2020年高考数学仿真押题试卷(四)(含解析)

专题04高考数学仿真押题试卷（四）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的．

1．已知复数z 在复平面内对应的点为(0,1)，则1(i

z

+= ) A ．1i +

B ．1i -

C ．1i -+

D ．1i --

【解析】解：复数z 在复平面内对应的点为(0,1)，则．

【答案】B ．

2．已知集合{1A =，2，3}，集合，x A ∈，}y A ∈，则集合B 中元素的个数为( ) A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

【解析】解：{1A =Q ，2，3}，，x A ∈，}y A ∈，

1x ∴=，2，3，1y =，2，3．

当1x =时，0x y -=，1-，2-； 当2x =时，1x y -=，0，1-； 当3x =时，2x y -=，1，0．

即2x y -=-，1-，0，1，2．即{2B =-，1-，0，1，2}共有5个元素． 【答案】B ．

3．已知()f x 是定义在R 上奇函数，当0x …时，，则(3)(f -= )

A ．2-

B ．1-

C ．2

D ．1

【解析】解：根据题意，当0x …时，

，则f （3）2log 42==，

又由函数()f x 为奇函数，则(3)f f -=-（3）2=-； 【答案】A ．

4．双曲线的一条渐近线与直线210x y -+=平行，则双曲线的离心率为( ) A ．5

B ．

5

C ．

3 D ．3

【解析】解：由双曲线的渐近线与直线210x y -+=平行知，双曲线的渐近线方程为20x y -=， 即1

2

y x =

， Q 双曲线的渐近线为b y a

=±

， 即

12

b a =， 离心率，

【答案】B ．

5．已知平面α⊥平面β，l αβ=I ，a α?，b β?，则“a l ⊥”是“a b ⊥”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

【解析】解：由面面垂直的性质得当a l ⊥，则a β⊥，则a b ⊥成立，即充分性成立， 反之当b l ⊥时，满足a b ⊥，但此时a l ⊥不一定成立，即必要性不成立， 即“a l ⊥”是“a b ⊥”的充分不必要条件， ．

【答案】A

6．执行如图的程序框图，若输出的48S =，则输入k 的值可以为( )

A ．4

B ．6

C ．8

D ．10

【解析】解：模拟执行程序框图，可得 1n =，1S =

不满足条件n k >，4n =，6S = 不满足条件n k >，7n =，19S = 不满足条件n k >，10n =，48S =

由题意，此时应该满足条件10n k =>，退出循环，输出S 的值为48， 故应有：710k <<． 【答案】C

7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

【解析】解：由三视图可知几何体为边长为2的正方体的一部分， 做出几何体的直观图如图所示：

故几何体的体积为1

22

?34=．

【答案】B ．

8．执行如图的程序框图，则输出的S 的值是( )

A ．126

B ．126-

C ．30

D ．62

【解析】解：模拟程序的运行，可得： 0S =，1i =

满足条件5i ?，执行循环体，2S =，2i = 满足条件5i ?，执行循环体，6S =，3i = 满足条件5i ?，执行循环体，14S =，4i = 满足条件5i ?，执行循环体，30S =，5i = 满足条件5i ?，执行循环体，62S =，6i =

此时，不满足条件5i ?，退出循环，输出S 的值为62． 【答案】D ．

9．已知函数，若在区间[0，]3

π

上()f x a …恒成立，则实数a 的最大值是( )

A ．3-

B ．12

-

C ．

12

D ．

3 【解析】解：函数，

，

sin()6

x π

=-，

由于：03

x

π

剟，

故：，

当0x =时，函数的最小值为

1

2

． 由于在区间[0，]3π

上()f x a …恒成立，

故：12

a -

?， 所以a 的最大值为1

2

-．

【答案】B ．

10．在三棱锥P ABC -中，已知，

，点D ，E 分别为棱BC ，PC 的中点，则

下列结论正确的是( ) A ．直线DE ⊥直线AD B ．直线DE ⊥直线PA C ．直线DE ⊥直线AB D ．直线DE ⊥直线AC 【解析】解：如图，

，

，

，得PC BC =，取PB 中点G ，连接AG ，CG ，

则PB CG ⊥，PB AG ⊥， 又

，PB ∴⊥平面CAG ，则PB AC ⊥，

D Q ，

E 分别为棱BC ，PC 的中点，

//DE PB ∴，则DE AC ⊥．

【答案】D ．

11．已知双曲线的右顶点为A ，O 为坐标原点，若||2OA <，则双曲线C 的离心率的

取值范围是( ) A ．5

(

，)+∞ B ．5(1,

) C ．5

(

，2) D ．(1,2)

【解析】解：双曲线

中，右顶点为2(1A a +，0)，

，

∴

2

11

14

a >+ ，

，

，

∴，

即

5

2e <<， 【答案】C ．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．若x ，y 满足约束条件，则4z x y =-的最小值为 2 ．

【解析】解：画出满足约束条件表示的平面区域，如图所示；

当目标函数4z x y =-过点A 时，z 取得最小值， 由31x y x +=??=?

