三次函数性质总结
三次函数性质的探索
我们已经学习了一次函数，知道图象是单调递增或单调递减，在整个定义域上不存在
最大值与最小值，在某一闭区间取得最大值与最小值．那么，是什么决定函数的单调性呢？
利用已学过的知识得出：当k>0时函数单调递增；当k<0时函数单调递增；b决定函数与y轴相交的位置．
其中运用的较多的一次函数不等式性质是：
在上恒成立的充要条件
接着，我们同样学习了二次函数，
利用已学知识归纳得出：当时(如图1)
，在对称轴的左侧单调递减、右侧单调递增，
对称轴
上取得最小值；
当时(图2)
，在对称轴的左侧单调递增、右侧单调递减，
对称轴
上取得最大值．
在某一区间取得最大值与最小值．
其中决定函数的开口方向，同时决定对称轴，决定函数与轴相交的位置．
总结：一次函数只有一个单调性，二次函数有两个单调性，那么三次函数是否就有三个单调性呢？
三次函数专题
一、定义
定义1
形如的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）。
定义 2
三次函数的导数
，把叫做三次函数导函数的判
别式。
由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。
系列探究1：
从最简单的三次函数开始
反思1
：三次函数的相关性质呢？
反思2
：三次函数的相关性质呢？
x
y
O
反思3
：三次函数的相关性质呢？
例题 1.（2012天津理4）
函数在区间内的零点个数是( ) （A）0 （B）1 （C）2 （D）3
探究一般三次函数的性质：
先求导
1、单调性：
（1
）若，此时函数()
f x在R上是增函数；
（2
）若
，令两根为
12
,x x
且，
则
在
上单调递增，在上单调递减。
导函数
图
象
极值点
个数
2 0 2 0
2、零点
(1) 若0
3
2≤
-ac
b，则恰有一个实根；
(2) 若,且，则恰有一个实根；
(3) 若,且，则有两个不相等的实根；
(4) 若,且，则有三个不相等的实根.
说明:
(1)(2) 有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，即在上为单调函数或两极值
同号.
x
x1x
2
x0x
x1x2 x
x0 x
或
(3)0)(=x f 有两个相异实根的充要条件是曲线)(x f y =与x 轴有两个公共点且其中之一为切点，所以
032>-ac b ，且0)()(21=?x f x f ;
(4)0)(=x f 有三个不相等的实根的充要条件是曲线)(x f y =与x 轴有三个公共点，即)(x f 有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以032
>-ac b 且0)()(21
3、奇偶性：函数当且仅当时是奇函数。
4、对称性：函数图象关于点
中心对称（了解） 证明：三次函数
关于点
对称的充要条件是
整理得，
据多项式恒等对应系数相等,可得
从而三次函数是中心对称曲线，且对称中心是.
说明 1、
关于点对称，可以理解为图象沿着向量平
移后所得函数
是奇函数，于是
，即
2、其导函数为 对称轴为
，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称
轴，可见，
图象的对称中心在导函数
的对称轴上，且又是两个极值点的中点，
3、同时也是二阶导数为零的点，是的拐点。
4、又可得以下结论：
是可导函数，若
的图象关于点对称，则
图象关于直线对称.
证明：
的图象关于
对称，则
于是
∴图象关于直线对称
5、是可导函数，若的图象关于直线对称，则图象关于点对称.
证明：的图象关于直线对称，则
于是
∴图象关于点对称。
这是因为：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数
4、三次函数图象的切线条数
由三次函数的中心对称性可知：过三次函数的对称中心且与该三次曲线相切的直线有且只有一条；
而过三次曲线上除对称中心的任一点与该三次曲线相切的直线有二条。
例题 2. 已知曲线，求曲线在点处的切线方程.
