培优 易错 难题二次函数辅导专题训练附答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知抛物线26y x x c =-++.

（1）若该抛物线与x 轴有公共点，求c 的取值范围；

（Ⅱ）设该抛物线与直线21y x =+交于M ，N 两点，若MN =C 的值； （Ⅲ）点P ，点Q 是抛物线上位于第一象限的不同两点，,PA QB 都垂直于x 轴，垂足分别为A ，B ，若OPA OQB ???，求c 的取值范围.

【答案】（I ）9c -；（Ⅱ）2c =-；（Ⅲ）c 的取值范围是21

74

c -<< 【解析】 【分析】

(1) 抛物线与x 轴有公共点，则判别式为非负数，列不等式求解即可;

(2)求出二次函数与直线的交点，并根据勾股定理求出MN 的长度，列方程即可求解; (3)由OPA OQB ???可知，P ,Q 两点的坐标特点，设坐标得到设点P 的坐标为(, )m n ，则点Q 的坐标为(,)n m ，代入二次函数，得到n,m 的关系，则只需保证该方程有正根即可求解. 【详解】

解：（I ）∵抛物线2

6y x x c =-++与x 轴有交点，

∴一元二次方程260x x c -++=有实根。

240b ac ∴?=-，即264(1)0c -?-?.解得9c -

（Ⅱ）根据题意，设()()1122,21,,21M x x N x x ++

由2621

y x x c y x ?=-++?=+?，消去y ，得2410x x c -+-= ①. 由2

(4)4(1)1240c c ?=---=+>，得3c >-.

∴方程①的解为1222x x ==

()()()()2

2

2

21212122121520(3)MN x x x x x x c ∴=-++-+=-=+???? 20(3)20c ∴+=，解得2c =-

（Ⅲ）设点P 的坐标为(, )m n ，则点Q 的坐标为(,)n m ，且0,

0,m n m n >>≠，

2266m m c n n n c m

?-++=∴?-++=?，两式相减，得227()0n m m n -+-=，即()(7)0m n m n -+-= 7m n ∴+=，即7n m =-

2770m m c ∴-+-=，其中07m <<

由0?，即2

74(1)(7)0c -?-?-，得214

c -

.

当214c =-

时，7

2

m n ==，不合题意。 又70c ->，得7c <. ∴c 的取值范围是21

74

c -<< 【点睛】

本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次的解析式，数形结合思想的应用及待定系数法的应用是解题的关键，属于中考压轴题．

2．在平面直角坐标系中，O 为原点，抛物线2(0)y ax x a =≠经过点3)A -，对称轴为直线l ，点O 关于直线l 的对称点为点B .过点A 作直线//AC x 轴，交y 轴于点

C .

（Ⅰ）求该抛物线的解析式及对称轴；

（Ⅱ）点P 在y 轴上，当PA PB +的值最小时，求点P 的坐标； （Ⅲ）抛物线上是否存在点Q ，使得1

3

AOC AOQ S S ??=，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（Ⅰ）抛物线的解析式为212y x x =

-;抛物线的对称轴为直线x =

;

（Ⅱ）P 点坐标为9

(0,)4

-;（Ⅲ）存在，Q 点坐标为或(-，理由见解析 【解析】 【分析】

（Ⅰ）将3)A -点代入二次函数的解析式，即可求出a ，再根据对称轴的公式即可求解.

（Ⅱ）先求出B 点胡坐标，要求PA PB +胡最小值，只需找到B 关于轴的对称点1B ，则直线A 1B 与y 轴的交点就是点P ，根据待定系数法求出AB 1的解析式，令y=0，即可求出P 点的坐标.

（Ⅲ）设点Q 的坐标，并求出△AOQ 面积，从而得到△AOQ 面积，根据Q 点胡不同位置进行分类，用m 及割补法求出面积方程，即可求解. 【详解】

（Ⅰ）∵2(0)2

y ax x a =-≠经过点3)A -，

∴

232

a -=?-

12a =，

∴抛物线的解析式为212y x x =

，

∵212222

b x a =-=-

=?， ∴

抛物线的对称轴为直线x =

（Ⅱ）∵点(0,0)O

，对称轴为x =

， ∴点O 关于对称轴的对称点B

点坐标为. 作点B 关于轴的对称点1B

，得1(B -， 设直线AB 1的解析式为y kx b =+，

把点3)A -

，点1(B -

代入得30b

b

?-=+??=-+??，

解得9

4k b ?=????=-??

