线性代数1-2章精选练习题

第一章行列式

一、单项选择题

1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).

(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n (C)

k n 2

! (D)k n n 2)1(

3. n 阶行列式的展开式中含1122a a 的项共有( )项.

(A) 0 (B)2 n (C) )!2( n (D) )!1( n

4．

001001001001

000( ).

(A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 2

5. 0

001100000100100( ).

(A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 2

6．在函数10

23211112)(x x x x

x f 中3x 项的系数是( ).

(A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 2

7. 若2

232221

131211

a a a a a a a a a D ，则 32

3133

2221232112

111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4 (C) 2 (D) 2 8．若

a a a a a 22

2112

11，则

2212ka a ka a ( ).

(A)ka (B)ka (C)a k 2 (D)a k 2

9．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4 , 第3行元的余子式依次为

x ,1,5,2 , 则 x ( ).

(A) 0 (B)3 (C) 3 (D) 2

10. 若5

111113263478

D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ).

(A)1 (B)2 (C)3 (D)0

11. 若2

011110403

D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ).

(A)1 (B)2 (C)3 (D)0

12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组

00321

321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.

( )

(A)1 (B)2 (C)3 (D)0

二、填空题

1. n 2阶排列)12(13)2(24 n n 的逆序数是.

2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.

3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是

. 4．若一个n 阶行列式中至少有12 n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于

5. 行列式

10011101010.

6．行列式

10000200

0010

n .

7．行列式

01)1(2211)1(111

n n n n a a a a a a .

8．如果M a a a a a a a a a D 3332

232221

1211

，则 32

3331

2222232112121311

133333 3a a a a a a a a a a a a D .

9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为

10．行列式

111

111111111111

x x x x .

11．n 阶行列式

111

11111

12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为

13．设行列式5

678123487654

321

D ，j A 4)4,3,2,1( j 为D 中第四行元的代数余子式，

则

44434241234A A A A .

14．已知d

b c a c

c a b b a b c D

， D 中第四列元的代数余子式的和为.

15．设行列式62

211765144334

321

D ，j A 4为)4,3,2,1(4 j a j 的代数余子式，则

4241A A ，

4443A A .

16．已知行列式n

n D

1030

0021

12531

，D 中第一行元的代数余子式的和为

17．齐次线性方程组

0202321

1321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.

18．若齐次线性方程组

230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.

三、计算题

b a d b a d

c a

d c b d

d c b a d c b a

2222; 2．y

x x y x y y x y x ；

3．解方程

01110111

0 x x x

x ； 4．

11111

1321221221

221 n n n n a a a a x a a a a x a a a a x a a a a x

；

5. n

a a a a

11111

11111210(n j a j ,,1,0,1 )；

6. b

n b b )1(1111211111311

7. n a b b b a a b b a a a b

32122

2111111111； 8．x

a a a a x

a a a a x a a a a x n n

21212121;

21212121111n

n n n

n x x x x x x x x x x x x x x x

; 10.

120000021

000121

00012

11．a

a a a

a a a a a

D 110

11000110

0011

0001.

四、证明题

1．设1 abcd ，证明：

01111111111112

222

d c c c c b b b b a a a a .

2．3

222

11123

333322

22211

111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a x

b a .

3．

))()()()()()((1111

2222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a d c b a .

4．

j i i j

i i

n n

n n n n n

a a

a a a a a a a a a a a a a 11

2221222

212

1)(111

5．设c b a ,,两两不等，证明01

33 c b a c b

a 的充要条件是0 c

b a .

参考答案

一．单项选择题

A D A C C D A

D B B

二．填空题

1.n ;

2.”“ ;

3.43312214a a a a ;

4.0;

5.0;

6.!)1(1n n ;

7.1)1(212

)1()

1(n n n n n a a a ; 8.M 3 ; 9.160 ; 10.4x ; 11.1)( n n ;

12.2 ; 13.0; 14.0; 15.9,12 ; 16.)1

1(!1 n

k k n ; 17.3,2 k ;

18.7 k 三．计算题

1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ； 2. )(233y x ； 3. 1,0,2 x ; 4. 1

1)(n k k a x

5. )11

1()1(00

k k

k k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ; 7. n

k k k

a b

)()

1(; 8. n

k k n

k k a x a x 1

)()(;

9. n

k k x 1

1; 10. 1 n ;

11. )1)(1(42a a a . 四. 证明题 (略)

第二章矩阵

一、单项选择题

1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。 (a)

A (b)

)

)((22B A B A B A (c)

AB A A B A 2)(

(d)T T T B A AB )( 2.设方阵A 、B 、C 满足AB=AC,当A 满足( )时，B=C 。

(a) AB =BA (b) 0 A (c) 方程组AX=0有非零解 (d) B 、C 可逆 3.若A 为n 阶方阵，k 为非零常数，则 kA ( )。 (a) A k (b)

A k (c) A k n (d)

A k n

4.设A 为n 阶方阵，且0 A ，则( )。

(a) A 中两行(列)对应元素成比例 (b) A 中任意一行为其它行的线性组合 (c) A 中至少有一行元素全为零 (d) A 中必有一行为其它行的线性组合 5.设A ，B 为n 阶可逆矩阵,下面各式恒正确的是( )。 (a) 111)( B A B A (b) B A AB T )(

