实验一计算复变函数极限、微分、积分、留数、泰勒级数展开式

实验一计算复变函数极限、微分、积分、留数、泰勒级数展开式

【实验目的】

1、熟悉Matlab运行环境，会在窗口操作和运行一些命令

2、掌握求复变函数极限、微分、积分、留数以及泰勒级数命令

3、熟练在计算机上操作复变函数极限、微分、积分、留数以及泰勒级数命令【实验仪器】一台电脑，要求安装matlab 软件

【实验内容】

MATLAB实现内容

1、MATLAB求复变函数极限

2、MATLAB求复变函数微分

3、MATLAB求复变函数积分

4、MATLAB求复变函数在孤立奇点的留数

5、MATLAB求复变函数的泰勒级数展开式

【实验步骤】

1．打开matlab桌面和命令窗口，方式一，双击桌面快捷方式，方法二，程序里单击matlab图标，方式三，找到matlab文件夹，双击图标2．在matlab命令窗口输入命令

3．运行，可以直接回车键，F5键

【注意事项】

1．命令的输入要细心认真，不能出错

2．尤其是分号，逗号等符号的区别

3. 注意数学上的运算和matlab中的不同，尤其是括号

【实验操作内容】

以下的例题都是在命令窗口输入源程序，然后运行，或回车就可以得到结果。

1、MATLAB 求复变函数极限

用函数limit 求复变函数极限

【Matlab 源程序】

syms z

f=;

limit(f,z,z0) 返回极限结果

例 1 求 在 的极限 解 【Matlab 源程序】

syms z

f=sin(z)/z;

limit(f,z,0)

ans=

1

limit(f,z,1+i)

ans=

1/2*sin(1)*cosh(1)-1/2*i*sin(1)*cosh(1)

+1/2*i*cos(1)*sinh(1)+1/2*cos(1)*sinh(1

2、 MATLAB 求复变函数微分

用函数diff 求复变函数极限

【Matlab 源程序】

z

z z f sin )(=i z +=1,0

f=（）;

diff(f,z) 返回微分结果

解 syms z

f=exp(z)/((1+z)*(sin(z)));

diff(f)

ans =

exp(z)/(1+z)/sin(z)-exp(z)/(1+z)^2/sin(z)

-exp(z)/(1+z)/sin(z)^2*cos(z)

3、 MATLAB 求复变函数积分

用函数int 求解非闭合路径的积分.

【Matlab 源程序】

syms z a b

f=

int(f,z,a,b) 返回积分结果

解 syms z

x1=int(cosh(3*z),z,pi/6*i,0)

x2=int((z-1)*exp(-z),z,0,i)

结果为：

例 3 求积分 π60i i 0

x1=ch3zdz; x2(1)d z z e z -=-??例2 设

()()z f z z e z f z

'+=求,sin 1)(

x2 = -i/exp(i)

4、 MATLAB 求复变函数在孤立奇点的留数

（1）f(z)=p(z)/q(z)；p(z)、q(z)都是按降幂排列的 多项式

用函数residue 求f(z)=p(z)/q(z)在孤立奇点的留数

【Matlab 源程序】

[R,P,K]= residue (B,A) 返回留数，极点

说明：向量B 为f(z)的分子系数；

向量A 为f(z)的分母系数；

向量R 为留数；

向量P 为极点位置；

向量k 为直接项:

例4 求函数 在奇点处的留数． 解 [R,P,K]= residue([1,0,1],[1,1])

结果为：

R= 2

P = -1

K = 1 -1

5、MATLAB 求复变函数的泰勒级数展开式

（1）用函数taylor 求f(z)泰勒级数展开式

【Matlab 源程序】

1

12++z z

f=

Taylor(f,z0) 返回f(z)在点z0泰勒级数展开式

例5 求函数f=1/(z-b)在点z=a泰勒级数展开式前4项syms z a b;

f=1/(z-b);

taylor(f,z,a,4)

ans =

1/(a-b)-1/(a-b)^2*(z-a)+1/(a-b)^3*(z-a)^2

-1/(a-b)^4*(z-a)^3

（2）求二元函数z=f(x,y)在点（x0,y0）的泰勒级数展开式.

【Matlab源程序】

syms x y; f=();

F=maple(‘mtaylor’,f,‘[x,y]’,m) 返回在(0,0)点处的泰勒级数展开式的前m项.

F=maple(‘mtaylor’,f,‘[x=x0,y=y0]’,m) 返回在(x0,y0)点处的泰勒级数展开式的前m项.

F=maple(‘mtaylor’,f,‘[x=a]’,m) 返回对单变量

在x=a处的泰勒级数展开式的前m项.

例6 求函数

22

2

==-

z f x y x x e---

(,)(2)x y xy

在原点(0，0)，以及（1，a）点处的Taylor展式．【Matlab源程序】

syms x y;

f=(x^2-2*x)*exp(-x^2-y^2-x*y);

maple(‘mtaylor’,f,‘[x,y]’,4)

在(0,0)点处的泰勒级数展开式：

ans =

-2*x+x^2+2*x^3+2*y*x^2+2*y^2*x

maple(‘mtaylor’,f,‘[x=1,y=a]’,2)

在(1,a)点处的泰勒级数展开式：

ans =

-exp(-1-a-a^2)-exp(-1-a-a^2)*(-2-a)*(x-1)

-exp(-1-a-a^2)*(-2*a-1)*(y-a)

maple(‘mtaylor’,f,‘[x=a]’,2) 在x=a处泰勒级数展开式：ans =

(a^2-2*a)*exp(-a^2-y^2-a*y)

+((a^2-2*a)*exp(-a^2-y^2-a*y)*(-2*a-y)

+(2*a-2)*exp(-a^2-y^2-a*y))*(x-a)