解：，
函数的性质知识点总结
1.函数的奇偶性 (1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x) ; (2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)=0(可用于求参数); (3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0); (4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性; (5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性; 2.复合函数的有关问题 (1)复合函数定义域求法：若已知的定义域为[a，b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域(即f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。 (2)复合函数的单调性由“同增异减”判定; 3.函数图像(或方程曲线的对称性) (1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上; (2)证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上，反之亦然; (3)曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0); (4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a-x,2b-y)=0;
(5)若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a-x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称; (6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x= 对称; 4.函数的周期性 (1)y=f(x)对x∈R时，f(x +a)=f(x-a) 或f(x-2a )=f(x) (a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数; (2)若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数; (3)若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数; (4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2 的周期函数; (5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2 的周期函数; (6)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)= ，则y=f(x)是周期为2 的周期函数; 5.方程 (1)方程k=f(x)有解k∈D(D为f(x)的值域); (2)a≥f(x) 恒成立a≥[f(x)]max,; a≤f(x) 恒成立a≤[f(x)]min; (3)(a>0,a≠1,b>0,n∈R+); log a N= ( a>0,a≠1,b>0,b≠1); (4)log a b的符号由口诀“同正异负”记忆;
高中数学-三次函数的性质：单调区间和极值测试
高中数学-三次函数的性质：单调区间和极值测试 1．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋7，在x ∈[3,5]上的最大值和最小值分别是 ( ) A ．f (2)，f (3) B ．f (3)，f (5) C ．f (2)，f (5) D ．f (5)，f (3) 答案 B 解析 ∵f ′(x )＝－2x ＋4， ∴当x ∈[3,5]时，f ′(x )<0， 故f (x )在[3,5]上单调递减， 故f (x )的最大值和最小值分别是f (3)，f (5)． 2．函数f (x )＝x 3－3x (|x |＜1) ( ) A ．有最大值，但无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，但有最小值 D ．既无最大值，也无最小值 答案 D 解析 f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1,1)时，f ′(x )＜0，所以f (x ) 在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D. 3．函数y ＝x －sin x ，x ∈??????π2，π的最大值是 ( ) A ．π－1 B.π2 －1 C ．π D ．π＋1 答案 C 解析 因为y ′＝1－cos x ，当x ∈??????π2，π，时，y ′＞0，则函数在区间???? ??π2，π上为增函数，所以y 的最大值为y max ＝π－sin π＝π，故选C. 4．(2012·安徽改编)函数f (x )＝e x sin x 在区间? ?????0，π2上的值域为 ( ) A. B. C. D. 答案 A 解析 f ′(x )＝e x (sin x ＋cos x )．
∵x ∈? ?????0，π2，f ′(x )＞0. ∴f (x )在? ?????0，π2上是单调增函数， ∴f (x )min ＝f (0)＝0，f (x )max ＝f ? ?? ??π2＝. 5．函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为________． 答案 －71 解析 f ′(x )＝3x 2 －6x －9＝3(x －3)(x ＋1)． 由f ′(x )＝0得x ＝3或x ＝－1. 又f (－4)＝k －76，f (3)＝k －27， f (－1)＝k ＋5，f (4)＝k －20. 由f (x )max ＝k ＋5＝10，得k ＝5， ∴f (x )min ＝k －76＝－71. 1．求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最值 (1)极值是部分区间内的函数的最值，而最值是相对整个区间内的最大或最小值． (2)求最值的步骤： ①求出函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值； ②将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 2．极值与最值的区别和联系 (1)函数的极值表示函数在某一点附近的局部性质，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较． (2)函数的极值不一定是最值，需要将极值和区间端点的函数值进行比较，或者考查函数在区间内的单调性． (3)如果连续函数在区间(a ，b )内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值． (4)可导函数在极值点的导数为零，但是导数为零的点不一定是极值点．例如，函数y ＝x 3 在x ＝0处导数为零，但x ＝0不是极值点．
三次函数的性质及在高考中的应用(附解答)
三次函数的性质及在高考中的应用 一、三次函数的常用性质 性质1：函数y ax bx cx d a =+++320()≠， 若a >0，当?≤0时，y ＝f(x)是增函数；当?>0时，其单调递增区间是(][)-∞+∞，，x x 12，单调递增区间是[]x x 12，； 若a <0，当?≤0时，y f x =()是减函数；当?>0时，其单调递减区间是(]-∞，x 2，[)x 1，+∞，单调递增区间是[]x x 21，。 推论：函数y ax bx cx d a =+++320()≠，当?≤0时，不存在极大值和极小值；当?>0时，有极大值f x ()1、极小值f x ()2。 根据a 和?的不同情况，其图象特征分别为： 性质2：函数y ax bx cx d a =+++320()≠是中心对称图形，其对称中心是（--b a f b a 33，()）。 二、三次函数的性质在高考中的应用 高考试题对三次函数主要考查：函数图象的切线方程，函数的单调性，函数的极值，函数的最值，证明不等式，函数零点的个数等。 1.(2004重庆卷)设函数()(1)(),(1)f x x x x a a =--> (1)求导数/()f x ; 并证明()f x 有两个不同的极值点12,x x ; (2)若不等式12()()0f x f x +≤恒成立，求a 的取值范围。 2. (2008福建卷)已知函数321()23 f x x x =+-. (1)设{a n }是正数组成的数列，前n 项和为S n ，其中a 1=3.若点211(,2)n n n a a a ++-(n ∈N*)在函数y =f ′(x )的图象上，求 证：点（n ,S n ）也在y =f ′(x )的图象上； (2)求函数f (x )在区间（a -1,a ）内的极值.