* n A

A (d) 1

* n A

7. 设A 为3阶方阵,行列式1 A ,*A 为A 的伴随矩阵,则行列式

*12)2(A A ( )。 (a) 827

(b) 278 (c) 827 (d) 27

8 8. 设A ，B 为n 阶方矩阵,22B A ,则下列各式成立的是( )。

(a) B A (b) B A (c) B A (d) 2

2B A 9. 设A ，B 均为n 阶方矩阵,则必有( )。

(a) B A B A (b) BA AB (c) BA AB (d) 2

B A 10.设A 为n 阶可逆矩阵，则下面各式恒正确的是（）。（a ）T A A 22 (b) 112)2( A A

11.如果

3332

232221

331332

1231

113332

232221

131211333a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A ，则 A （）。（a ） 103010001 (b) 100010301 (c) 101010300 (d)

130010001

12.已知

113022131A ，则（）。

（a ）A A T (b) *1A A

（c ） 113202311010100001A （d ）

113202311010100001A

13.设I C B A ,,,为同阶方阵，I 为单位矩阵，若I ABC ，则（）。

（a ）I ACB （b ）I CAB （c ）I CBA （d ）I BAC 14.设A 为n 阶方阵，且0|| A ，则（）。（a ）A 经列初等变换可变为单位阵I （b ）由BA AX ，可得B X

（c ）当)|(I A 经有限次初等变换变为)|(B I 时，有B A 1

（d ）以上（a ）、（b ）、（c ）都不对 15.设A 为n m 阶矩阵，秩n m r A )(，则（）。

（a ）A 中r 阶子式不全为零（b ）A 中阶数小于r 的子式全为零

（c ）A 经行初等变换可化为

I （d ）A 为满秩矩阵 16.设A 为n m 矩阵，C 为n 阶可逆矩阵，AC B ，则( )。 (a)秩(A )> 秩(B ) (b) 秩(A )= 秩(B )

(a)有一个等于零 (b)都为n (c)都小于n (d)一个小于n ，一个等于n

阶方阵A 可逆的充分必要条件是( )。

(a)n r A r )( (b) A 的列秩为n

(d)对任何n 维非零向量X ，均有0 AX

二、填空题

1.设A 为n 阶方阵,I 为n 阶单位阵,且I A 2,则行列式 A _______

2.行列式 0

c b c a b

_______

3.设2

100020101A ，则行列式)9()3(21I A I A 的值为_______

4.设

212

32321A ，且已知I A 6，则行列式 11A _______ 5.设A 为5阶方阵，*A 是其伴随矩阵，且3 A ，则 *A _______ 6.设4阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵*A 的秩为_______

7.非零矩阵

n n n n n n b a b a b a b a b a b

a b a b a b a

212221

212

111的秩为________ 8.设A 为100阶矩阵，且对任何100维非零列向量X ，均有0 AX ，则A 的秩为_______

9.若)(ij a A 为15阶矩阵，则A A T 的第4行第8列的元素是_______ 10.

若

方

阵

与I 4相似，则 A _______

K K K K K K 3111221lim

n 410013

02121lim 三、计算题

1.解下列矩阵方程(X 为未知矩阵).

1) 223221103212102X ； 2) 0101320100211100110X

； 3) 1()T T X I B C B I ,其中310404422B ； 101212121C

； 4) 2AX A X I ,其中101020101A

； 5) 2AX A X ,其中423110123A

；

2.设A 为n 阶对称阵,且20A ,求A .

3.已知110021101A

,求21(2)(4)A I A I .

4.设11201A ,23423A ,30000A ,41201A

,求1234A A A A

5.设112224336A

,求一秩为2的方阵B ,使0AB .

6.设211011101,121110110A B

,求非奇异矩阵C ,使T

A C BC . 7.求非奇异矩阵P ,使1P AP 为对角阵.

1) 2112A 2) 112131201A

8.已知三阶方阵A 的三个特征根为1,1,2,其相应的特征向量依次为

(0,0,1),(1,1,0),(2,1,1)T T T ,求矩阵A .

9.设532644445A

,求100

A .

四、证明题

1. 设A 、B 均为n 阶非奇异阵,求证AB 可逆.

2. 设0k A (k 为整数), 求证I A 可逆.

3.设12.,,k a a a L 为实数,且如果0k a ,如果方阵A 满足

1110k k k k A a A a A a I L ,求证A 是非奇异阵.

4. 设n 阶方阵A 与B 中有一个是非奇异的,求证矩阵AB 相似于BA .

5. 证明可逆的对称矩阵的逆也是对称矩阵.

6. 证明两个矩阵和的秩小于这两个矩阵秩的和.

7.证明两个矩阵乘积的秩不大于这两个矩阵的秩中较小者.

8. 证明可逆矩阵的伴随矩阵也可逆，且伴随矩阵的逆等于该矩阵的逆矩阵的伴随矩阵.

9.证明不可逆矩阵的伴随矩阵的逆不大于1.

10.证明每一个方阵均可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和。

第二章参考答案

一：1. a ；2. b ；；；；；；；；；；；；；；；；；.

二．1. 1或-1；2. 0；3. -4；4. 1；5. 81；6. 0；7. 1；8. 100；9. i815

1i i4a a ；

10. I ；12. 0；11.

0020.

三、）、

0162

130

10；2）、

13212

；3）

、 461351341；4）、

201030102； 5）、 9122692683. 2. 0；3. 010131130

；4.

10002100121001

21； 5. 001111113不唯一；6. 100001010；7. 1）、

1111. 2)、 221112311；8. 111001023

；9.

