SIFT 特征提取算法详解
SIFT 特征提取算法总结
主要步骤
1)、尺度空间的生成；
2)、检测尺度空间极值点；
3)、精确定位极值点；
4)、为每个关键点指定方向参数；
5)、关键点描述子的生成。
L(x,y,σ), σ= 1.6 a good tradeoff
D(x,y,σ), σ= 1.6 a good tradeoff
关于尺度空间的理解说明：图中的2是必须的，尺度空间是连续的。在 Lowe 的论文中，
将第0层的初始尺度定为1.6，图片的初始尺度定为0.5. 在检测极值点前对原始图像的高斯平滑以致图像丢失高频信息，所以Lowe 建议在建立尺度空间前首先对原始图像长宽扩展一倍，以保留原始图像信息，增加特征点数量。尺度越大图像越模糊。
next octave 是由first octave 降采样得到（如2）
，
尺度空间的所有取值，s为每组层数，一般为3~5
在DOG尺度空间下的极值点
同一组中的相邻尺度（由于k的取值关系，肯定是上下层）之间进行寻找
在极值比较的过程中，每一组图像的首末两层是无法进行极值比较的，为了满足尺度
变化的连续性，我们在每一组图像的顶层继续用高斯模糊生成了 3 幅图像，
高斯金字塔有每组S+3层图像。DOG金字塔每组有S+2层图像.
If ratio > (r+1)2/(r), throw it out (SIFT uses r=10)
表示DOG金字塔中某一尺度的图像x方向求导两次
通过拟和三维二次函数以精确确定关键点的位置和尺度（达到亚像素精度）？
直方图中的峰值就是主方向，其他的达到最大值80%的方向可作为辅助方向
Identify peak and assign orientation and sum of magnitude to key point The user may choose a threshold to exclude key points based on their
assigned sum of magnitudes.
利用关键点邻域像素的梯度方向分布特性为每个关键点指定方向参数，使算子具备
旋转不变性。以关键点为中心的邻域窗口内采样，并用直方图统计邻域像素的梯度
方向。梯度直方图的范围是0～360度，其中每10度一个柱，总共36个柱。随着距中心点越远的领域其对直方图的贡献也响应减小.Lowe论文中还提到要使用高斯函
数对直方图进行平滑，减少突变的影响。
关键点描述子的生成步骤
通过对关键点周围图像区域分块，计算块内梯度直方图，生成具有独特性
的向量，这个向量是该区域图像信息的一种抽象，具有唯一性。
每一个小格都代表了特征点邻域所在的尺度空间的一个像素，箭头方向代表了像素梯度方向，箭头长度代表该像素的幅值。然后在4×4的窗口内计算8个方向的梯度方向直方图。绘制每个梯度方向的累加可形成一个种子点。
每个直方图有8方向的梯度方向，每一个描述符包含一个位于关键点附近的四个直方图数组.这就导致了SIFT的特征向量有128维.（先是一个4×4的来计算出一个直方图，每个直方图有8个方向。所以是4×4×8=128维）将这个向量归一化之后，就进一步
去除了光照的影响。
旋转为主方向
基本概念及一些补充
什么是局部特征？
?局部特征从总体上说是图像或在视觉领域中一些有别于其周围的地方
?局部特征通常是描述一块区域，使其能具有高可区分度
?局部特征的好坏直接会决定着后面分类、识别是否会得到一个好的结果
局部特征需具备的特性
?重复性
?可区分性
?准确性
?数量以及效率
?不变性
局部特征提取算法-sift
?SIFT算法由D.G.Lowe 1999年提出，2004年完善总结。后来Y.Ke将其描述子部分用PCA代替直方图的方式，对其进行改进。