函数的基本性质知识点归纳与题型总结
函数的基本性质知识点归纳与题型总结 一、知识归纳 1．函数的奇偶性 2．函数的周期性 (1)周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 解题提醒： ①判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件． ②判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)
＝－f (x )或f (－x )＝f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)或f (－x 0)＝f (x 0)． ③分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性． 题型一 函数奇偶性的判断 典型例题：判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝(x ＋1) 1－x 1＋x ； (2)f (x )＝? ???? －x 2＋2x ＋1，x ＞0， x 2＋2x －1，x ＜0； (3)f (x )＝4－x 2 x 2； (4)f (x )＝log a (x ＋x 2＋1)(a ＞0且a ≠1)． 解：(1)因为f (x )有意义，则满足1－x 1＋x ≥0， 所以－1＜x ≤1， 所以f (x )的定义域不关于原点对称， 所以f (x )为非奇非偶函数． (2)法一：(定义法) 当x ＞0时，f (x )＝－x 2＋2x ＋1， －x ＜0，f (－x )＝(－x )2＋2(－x )－1＝x 2－2x －1＝－f (x )； 当x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x －1， －x ＞0，f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＋1＝－x 2－2x ＋1＝－f (x )．
函数的四大基本性质
函数的对应法则 求函数时注意函数的定义域与值域.已知f(x)的定义域[a,b],求f[g(x)]的定义域，是指满足a≤g(x)≤b的x取值范围.而已知f[g(x)]的定义域[a,b]指的是x€[a,b] 已知关于f(x)与f(1/x)或f(-x)的表达式，再构照另外一个等式组成方程。如：2f(x)+f(1/x)=3x 2f(1/x)+f(x)=3f(1/x) 函数的四大基本性质 1.奇偶性：a:判断前提：定义域关于原点对称b:判定方法：f(-X)=±f(x) 奇函数的图像关于原点对称，单调性在R上相同，偶函数关于Y轴对称，单调性相反。如f(x)为都函数，则f(-x)=f(x)=f(∣x∣)即如：f[(3x+1)(2x-6)]≤f(64)即∣(3x+1)(2x-6)∣≤64 2.单调性：a:会用定义法和导数法证明，判定函数的单调性。b;会用图像法和求导法解决单调区间的问题. 1.抽象函数的单调性与最值 已知函数f(x)对于任意x,y∈R,x＞0,f(x)＜0,总有f(x)+f(y)=f(x+y),则可用X1=X1-X2+X1替换X1.对于F（X/Y）=F（X）+F（Y），可用X1=X2×X1/X2替换X1 3.周期性：a:定义f(x+T)=f(x)的周期 常见的周期结论 设为非零常数，若对f(x)定义域内的任意x，恒有下列条件之一成立：1.f(ixia)=-f(x);2.f(ixia)=f(1/x);3.f(ixia)=-f(1/X);4.f(x+a)=f(x-a),则是2a周期函数，是它的一个周期 4.对称性 a.若f（a+x)=f(a-x)，则函数y=f(x)图像关于x=a对称 b.若f(a+x)=-f(a-x)或f(x)=f(2a-x)，关于（a,o）对称 2.两个图像的对称关系 Y=f(a+x)与y=f(b+x)关于直线x=(b-a)/2对称 5.指数函数 当a>1时，在R上是递增函数,X≤0，0≤y≤1,当x≥0时，y≥1 当0
高一数学《函数的性质》知识点总结
高一数学《函数的性质》知识点总结 二．函数的性质 函数的单调性 增函数 设函数y=f的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x12时，都有f2)，那么就说f在区间D上是增函数.区间D称为y=f的单调增区间. 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x12时，都有f＞f，那么就说f在这个区间上是减函数.区间D称为y=f的单调减区间. 注意：函数的单调性是函数的局部性质； 图象的特点 如果函数y=f在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f在这一区间上具有单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. 函数单调区间与单调性的判定方法 定义法： 任取x1，x2∈D，且x12； 作差f－f； 变形；