13231213213232244322133221223100100100100100100100100100100100100100）（）（）（）（）（）（）（.

线性代数第二章答案

第二章矩阵及其运算 1 已知线性变换 ?????++=++=++=3 213321232113235322y y y x y y y x y y y x 求从变量x 1 x 2 x 3到变量y 1 y 2 y 3的线性变换解由已知 ? ??? ?????? ? ?=???? ??221321323513122y y y x x x 故 ???? ?????? ? ?=???? ??-3211 221323513122x x x y y y ? ??? ?????? ??----=321423736 947y y y ?????-+=-+=+--=3 21332123 211423736947x x x y x x x y x x x y 2 已知两个线性变换 ?????++=++-=+=321332123 11542322y y y x y y y x y y x ?????+-=+=+-=3 233122 11323z z y z z y z z y 求从z 1 z 2 z 3到x 1 x 2 x 3的线性变换解由已知 ???? ?????? ? ?-=???? ??221321514232102y y y x x x ??? ? ?????? ??--???? ??-=32131 010 2013514232102z z z ??? ? ?????? ??----=321161109412316z z z

所以有?????+--=+-=++-=3 21332123 2111610941236z z z x z z z x z z z x 3 设???? ??--=111111111A ??? ? ??--=150421321B 求3AB 2A 及A T B 解 ??? ? ??---???? ??--???? ??--=-1111111112150421321111111111323A AB ???? ??----=???? ??---???? ??-=2294201722213211111111120926508503 ??? ? ??-=???? ??--???? ??--=092650850150421321111111111B A T 4 计算下列乘积 (1)??? ? ?????? ??-127075321134 解 ???? ?????? ??-127075321134???? ???+?+??+?-+??+?+?=102775132)2(71112374??? ? ??=49635 (2)???? ??123)321( 解 ??? ? ??123)321((132231)(10)

线性代数第二章矩阵试题及答案

第二章矩阵一、知识点复习 1、矩阵的定义由m?n个数排列成的一个m行n列的表格，两边界以圆括号或方括号，就成为一个m?n型矩阵。例如 2 -1 0 1 1 1 1 1 0 2 2 5 4 -2 9 3 3 3 -1 8 是一个4?5矩阵. 一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素。元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0。两个矩阵A和B相等(记作A=B)，是指它的行数相等，列数也相等(即它们的类型相同)，并且对应的元素都相等。 2、n阶矩阵与几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵，行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵。 n阶矩阵的从左上角到右下角的对角线称为主对角线。下面列出几类常用的n阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的. 对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n阶矩阵. 单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I). 数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是c E. 上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵. 下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵. 对称矩阵: 满足A T=A矩阵，也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵. 反对称矩阵:满足A T=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.) 正交矩阵：若AA T=A T A=E，则称矩阵A是正交矩阵。（1）A是正交矩阵?A T=A-1 （2）A是正交矩阵?2A=1 阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵，如果满足: ①如果它有零行，则都出现在下面。 ②如果它有非零行，则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增。把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角。每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵，这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算，必须十分熟练。请注意：一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的，但是其非零行数和台角位置是确定的。 3、矩阵的线形运算（1）加(减)法:两个m?n的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是m?n矩阵,记作A+B (A-B),运算法则为对应元素相加(减). （2）数乘: 一个m?n的矩阵A与一个数c可以相乘,乘积仍为m?n的矩阵,记作c A,运算法则为A的每个元素乘c. 这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律: ①加法交换律:A+B=B+A. 2加法结合律:(A+B)+C=A+(B+C). ③加乘分配律:c(A+B)=c A+c B.(c+d)A=c A+d A. ④数乘结合律: c(d)A=(cd)A. ⑤ c A=0? c=0 或A=0. 4、矩阵乘法的定义和性质（1）当矩阵A的列数和B的行数相等时,则A和B可以相乘,乘积记作AB. AB的行数和A相等,列数和B相等. AB的(i,j)位元素等于A的第i个行向量和B的第j个列向量(维数相同)对应分量乘积之和.

(完整版)线性代数行列式第一章练习题答案

《线性代数》(工)单元练习题一、填空题 1、设矩阵A 为4阶方阵，且|A |=5，则|A*|=__125____，|2A |=__80___，|1-A |= 1/5 2、若方程组?? ? ??=+=+=+a bz cy b az cx ay bx 0 有唯一解，则abc ≠ 0 3、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的对应元素上，行列式 0 . 4、当a 为 1 or 2 时，方程组??? ??=++=++=++0 40203221321321x a x x ax x x x x x 有非零解. 5、设=-+----=31211142,4 101322 13A A A D 则 .0 二、单项选择题 1．设）（则=---===33 3231312322212113 1211113332312322 211312 11324324324,1a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D B （A)0 ；（B)―12 ；（C ）12 ；（D ）1 2．设齐次线性方程组??? ??=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx 有非零解，则k = （ A ）（A ）2 （B ）0 （C ）-1 （D ）-2 3．设A=7 925138 02-，则代数余子式 =12A ( B ) (A) 31- (B) 31 (C) 0 (D) 11- 4．已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7,4，则D= ( A ) （A ） -15 （B ） 15 （C ） 0 （D ） 1 三、计算行列式