，

∴94y x =-.

∴

直线9

44

y x =-

-与y 轴的交点即为P 点. 令0x =得9y 4

=-， ∵P 点坐标为9(0,)4

-.

（Ⅲ）

∵3)A -，//AC x 轴，

∴AC =3OC =，

∴113222

AOC S OC AC ?=

?=?=

， 又∵13AOC AOQ S S ??=

，

∴32

AOQ AOC S S ??==. 设Q

点坐标为21(,

)2m m ， 如图情况一，作QR CA ⊥，交CA 延长线于点R ，

∵2

AOQ AOC AQR OCRQ S S S S ???=--=梯形，

∴

(21111

3332222m m m ???++-- ? ??

?2132m ??-+= ? ???

化简整理得2180m -=，

解得133m =，223m =-.

如图情况二，作QN AC ⊥，交AC 延长线于点N ，交x 轴于点M ， ∵93

AOQ AQN QMO OMNA S S S S ???=--=梯形， ∴

2211331133(3m)3()2222m m m m m ????--+--- ? ? ? ?????

393(3)2m m --+-=，

化简整理得23180m m --=， 解得133m =，223m =-， ∴Q 点坐标为(33,0)或(23,15)-， ∴抛物线上存在点Q ，使得1

3

AOC AOQ S S ??=

.

【点睛】

主要考查了二次函数的性质，以及求两边和的最小值，面积等常见的题型，计算量较大，但难度不是很大.

3．如图，已知抛物线经过点A （-1，0），B （4，0），C （0，2）三点，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是线段AB 上的一个动点，设点P 的坐标为（m ，0），过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ，交直线BD 于点M ．

（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；

（2）在点P 运动过程中，是否存在点Q ，使得△BQM 是直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接AC ，将△AOC 绕平面内某点H 顺时针旋转90°，得到△A 1O 1C 1，点A 、O 、C 的对应点分别是点A 、O 1、C 1、若△A 1O 1C 1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“和谐点”，请直接写出“和谐点”的个数和点A 1的横坐标． 【答案】（1）y=-

21x 2+3

2

x+2；（2）存在，Q （3，2）或Q （-1，0）；（3）两个和谐点，A 1的横坐标是1，1

2

. 【解析】 【分析】

（1）把点A （1，0）、B （4，0）、C （0，3）三点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解；

（2）分两种情况分别讨论，当∠QBM=90°或∠MQB=90°，即可求得Q 点的坐标． （3）（3）两个和谐点；AO=1，OC=2，设A 1（x ，y ），则C 1（x+2，y-1），O 1（x ，y-1），

①当A 1、C 1在抛物线上时，A 1的横坐标是1； 当O 1、C 1在抛物线上时，A 1的横坐标是2； 【详解】

解：（1）设抛物线解析式为y=ax 2+bx+c ，

将点A （-1，0），B （4，0），C （0，2）代入解析式，

∴0a b c 016a 4b c 2c =-+??

=++??=?

， ∴1a 23b 2?=-????=??

，

∴y=-

21x 2+3

2

x+2；

（2）∵点C 与点D 关于x 轴对称， ∴D （0，-2）．

设直线BD 的解析式为y=kx-2． ∵将（4，0）代入得：4k-2=0， ∴k=

12

． ∴直线BD 的解析式为y=

1

2

x-2． 当P 点与A 点重合时，△BQM 是直角三角形，此时Q （-1，0）；

当BQ ⊥BD 时，△BQM 是直角三角形， 则直线BQ 的直线解析式为y=-2x+8， ∴-2x+8=-21x 2+3

2

x+2，可求x=3或x=4（舍） ∴x=3；

∴Q （3，2）或Q （-1，0）； （3）两个和谐点； AO=1，OC=2，

设A 1（x ，y ），则C 1（x+2，y-1），O 1（x ，y-1）， ①当A 1、C 1在抛物线上时，

∴()2213y x x 22213y 1(x 2)x 22

22?=-++????-=-++++??