定号； 下结论． 图象法 复合函数的单调性 复合函数f[g]的单调性与构成它的函数u=g，y=f的单调性密切相关，其规律：“同增异减” 注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. ．函数的奇偶性 偶函数 一般地，对于函数f的定义域内的任意一个x，都有f=f，那么f就叫做偶函数． ．奇函数 一般地，对于函数f的定义域内的任意一个x，都有f=—f，那么f就叫做奇函数． 具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 利用定义判断函数奇偶性的步骤： 首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； 确定f与f的关系； 作出相应结论：若f=f或f－f=0，则f是偶函数；若
f=－f或f＋f=0，则f是奇函数． 注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，再根据定义判定;由f±f=0或f／f=±1来判定;利用定理，或借助函数的图象判定. 函数的解析表达式 函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. 求函数的解析式的主要方法有： )凑配法 )待定系数法 )换元法 )消参法 0．函数最大值 利用二次函数的性质求函数的最大值 利用图象求函数的最大值 利用函数单调性的判断函数的最大值： 如果函数y=f在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f在x=b处有最大值f； 如果函数y=f在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f在x=b处有最小值f；
高三数学三次函数的性质以及在高考中的应用
三次函数的性质以及在高考中的应用 三次函数y ax bx cx d a =+++320()≠已经成为中学阶段一个重要的函数，在高考和一些重大考试中频繁出现有关它的单独命题。2004年高考，在江苏卷、浙江卷、天津卷、重庆卷、湖北卷中都出现了这个函数的单独命题，特别是湖北卷以压轴题的形式出现，更应该引起我们的重视。单调性和对称性最能反映这个函数的特性。下面我们就来探讨一下它的单调性、对称性以及图象变化规律。 函数y ax bx cx d a =+++320()≠的导函数为y ax bx c '=++322。我们不妨把方程3202ax bx c ++=称为原函数的导方程，其判别式?=-432()b ac 。若?>0，设其两根为 x b b ac a x b b ac a 12223333=---=-+-、，则可得到以下性质： 性质1：函数y ax bx cx d a =+++320()≠， 若a >0，当?≤0时，y ＝f(x)是增函数；当?>0时，其单调递增区间是(][)-∞+∞，，x x 12，单调递增区间是[]x x 12，； 若a <0，当?≤0时，y f x =()是减函数；当?>0时，其单调递减区间是(]-∞，x 2， [)x 1，+∞，单调递增区间是[]x x 21，。 （证明略） 推论：函数y ax bx cx d a =+++320()≠，当?≤0时，不存在极大值和极小值；当?>0 时，有极大值f x ()1、极小值f x ()2。 根据a 和?的不同情况，其图象特征分别为： 图1 性质2：函数f x ax bx cx d a x m n ()()[]=+++∈32 0≠，，，若x m n 0∈[]，，且f x '()00=，则： f x f m f f n ()m a x {()()()}max =，，0； f x f m f x f n ()m i n {()()()}min =，，0。 （证明略） 性质3：函数y ax bx cx d a =+++320()≠是中心对称图形，其对称中心是（--b a f b a 33，()）。
基本初等函数函数性质图象总结
常见函数的图象及性质 1.一次函数 一般地，形如)0(≠+=k b kx y ，此函数图象为直线，作图常用两点作图法，即图象过（0，b ），)0,(k b -。一次函数的函数图象和性质如下表所示。 例1：函数[),5,2,12∈+=x x y 函数的值域为 . 2.二次函数 一般地，形如)0(,2 ≠++=a c bx ax y ，此函数图象为抛物线，作图需找准对称轴方程 a b x 2-=，顶点坐标)44, 2(2a b ac a b --，开口放向（a>0开口向上，a<0开口向下），图 例2：函数[]4,2,22 -∈+=x x x y ，函数的值域为 . 例3： ,0,130 ,1)(2 ? ??≤++->+=x x x x x x f 求)1()2(-?f f = . 3.基本初等函数。 基本初等函数有指数函数，对数函数，幂函数。这些是我们高中所学习的内容，以下将分别对这几种函数的图象和性质加以归纳。
一般地，形如)1,0(,≠>=a a a y x 的函数，指数函数的自变量在指数上，它形式严格。指数函数的函数图象和性质如下表所示。 例4：求下列函数的定义域和值域。 4 12 .)1(-=x y 3 22)2 1(.)2(--=x x y x y 21.)3(-= 例5：解不等式 2)2 1.)(1(22≤-x （ 2.）e e x >+12 例6：如果)1,0(422≠>>+-a a a a x x x ，求x 的取值范围。
一般地，形如)1,0(,log ≠>=a a x y a 的函数，对数函数的自变量在真数上，它形式严格。指数函数的函数图象和性质如下表所示。 例7：比较下列值的大小。 π2 12 1log ;3log .)1( 2.0ln ;2.0lg .)2( （3.）2log ;3log 32 例8：解不等式。 1)1ln(.)1(>-x 03log ).)(log 2(22 122≥-+x x 例9：已知函数)2lg()(b x f x -=，（b 为常数），当[)+∞∈,1x 时，0)(≥x f 恒成立，求 实数b 的取值范围。