?SIFT算法是一种提取局部特征的算法，在尺度空间寻找极值点，提取位置，尺度，旋转不变量
?SIFT特征是图像的局部特征，其对旋转、尺度缩放、亮度变化保持不变性，对视角变化、仿射变换、噪声也保持一定程度的稳定性。
?独特性好，信息量丰富，适用于在海量特征数据库中进行快速、准确的匹配。
?多量性，即使少数的几个物体也可以产生大量SIFT特征向量。
?可扩展性，可以很方便的与其他形式的特征向量进行联合。
尺度空间理论
?尺度空间理论目的是模拟图像数据的多尺度特征
?其基本思想是在视觉信息图像信息处理模型中引入一个被视为尺度的参数, 通过连续变化尺度参数获得不同尺度下的视觉处理信息, 然后综合这些信息以深入地挖掘图像的本质特征。
描述子生成的细节
?以极值点为中心点，并且以此点所处于的高斯尺度sigma值作为半径因子。对于远离中心点的梯度值降低对其所处区域的直方图的贡献，防止一些突变的影响。
?每个极值点对其进行三线性插值，这样可以把此极值点的贡献均衡的分到直方图中相邻的柱子上
归一化处理
?在求出4*4*8的128维特征向量后，此时SIFT特征向量已经去除了尺度变化、旋转等几何变形因素的影响。而图像的对比度变化相当于每个像素点乘上一个因子，光照变化是每个像素点加上一个值，但这些对图像归一化的梯度没有影响。因此将特征向量的长度归一化，则可以进一步去除光照变化的影响。
?对于一些非线性的光照变化，SIFT并不具备不变性，但由于这类变化影响的主要是梯度的幅值变化，对梯度的方向影响较小，因此作者通过限制梯度幅值的值来减少这类变化造成的影响。
PCA-SIFT算法
?PCA-SIFT与标准SIFT有相同的亚像素位置，尺度和主方向。但在第4步计算描述子的设计，采用的主成分分析的技术。
?下面介绍一下其特征描述子计算的部分：
?用特征点周围的41×41的像斑计算它的主元，并用PCA-SIFT将原来的2×39×39维的向量降成20维，以达到更精确的表示方式。
?它的主要步骤为，对每一个关键点：在关键点周围提取一个41×41的像斑于给定的尺度，旋转到它的主方向；计算39×39水平和垂直的梯度，形成一个大小为3042的矢量；用预先计算好的投影矩阵n×3042与此矢量相乘；这样生成一个大小为n的PCA-SIFT描述子。
分类: 图像处理&机器视觉基础, 图像处理
标签: sift, 尺度空间, 特征, 图像处理
SIFT 特征提取算法详解
SIFT 特征提取算法总结 主要步骤 1)、尺度空间的生成； 2)、检测尺度空间极值点； 3)、精确定位极值点； 4)、为每个关键点指定方向参数； 5)、关键点描述子的生成。 L(x,y,σ), σ= 1.6 a good tradeoff
D(x,y,σ), σ= 1.6 a good tradeoff
关于尺度空间的理解说明：图中的2是必须的，尺度空间是连续的。在 Lowe 的论文中， 将第0层的初始尺度定为1.6，图片的初始尺度定为0.5. 在检测极值点前对原始图像的高斯平滑以致图像丢失高频信息，所以Lowe 建议在建立尺度空间前首先对原始图像长宽扩展一倍，以保留原始图像信息，增加特征点数量。尺度越大图像越模糊。 next octave 是由first octave 降采样得到（如2） ， 尺度空间的所有取值，s为每组层数，一般为3~5 在DOG尺度空间下的极值点 同一组中的相邻尺度（由于k的取值关系，肯定是上下层）之间进行寻找
在极值比较的过程中，每一组图像的首末两层是无法进行极值比较的，为了满足尺度 变化的连续性，我们在每一组图像的顶层继续用高斯模糊生成了 3 幅图像， 高斯金字塔有每组S+3层图像。DOG金字塔每组有S+2层图像.