，

∴x 1y 3=??=?

，

∴A 1的横坐标是1； 当O 1、C 1在抛物线上时，

()22

13y 1x x 222

13y 1(x 2)x 22

22?

-=-++???

?-=-++++??， ∴1

x 221y 8

?=????=??

， ∴A 1的横坐标是

12

；

【点睛】

本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质等；分类讨论思想的运用是本题的关键．

4．如图1，抛物线

经过平行四边形

的顶点

、

、，抛物线与轴的另一交点为

.经过点的直线将平行四边形

分割为面

积相等的两部分，与抛物线交于另一点.点

为直线上方抛物线上一动点，设点

的横

坐标为.

（1）求抛物线的解析式； （2）当何值时，的面积最大?并求最大值的立方根；

（3）是否存在点

使

为直角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理

由.

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x 2+2x+3；（2）当t=时，△PEF 的面积最大，其最

大值为×，

最大值的立方根为=；（3）存在满足条件的点P，t的值为1或

【解析】

试题分析：（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）由A、C坐标可求得平行四边形的中心的坐标，由抛物线的对称性可求得E点坐标，从而可求得直线EF的解析式，作PH⊥x轴，交直线l于点M，作FN⊥PH，则可用t表示出PM的长，从而可表示出△PEF的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，再求其最大值的立方根即可；

（3）由题意可知有∠PAE=90°或∠APE=90°两种情况，当∠PAE=90°时，作PG⊥y轴，利用等腰直角三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；当∠APE=90°时，作PK⊥x 轴，AQ⊥PK，则可证得△PKE∽△AQP，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值．

试题解析：（1）由题意可得，解得，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；

（2）∵A（0，3），D（2，3），

∴BC=AD=2，

∵B（﹣1，0），

∴C（1，0），

∴线段AC的中点为（，），

∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，

∴直线l过平行四边形的对称中心，

∵A、D关于对称轴对称，

∴抛物线对称轴为x=1，

∴E（3，0），

设直线l的解析式为y=kx+m，把E点和对称中心坐标代入可得，解得，

∴直线l的解析式为y=﹣x+，

联立直线l和抛物线解析式可得，解得或，

∴F（﹣，），

如图1，作PH⊥x轴，交l于点M，作FN⊥PH，

∵P点横坐标为t，

∴P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+），

∴PM=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+）=﹣t2+t+，

∴S△PEF=S△PFM+S△PEM=PM?FN+PM?EH=PM?（FN+EH）=（﹣t2+t+）（3+）=﹣（t﹣）+×，

∴当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，

∴最大值的立方根为=；

（3）由图可知∠PEA≠90°，

∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°，

①当∠PAE=90°时，如图2，作PG⊥y轴，

∵OA=OE，

∴∠OAE=∠OEA=45°，

∴∠PAG=∠APG=45°， ∴PG=AG ，

∴t=﹣t 2+2t+3﹣3，即﹣t 2+t=0，解得t=1或t=0（舍去）， ②当∠APE=90°时，如图3，作PK ⊥x 轴，AQ ⊥PK ，

则PK=﹣t 2+2t+3，AQ=t ，KE=3﹣t ，PQ=﹣t 2+2t+3﹣3=﹣t 2+2t ， ∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90°， ∴∠PAQ=∠KPE ，且∠PKE=∠PQA ， ∴△PKE ∽△AQP ， ∴

，即

，即t 2﹣t ﹣1=0，解得t=

或t=

＜﹣

（舍去），

综上可知存在满足条件的点P ，t 的值为1或．

考点：二次函数综合题

5．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C .

（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；

（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ?为直角三角形的点P 的坐标.

【答案】（1）抛物线的解析式为2

23y x x =--+，直线的解析式为3y

x .（2）

(1,2)M -；（3）P 的坐标为(1,2)--或(1,4)-或317(

1,)2+-或317(1,)2

--.