三次函数性质总结
三次函数性质的探索 我们已经学习了一次函数，知道图象是单调递增或单调递减，在整个定义域上不存在 最大值与最小值，在某一闭区间取得最大值与最小值．那么，是什么决定函数的单调性呢？ 利用已学过的知识得出：当k>0时函数单调递增；当k<0时函数单调递增；b决定函数与y轴相交的位置． 其中运用的较多的一次函数不等式性质是： 在上恒成立的充要条件 接着，我们同样学习了二次函数， 利用已学知识归纳得出：当时(如图1) ，在对称轴的左侧单调递减、右侧单调递增， 对称轴 上取得最小值； 当时(图2) ，在对称轴的左侧单调递增、右侧单调递减， 对称轴 上取得最大值． 在某一区间取得最大值与最小值． 其中决定函数的开口方向，同时决定对称轴，决定函数与轴相交的位置． 总结：一次函数只有一个单调性，二次函数有两个单调性，那么三次函数是否就有三个单调性呢？ 三次函数专题 一、定义 定义1 形如的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）。 定义 2 三次函数的导数 ，把叫做三次函数导函数的判 别式。 由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。 系列探究1： 从最简单的三次函数开始 反思1 ：三次函数的相关性质呢？ 反思2 ：三次函数的相关性质呢？ x y O
反思3 ：三次函数的相关性质呢？ 例题 1.（2012天津理4） 函数在区间内的零点个数是( ) （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 探究一般三次函数的性质： 先求导 1、单调性： （1 ）若，此时函数() f x在R上是增函数； （2 ）若 ，令两根为 12 ,x x 且， 则 在 上单调递增，在上单调递减。 导函数 图 象 极值点 个数 2 0 2 0 2、零点 (1) 若0 3 2≤ -ac b，则恰有一个实根； (2) 若,且，则恰有一个实根； (3) 若,且，则有两个不相等的实根； (4) 若,且，则有三个不相等的实根. 说明: (1)(2) 有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，即在上为单调函数或两极值 同号. x x1x 2 x0x x1x2 x x0 x
一次函数性质小结(经典总结)
一次函数的图像、性质总结（阅读+理解） 一、一次函数的图像 Name 1.正比例函数y=kx (k ≠0,k 是常数)的图像是经过O （0，0）和M （1，k ）两点的一条直线（如图13-17）.（1）当k ＞0时，图像经过原点和第一、三像限；（2）k ＜0时，图像经过原点和第二、四像限. 2.一次函数y=kx+b (k 是常数，k ≠0)的图像是经过A （0,b ）和B （- k b ，0）两点的一条直线，当kb ≠0时，图像（即直线）的位置分4种不同情况： （1）k ＞0,b ＞0时，直线经过第一、二、三像限，如图13-18A （2）k ＞0,b ＜0时，直线经过第一、三、四像限，如图13-18B （3）k ＜0,b ＞0时，直线经过第一、二、四像限，如图13-18C （4）k ＜0,b ＜0时，直线经过第二、三、四像限，如图13-18D 3.一次函数的图像的两个特征 （1）对于直线y=kx+b(k ≠0),当x=0时,y=b 即直线与y 轴的交点为A （0,b ）,因此b 叫直线在y 轴上的截距. （2）直线y=kx+b(k ≠0)与两直角标系中两坐标轴的交点分别为A （0，b ）和B （-k b ，0）. 4.一次函数的图像与直线方程 （1）一次函数y=kx+b(k ≠0)的图像是一条直线，因此y=kx+b(k ≠0)也叫直线方程.但直线方程不一定都是一次函数. （2）与坐标轴平行的直线的方程. ①与x 轴平行的直线方程形如：y=a （a 是常数）.a ＞0时，直线在x 轴上方；a=0时，
直线与x轴重合；a＜0时，直线在x轴下方.（如图13-19） ②与y轴平行的直线方程形如x=b（b是常数），b＞0时，直线在y轴右方，b=0时，直线与y轴重合；b＜0时，直线在y轴左方，(如图13-20). 二、两条直线的关系 1.与坐标轴不平行的两条直线l1:y1=k1x+b1,l2:y2=k2x+b, 若l1与l2相交，则k1≠k2，其交点是联立这两条直线的方程，求得的公共解; 若l1与l2平行，则k1= k 2. 三、一次函数的增减性 1.增减性如果函数当自变量在某一取范围内具有函数值随自变量的增加（或减少）而增加（或减少）的性质，称为该函数当自变量在这一取值范围内具有增减性，或称具有单调性. 2.一次函数的增减性 一次函数y=kx+b在x取全体实数时都具有如下性质： （1）k＞0时，y随x的增加而增加； （2）k＜0时，y随x的增加而减小. 3.用待定系数法求一次函数的解析式： 若已知一次函数的图像（即直线）经过两个已在点A（x1，y1）和B(x2，y2)求这个一次函数的解析式，其方法和步骤是： （1）设一次函数的解析式：y=kx+b(k≠0) （2）将A、B两点的坐标代入所设函数的解析式，得两个方程：y1=kx1+b① y2=kx2+b②（3）联立①②解方程组，从而求出k、b值. 这一先设系数k、b，从而通过解方程求系数的方法以称为待定系数法.