If ratio > (r+1)2/(r), throw it out (SIFT uses r=10) 表示DOG金字塔中某一尺度的图像x方向求导两次 通过拟和三维二次函数以精确确定关键点的位置和尺度（达到亚像素精度）？
直方图中的峰值就是主方向，其他的达到最大值80%的方向可作为辅助方向 Identify peak and assign orientation and sum of magnitude to key point The user may choose a threshold to exclude key points based on their assigned sum of magnitudes. 利用关键点邻域像素的梯度方向分布特性为每个关键点指定方向参数，使算子具备 旋转不变性。以关键点为中心的邻域窗口内采样，并用直方图统计邻域像素的梯度 方向。梯度直方图的范围是0～360度，其中每10度一个柱，总共36个柱。随着距中心点越远的领域其对直方图的贡献也响应减小.Lowe论文中还提到要使用高斯函 数对直方图进行平滑，减少突变的影响。
SIFT特征点提取与匹配算法
SIFT 特征点匹配算法 基于SIFT 方法的图像特征匹配可分为特征提取和特征匹配两个部分，可细化分为五个部分： ① 尺度空间极值检测（Scale-space extrema detection ）； ② 精确关键点定位（Keypoint localization ） ③ 关键点主方向分配（Orientation assignment ） ④ 关键点描述子生成（Keypoint descriptor generation ） ⑤ 比较描述子间欧氏距离进行匹配（Comparing the Euclidean distance of the descriptors for matching ） 1.1 尺度空间极值检测 特征关键点的性质之一就是对于尺度的变化保持不变性。因此我们所要寻找的特征点必须具备的性质之一，就是在不同尺度下都能被检测出来。要达到这个目的，我们可以在尺度空间内寻找某种稳定不变的特性。 Koenderink 和Lindeberg 已经证明，变换到尺度空间唯一的核函数是高斯函数。因此一个图像的尺度空间定义为：(,,)L x y σ，是由可变尺度的高斯函数(,,)G x y σ与输入图像(,)I x y 卷积得到，即： ),(),,(),,(y x I y x G y x L *=σσ （1.1） 其中：2222/)(221 ),,(σπσσy x e y x G +-= 在实际应用中，为了能相对高效地计算出关键点的位置，建议使用的是差分高斯函数（difference of Gaussian ）(,,)D x y σ。其定义如下： ) ,,(),,() ,()),,(),,((),,(σσσσσy x L k y x L y x I y x G k y x G y x D -=*-= （1.2） 如上式，D 即是两个相邻的尺度的差（两个相邻的尺度在尺度上相差一个相乘系数k ）。
SIFT特征点提取与匹配算法
二 特征点提取算法 1、基于SIFT （Scale Invariant Feature Transform ）方法的图像特征匹配 参看David G. Lowe 的“Distinctive Image Features from Scale-Invariant Keypoints ” 基于SIFT 方法的图像特征匹配可分为特征提取和特征匹配两个部分，可细化分为五个部分： ① 尺度空间极值检测（Scale-space extrema detection ）； ② 精确关键点定位（Keypoint localization ） ③ 关键点主方向分配（Orientation assignment ） ④ 关键点描述子生成（Keypoint descriptor generation ） ⑤ 比较描述子间欧氏距离进行匹配（Comparing the Euclidean distance of the descriptors for matching ） 1.1 尺度空间极值检测 特征关键点的性质之一就是对于尺度的变化保持不变性。因此我们所要寻找的特征点必须具备的性质之一，就是在不同尺度下都能被检测出来。要达到这个目的，我们可以在尺度空间内寻找某种稳定不变的特性。 Koenderink 和Lindeberg 已经证明，变换到尺度空间唯一的核函数是高斯函数。因此一个图像的尺度空间定义为：(,,)L x y σ，是由可变尺度的高斯函数(,,)G x y σ与输入图像(,)I x y 卷积得到，即： ),(),,(),,(y x I y x G y x L *=σσ （1.1） 其中：2222/)(221 ),,(σπσσy x e y x G +-= 在实际应用中，为了能计算的相对高效，所真正使用的是差分高斯尺度空间（difference of Gaussian ）(,,)D x y σ。其定义如下： ) ,,(),,() ,()),,(),,((),,(σσσσσy x L k y x L y x I y x G k y x G y x D -=*-= （1.2） 如上式，D 即是由两个相邻的尺度的差（两个相邻的尺度在尺度上相差一个相乘系数k ）。