【解析】

分析：（1）先把点A ，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a ，b ，c 的值即可得到抛物线解析式；把B 、C 两点的坐标代入直线y=mx+n ，解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式；

（2）设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ，此时MA+MC 的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y 的值，即可求出点M 坐标；

（3）设P （-1，t ），又因为B （-3，0），C （0，3），所以可得BC 2=18，PB 2=（-1+3）

2

+t 2=4+t 2，PC 2=（-1）2+（t-3）2=t 2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求

出点P 的坐标．

详解：（1）依题意得：1203

b

a a

b

c c ?-=-??++=??=?

?

，解得：123a b c =-??

=-??=?，

∴抛物线的解析式为223y x x =--+. ∵对称轴为1x =-，且抛物线经过()1,0A ， ∴把()3,0B -、()0,3C 分别代入直线y mx n =+，

得303m n n -+=??=?，解之得：13m n =??=?

，

∴直线y mx n =+的解析式为3y x =+.

（2）直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ，则此时MA MC +的值最小，把1x =-代入直线3y x =+得2y =，

∴()1,2M -.即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为()1,2-. （注：本题只求M 坐标没说要求证明为何此时MA MC +的值最小，所以答案未证明

MA MC +的值最小的原因）.

（3）设()1,P t -，又()3,0B -，()0,3C ，

∴218BC =，()2222134PB t t =-++=+，()()22

2213610PC t t t =-+-=-+， ①若点B 为直角顶点，则222BC PB PC +=，即：22184610t t t ++=-+解得：

2t =-，

②若点C 为直角顶点，则222BC PC PB +=，即：22186104t t t +-+=+解得：

4t =，

③若点P 为直角顶点，则222PB PC BC +=，即：22461018t t t ++-+=解得：

1317

2

t +=

，23172t -=

. 综上所述P 的坐标为()1,2--或()1,4-或3171,

??+- ? ???或3171,??

-- ? ???

. 点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．

6．如图，抛物线y=ax 2+bx 过点B （1，﹣3），对称轴是直线x=2，且抛物线与x 轴的正半轴交于点A ．

（1）求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x 的取值范围； （2）在第二象限内的抛物线上有一点P ，当PA ⊥BA 时，求△PAB 的面积．

【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣4x ，自变量x 的取值范图是0≤x≤4；（2）△PAB 的面积=15． 【解析】 【分析】

（1）将函数图象经过的点B 坐标代入的函数的解析式中，再和对称轴方程联立求出待定系数a 和b ；

（2）如图，过点B 作BE ⊥x 轴，垂足为点E ，过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为F ，设P （x ，x 2-4x ），证明△PFA ∽△AEB,求出点P 的坐标，将△PAB 的面积构造成长方形去掉三个三角形的面积． 【详解】

（1）由题意得，

3 2

2

a b

b

a

+-

?

?

?

-?

?

＝

＝

，

解得

1

4

a

b-

?

?

?

＝

＝

，

∴抛物线的解析式为y=x2-4x，

令y=0，得x2-2x=0，解得x=0或4，

结合图象知，A的坐标为（4，0），

根据图象开口向上，则y≤0时，自变量x的取值范围是0≤x≤4；

（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，

设P（x，x2-4x）,

∵PA⊥BA

∴∠PAF+∠BAE=90°,

∵∠PAF+∠FPA=90°,

∴∠FPA=∠BAE

又∠PFA=∠AEB=90°

∴△PFA∽△AEB,

∴PF AF

AE BE

=，即

244

213

x x x

--

=

-

，

解得，x= ?1，x=4（舍去）

∴x2-4x=-5

∴点P的坐标为（-1，-5），

又∵B点坐标为（1，-3），易得到BP直线为y=-4x+1

所以BP与x轴交点为（

1

4

，0）

∴S△PAB=1155315

24

??+=

【点睛】

本题是二次函数综合题，求出函数解析式是解题的关键，特别是利用待定系数法将两条直线表达式解出，利用点的坐标求三角形的面积是关键．

7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；

（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；

（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；

（3）符合条件的点P的坐标为（7

3

，

20

9

）或（

10

3

，﹣

13

9

），

【解析】

分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；

（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为

负倒数设直线PC的解析式为y=-1

3

x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为

y=-1

3

x+3，再解方程组

223

1

3

3

y x x

y x

?-++

?