国民经济统计概论章节练习题

第一章总论 1.如何正确理解统计的三种涵义？答：统计是指对客观现象的数量方面进行核算和分析的活动，使人们对现象的数量表现、数量关系和数量变化进行描述、分析和推断的一种计量活动。“统计”一词具有三个方面的涵义：即统计活动、统计资料和统计科学。 ⑴.统计活动：即统计工作，是指从事统计业务活动的单位，对政治、经济、文化等方面的数字资料进行搜集、整理、分析的活动。 ⑵.统计资料：即统计所提供的数字和分析资料，是指反映社会政治、经济、文化等方面的统计数字资料。 ⑶.统计科学：即统计学，是指搜集、整理和分析统计数据的方法科学，其目的是探索统计数据的内在数量规律性，以达到对客观事物的科学认识。统计活动、统计资料和统计科学之间存在如下关系：统计活动与统计资料是过程与成果的关系，即：统计活动是取得统计资料的工作过程，而统计资料则是统计活动的成果。统计活动与统计科学是理论与实践的关系，即：统计活动是形成统计科学的实践过程，统计科学是人们长期统计实践工作的经验总结和理论概括。 2.为什么要了解统计学的发展过程？

答：统计学产生于17 世纪中叶，其发展过程是沿着两条主线展开的：一条是以政治算术学派为开端形成和发展起来的以社会经济问题为主要研究对象的社会经济统计；一条是以概率论的研究为开端并以概率论为基础形成和发展起来的以方法和应用研究为主的数理统计。回顾、了解统计科学的渊源及其发展过程，对于我们了解统计学与社会经济统计学的关系，学习统计学的理论和方法，提高我们的统计实践和理论水平都是十分必要的。 3.统计学与其他学科之间的关系如何？答：统计学与其他学科之间的关系主要体现在与哲学的关系、与经济学等实质性科学的关系和与数学、数理统计的关系上。 ⑴.与哲学的关系：辩证唯物主义和历史唯物主义是科学的世界观、方法论，它所阐述的关于实践和认识的辩证关系，关于实践是人类认识的基础、实践是检验真理的唯一标准、矛盾的对立统一观点、质和量的辩证关系、事物普遍联系和相互制约的观点等，对统计发挥认识工具的作用，具有极为重要的指导意义。 ⑵.与经济学等实质性科学的关系：实质性科学的内容和任务在于揭示客观事物发展变化的规律，以指导人们按照客观规律的要求去改造世界，而社会经济统计学的形成和运用不能脱离实质性科学的理论指导。这是因为：其一，这类科学对社会经济现象发展规律的论述和剖析，为统计核算和分析如何入手，如何抓住主要方面描述其数量特征，如何就事物内部及其与其他事物的相互联系、相互制约，进行数

线性代数课后习题答案(陈维新)

第一章行列式习题1.1 1. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。因为)3(Q Q ?，所以)3(Q 中至少含有两个复数。任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有 3 )()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以 ) 3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以 )3(33) (3)3() 3)(3()3)(3(3 32 2 22212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--= -+-+= ++。综上所述，我们有)3(Q 是数域。（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。（3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ?。（反证法）如果)()(q Q p Q ?，则q b a p Q b a +=? ∈?,，从而有 q ab qb a p p 2)()(222++==。由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。所以有0=a 或0=b 。如果0=a ，则2 qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。如果0=b ，则有 a p =，从而有“有理数=无理数”成立，此为矛盾。所以假设不成立，从而有)()(q Q p Q ?。

线性代数1-2章精选练习题

第一章行列式一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n (C) k n 2 ! (D)k n n 2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1122a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2 n (C) )!2( n (D) )!1( n 4． 001001001001 000( ). (A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 2 5. 0 001100000100100( ). (A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 2 6．在函数10 3 23211112)(x x x x x f 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 2 7. 若2 1 33 32 31 232221 131211 a a a a a a a a a D ，则 32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4 (C) 2 (D) 2 8．若 a a a a a 22 2112 11，则 21 11 2212ka a ka a ( ).

(A)ka (B)ka (C)a k 2 (D)a k 2 9．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4 , 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2 , 则 x ( ). (A) 0 (B)3 (C) 3 (D) 2 10. 若5 7 3 4 111113263478 D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)0 11. 若2 23 5 1 011110403 D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)0 二、填空题 1. n 2阶排列)12(13)2(24 n n 的逆序数是. 2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是. 3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是 . 4．若一个n 阶行列式中至少有12 n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于 .

线性代数第二章答案

第二章矩阵及其运算 1 已知线性变换 ?????++=++=++=3 21332123 2113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1 x 2 x 3到变量y 1 y 2 y 3的线性变换解由已知 ? ??? ?????? ? ?=???? ??22 1321323513122y y y x x x 故 ???? ?????? ? ?=???? ??-3211 221323513122x x x y y y ? ??? ?????? ??----=321423736 947y y y ?????-+=-+=+--=3 21332123 211423736947x x x y x x x y x x x y 2 已知两个线性变换 ?????++=++-=+=3 2133 2123 11542322y y y x y y y x y y x ?????+-=+=+-=3 233122 11323z z y z z y z z y 求从z 1 z 2 z 3到x 1 x 2 x 3的线性变换解由已知 ???? ?????? ? ?-=???? ??221321514232102y y y x x x ??? ? ?????? ??--???? ??-=32131 010 2013514232102z z z ??? ? ?????? ??----=32 1161109412316z z z