SIFT算法分析
SIFT算法分析 1 SIFT 主要思想 SIFT算法是一种提取局部特征的算法，在尺度空间寻找极值点，提取位置，尺度，旋转不变量。 2 SIFT 算法的主要特点： a)SIFT特征是图像的局部特征，其对旋转、尺度缩放、亮度变化保持不变性，对视角变化、仿射变换、噪声也保持一定程度的稳定性。 b)独特性(Distinctiveness)好，信息量丰富，适用于在海量特征数据库中进 行快速、准确的匹配。 c)多量性，即使少数的几个物体也可以产生大量SIFT特征向量。 d)高速性，经优化的SIFT匹配算法甚至可以达到实时的要求。 e)可扩展性，可以很方便的与其他形式的特征向量进行联合。 3 SIFT 算法流程图：
4 SIFT 算法详细 1）尺度空间的生成 尺度空间理论目的是模拟图像数据的多尺度特征。 高斯卷积核是实现尺度变换的唯一线性核，于是一副二维图像的尺度空间定义为： L( x, y, ) G( x, y, ) I (x, y) 其中G(x, y, ) 是尺度可变高斯函数，G( x, y, ) 2 1 2 y2 (x ) 2 e / 2 2 （x，y）是空间坐标，是尺度坐标。大小决定图像的平滑程度，大尺度对应图像的概貌特征，小尺度对应图像的细节特征。大的值对应粗糙尺度(低分辨率)，反之，对应精细尺度(高分辨率)。 为了有效的在尺度空间检测到稳定的关键点，提出了高斯差分尺度空间（DOG scale-space）。利用不同尺度的高斯差分核与图像卷积生成。 D( x, y, ) (G( x, y,k ) G( x, y, )) I ( x, y) L( x, y,k ) L( x, y, ) DOG算子计算简单，是尺度归一化的LoG算子的近似。图像金字塔的构建：图像金字塔共O组，每组有S层，下一组的图像由上一 组图像降采样得到。 图1由两组高斯尺度空间图像示例金字塔的构建，第二组的第一副图像由第一组的第一副到最后一副图像由一个因子2降采样得到。图2 DoG算子的构建： 图1 Two octaves of a Gaussian scale-space image pyramid with s =2 intervals. The first image in the second octave is created by down sampling to last image in the previous
SIFT特征提取分析
SIFT（Scale-invariant feature transform）是一种检测局部特征的算法，该算法通过求一幅图中的特征点（interest points, or corner points）及其有关scale 和orientation 的描述子得到特征并进行图像特征点匹配，获得了良好效果，详细解析如下： 算法描述 SIFT特征不只具有尺度不变性，即使改变旋转角度，图像亮度或拍摄视角，仍然能够得到好的检测效果。整个算法分为以下几个部分： 1. 构建尺度空间 这是一个初始化操作，尺度空间理论目的是模拟图像数据的多尺度特征。 高斯卷积核是实现尺度变换的唯一线性核，于是一副二维图像的尺度空间定义为： 其中G(x,y,σ) 是尺度可变高斯函数 （x，y）是空间坐标，是尺度坐标。σ大小决定图像的平滑程度，大尺度对应图像的概貌特征，小尺度对应图像的细节特征。大的σ值对应粗糙尺度(低分辨率)，反之，对应精细尺度(高分辨率)。为了有效的在尺度空间检测到稳定的关键点，提出了高斯差分尺度空间（DOG scale-space）。利用不同尺度的高斯差分核与图像卷积生成。 下图所示不同σ下图像尺度空间：
关于尺度空间的理解说明：2kσ中的2是必须的，尺度空间是连续的。在 Lowe的论文中，将第0层的初始尺度定为1.6（最模糊），图片的初始尺度定为0.5（最清晰）. 在检测极值点前对原始图像的高斯平滑以致图像丢失高频信息，所以Lowe 建议在建立尺度空间前首先对原始图像长宽扩展一倍，以保留原始图像信息，增加特征点数量。尺度越大图像越模糊。 图像金字塔的建立：对于一幅图像I,建立其在不同尺度(scale)的图像，也成为子八度（octave），这是为了scale-invariant，也就是在任何尺度都能够有对应的特征点，第一个子八度的scale为原图大小，后面每个octave为上一个octave降采样的结果，即原图的1/4（长宽分别减半），构成下一个子八度（高一层金字塔）。
SIFT算法分析报告
