高考数学考点48正态分布试题解读与变式

考点48 正态分布

【考纲要求】

利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 【命题规律】

在选择题、填空题考查较多，属容易题，分值5分，在解答题中结合其他知识考查属中等题. 【典型高考试题变式】 正态分布

例1.【2017课标1】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2

(,)N μσ．

（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数， 求(1)P X ≥及X 的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95

经计算得16119.9716i i x x ===∑

，0.212s ==≈，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =???．用样本平均数x 作为μ的估计值?μ

，用样本标准差s 作为σ的估 计值?σ

，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除????(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．

附：若随机变量Z 服从正态分布2

(,)N μσ，则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=，

160.997 40.959 2≈

0.09≈．

【分析】（1）根据题设条件知一个零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974，则零件的尺寸 在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026，而~(16,0.0026)X B ，进而可以求出X 的数学期望.（2）（i ）判断监控生产过程的方法的合理性，重点是考虑一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件的概率是大还是小，若小即合理；（ii ）根据题设条件算出μ的估计值和σ的估计值，剔除

????(3,3)μ

σμσ-+之外的数据9.22，算出剩下数据的平均数，即为μ的估计值，剔除????(3,3)μσμσ-+之外

的数据9.22，剩下数据的样本方差，即为σ的估计值.

【解析】（1）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在

(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026，故~(16,0.0026)X B .

因此16

(1)1(0)10.99740.0408P X P X ≥=-==-≈.

X 的数学期望为160.00260.0416EX =?=.

（2）（i ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率只有0.0026，一天内抽取 的16个零件中，出现尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.

【名师点睛】数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念，反映随机变量取值的平均水平.求解离散 型随机变量的分布列、数学期望时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的所有取值，然后根据概率类型选择公式，计算每个变量取每个值的概率，列出对应的分布列，最后求出数学期望.正态分布是一种重要的分布，之前考过一次，尤其是正态分布的3σ原则.

【变式1】某种品牌摄像头的使用寿命ξ(单位：年)服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该种品牌的摄像头，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为________． 【答案】

1

4

【变式2】【广西南宁2017届普通高中毕业班第二次模拟】某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份中5天的日销售量y （单位：千克）与该地当日最低气温x （单位： C o ）的数据，如下表：

x 2 5 8 9 11 y

12

10

8

8

7

（1）求出y 与x 的回归方程???y

bx a =+； （2）判断y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6C o ，请用所求回归方程预测该店当日的销售量；

（3）设该地1月份的日最低气温X ～()

2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ， 2σ近似为样本方差2s ，求(3.813.4)P X <<.

附：①回归方程???y

bx a =+中， ()

12

2

1

?n

i i i n i i x y nxy

b x n x ==-=-∑

∑

， ???a

y bx =-. ②

10 3.2≈，

3.2 1.8≈，若X ～()

2

,N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，

(22)0.9544P X μσμσ-<<+=.

【解析】（1）因为令5n =,113575n i i x x n ===

=∑， 114595

n i i y y n ====∑, 所以

()1

28757928n i i

i x y nxy =-=-??=-∑， ()2

2

21

2955750n

i

i x

n x =-=-?=∑

所以28

0.5650

?b

-==-

所以()90.56712.?92??a

y bx =-=--?=（或者： 323

25

） 所以所求的回归方程是0.5612.?92y

x =-+

【数学思想】 ①数形结合思想． ②转化与化归思想. 【温馨提示】

①曲线与x 轴之间面积为1.正态曲线关于直线x ＝μ对称，从而在关于x ＝μ对称的区间上概率相同． ②P (X ≤a )＝1－P (X ≥a )，P (X ≤μ－a )＝P (X ≥μ＋a )． 【典例试题演练】

1.【2017云南大理统测】2016年1月某校高三年级1600名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩(

)2

100,X N σ:（试卷满分为150分）

．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的

3

4

，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为（ ） A ．80 B ．100 C ．120 D ．200 【答案】D

【解析】正态曲线图象的对称轴为100X =，根据其对称性可知， 成绩不低于1200分的学生人数约为

31

1600120042

???-?= ???人，故选D.

2.【2017年第三次全国大联考】已知某次数学考试的成绩服从正态分布2

(102,4)N ，则114分以上的成绩所占的百分比为（附：()()0.6826,220.9544P X P X μσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=,(3P μσ-

3)0.9974X μσ<≤+=)

A.0.3%

B.0.23%

C.1.3%

D.0.13% 【答案】D

【解析】由已知得()(90114)330.9974P X P X μσμσ<≤=-<≤+=，故(114)P X >

10.9974

0.00132

-=

==0.13%，故选D ． 3.【2017山西晋城市模拟考试】已知4

621x x ??

+ ???

展开式中的常数项为a ,且()1,1X N :,则()3P X a <<=

（ ）

(附：若随机变量()2

,X N

μσ:,

则()()0000

68.26,2295.44P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=,

()003399.74P X μσμσ-<<+=)

A ．0.043

B ．0.0215

C ．0.3413

D ．0.4772 【答案】B

4.设随机变量δ服从正态分布N （3，7），若p （δ＞a +2）=p （δ＜a －2），则a =（ ） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【答案】C

【解析】由已知若p （δ＞a +2）=p （δ＜a －2），则

332

2

2=?=-++a a a

5.已知随机变量X 服从正态分布N （3，1），且P （l≤X≤5）=0．682 6，则(5)P X >=（ ） A ．0．158 8 B ．0．158 7

C ．0．158 6

D ．0．158 5

【答案】B

【解析】依题意()10.6826

50.15872

P x ->=

=，故选B. 6.【2017河北五邑四模】某校高考数学成绩近似地服从正态分布()

2100,5N ，且(110)0.96P ξ<=，则

(90100)P ξ<<的值为（ ）

A. 0.49

B. 0.48

C. 0.47

D. 0. 46 【答案】D

【解析】依据题设条件及正太分布的对称性可知()11010.960.04P ξ≥=-=，所以()900.04P ξ≤=，则

()290100120.040.92P ξ<<=-?=，所以()901000.46P ξ<<=，应选D.