，求得(1,2)A ，

所以z 的最小值为4122?-=． 故答案为：2． 14．52

(3)x x

+

-展开式中4x 的系数为 15- ．

（用数字作答） 【解析】解：52(3)x x +-表示5个因式2

(3)x x

+-的乘积，其中一个因式取3-，其余的因式都取x ，可得含4x 的项，

故含4x 的项的系数为，

故答案为：15-．

15．已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n =，数列{}n b 满足11b a =，1n n n b b a +-=，则数列{}n b 的通项公式n b = 222n n -+ ．

【解析】解：由题意，可知： 对于数列{}:n a

①当1n =时，111a S ==，．

②当2n …时，．

21n a n ∴=-，(*)n N ∈．

对于数列{}:n b

①当1n =时，111b a ==， ②当2n …时，．

11b ∴=，

， ，

g g

g

， ．

以上各式相加，得：

222n n =-+．

故答案为：222n n -+． 16．若存在正实数x ，y 使得成立，则a 的取值范围是 [1，)+∞ ．

【解析】解：由

，等式左右两边同时除以2x

得：，

设(0)y

t t x

=

>， 则方程有实根，

即1

a tlnt t

=+有实根，

设，

则， 令， 则

，

所以()f t '在(0,)+∞为增函数， 又因为f '（1）0=，

所以()f t 在(0,1)为减函数，在(1,)+∞为增函数， 所以()min f t f =（1）1=， 所以要使1

a tlnt t

=+有实根，

则a 的取值范围是1a …，

故答案为：[1，)+∞

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．在ABC ?中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知，

且sin A ，sin B ，2sin C 成等比数列． （Ⅰ）求角B ； （Ⅱ）若

，求λ的值．

【解析】解：（Ⅰ）

，

，

∴由正弦定理可得：sin B

，由sin 0A >，可得：，即tan 3B =，

(0,)B π∈Q ， 3

B π

∴=

．

（Ⅱ）sin A Q ，sin B ，2sin C 成等比数列．

，由正弦定理可得：22b ac =，

3

B π

=

Q ，由余弦定理可得：，

∴解得：， ， ，解得：

，解得：10λ=

． 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，90BAD ∠=?，PAD ?为等边三角形，

，M 是PB 的中点．

（Ⅰ）证明：平面PAD ⊥平面ABCD ；

（Ⅱ）求直线DM 与平面PBC 所成角的正弦值，

【解析】证明：（Ⅰ）取PA 的中点N ，连结MN ，DN ，

M Q ，N 分别是PB ，PA 的中点，

//MN AB ∴，且，

3DN =Q ，2DM =，

，

DN MN ∴⊥，AB DN ∴⊥，

AB AD ⊥Q ，，AB ∴⊥平面PAD ，

AB ?Q 平面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ．

解：（Ⅱ）如图，连结BD ，CM ， 由（Ⅰ）知AB ⊥平面PAD ，AB PA ∴⊥， 在Rt PAB ?中，22PB =，同理5PC =， 在梯形ABCD 中，5BC =，22BD =， PC BC =Q ，M 为PB 的中点，CM PB ∴⊥，

由题意得

，

，

设O 为AD 的中点，连结PO ，由题意得PO AD ⊥，

Q 平面PAD ⊥平面ABCD ，PO ?平面PAD ，平面PAD ?平面ABCD AD =，

PO ∴⊥平面ABCD ，

设点D 到平面PBC 的距离为d ，

，∴

，

解得22

d =

． 2DM =Q ，∴直线DM 与平面PBC 所成角的正弦值．

19．2020年11月，习近平总书记到湖南湘西考察时首次作出了“实事求是、因地制宜、分类指导精准扶贫”的重要指示.2014年1月，中央详细规制了精准扶贫工作模式的顶层设计，推动了“精准扶贫”思想落地.2015年1月，精准扶贫首个调研地点选择了云南，标志着精准扶贫正式开始实行．某市扶贫办立即响应党

中央号召，要求某单位对某村贫困户中的A 户进行定点帮扶，该单位每年年底调查统计，从2020年至2020年统计数据如下(y 为人均年纯收入）:

