

D

C

D

C

A

A

图（2）中的点E就是△ADF的费尔马点，但学生不知道这个结论。事后我表扬了学生，“你们利用《几何画板》发现了法国大数学家费尔马发现的结论——费尔马点到三角形三个顶点距离和最小”。

学生们限于知识，还不能证明自己发现的结论，但通过在《几何画板》上的数学实验，学生们不再对课本上的说法“研究发现

．．．．，并非对角线最短，而是如图

的连法最短”感到奇怪，而是深深体会到：“我也可以研究发现

．．．．”。学生的探究活动也不是完美无缺的，学生们遗漏了用三条线段连接正方形的四个顶点的情况，最终学生也没有给出一个完整的证明。但重要的是通过探究式活动培养了学生研究数学的自觉性和自信心，有些学生又对“用线段连接正三角形的三个顶点，连接正五边形的五个顶点，……，什么时候线段的长度和最小”开展了探究。

在这个内容的备课中教师考虑的不是讲什么、怎样讲，而是如何创设探究情境，如何组织学生进行协作学习和交流……。一开始我就提醒学生从连接四点的线段数分类讨论，让学生明确了探究方向，降低了探究难度，也是探究活动能够顺利进行的关键。要使学生在数学学习中取得成功，就要从学生的思维水平和知识水平出发，妥善地安排学习内容，既非轻而易举使学生感到乏味，也非高不可攀使学生丧失信心，创设“最近发展区”是达到这种效果的最好方法。

《全日制义务教育数学课程标准》指出“把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力的工具”，如何在教学中用好现代信息技术这一工具，是教师必须深入思考的问题。