?

-+

??

＝

＝

得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物

线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），

即y=ax2﹣2ax﹣3a，

∴﹣2a=2，解得a=﹣1，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；

当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），

设直线AC的解析式为y=px+q，

把A（﹣1，0），C（0，3）代入得

3

p q

q

-+=

?

?

=

?

，解得

3

3

p

q

=

?

?

=

?

，

∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴顶点D的坐标为（1，4），

作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），

∵MB=MB′，

∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，

而BD的值不变，

∴此时△BDM的周长最小，

易得直线DB′的解析式为y=x+3，

当x=0时，y=x+3=3，

∴点M的坐标为（0，3）；

（3）存在．

过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，

∵直线AC的解析式为y=3x+3，

∴直线PC的解析式可设为y=﹣1

3

x+b，

把C（0，3）代入得b=3，

∴直线PC的解析式为y=﹣1

3

x+3，

解方程组

223

1

3

3

y x x

y x

?-++

?

?

-+

??

＝

＝

，解得

3

x

y

=

?

?

=

?

或

7

3

20

9

x

y

?

=

??

?

?=

??

，则此时P点坐标为（

7

3

，

20

9

）；

过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，

把A（﹣1，0）代入得1

3

+b=0，解得b=﹣

1

3

，

∴直线PC的解析式为y=﹣1

3x﹣

1

3

，

解方程组

223

11

33

y x x

y x

?-++

?

?

--

??

＝

＝

，解得

1

x

y

=-

?

?

=

?

或

10

3

13

9

x

y

?

=

??

?

?=-

??

，则此时P点坐标为（

10

3

，﹣

13

9

）.

综上所述，符合条件的点P的坐标为（7

3

，

20

9

）或（

10

3

，﹣

13

9

）.

点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．

8．复习课中，教师给出关于x 的函数（k是实数）.

教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上.

学生思考后，黑板上出现了一些结论.教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选择如下四条：

①存在函数，其图像经过（1,0）点；

②函数图像与坐标轴总有三个不同的交点；

③当时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；

④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数；

教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由，最后简单写出解决问题时所用的数学方法.

【答案】①真，②假，③假，④真，理由和所用的数学方法见解析.

【解析】

试题分析：根据方程思想，特殊与一般思想，反证思想，分类思想对各结论进行判断.

试题解析：①真，②假，③假，④真.理由如下：

①将（1,0）代入，得，解得.∴存在函数，其图像经过（1,0）点.

∴结论①为真.

②举反例如，当时，函数的图象与坐标轴只有两个不同的交点.∴结论②为假.

③∵当时，二次函数（k是实数）的对称轴为

，

∴可举反例如，当时，二次函数为，

当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大.

∴结论③为假.

④∵当时，二次函数的最值为

，

∴当时，有最小值，最小值为负；当时，有最大值，最大值为正.

∴结论④为真.

解决问题时所用的数学方法有方程思想，特殊与一般思想，反证思想，分类思想

考点：1.曲线上点的坐标与方程的关系；2.二次函数的性质；3.方程思想、特殊元素法、反证思想和分类思想的应用.

9．抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（m，0），与y轴交于C．

（1）若m=﹣3，求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴；

（2）如图1，在（1）的条件下，设抛物线的对称轴交x轴于D，在对称轴左侧的抛物线上有一点E，使S△ACE=S△ACD，求点E的坐标；

（3）如图2，设F（﹣1，﹣4），FG⊥y于G，在线段OG上是否存在点P，使

∠OBP=∠FPG？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4；对称轴是：直线x=﹣1；（2）点E的坐标为E（﹣4，5）（3）当﹣4≤m＜0或m=3时，在线段OG上存在点P，使∠OBP=∠FPG.