所以有?????+--=+-=++-=3 2133 2123 2111610941236z z z x z z z x z z z x 3 设???? ??--=111111111A ??? ? ??--=150421321B 求3AB 2A 及A T B 解 ??? ? ??---???? ??--???? ??--=-1111111112150421321111111111323A AB ???? ??----=???? ??---???? ??-=2294201722213211111111120926508503 ??? ? ??-=???? ??--???? ??--=092650850150421321111111111B A T 4 计算下列乘积 (1)??? ? ?????? ??-127075321134 解 ???? ?????? ??-127075321134???? ???+?+??+?-+??+?+?=102775132)2(71112374?? ? ? ??=49635 (2)???? ??123)321( 解 ??? ? ??123)321((132231)(10)

2020知到智慧树线性代数答案中国石油大学

第一章单元测试文章目录[隐藏目录]?第一章单元测试 ?第二章单元测试 ?第三章单元测试 ?第四章单元测试 ?第五章单元测试 1、判断题：二阶行列的乘积项中的元素可以取自同一行. 选项： A:错 B:对答案: 【错】 2、单选题：选项： A:16 B:12 C:-12 D:-16 答案: 【12】 3、单选题：选项： A:n B:2n

C:0 D:4n 答案: 【0 】 4、单选题：选项： A: B: C: D: 答案: 【】 5、判断题：齐次线性方程组的系数行列式等于零，则解是唯一的。选项： A:错

答案: 【错】 6、判断题：线性方程组的系数行列式不等于零，则解可能不唯一。选项： A:对 B:错答案: 【错】 7、判断题：齐次线性方程组的存在非零解，则系数行列式一定等于零。选项： A:对 B:错答案: 【对】 8、判断题：一次对换改变排列的一次奇偶性。选项： A:对 B:错答案: 【对】 9、判断题：两个同阶行列式相加，等于对应位置的元素相加后的行列式。选项：

B:错答案: 【错】 10、判断题：克莱默法则对于齐次线性方程组而言，方程的个数可以不等于未知数的个数。选项： A:错 B:对答案: 【错】第二章单元测试 1、判断题：因为零矩阵的每个元素都为零，所以零矩阵相等。选项： A:错 B:对答案: 【错】 2、判断题：选项： A:错 B:对答案: 【错】

3、单选题：选项： A: B: C: D: 答案: 【】 4、单选题：选项： A:A的伴随矩阵的行列式等于A的行列式的n次方 B:A和A的伴随矩阵的行列式相等 C:A的伴随矩阵的行列式等于A的逆矩阵的行列式 D:A的伴随矩阵的行列式等于A的行列式的n-1次方答案: 【A的伴随矩阵的行列式等于A的行列式的n-1次方】5、判断题：选项： A:对

线性代数第二章习题答案

习题 2-1 1．由6名选手参加乒乓球比赛，成绩如下：选手1胜选手2、4、5、6而负于选手3；选手2胜选手4、5、6而负于选手1、3；选手3胜选手1、2、4而负于选手5、6；选手4胜选手5、6而负于选手1、2、3；选手5胜选手3、6而负于选手1、2、4；选手6胜选手2而负于选手1、3、4、5．若胜一场得1分，负一场得0分，使用矩阵表示输赢状况，并排序．解： ????? ?? ? ? ? ??000010 100100110000001011 1110001110106543216 54321，选手按胜多负少排序为：6,5,4,3,2,1． 2．设矩阵???? ??-=???? ?? +-=2521 ,03231 z x y x B A ，已知B A =，求z y x ,,．解：由于B A =得?????=-=+=-0253223z x y x ，解得：?? ? ??===211 z y x 。习题 2-2 1．设???? ??=0112A ，??? ? ??-=4021B ，求（1）B A 52-；（2）BA AB -；（3）2 2B A -．解：（1）??? ? ??--=???? ??--???? ??=???? ??--???? ??=-202892001050224402150112252B A ；（2）???? ??--=???? ??--???? ??--=???? ?????? ??--???? ??-???? ??=-2592041021820112402140210112BA AB ；（3）??? ? ??--=???? ??-???? ??=???? ??-???? ??--???? ?????? ??=-152441606112254021402101120112B A 22． 2．已知????? ??--=230412301321A ，??? ? ? ??---=052110 35123 4B ，求B A 23-．解：??? ? ? ??----????? ??--=052110351234223041230 13 21 323B -A ??? ? ? ??----=????? ??----????? ??--=61941016151055011010422061024686901236903963 3．设??? ? ? ??----=????? ??=101012121234,432112 122121B A ，求

线性代数第一章测试题

一、判断题（1）标准秩序是指n 个不同元素，各元素间按从小到大的顺序排列（ √）（2）在由 n 个元素构成的任一排列中，当某两个元素的先后秩序与标准秩序不同时，就说它们构成了一个逆序（ √ ）（3）一个排列中所有逆序的总和称作逆序数（ √ ）（4）逆序数为偶数的排列叫做偶排列，逆序数为奇数的排列叫做奇排列（ √ ）（5）一个排列中的任意两个元素对换，排列不改变奇偶性（ × ）（6）将行列式 nn n n n n a a a a a a a a a D 222211212111 = 的行与列互换，得到行列式 nn n n n n T a a a a a a a a a D 222212111211 = T D 叫作行列式D 的转置行列式（ √ ）（7）已知行列式D ，则T D D =（ √ ）（8）交换行列式的两行(或列)，行列式不改变符号（ × ）（9）如果行列式有两行或两列完全相同，该行列式可以不等于0（ √ ）（10）行列式中某一行（或列）的各元素有公因子，则可提到行列式符号外面（ √ ）（11）行列式所有行（或列）的元素都乘以同一个数k ，等于用数k 乘以该行列式（ × ）（12）行列式某行（或列）的元素都乘以同一个数k ，等于用数k 乘以该行列式（ √ ）（13）行列式的某一行元素全为零，行列式的值恒为零（ √ ）（14）若行列式中有两行（列）的元素对应成比列，行列式的值可能为零，也可能不为零（ × ）（15）若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则该行列式可以表示成两行列式之和（ × ）（16）把行列式的某一行（或列）各元素都乘以同一数k 后，加到另一行(或列)对应元素上去，行列式的值改变（ × ）（17）在n 阶行列式中，划去元素ij a 所在的行和列，余下的n-1阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，而其代数余子式表示为ij j i M +-)1(（ √ ）（18）行列式D 等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即 ),2,1( 2211n i A a A a A a D in in i i i i =+++=

