哈工大集合论习题课-第六章树及割集习题课(学生)

第六章 树及割集

习题课1

课堂例题

例1 设T 是一棵树，T 有3个度为3顶点，1个2度顶点，其余均是1度顶点。则

（1）求T 有几个1度顶点

（2）画出满足上述要求的不同构的两棵树。

分析：对于任一棵树T ，其顶点数p 和边数q 的关系是：1q p =-且

1

deg()2i

p

i v q ==∑，根据这些性质容易求解。

解：（1）设该树T 的顶点数为p ，边数为q ，并设树T 中有x 个1度顶点。于是

1

deg()33122i

p

i v x q ==?+?+=∑且31p x =++，1q p =-，得5x =。

（2）满足上述要求的两棵不同构的无向树，如图1所示。

图1

例2设G 是一棵树且()G k ?≥，证明G 中至少有k 个度为1顶点。 证：设T 中有p 个顶点，s 个树叶，则T 中其余p s -个顶点的度数均大于等于2，且至少有一个顶点的度大于等于k 。由握手定理可得：

1222()2(1)p

i i q p deg v p s k s ==-=≥--++∑，有s k ≥。

所以T 中至少有k 个树叶 。

习题

例1 若无向图G 中有p 个顶点，1p -条边，则G 为树。这个命题正确吗为什么

解：不正确。3K 与平凡图构成的非连通图中有四个顶点三条边，显然它不是树。

例2设树T 中有2n 个度为1的顶点，有3n 个度为2的顶点，有n 个度为3的顶点，则这棵树有多少个顶点和多少条边

解：设T 有p 个顶点，q 条边，则123161q p n n n n =-=++-=-。由

deg()2v V

v q ∈=∑有：1223322(61)122n n n q n n ?+?+?==-=-，解得：n =2。

故11,12q p ==。

例3证明恰有两个顶点度数为1的树必为一条通路。

证：设T 是一棵具有两个顶点度数为1的(,)p q 树，则1q p =-且

1

deg()2p

i

i v q ==∑2(1)p =-。

又T 除两个顶点度数为1外，其他顶点度均大于等于2，故

2

1

1

deg()2deg()2(1)p p i

i

i i v v p -===+=-∑∑，即

2

1

deg()2(2)p i

i v p -==-∑。

因此2p -个分支点的度数都恰为2，即T 为一条通路。

例4 画出具有4、5、6、7个顶点的所有非同构的无向树。

解：4个顶点的非同构的无向树有两棵，如图21(),()a b 所示； 5个顶点的非同构的无向树有3棵，如图21(),(),()c d e 所示。

（a ） (b) (c) (d) (e)

图2

6个顶点的非同构的无向树有6棵，如图3所示。

图3

7个顶点的非同构的无向树有11棵，如图4所示。

所画出的树具有6条边，因而七个顶点的度数之和应为12。由于每个顶点的度数均大于等于1，因而可产生以下七种度数序列127(,,,)d d d L ：

（1）1111116；（2）1111125；（3）1111134；（4）1111224；

（5）1111233；

（6）1112223；（7）1122222。

在（1）中只有一个星形图，因而只能产生1棵树1T 。 在（2），（3）中有两个星形图，因而也只能各产生1棵非同构的树，分别设为 23,T T 。

在（4）

，（5）中有三个星形图，但三个星形图是各有两个是同构的，因而各可产生两棵非同构的树，分别设为45,T T 和67,T T 。

在（6）中，有四个星形图，有三个是同构的，考虑到不同的排 列情况，共可产生三棵非同构的树，设为8910,,T T T 。

在（7）中，有五个星形图，都是同构的，因而可产生1棵树， 设为11T 。

七个顶点的所有非同构的树111T T :如图2所示。

T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 T 6

T 7 T 8 T 9 T 10 T 11

图4

例5设无向图G 是由(2)k k ≥棵树构成的森林，至少在G 中添加多少条边才能使G 成为一棵树

解：设G 中的k 个连通分支为：12,,,k T T T L ，i v ∈i T ，1,2,,i k =L 。在G 中添加边1{,}i i v v +，1,2,,1i k =-L ，设所得新图为T ，则T 连通且无回路，因而T 为树。故所加边的条数1k -是使得G 为树的最小数目。 例6 证明：任意一棵非平凡树都是偶图。