【解析】

试题分析：（1）利用待定系数法求二次函数的解析式，并配方求对称轴；（2）如图1，设E（m，m2+2m﹣3），先根据已知条件求S△ACE=10，根据不规则三角形面积等于铅直高度与水平宽度的积列式可求得m的值，并根据在对称轴左侧的抛物线上有一点E，则点E 的横坐标小于﹣1，对m的值进行取舍，得到E的坐标；

（3）分两种情况：①当B在原点的左侧时，构建辅助圆，根据直径所对的圆周角是直

角，只要满足∠BPF=90°就可以构成∠OBP=∠FPG，如图2，求出圆E与y轴有一个交点时的m值，则可得取值范围；②当B在原点的右侧时，只有△OBP是等腰直角三角形，

△FPG也是等腰直角三角形时满足条件，直接计算即可．

试题解析：（1）当m=﹣3时，B（﹣3，0），

把A（1，0），B（﹣3，0）代入到抛物线y=x2+bx+c中得：，解得，

∴抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4；对称轴是：直线x=﹣1；

（2）如图1，设E（m，m2+2m﹣3），

由题意得：AD=1+1=2，OC=3，

S△ACE=S△ACD=×ADOC=×2×3=10，

设直线AE的解析式为：y=kx+b，

把A（1，0）和E（m，m2+2m﹣3）代入得，

，解得：，

∴直线AE的解析式为：y=（m+3）x﹣m﹣3，∴F（0，﹣m﹣3），

∵C（0，﹣3），∴FC=﹣m﹣3+3=﹣m，∴S△ACE=FC（1﹣m）=10，

﹣m（1﹣m）=20，m2﹣m﹣20=0，

（m+4）（m﹣5）=0，

m1=﹣4，m2=5（舍），

∴E（﹣4，5）；

（3）如图2，当B在原点的左侧时，连接BF，以BF为直径作圆E，当⊙E与y轴相切时，设切点为P，

∴∠BPF=90°，∴∠FPG+∠OPB=90°，∵∠OPB+∠OBP=90°，∴∠OBP=∠FPG，

连接EP，则EP⊥OG，

∵BE=EF，∴EP是梯形的中位线，∴OP=PG=2，

∵FG=1，tan∠FPG=tan∠OBP=，

∴，∴m=﹣4，

∴当﹣4≤m＜0时，在线段OG上存在点P，使∠OBP=∠FPG；

如图3，当B在原点的右侧时，要想满足∠OBP=∠FPG，

则∠OBP=∠OPB=∠FPG，∴OB=OP，

∴△OBP是等腰直角三角形，△FPG也是等腰直角三角形，

∴FG=PG=1，∴OB=OP=3，∴m=3，

综上所述，当﹣4≤m ＜0或m=3时，在线段OG 上存在点P ，使∠OBP=∠FPG ．

考点：二次函数的综合题.

10．如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a≠0）经过A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当点P 到点A 、点B 的距离之和最短时，求点P 的坐标；

（3）点M 也是直线l 上的动点，且△MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标．

【答案】（1）2

23y x x =--；（2）P （1，0）；（3）．

【解析】

试题分析：（1）直接将A 、B 、C 三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可； （2）由图知：A ．B 点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知，直线l 与x 轴的交点，即为符合条件的P 点；

（3）由于△MAC 的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA=AC 、②MA=MC 、③AC=MC ；可先设出M 点的坐标，然后用M 点纵坐标表示△MAC 的三边长，再按上面的三种情况列式求解．

试题解析：（1）将A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）代入抛物线2

y ax bx c

=++中，得：0{9303a b c a b c c -+=++==-，解得：1

{23

a b c ==-=-，故抛物线的解析式：2

23y x x =--．

（2）当P 点在x 轴上，P ，A ，B 三点在一条直线上时，点P 到点A 、点B 的距离之和最短，此时x=2b

a

-

=1，故P （1，0）； （3）如图所示：抛物线的对称轴为：x=2b

a

-=1，设M （1，m ），已知A （﹣1，0）、C （0，﹣3），则：

2MA =24m +，2MC =2

(3)1m ++=2610m m ++，2AC =10；

①若MA=MC ，则22MA MC =，得：24m +=2610m m ++，解得：m=﹣1； ②若MA=AC ，则22MA AC =，得：24m +=10，得：m=6；

③若MC=AC ，则22MC AC =，得：2610m m ++=10，得：10m =，26m =-； 当m=﹣6时，M 、A 、C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；

综上可知，符合条件的M 点，且坐标为 M （16）（1，6-）（1，﹣1）（1，0）．