《线性代数》第一章行列式测试卷

《线性代数》第一章行列式测试卷班级学号姓名一、单项选择题（本大题共10 题，每小题2分，共20分） 1、下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2、如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3、 n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4、=0 0010 010********( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5、=0 0011 00000100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6、在函数10003232 111 12)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 7、若21 3332 31232221 13 1211 ==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 22212321 12 111311 122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8、若 a a a a a =22211211，则=21 1122 12ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9、已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10、若573411111 3263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题（本大题共4 题，每小题3分，共12分） 1、n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是 2、若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于 . 3、如果M a a a a a a a a a D ==3332 31232221 13 1211 ，则=---=32 32 3331 2222232112121311 133333 3a a a a a a a a a a a a D 4、已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为三、计算题（本大题共9题，1-7题每小题6 分，8-9题每小题8 分，共58 分） 1、解方程00 110 11101110=x x x x

线性代数第二单元测试题

线性代数第二单元测试题一．单项选择题(3’×8=24’) 1．若A 、B 为n 阶方阵，则下列结论正确的是（）．（A ）A+B|A|B||||=+；（B ）AB BA =；（C ）AB BA ||||=；（D ）A B A B 111---+=+（）． 2．B A ,均为三阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（）．（A ）111)(---=B A AB ；（B ）A A =-；（C ）B A B A B A +-=-22；（D ）A A 22=． 3．B A ,均为三阶矩阵，AB=0，则下列等式成立的是（）．（A ）A=0 （B ）B=0 （C ）A=0 或B=0 （D ）|A|或|B|=0 4、设A 是方阵，若AC AB =，则必有（）（A ）0≠A 时C B =；（B ）C B ≠时0=A ；（C ）C B =时0≠A ；（D ）0≠A 时C B =. 5．设B A ,为n 阶矩阵，**,B A 是伴随矩阵，???? ??=B O O A C ，则=*C （）．（A ） ?? ?? ??**B B O O A A ；（B ） ???? ??**A A O O B B ；（C ） ???? ??**B A O O A B ；（D ） ???? ??**A B O O B A ．

6、设,,A B C 均为n 阶矩阵, 且ABC E =，则必有（）； A ．CA B E = B ．BA C E = C ．CBA E = D ．ACB E = 7、设*A 为n 阶方阵A 的伴随方阵，则下列结论不正确的是（）； A ．**AA A A = B ．*AA A E = C ．1*n A A -= D ．*n A A = 8. 设,A B 均为n 阶矩阵, 且()A B E O -=，则必有（）； A ．A O =或 B E = B ．A BA = C ．0A =或1B = D ．两矩阵A 与B E -中，至少有一个为奇异矩阵二．填空题(2’×13=26’) 1．若???? ??=4321A ，??? ? ??=0110P ，那么=20042003AP P 、 2．B A ,为三阶矩阵，1-=A ，2=B ，则()='-21 2B A 3．已知53)(2+-=x x x f ，??? ? ??=b a A 00，则=)(A f 4．设A 是n 阶矩阵, 满足AA T =E ,且|A|<0,则E A +=____0_____. 5．α是三维列向量，???? ? ??----='111111111αα，则T αα= ． 6、A=101020001?? ? ? ??? ，则 -12A+3E A -9E （）（）= 7、设矩11531A B 3A B A B 1320--????==-== ? ?-????，，则，。 8、设A 为三阶矩阵，且2=A ，则=--1*2A A ，|A*|=______

线性代数第一章行列式试题及答案

线性代数第一章行列式试题及答案 https://www.360docs.net/doc/2d9781346.html,work Information Technology Company.2020YEAR

如何复习线形代数线性代数这门课的特点主要有两个：一是试题的计算量偏大，无论是行列式、矩阵、线性方程组的求解，还是特征值、特征向量和二次型的讨论都涉及到大量的数值运算，稍有不慎，即会出错；二是前后内容紧密相连，纵横交织，既相对独立又密不可分，形成了一个完整、独特的知识体系. 在掌握好基本概念、基本原理和基本方法的前提下，下面谈谈在复习过程中应注意的一些问题. 一、加强计算能力训练，切实提高计算的准确性二、扩展公式结论蕴涵，努力探索灵活解题途径三、注重前后知识联系，努力培养综合思维能力线性代数不仅概念多，公式结论多，而且前后知识联系紧密，环环相扣，几乎从任何一个知识点都可切入将前后知识联系起来考查四、加强综合题型训练，全面系统地掌握好知识计算能力的提高不是一朝一夕的事，除了要不断归纳总结一些重要公式和结论并加以巧妙、适当的应用外，还要靠平时的积累，要养成踏踏实实、有始有终将最后结果计算出来的习惯，只要持之以恒、坚持练习，计算准确性的提高并不是一件困难的事. 而对整个知识的融会贯通、综合应用也有赖于适当地多做这方面的练习，第一章行列式一.概念复习 1. 形式和意义形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式: a 11 a 12 … a 1n a 21 a 22 … a 2n ……… . a n1 a n2 … a nn 如果行列式的列向量组为α1, α2, … ,αn,则此行列式可表示为|α1, α2, … ,αn|. 意义:是一个算式,把这n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值. 请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别. 当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.) 每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作|A|. 行列式这一讲的的核心问题是值的计算,以及判断一个行列式的值是否为0. 2. 定义(完全展开式) 1