初中数学函数知识点归纳(1)
函数知识点总结(掌握函数的定义、性质和图像) 平面直角坐标系 1、定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系 2、各个象限内点的特征: 第一象限：（+，+）点P（x,y），则x＞0,y＞0； 第二象限：（-，+）点P（x,y），则x＜0,y＞0； 第三象限：（-，-）点P（x,y），则x＜0,y＜0； 第四象限：（+，-）点P（x,y），则x＞0,y＜0； 3、坐标轴上点的坐标特征： x轴上的点，纵坐标为零；y轴上的点，横坐标为零；原点的坐标为（0 , 0）。两坐标轴的点不属于任何象限。 4、点的对称特征：已知点P(m,n), 关于x轴的对称点坐标是(m,-n), 横坐标相同，纵坐标反号 关于y轴的对称点坐标是(-m,n) 纵坐标相同，横坐标反号 关于原点的对称点坐标是(-m,-n) 横，纵坐标都反号 5、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征： 平行于x轴的直线上的任意两点：纵坐标相等； 平行于y轴的直线上的任意两点：横坐标相等。 6、各象限角平分线上的点的坐标特征： 第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。 第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。 7、点P（x,y）的几何意义： 点P（x,y）到x轴的距离为 |y|，
点P （x,y ）到y 轴的距离为 |x|。 点P （x,y ）到坐标原点的距离为22y x + 8、两点之间的距离： X 轴上两点为A )0,(1x 、B )0,(2x |AB|||12x x -= Y 轴上两点为C ),0(1y 、D ),0(2y |CD|||12y y -= 已知A ),(11y x 、B ),(22y x AB|= 2 12212)()(y y x x -+- 9、中点坐标公式：已知A ),(11y x 、B ),(22y x M 为AB 的中点,则：M=(212x x + , 2 1 2y y +) 10、点的平移特征： 在平面直角坐标系中， 将点（x,y ）向右平移a 个单位长度，可以得到对应点（ x-a ，y ）； 将点（x,y ）向左平移a 个单位长度，可以得到对应点（x+a ，y ）； 将点（x,y ）向上平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y ＋b ）； 将点（x,y ）向下平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y －b ）。 注意：对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来， 从图形上点的坐标的加减变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。 函数的基本知识： 基本概念 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的 值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。 *判断A 是否为B 的函数，只要看B 取值确定的时候，A 是否有唯一确定的值与之对应 3、定义域和值域： 定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。 值域：一般的，一个函数的因变量所得的值的范围，叫做这个函数的值域。
三次函数的性质-的总结练习
三次函数的性质 三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d（a≠0）在高中阶段学习导数后频繁出现，同时也是其他复杂函数的重要组成部分，因此有必要对其性质有所了解，才可以做到知己知彼，百战不殆． 性质一单调性 以a>0为例，如图1，记Δ=b2?3ac为三次函数图象的判别式，则 图1 用判别式判断函数图象 当Δ?0时，f(x)为R上的单调递增函数； 当Δ>0时，f(x)会在中间一段单调递减，形成三个单调区间以及两个极值． 性质一的证明f(x)的导函数为 f′(x)=3ax3+2bx+c, 其判别式为4(b2?3ac)，进而易得结论． 例1 设直线l与曲线y=x3+x+1有三个不同的交点A,B,C，且|AB|=|BC|=5√，求直线l的方程． 解由|AB|=|BC|可知B为三次函数的对称中心，由性质一可得B(0,1)，进而不难求得直线l的方程y=2x+1． 性质二对称性 如图2，f(x)的图象关于点P(?b3a,f(?b3a))对称（特别地，极值点以及极值点对应的图象上的点也关于P对称）． 图2 图象的对称性
反之，若三次函数的对称中心为(m,n)，则其解析式可以设为 f(x)=α?(x?m)3+β?(x?m)+n, 其中α≠0． 性质二的证明由于 f(x)=a(x+b3a)3+(c?b23a)(x+b3a)?bc3a+2b327a2+d, 即 f(x)=(x+b3a)3+(c?b23a)(x+b3a)+f(?b3a), 于是性质二得证． 例2 设函数f(x)=x(x?1)(x?a)，a>1． （1）求导数f′(x)，并证明f(x)有两个不同的极值点x1，x2； （2）若不等式f(x1)+f(x2)?0成立，求a的取值范围． （1）解f(x)的导函数 f′(x)=(x?1)(x?a)+x(x?a)+x(x?1)=3x2?2(a+2)x+a, 而 f′(0)f′(1)f′(a)=a>0,=1?a<0,=a(a?1)>0, 于是f′(x)有两个变号零点，从而f(x)有两个不同的极值点． （2）解根据性质二，三次函数的对称中心(a+13,f(a+13))是两个极值点对应的函数图象上的点的中点．于是 f(x1)+f(x2)=2f(a+13)?0, 即 2?a+13?a?23??2a+13?0, 结合a>1，可得a的取值范围是[2,+∞)． 注本题为2004年高考重庆卷理科数学第20题． 性质三切割线性质 如图3，设P是f(x)上任意一点（非对称中心），过P作函数f(x)图象的一条割线AB与一条切线PT（P点不为切点），A、B、T均在f(x)的图象上，则T点的横坐标平分A、B点的横坐标． 图3 切割线性质
三次函数的三大性质初探