年份 2020年 2020年 2020年 2020年 年份代码x 1 2 3 4 收入y （百元）

25

28

32

35

（Ⅰ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程???y

bx a =+，并估计A 户在2020年能否脱贫；（注：国家规定2020年脱贫标准：人均年纯收入为3747元）

（Ⅱ）2020年初，该市扶贫办对全市贫困户进行脱贫统计，脱贫率为90%，以该频率代替概率，现从该市贫困户中随机抽取3户进行调查（已知该市各户脱贫与否相互独立），记X 表示脱贫户数，求X 的分布列和数学期望．

参考公式：

，??a

y bx =-，其中x ，y 为数据x ，y 的平均数． 【解析】解：（Ⅰ）根据表格中的数据可得：

，

，

，

．

故y 关于x 的线性回归方程，

当5x =时，?38.5y =（百元），

，A ∴户在2020年能脱贫；

（Ⅱ）由题意可知，9

~(3,

)10

X B ， ，， ，

．

X 的分布列为：

X 0 1 2 3 P

11000

27

1000

243

1000

729

1000

．

20．已知椭圆

的短轴长为22，离心率为

2

2

． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）设M ，N 分别为椭圆C 的左、右顶点，过点(1,0)Q 且不与x 轴重合的直线1l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，是否存在实数(2)t t >，使得直线2:l x t =与直线BN 的交点P 满足P ，A ，M 三点共线？若存在，求出2l 的方程；若不存在，请说明理由．

【解析】解：（1）由题意可知，解之得2,2a b ==，

故椭圆C 的标准方程22142

x y +=．

（Ⅱ）假设存在满足题意的直线2l ，先设出AB 的方程1x my =+，设1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y ， 联立方程组22

1,42

1x y x my ?+

=???=+?

消去x 可得，

∴△

，

，

由于(2,0)N ，2(B x ，2)y ，所以直线BN 的方程为

，

则直线2:l x t =与直线BN 的交点P 坐标为22(2)

(,

)2

y t t x --，且，

因为P ，A ，M 三点共线，所以,MA MA u u u r u u u r

共线，

，

整理得，

，

由于121223

y y m

y y +=

，所以．

所以，解得4t =．

所以存在直线2:4l x =满足条件． 21．已知函数

x ，[0x ∈，)2

π

，m R ∈．

（Ⅰ）若函数()y f x =在[0x ∈，)2π

上是单调函数，求实数m 的取值范围；

（Ⅱ）当1m =时，

()i 求函数()y f x =在点0x =处的切线方程；

()ii 若对任意[0x ∈，)2

π

，不等式

恒成立，求实数a 的取值范围．

【解析】解：（Ⅰ）x ，则，

Q 函数()y f x =在[0x ∈，)2

π

上是单调函数，

或恒成立，

即32cos m x -…或32cos m x -?在[0，)2π

上恒成立．

0m ∴…或2m -?；

（Ⅱ）当1m =时，

x ，

x ，

()(0)3i f '=，又(0)0f =，∴函数()y f x =在点0x =处的切线方程为3y x =； ()ii 当[0x ∈，)2

π

时，()0f x '>，()f x 单调递增，

，

对任意[0x ∈，)2

π

，不等式

恒成立，

则(1)0aln x +?恒成立，即1(1)a ln x +?

在[0，)2

π

上恒成立．

02

x π

<

Q ?，，

则，

∴．

．

即实数a 的取值范围是(-∞，

1

](1)2

ln π+．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做,则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴

为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为．

（Ⅰ）当4

π

α=

时，求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角(0α∈，]3

π

，点P 为直线l 与y 轴的交点，求

||||

||||

PA PB PA PB +g 的最小值．

【解析】解：（Ⅰ）直线l 的普通方程为20x y -+=； 曲线C 的直角坐标方程为

．

（Ⅱ）将直线l 的参数方程为参数），代入圆的方程

，

得）

，化简得

，

易知(0,2)P ，设A ，B 所对应的参数分别为1t ，2t ， 则

，

，

所以．

当4

π

α=

时，

||||||||PA PB PA PB +g 取得最小值2

．

[选修4-5：不等式选讲] 23．已知函数

．

（Ⅰ）若关于x 的不等式的解集为[3-，1

]3

，求a 的值；

（Ⅱ）若x R ?∈，不等式恒成立，求a 的取值范围．

【解析】解：（Ⅰ）

，即

，两边平方并整理得，

由已知3-，1

3

是关于x 的方程

的两根，

由韦达定理得，又因为△，

解得2a =．

（Ⅱ）因为， 所以不等式

恒成立，只需

，

当0a …时，222a a a -?，解得4a …或0a =； 当0a <时，222a a a --?，解得0a <． 综上可知实数a 的取值范围是(,0)[4-∞U ，)+∞