线性代数第二章矩阵(答案解析)

线性代数练习题第二章矩阵系专业班姓名学号第一节矩阵及其运算一．选择题 1．有矩阵23?A ，32?B ，33?C ，下列运算正确的是 [ B ] （A ）AC （B ）ABC （C ）AB －BC （D ）AC +BC 2．设)2 1 ,0,0,21( =C ，C C E A T -=，C C E B T 2+=，则=AB [ B ] （A ）C C E T + （B ）E （C ）E - （D ）0 3．设A 为任意n 阶矩阵，下列为反对称矩阵的是 [ B ] （A ）T A A + （B ）T A A - （C ）T AA （D ）A A T 二、填空题： 1．? ?? ? ??---=???? ??--+???? ??-1212561432102824461 2．设????? ??=432112122121A ，????? ??----=101012121234B ，则=+B A 32??? ?? ??--56125252781314 3．=????? ??????? ??-127075321134???? ? ??49635 4．=????? ? ? ??---???? ??-20413121013 143110412???? ? ?---6520876 三、计算题：设???? ? ? ?--=11 1111 111 A ，4

??? ? ? ??--=150421321B ，求A AB 23-及B A T ;2294201722213 2222222222092650850311111111 1215042 132111111111 1323???? ? ??----=???? ? ? ?---????? ??-=?? ??? ??---????? ? ?--????? ??--=-A AB .09265085015042132111111111 1???? ? ??-=????? ??--????? ??--===AB B A A A A T T ，则对称，由线性代数练习题第二章矩阵系专业班姓名学号第二节逆矩阵一．选择题 1．设* A 是n 阶矩阵A 的伴随矩阵，则 [ B ] （A ）1 -* =A A A （B ）1 -* =n A A （C ）* * =A A n λλ)( （D ）0)(=* *A 2．设A ，B 都是n 阶可逆矩阵，则 [ C ] （A ）A +B 是n 阶可逆矩阵（B ）A +B 是n 阶不可逆矩阵（C ）AB 是n 阶可逆矩阵（D ）|A +B | = |A |+|B | 3．设A 是n 阶方阵，λ为实数，下列各式成立的是 [ C ] （A ） A A λλ= （ B ）A A λλ= （ C ）A A n λλ= （ D ）A A n λλ= 4．设A ，B ，C 是n 阶矩阵，且ABC = E ，则必有 [ B ] （A ）CBA = E （B ）BCA = E （C ）BAC = E （D ）ACB = E 5．设n 阶矩阵A ，B ，C ，满足ABAC = E ，则 [ A ]

线性代数第二章习题部分答案

第二章向量组的线性相关性 §2-1 §2-2 维向量，线性相关与线性无关（一）一、填空题 1. 设3 α1α +2 α2+α =5 α3+α , 其中α1=(2,5,1,3)T, α2=(10,1,5,10)T, α3=(4,1,1,1)T, 则α= (1,2,3,4)T . 2. 设α1=(1,1,1)T, α2=(2,1,1)T,α3=(0,2,4)T, 则线性组合α13α2+α3= (5,0,2)T . 3. 设矩阵A= 5 ，设βi为矩阵A的第i个列向量，则2β1+β2β3= (2,8,2)T . 二、试确定下列向量组的线性相关性

1. α1=(2,1,0)T, α2=(1,2,1)T, α3=(1,1,1)T 解：设k1α1+k2α2+k3α3=0, 则k1 210 +k2 121 +k3 111 = 000 即2k1+k2+k3=0k1+2k2+k3=0k2+k3=0 k1+2k2+k3=03k2k3=0k2+k3=0 k1+2k2+k3=0k2+k3=0k3=0 k1=k2=k3=0，线性无关。 2. α1=(1,1,2)T, α2=(0,0,0)T, α3=(1,4,3)T 线性相关

三、设有向量组α1=(1,1,0)T, α2=(1,3,1)T, α3=(5,3,t)T，问t取何值时该向量组线性相关。解：设k1α1+k2α2+k3α3=0, 则k1 110 +k2 131 +k3 53t =0 即k1+k2+5k3=0k1+3k23k3=0k2+tk3=0 k1+k2+5k3=0k24k3=0k2+tk3=0 k1+k2+5k3=0k1+3k23k3=0(t4)k3=0 所以，t=4, 线性相关; t≠4, 线性无关四、设a1,a2线性无关，a1+b,a2+b线性相关，求向量b用a1,a2线性表示的表示式。解：因为a1+b,a2+b线性相关，所以存在不全为零的k1，k2，使得k1(a1+b)+k2(a2+b)=0, 即(k1+k2)b=k1a1k2a2.又因为a1,a2线性无关，所以k1+k2≠0，于是，b=k1k1+k2a1k2k1+k2a2. 五、已知向量组α1,α2,,α2n，令β1=α1+α2,β2=α2+α3,,β2n=α2n+α1，求证向量组β1,β2,,β2n线性相关。