SIFT算法分析 1 SIFT主要思想 SIFT算法是一种提取局部特征的算法，在尺度空间寻找极值点，提取位置，尺度，旋转不变量。 2 SIFT算法的主要特点： a) SIFT特征是图像的局部特征，其对旋转、尺度缩放、亮度变化保持不变性，对视角变化、仿射变换、噪声也保持一定程度的稳定性。 b) 独特性(Distinctiveness)好，信息量丰富，适用于在海量特征数据库中进行快速、准确的匹配。 c) 多量性，即使少数的几个物体也可以产生大量SIFT特征向量。 d) 高速性，经优化的SIFT匹配算法甚至可以达到实时的要求。 e) 可扩展性，可以很方便的与其他形式的特征向量进行联合。 3 SIFT算法流程图：
4 SIFT 算法详细 1）尺度空间的生成 尺度空间理论目的是模拟图像数据的多尺度特征。 高斯卷积核是实现尺度变换的唯一线性核，于是一副二维图像的尺度空间定义为： ),(),,(),,(y x I y x G y x L *=σσ 其中 ),,(σy x G 是尺度可变高斯函数，2)(2 2/21),,(22σπσσy x e y x G +-= （x ，y ）是空间坐标，σ是尺度坐标。σ大小决定图像的平滑程度，大尺度对应图像的概貌特征，小尺度对应图像的细节特征。大的σ值对应粗糙尺度(低分辨率)，反之，对应精细尺度(高分辨率)。 为了有效的在尺度空间检测到稳定的关键点，提出了高斯差分尺度空间（DOG scale-space ）。利用不同尺度的高斯差分核与图像卷积生成。 ),,(),,(),()),,(),,((),,(σσσσσy x L k y x L y x I y x G k y x G y x D -=*-= DOG 算子计算简单，是尺度归一化的LoG 算子的近似。 图像金字塔的构建：图像金字塔共O 组，每组有S 层，下一组的图像由上一组图像降采样得到。 图1由两组高斯尺度空间图像示例金字塔的构建， 第二组的第一副图像由第一组的第一副到最后一副图像由一个因子2降采样得到。图2 DoG 算子的构建： 图1 Two octaves of a Gaussian scale-space image pyramid with s =2 intervals. The first image in the second octave is created by down sampling to last image in the previous
(完整版)SIFT算法原理.doc
3.1.1 尺度空间极值检测 尺度空间理论最早出现于计算机视觉领域，当时其目的是模拟图像数据的多尺度特征。 随后 Koendetink利用扩散方程来描述尺度空间滤波过程，并由此证明高斯核是实现尺度变 换的唯一变换核。Lindeberg， Babaud 等人通过不同的推导进一步证明高斯核是唯一的线性 核。因此，尺度空间理论的主要思想是利用高斯核对原始图像进行尺度变换，获得图像多尺度下的尺度空间表示序列，对这些序列进行尺度空间特征提取。二维高斯函数定义如下： G ( x, y, ) 1 2e( x2y2)/2 2 （ 5） 2 一幅二维图像，在不同尺度下的尺度空间表示可由图像与高斯核卷积得到： L( x, y, G( x, y, )* I ( x, y) （ 6）其中 (x,y)为图像点的像素坐标， I(x,y)为图像数据 , L 代表了图像的尺度空间。σ称为尺度空间因子，它也是高斯正态分布的方差，其反映了图像被平滑的程度，其值越小表征图像被平滑 程度越小，相应尺度越小。大尺度对应于图像的概貌特征，小尺度对应于图像的细节特征。 因此，选择合适的尺度因子平滑是建立尺度空间的关键。 在这一步里面，主要是建立高斯金字塔和DOG(Difference of Gaussian) 金字塔，然后在DOG 金字塔里面进行极值检测，以初步确定特征点的位置和所在尺度。 (1)建立高斯金字塔 为了得到在不同尺度空间下的稳定特征点，将图像I (x, y) 与不同尺度因子下的高斯核 G ( x, y,) 进行卷积操作，构成高斯金字塔。 高斯金字塔有o 阶，一般选择 4 阶，每一阶有s 层尺度图像，s 一般选择 5 层。在高斯金字塔的构成中要注意，第 1 阶的第l 层是放大 2 倍的原始图像，其目的是为了得到更多的 特征点；在同一阶中相邻两层的尺度因子比例系数是k ，则第 1 阶第 2 层的尺度因子是k ，然后其它层以此类推则可；第 2 阶的第l 层由第一阶的中间层尺度图像进行子抽样获得，其尺度因子是k 2 ，然后第 2 阶的第 2 层的尺度因子是第 1 层的k 倍即k 3 。第 3 阶的第 1 层由第 2 阶的中间层尺度图像进行子抽样获得。其它阶的构成以此类推。 (2) 建立DOG 金字塔 DOG 即相邻两尺度空间函数之差，用 D (x, y, ) 来表示，如公式(3)所示： D (x, y, ) (G( x, y, k ) G (x, y, ))* I (x, y) L( x, y, k ) L (x, y, ) (7) DOG 金字塔通过高斯金字塔中相邻尺度空间函数相减即可，如图 1 所示。在图中，DOG 金字塔的第l 层的尺度因子与高斯金字塔的第l 层是一致的，其它阶也一样。
尺度空间理论和SIFT算法小结