三初探 随着导数内容进入新教材，函数的研究范围也随之扩大，用导数的方法研究三次函数的性质，不仅方便实用，而且三次函数的性质变得十分明朗，本文给出三次函数的三大主要性质. 1 单调性 三次函数)0()(23>+++=a d cx bx ax x f , (1) 若032 ≤-ac b ，则)(x f 在),(+∞-∞上为增函数； (2) 若032>-ac b ，则)(x f 在),(1x -∞和),(2+∞x 上为增函数，)(x f 在),(21x x 上为减函数，其中a ac b b x a ac b b x 33,332221-+-=---=. 证明 c bx ax x f ++=23)('2, △=)3(412422ac b ac b -=-， (1) 当0≤? 即032 ≤-ac b 时，0)('≥x f 在 R 上恒成立， 即)(x f 在),(+∞-∞为增函数. (2) 当0>? 即032 >-ac b 时，解方程0)('=x f ，得 a ac b b x a ac b b x 33,332221-+-=---= 0)('>x f ?1x x <或2x x > ?)(x f 在),(1x -∞和),(2+∞x 上为增函数. ?<0)('x f 21x x x <+++=a d cx bx ax x f , (1) 若032≤-ac b ，则)(x f 在R 上无极值； (2) 若032>-ac b ，则)(x f 在R 上有两个极值；且)(x f 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值.
高中数学全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解
高中数学全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解
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(经典)高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解 分析 一、函数的概念与表示 1、映射：（1）对映射定义的理解。（2）判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射 集合A ，B 是平面直角坐标系上的两个点集，给定从A →B 的映射f:(x,y)→(x 2+y 2,xy)，求象(5，2)的原象. 3.已知集合A 到集合B ＝｛0，1，2，3｝的映射f:x →11 -x ，则集合A 中的元素最多有几个?写出元素最多时的集合A. 2、函数。构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域 两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同 1、下列各对函数中，相同的是 （ ） A 、x x g x x f lg 2)(,lg )(2== B 、)1lg()1lg()(,1 1 lg )(--+=-+=x x x g x x x f C 、 v v v g u u u f -+= -+= 11)(,11)( D 、f （x ）=x ，2)(x x f = 2、}30|{},20|{≤≤=≤≤=y y N x x M 给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合 N 的函数关系的有 （ ） A 、 0个 B 、 1个 C 、 2个 D 、3个 二、函数的解析式与定义域 函 数 解 析 式 的 七 种 求 法 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。 例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。 例2 已知221 )1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。 例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f x x x x 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 y y y y 3 O O O O
高三数学三次函数图象和性质与四次函数问题
三次函数与四次函数 大连市红旗高中王金泽 wjz9589＠https://www.360docs.net/doc/2d9903204.html, 在初中，已经初步学习了二次函数，到了高中又系统的学习和深化了二次函数，三次函数是继二次函数后接触的新的多项式函数类型，它是二次函数的发展，和二次函数类似也有“与x轴交点个数”等类似问题。三次函数是目前高考尤其是文科高考的热点，不仅仅如此，通过深化对三次函数的学习，可以解决四次函数问题。2008年高考有多个省份出现了四次函数高考题，本文的目的就是，对三次函数做个重点的归纳，并且阐述在四次函数中的应用 第一部分：三次函数的图象特征、以及与x轴的交点个数（根的个数）、极值情况 三次函数图象说明 a对图象 的影响 可以根据极限的思想去分析 当a＞0时，在x→+∞右向上 伸展，x→-∞左向下伸展。 当a＜0时，在x→+∞右向下 伸展，x→-∞左向上伸展。 (可以联系二次函数a对开口的影 响去联想三次函数右侧伸展情况) 与x轴有三 个交点 若0 3 2> -ac b,且 ) ( ) ( 2 1 < ?x f x f，既两个极 值异号；图象与x轴有三个交点 与x轴有二 个交点 若0 3 2> -ac b,且 ) ( ) ( 2 1 = ?x f x f，既有一 个极值为0，图象与x轴有两个 交点 与x轴有一 个交点 1。存在极值时即0 3 2> -ac b, 且0 ) ( ) ( 2 1 > ?x f x f，既两个 极值同号，图象与x轴有一个交点。 2。不存在极值，函数是单调函数 时图象也与x轴有一个交点。