线性代数课后习题答案 1.3

习题1.3 1. 设11 1213 21 22233132330a a a D a a a a a a a ==≠, 据此计算下列行列式(要求写出计算过程): (1) 31 3233 21 2223111231a a a a a a a a a ; (2) 11 1312 1221232222313332 32 235235235a a a a a a a a a a a a ---. 分析利用行列式得性质找出所求行列式与已知行列式的关系. 解 (1) 31 323321 222311 12 31 a a a a a a a a a 13 R 111213 21 222331 3233 a a a a a a a a a -=a -. (4) 方法一 11 13121221 23222231 333232 235235235a a a a a a a a a a a a ---23 5C C +111312212322313332 232323a a a a a a a a a 提取公因子 11 13122123223133 32 6a a a a a a a a a 23 C 111213 21 222331 32 33 6a a a a a a a a a -=6a -. 方法二注意到该行列式的第二列均为2个数的和, 可用行列式的性质5将该行列式分成2个行求和, 结果与方法一相同. 2. 用行列式性质计算下列行列式(要求写出计算过程): (1) 19981999 20002001 20022003200420052006; (2) 1 11 a b c b c a c a b +++; (3) 11121321 22233132 33 x y x y x y x y x y x y x y x y x y ; (4) 10 010220 033040 04 --; (5) 111112341410204004; (6) 111011 01101101 11 ; (7) 2 11 4 1 120110299 ---; (8) 222222a b c a a b b c a b c c c a b ------. 分析第(1)至第(4)小题可利用行列式性质求解; 第(5)至第(9)小题是采用归结化简为上 (下)三角行列式求解.

线性代数-第三单元测试

一、判断题 10’ 1. 可逆矩阵A 总可以只经若干次初等行变换化为单位矩阵E 。（） 2. 若A 可逆，则对矩阵)(E A 施行若干次初等行变换和初等列变换，当A 变为E 时，相应地E 变为1 -A ，故求得A 的逆矩阵。（） 3. 对于矩阵A ，总可以只经过初等行变换把它化为标准形。（） 4. 若A ，B 都是n 阶可逆矩阵，则A 总可以经过初等行变换化为B 。（） 5. 设矩阵A 的秩为r ，则A 中所有1-r 阶子式必不是零。（） 6. 若A ，B 均为n 阶非零方阵且O AB =, 则A 的秩n A R <)(。（） 7 从矩阵n m A ?（1>n ）中划去一列得到矩阵B ，则)()(B R A R >。 ( ) 8. 设B A ,均为n m ?矩阵，若)()(B R A R =，则A 与B 必有相同的标准形。（） 9. 在秩为r 的矩阵A 中，有可能存在值为零的r 阶子式。（） 10.设A 为n m ?矩阵，若AY AX =，且n A R =)(，则Y X =。（）二、单项选择题30’ 1. 设A ? ??? ??=333231 232221 131211 a a a a a a a a a ，B =????? ??---=323332 31 12131221222322 11222a a a a a a a a a a a a , 1P ????? ??=100001010,2P ???? ? ??=100210001, 则B =（） (A) A P P 21 (B) 1211--AP P (C) 21P AP (D) 1 112--AP P 。 2. 若矩阵,,A B C 满足=A BC ，则（）. (A)()()R R =A B (B) ()()R R =A C (C)()()R R ≤A B (D)()max{(),()}R R R ≥A B C 3. 设A 为3阶方阵，将A 的第1列与第2列交换得矩阵B ，再把B 的第2列加到第3列得矩阵C ，则满足C AQ =的可逆矩阵Q 为（） (A) ????? ??101001010 (B) ????? ??100101010 (C) ????? ??110001010 (D) ???? ? ??100001110 4. 下列矩阵中不是初等矩阵的矩阵是（）

线性代数第二章矩阵练习题

第二章一、选择题 1、计算13230102-???? +? ??? ???? 的值为(C) A 、-5 B 、6 C 、3003?????? D 、2902-?? ???? 2、设,A B 都就是n 阶可逆矩阵,且AB BA =,则下列结论中不正确的就是(D) A. 11AB B A --= B 、 11A B BA --= C 、 1111A B B A ----= D 、11B A A B --= 3、初等矩阵(A) A. 都就是可逆阵 B 、所对应的行列式值等于1 C 、相乘仍就是初等阵 D 、相加仍就是初等阵 4、已知,A B 均为n 阶矩阵,满足0AB =,若()2r A n =-,则(C) A. ()2r B = B 、()2r B < C 、 ()2r B ≤ D 、()1r B ≥ 二、判断题 1、若,,A B C 都就是n 阶矩阵,则()k k k k ABC A B C =、 (×) 2、若,A B 就是n 阶反对称方阵,则kA 与A B +仍就是反对称方阵、(√) 3、矩阵324113A ??=? ???与矩阵2213B ?? =?? ?? 可进行乘法运算、 (√) 4、若n 阶方阵A 经若干次初等变换后变成B ,则A B =、 (×) 三、填空题 1、已知[]456A =,123B ?? ??=?????? ,求AB 得_________ 。 2、已知1 2n a a A a ???? ??= ? ???? ? O (0,1,2,,i a i n ≠=K ),则1A -= (32) 12 11 1n a a a ????????????????????? ? O 12n +