尺度空间理论 尺度空间(scalesPace)思想最早由Iijima 于1962年提出([l])，但当时并未引起算机视觉领域研究者们的足够注意，直到上世纪八十年代，witkin([2])Koenderink([3])等人的奠基性工作使得尺度空间方法逐渐得到关注和发展。此后，随着非线性扩散方程、变分法和数学形态学等方法在计算机视觉领域中的广泛应用，尺度空间方法进入了快速发展阶段。尺度空间方法本质上是偏微分方程对图像的作用。 尺度空间方法的基本思想是：在视觉信息(图像信息)处理模型中引入一个被视为尺度的参数，通过连续变化尺度参数获得不同尺度下的视觉处理信息，然后综合这些信息以深入地挖掘图像的本质特征。尺度空间方法将传统的单尺度视觉信息处理技术纳入尺度不断变化的动态分析框架中，因此更容易获得图像的本质特征。尺度空间的生成目的是模拟图像数据的多尺度特征。高斯卷积核是实现尺度变换的唯一线性核。 尺度空间是一个用来控制观察尺度或表征图像数据多尺度自然特性的框架；信号的尺度空间表征是信号的特征结构集合并包含有一个连续的尺度参量(即观察尺度)。尺度空间理论[8]是通过对原始图像进行尺度变换，获得图像多尺度下的尺度空间表示序列，对这些序列进行尺度空间主轮廓的提取，并以该主轮廓作为一种特征向量，实现边缘、角点检测和不同分辨率上的特征提取等。尺度空间表示是一种基于区域而不是基于边缘的表达，它无需关于图像的先验知识。与通过减小图像尺寸而提高计算效率的其他多尺度或多分辨率表达相比，尺度空间表示由平滑获得，在多由尺度上都保持了不变的空间取样，但对同一特征而言，它在粗糙尺度上对应更多的像素点，这样就使得对这些数据的计算任务得到连续的简化。尺度空间表示的另一个重要特征，就是基于尺度的结构特性能以一种简单的方式解析的表达，不同尺度上的特征可以一种精确的方式联系起来。作为尺度空间理论中的一个重要概念，尺度空间核被定义为：in out f K f *= (1) 对于所有的信号in f ，若它与变换核K 卷积后得到的信号out f 中的极值(一阶微分过零点数)不超过原图像的极值，则称K 为尺度空间核，所进行的卷积变换称为尺度变换。尺度空间表示通过平滑获得,可描述为),(σx 空间（？y 呢？），x 和σ分别为位置参数和尺度参数。当采用不同尺度的平滑函数对同一图像进行滤波时，得到的一簇图像就是原始图像相对于该平滑函数的尺度空间，σ为尺度空间坐标。 在高斯尺度空间，同一类型特征点和边缘在不同的尺度上具有因果性，即当尺度变化时，新的特征点可能出现，而老的特征点可能移位或消失。这种因果性带来的含糊性是固有的，不可避免的，不能企求消除，但可以减小。然而,由于高斯核[9] 具有线性、平移不变性、旋转不变性和子集特性等特性，可以证明，
SIFT算法实现原理步骤
SIFT 算法实现步骤 ：1 关键点检测、2 关键点描述、3 关键点匹配、4 消除错配点 1关键点检测 1.1 建立尺度空间 根据文献《Scale-space theory: A basic tool for analysing structures at different scales 》我们可知，高斯核是唯一可以产生多尺度空间的核，一个图像的尺度空间，L （x,y,σ) ,定义为原始图像I(x,y)与一个可变尺度的2维高斯函数G(x,y,σ) 卷积运算。 高斯函数 高斯金字塔 高斯金子塔的构建过程可分为两步： （1）对图像做高斯平滑； （2）对图像做降采样。 为了让尺度体现其连续性，在简单 下采样的基础上加上了高斯滤波。 一幅图像可以产生几组（octave ） 图像，一组图像包括几层 （interval ）图像。 高斯图像金字塔共o 组、s 层， 则有： σ——尺度空间坐标；s ——sub-level 层坐标；σ0——初始尺度；S ——每组层数（一般为3~5）。 当图像通过相机拍摄时，相机的镜头已经对图像进行了一次初始的模糊，所以根据高斯模糊的性质： -第0层尺度 --被相机镜头模糊后的尺度 高斯金字塔的组数: M 、N 分别为图像的行数和列数 高斯金字塔的组内尺度与组间尺度: 组内尺度是指同一组（octave ）内的尺度关系，组内相邻层尺度化简为： 组间尺度是指不同组直接的尺度关系，相邻组的尺度可化为： 最后可将组内和组间尺度归为： ()22221 ()(),,exp 22i i i i x x y y G x y σπσσ??-+-=- ???()()(),,,,*,L x y G x y I x y σσ=Octave 1 Octave 2 Octave 3 Octave 4Octave 5σ2σ 4σ8 σ … … … … … 0()2s S s σσ=0init init pre pre σσσσσ=?-?init σpre σ()() 2log min ,3O M N ??=-?? 1 12S s s σσ+=1()2s S S o o s σσ++=222s S s S S o o σσ+=121 2(,,,) i n k k k σσσσ--12 S k =