1.()0f x =根的个数 三次函数d cx bx ax x f +++=23)( 导函数为二次函数:)0(23)(2/≠++=a c bx ax x f ， 二次函数的判别式化简为：△=)3(412422ac b ac b -=-， (1) 若032 ≤-ac b ，则0)(=x f 恰有一个实根； (2) 若032>-ac b ,且0)()(21>?x f x f ，则0)(=x f 恰有一个实根； (3) 若032>-ac b ,且0)()(21=?x f x f ，则0)(=x f 有两个不相等的实根； (4) 若032>-ac b ,且0)()(21-ac b ，且0)()(21>?x f x f ）. (3)0)(=x f 有两个相异实根的充要条件是曲线)(x f y =与X 轴有两个公共点且其中之一为切点，所以 032>-ac b ，且0)()(21=?x f x f . (4)0)(=x f 有三个不相等的实根的充要条件是曲线)(x f y =与X 轴有三个公共点，即)(x f 有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以032 >-ac b 且0)()(21++=a c bx ax x f ， 二次函数的判别式化简为：△=)3(412422ac b ac b -=-， (1) 若032 ≤-ac b ，则)(x f 在),(+∞-∞上为增函数； (2) 若032>-ac b ，则)(x f 在),(1x -∞和),(2+∞x 上为增函数，)(x f 在),(21x x 上为减函数，其中 a ac b b x a a c b b x 33,332221-+-= ---=. 证明：c bx ax x f ++=23)('2, △=)3(41242 2ac b ac b -=-， (1) 当0≤? 即032 ≤-ac b 时，0)('≥x f 在 R 上恒成立， 即)(x f 在),(+∞-∞为增函数.
高中数学-函数的基本性质小结
函数的基本性质【教学目标】 【教学重点】
函数的基本性质及应用 【教学难点】 函数关系的建立、用函数的性质解决简单的实际问题与领悟数学思想方法。 【教学过程】： 一．知识整理 1．基本思想 （1）函数主要研究两个变量的相互联系，故涉及到两个变量的相互作用、相互影响的问题，大多可用函数的观点来解决。 （2）研究函数的主要途径是函数的图象和基本性质（以图象说明性质）。 2.主要问题： （1）函数图象的基本作法：a.分段 b.平移 c.对称 d.伸缩 （2）函数单调性的求法：a.图象 b.单调运算 c.复合函数 d.定义 （3）函数最值（或范围）的求法：a.图象 b.单调性 c.不等式 d.复合函数 e.换元 f.数形结合 （4）反函数求法：①解出x =φ(y)，②调换x,y, ③写出反函数定义域 3.函数的基本性质 函数定义：在某个变化过程中有两个变量x,y，如果对于x在某个实数集合D内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的实数值与之对应，那么y就是x函数，记作y = f (x)，x∈D，x叫做自变量，x的取值范围D叫做函数的定义域，和x 的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。 函数的相等：定义域相同，对应法则相同 函数图象：以自变量x的值为横坐标，与x的值对应的y的值为纵坐标所构成的点集，即{(x,y)|y = f (x), x∈D} a.定义域：自变量x的取值范围；亦为函数图象上点的横坐标的集合 b.值域：因变量y的取值范围；亦为函数图象上点的纵坐标的集合 c.奇偶性：如果对于函数f(x)的定义域D内的任意实数a，都有f(-a)= f(a)，则称函数 f(x)为偶函数； 如果对于函数f(x)的定义域D内的任意实数a，都有f(-a)=-f(a)，则称函数f(x) 为奇函数；
三角函数图像与性质知识点总结
函数图像与性质知识点总结 一、三角函数图象的性质 1．“五点法”描图 (1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0) ? ?? ?? ? π2，1 (π，0) ? ?? ??? 32π，－1 (2π，0) (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，? ?????π2，0，(π，－1)，? ???? ? 3π2，0，(2π，1) 2.三角函数的图象和性质
3.一般地对于函数()，如果存在一个非零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期) 4.求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性； 关于正、余弦函数的有界性 由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于?x∈R，恒有－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1，所以1叫做y＝sin x，y＝cos x的上确界，－1叫做y＝sin x，y＝cos x的下确界.
(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响. (3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题． 利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：y ＝sin 2x －4sin x ＋5，令t ＝sin x (|t |≤1)，则y ＝(t －2)2＋1≥1，解法错误. 5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x 所在的区间.应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x 系数的正负号) (1)y ＝sin ? ?????2x －π4；(2)y ＝sin ? ?? ???π4－2x . 6、y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑： ①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点 2； ②B 的确定：根据图象的最高点和最低点，即B ＝ 最高点＋最低点 2 ； ③ω的确定：结合图象，先求出周期，然后由T ＝2π ω (ω>0)来确定ω； ④φ的确定：把图像上的点的坐标带入解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，然后根据 φ的范围确定φ即可，例如由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋K 最开始与x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－φω(即令ωx ＋φ＝0，x ＝－φ ω )确定φ. 二、三角函数的伸缩变化