用matlab寻找赋权图中的最短路

用matlab寻找赋权图中的最短路

专业：

小组：第22小组

小组成员：

课题：用matlab寻找赋权图中的最短路

采用形式：集体讨论，并到图书馆搜集相关资料，进行编程，运行。最后以论文的形式表现出来。

1引言

图论是应用数学的一个分支，它的概念和结果来源都非常广泛，最早起源于一些数学游戏的难题研究，如欧拉所解决的格尼斯堡七桥问题，以及在民间广泛流传的一些游戏的难题，如迷宫问题，博弈问题等。这些古老的难题，吸引了很多学者的注意。

1847年，图论应用于分析电路网络，这是它最早应用于工程科学，以后随着科学的发展，图论在解决运筹学，网络理论，信息论，控制论，博弈论以及计算机科学等各个领域的问题时，发挥出很大的作用。在实践中，图论已成为解决自然科学，工程技术，社会科学，军事等领域中许多问题的有力工具之一。

最短路问题是图论理论中的经典问题，寻找最短路径就是在指定网络中两节点间找一条距离最小的路。

2 最短路

2.1 最短路的定义（short-path problem）

对最短路问题的研究早在上个世纪60年代以前就卓有成效了，

若网络中的每条边都有一个数值(长度、成本、时间等)，则找出两节点(通常是源节点和阱节点)之间总权和最小的路径就是最短路问题。最短路问题是网络理论解决的典型问题之一，它不仅可以直接应用于解决生产实际的许多问题，如管路铺设、线路安装、厂区布局和设备更新等，而且经常被作为一个基本的工具，用于解决其他的做优化问题。

定义1：若图G=G（V，E）中个边[v i,v j]都赋有一个实数w ij ，则称这样的图G为赋权图，w ij 称为边[v i,v j]上的权。

定义2：给定一个赋权有向图，即给一个有向图D=（V,A），对每一个弧a=（v i,v j），相应地有权w（a）=w ij，又给定D中的两个顶点v s ，v t 。设P是D中从v s 到v t 的一条路，定义路P的权是P中所有弧的权之和，记为w（P）。最短路问题就是要在所有从v s到v t 的路中，求一条权最小的路，即求一条从v s

min w（P）式中对D中所有从v s到v t 的路P最小，到v t 的路P0 ，使w（P0）=

P

称P0 是从v s到v t 的最短路。

2.2最短路问题算法的基本思想及其基本步骤

在求解网络图上节点间最短路径的方法中，目前国内外一致公认的比较好的算法有Dijkstra和Floyd算法。这两种算法，网络被抽象为一个图论中定义的有向图或无向图，并利用图的节点邻接矩阵记录点的关联信息。在进行图的遍历搜

索最短路径时，以该矩阵为基础不断进行目标值的最小性判别，知道获得最后的优化路径。鉴于课本使用Dijkstra 算法，下面用Floyd 算法进行计算： 设A=（a ）n*n 为赋权图G=（V ，E ，F ）的矩阵，当V i V j ∈E 时，a ij =F （v i ，v j ），否则，取a ij =0，a ij =+∞（i ≠j ），d ij 表示从v i 到v j 的点的距离，r ij 表示从v i 到v j 的点的最短路中的一个点的编号。

① 赋初值。对所有i ，j ，d ij = a ij ，r ij =j ，k=1，转向②；

② 更新d ij ，r ij ，对所有i ，j ，若d ik + d kj < d ij ,则令d ij = d ik + d kj ，r ij =k ，转向； ③ 终止判断。若d ij <0,则存在一条含有顶点v i 的负回路，终止；或者k=n ，终止；否则，另k=k+1，转向②。

最短路线可由r ij 得到。

2.3 用matlab 程序实现上述算法

编写程序函数程序如下：

function f=shortpath(n,A)

clear;

n=input('请输入矩阵的阶n=');

A=input('请输入赋权图对应的n 阶矩阵A='); % 顶点之间不通时，用inf 表示（MATLAB 中，inf 表示无穷）

D=A; %赋初值

for (i=1:n)

for (j=1:n)

R(i,j)=j;

end ;

end %赋路径初值

for (k=1:n)

for (i=1:n)

for (j=1:n)

if (D(i,k)+D(k,j)

D(i,j)=D(i,k)+D(k,j); %更新dij

R(i,j)=k; %更新rij

end ;

end ;

end

k %显示迭代步数

D %显示每步迭代后的路长

R %显示每步迭代后的路径

pd=0;

for (i=1:n) %含有负权

if (D(i,j)<0)

pd=1;

break ;

end ;

end %存在一条含有顶点的vi 的负回路

if (pd)

break;

end %存在一条负回路，终止程序

end%程序结束

3 最短路的实际应用

●最短路问题在交通网络结构的分析，交通运输路线（公路、铁路、河流航运线、航空线、管道运输路线等）的选择，通讯线路的建造与维护，运输货流的最小成本分析，城公共交通网络的规划等，都有直接应用的价值。

●最短路问题在实际中还常用于汽车导航系统以及各种应急系统等（110报警、119火警以及120医疗救护系统），这些系统一般要求计算出到出事地点的最佳路线的时间最短。利用最短路还需要实际计算出前方的行驶路线，这就决定了最短路径问题的实现应该是高效率的。

●根据现在发展的要求，在城乡一体化的总体思路中，为实现农村村村通的目标，针对农村地理分布，进行合理规划，对与优化农村交通网络，促进农村发展有重要的内容。

4 结语

本文将最短路理论与实际相联系，尤其是对与当前热点问题的应用，具有很重要的意义。将实际生活中出现的安全隐患尽量降低。同时也凸显出学习与应用最短路原理的重要性。要在平时的生活中，注意学习中的相关联系，以此可以提高学生学习知识的兴趣。

【参考文献】：

[1] 甘应爱、田丰等. 运筹学（第三版）. 北京. 清华大学出版社2006.

[2] 蒲俊等. MATLAB6.0数学手册. 上海. 浦东电子出版社2002