分析：若考虑一下数据结构中树（即有向树）的定义，则可以很简单地将树中的顶点按层次分类，偶数层顶点归于顶点集0V ，奇数层顶点归于顶点集1V ，图G 中每条边的端点一个属于0V ，另一个属于1V ，而不可能存在关联同一个顶点集的边。同理，对于无向树，可以从任何一个顶点V 出发，给该树的顶点标记奇偶性，例如，v 标记0，与v 相邻的顶点标记1，再给与标记为1的所有相邻的顶点标记0，依次类推，直到把所有的顶点标记完为止。最后，根据树的性质证明，任何边只可能关联1V （标记为 1的顶点集）和0V （标记为0的顶点集）之

间的顶点。

证1从任何一个顶点v 出发，给该树的顶点做标记，v 标记0，与v 相邻的顶点标记1，然后再给与标记为1的所有顶点相邻的顶点标记0，……，依次类推，直到把所有的顶点标记完为止。

下面证明：对于任何边只能关联1V （标记为1的顶点集）和0V （标记为0的顶点集）之间的顶点。

不妨假设，若某条边e 关联1V 中的两个顶点，设为1v 和2v ，又因为根据上述的标记法则，有1v 到v 的路1P 和2v 到v 的路2P 。设1P 与2P 离1v 和2v 最近的顶点为u ，所以，树中存在回路：11221v PuP v ev ，与树中无回路的性质矛盾。所以，任意边只能关联1V （标记为1的顶点集）和0V （标记为0的顶点集）之间的顶点。所以，任意一棵非平凡树都是偶图。

证2 设T 是任一棵非平凡树，则T 无回路，即T 中所有回路长都是零。而零是偶数，故由偶图的判定定理可知T 是偶图。

例7（1）一棵无向树有i n 个度数为i 的顶点，1,2,,i k =L 。23,,,k n n n L 均为已知数，问1n 应为多少

（2）在（1）中，若(3)r n r k ≤≤未知，()j n j r ≠均为已知数，问r

n 应为多少

解：（1）设T 为有p 个顶点，q 条边无向树，则1q p =-，1k

i i p n ==∑。

由握手定理：

1

deg 2p

i

i v

q ==∑，有1

1deg 222p k

i i i i v in q p =====-∑∑，即

1

1

2222k

k

i i i i in p n ===-=-∑∑。 ①

由式①可知：

12

2

2

22(2)2k

k

k

i i i i i i n in n i n ====-+=-+∑∑∑。

（2）对于3r ≥，由①可知：

1

1

(2)22k r i i i r n i n r =≠=

---??

??????

∑。 例8证明：任一非平凡树最长路的两个端点都是树叶。

证：设T 为一棵非平凡的无向树，12k L v v v =L 为T 中最长的路，若端点1v 和k v 中至少有一个不是树叶，不妨设k v 不是树叶，即有deg()2k v ≥，则k v 除与L 上的顶点1k v -相邻外，必存在1k v +与k v 相邻，而1

k v +

不在L 上，否则将产生回路。于是11k k v v v +L 仍为T 的一条比L 更长的路，这与L 为最长的路矛盾。故k v 必为树叶。 同理，1v 也是树叶。

例9设无向图G 中有p 个顶点，1q -条边，则G 为连通图当且仅当G 中无回路。

证：必要性：因为G 中有p 个顶点，边数1q p =-，又因为G 是连通的，由定理可知G 为树，因而G 中无回路。

充分性：因为G 中无回路，又边数1q p =-，由定理可知G 为树，

所以G 是连通的。

例10设G 是一个(,)p g 图，证明：若g p ≥，则G 中必有回路。

证：（1）设G 是连通的，则

若G 中无回路，则G 是树，故1q p =-与q p ≥矛盾。 故G 中必有回路。

（2）设G 不连通，则G 中有(2)k k ≥个分支，12,,,k G G G L 。

若G 中无回路，则G 的各个分支(1,2,,)i G i k =L 中也无回路，于是

各个分支都是树，所以有：1i i q p =-，1,2,,i k =L 。相加得：(2)