7. 【2017荆、荆、襄、宜四地七校联考】设随机变量服从正态分布),1(2

σN ，若2.0)1(=-<ηP ，则函数3

221()3

f x x x x η=

++没有极值点的概率是（ ） A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8 【答案】C

【解析】由22()20f x x x η'=++= 无相异实根得2

44011ηηη?=-≤?≥≤-或 ，因此函数()f x 没

有极值点的概率是(1)(1)0.50.20.7P P ηη≥+≤-=+=，选C. 8. 设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f (x )的图象，且f (x )＝18π

e

8

)10(2

--

x (x ∈R)，则这个正态总

体的平均数与标准差分别是( )

A.10与8

B.10与2

C.8与10

D.2与10 【答案】B 【解析】f (x )＝1

2π×2

e 2

222)10(?--

x ，所以σ＝2，μ＝10，即正态总体的平均数与标准差分别为10与2，故

选B.

9. 已知三个正态分布密度函数φi (x )＝1

2πσi

e －（x －μi ）

2

2σ2

i (x ∈R ，i ＝1，2，3)的图象如图所示，则( )

A.μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3

B.μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3

C.μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3

D.μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3

【答案】D

【解析】由正态曲线关于直线x ＝μ对称，知μ1＜μ2＝μ3；σ的大小决定曲线的形状，σ越大，总体分布越分散，曲线越矮胖；σ越小，总体分布越集中，曲线越瘦高，则σ1＝σ2＜σ3.实际上，由φ1(μ1)＝

φ2(μ2)＞φ3(μ3)，则

12πσ1

＝

12πσ2

＞

1

2πσ3

，即σ1＝σ2＜σ3.故选D. 10. (2017·石家庄模拟)设X ～N (1，σ2

)，其正态分布密度曲线如图所示，且P (X ≥3)＝0.022 8，那么向正方形OABC 中随机投掷20 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为( )

附：(随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2

)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 4)．

A ．12 076

B ．13 174

C ．14 056

D ．7 539 【答案】B

11.【2017年原创押题预测卷02（山东卷）】已知~(,4)X N m ，且(2)()P X m P X m ≤-=≥，则若

(2)0.72P X <=，则(12)P X <<= .

【答案】0.22

【解析】因为~(,4)X N m ，故由(2)()P X m P X m ≤-=≥可得(2)2m m m +-=，解得1m =， 故~(1,4)X N .由(2)0.72P X <=可得(2)10.720.28P X ≥=-=， 由正态曲线的对称性可知(1)0.5P X >=，

所以(12)(1)(2)0.50.280.22P X P X P X <<=>-≥=-=.

12.【2017四川资阳模拟】已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)，且P (0≤X ≤2)＝0.3，则P (X ＞4)＝_____． 【答案】0.2；

【解析】由题意结合正态分布的性质可知： ()240.3P x ≤≤= ，

则10.32

(4)0.22

P X -?>=

=. 13.【2017湖北省黄石市调研】已知随机变量ξ服从正态分布()

20,N δ，且()220.4P ξ-≤≤=，则

()2P ξ>=___________．

【答案】0.3 【解析】()2P ξ>=

()

1220.3.2

P ξ--≤≤=

14.【2017广东省汕头市模拟】为评估设备M 生产某种零件的性能，从设备M 生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表： 直径/mm 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计 件数

1

1

3

5

6

19

33

18

4

4

2

1

2

1 100

μ2.2=σ（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X ，并根据以下不等式进行评判（P 表示相应事件的概率）；①6826.0)(≥+≤<-σμσμX P ； ②9544.0)22(≥+≤<-σμσμX P ；③9974.0)33(≥+≤<-σμσμX P .

评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M 的性能等级. （2）将直径小于等于σμ2-或直径大于σμ2+的零件认为是次品.

（ⅰ）从设备M 的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y 的数学期望)(Y E ； （ⅱ）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z 的数学期望)(Z E .

（2）由图表知道：直径小于或等于σμ2-的零件有2件，大于σμ2+的零件有4件共计6件

（i ）从设备M

的生产流水线上任取一件，取到次品的概率为50

3

1006=

， 依题意)503,

2(~B

Y ，故25

3

5032)(=

?=Y E . （ii ）从100件样品中任意抽取2件，次品数Z 的可能取值为0，1，2

,1650

5

)2(,1650188)1(,16501457)0(210009426210019416210029406=========C C C Z P C C C Z P C C C Z P

故25

3

165019816505216501881165014570)(=

=?+?+?

=Z E . 15.(2014·新课标全国卷Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差s 2

(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)； (2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2

)，其中μ近似为样本平均数x ，

σ2近似为样本方差s 2.

①利用该正态分布，求P (187.8

②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用①的结果，求EX . 附：150≈12.2.

若Z ～N (μ，σ2

)，则P (μ－σ