q p k k =-≥与q p ≥矛盾，故G 中必有回路。

综上所述，图G 中必有回路。 例11设12,,,p d d d L 是p 个正整数，2p ≥，且1

22p

i i d p ==-∑。证明存在一

棵顶点度数为12,,,p d d d L 的树。

证：对顶点p 进行归纳证明。

当2p =时，122222d d +=?-=，则121d d ==，故以12,d d 为度数的树存在，即为一条边。

设对任意1p -个正整数121,,,p d d d -L ，只要1

12(1)2p i i d p -==--∑，则存

在一棵顶点度数为121,,,p d d d -L 的树。

对p 个正整数'

''1

2

,,,p

d d d L ，若有'122p

i i d p ==-∑，则'''

12,,,p d d d L 中必有

一个数为1，必有一个数大于等于2；不妨设''

11,2p d d =≥，因此对1

p -个正整数'

'''231,,,,1p p

d d d d --L ，有1

''

2

(1)2(1)2p i p i d d p -=+-=--∑，故存在一棵顶

点度数为''''231,,,,1p p d d d d --L 的树'T 。设'

T 中u 的度数为'1p d -，在

'T 中增加一个顶点v 及边{,}u v ，得到一个图T ，则T 为树。又T 的顶点度数为

'''

12,,,p

d d d L ，故由归纳法知原命题成立。

例题

例1 G 的一条边e 不包含在G 的任一回路中当且仅当e 是G 的桥。

分析：这个题给出了判断桥的充要条件，应该记住。

证：必要性：设e 是连通图G 的桥，e 关联的两个顶点是u 和v 。若e 包含在G 的一个回路中，那么除边e uv =外还有一条分别以u 和v 为端点的路，所以删去边e 后，G 仍是连通的，这与e 是桥相矛盾。 充分性：若边e 不包含在G 的任意回路中，则连接顶点u 和v 只有边e ，而不会有其它连接u 和v 的路。因为若连接u 和v 还有不同于边e 的路，此路与边e 就组成了一条包含边e 的回路，从而导致矛盾。所以，删去边e 后，u 和v 就不连通了，故边e 是桥。

例2设G 是连通图，满足下面条件之一的边应具有什么性质

（1）在G 的任何生成树中； （2）不在G 的任何生成树中。 解：（1）在G 的任何生成树中的边应为G 中的桥。 （2）不在G 的任何生成树中的边应为G 中的环。

例3 非平凡无向连通图G 是树当且仅当的G 的每条边都是桥。

证：必要性：若T 中存在边i j e v v =不是桥，则G e -仍连通，因而,i j

v v 之间必另有一条（不通过e ）的路。设此路为：11221i i j i j jk ik j v v e v e e v v -==L ，于是G 中有回路122i j i j j i v e v e v ev L ，这与G 是树矛盾，故G 的每条边都是桥。

充分性：只要证明G 中无回路即可。

若G 中有回路C ，则C 中任何边都不是桥，与题设中每条边都是 桥矛盾。

例4 图1给出的带权图表示7个城市,,,,,,a b c d e f g 及架起城市间直接通信线路的预测造价，试给出一个设计方案使得各城市间能够通信且总造价最小，要求计算出最小总造价。

368

16

9

4

1 15

3

1728

23

20

g f

e

d c

b

a

4

9

3

8

1

23

g

f

e

d

c

b

a

e 8

e 6

e 5

e 7

e 4

e 3

e 2

e 1v 5

v 3

v 4

v 2

v 1

图1 图2 图3解：该题就是求图的最小生成树问题。因此，图的最小生成树即为所求的通信线路图，如图2所示。其权即是最小总造价，其权为：ω=+++++=。

()134892348

T

例7设T是一棵树，2

p≥，则

（1）p个顶点的树T至多有多少个割点；

（2）p个顶点的树T有多少个桥

解：（1）树的度为1的顶点（叶子）不是割点，而树至少有2个顶点的度为1，故树至多有2

p-个顶点为割点。

（2）树的每一条边都是桥，故p个顶点的树有1

p-个桥。

例8 证明或否定断言：连通图G的任意边是G的某一棵生成树的弦。

答：错误。若e是桥，则不成立。