集合论的创立与发展

三次数学危机与集合论的创立

一、 前言

每一门学科都有其自己的历史。数学，常被认为是一门完善的自然学科也有着自己的发展历程。同一切事物一样，数学在其发展的过程中，并非是一帆风顺的，而是经历了很多次问题的出现和解决才逐步发展起来的。无论是概念还是体系，内容还是方法，理论还是应用，都是伴随着各种问题的斗争和解决而进步和发展的。比如无理数，连续，无穷等概念的出现，没一个新问题的提出都刺激着数学的发展。

1、数学危机

虽然总是不断的有新问题的出现，但是就数学的整个历史发展历程来说，曾遇到过三次数学危机。第一次危机是由无理数的发现引发的；第二次危机是由于无穷小量引发的；第三次危机则是由罗素悖论产生的。每一次危机的出现都猛烈冲击着原有的理论体系，都是对原有理论体系内在矛盾的揭示，通过对其中逻辑矛盾的发现，启发人们对原有理论的缺陷或局限性进行思考。

危机的出现刺激着人们更加深入的研究，而每一次危机的解决都是对科学的进一步的改正、完善、补充和促进，对数学的发展有重要的意义，也必将推动数学的快速发展。正如人们常说，“危机是一种激化了的非解决不可的矛盾冲突，每一次危机都大大推动了数学的发展。”

2、集合论简介

集合论作为整个现代数学的基础，是数学中有着极为重要的作用。集合论是19世纪70年代由德国数学家康托尔G.Cantor 1845 - 1918创立的。集合论到现在已经被应用到了各个科学领域，并成为了数学的基础，产生了很多数学分科。

3、集合论与数学危机的联系

集合论的出现，使得第一第二次数学危机得到了很好的解决，成为了其理论基础。而第三次数学危机的出现对作为根基的集合论提出了矛盾，从而形成了更大的危机。

二、 三次数学危机

1、 第一次数学危机

第一次数学危机是由希泊索斯（Hippasis ）对无理数的发现而引发的。

在公元前580～568年之间的古希腊，当时“万物皆数”是在学术界占统治地位的毕达哥拉斯学派的一个信条。他们认为一切都可以归结到整数或整数比，也就是说世上只有有理数。当时毕达哥拉斯学派还有一大贡献就是毕达哥拉斯定理，即勾股定理。然而希泊索斯发现了不可公度性的两条线段——等腰直角三角形的腰长与斜边，致使毕达哥拉斯学派内部的理论体系中产生了矛盾。

假设等腰直角三角形腰长a b =，而其斜长c 为有理数。

反证法：可知，2222

2c a b a =+=。不妨设a 和c 互素，则可以知道 c 为偶数，必有a 为奇数。取2c p =，得到222a p =，a 为偶数。得到矛盾。

对于第一次危机的研究，人们把几何建立在古典逻辑的基础上，不再把几何与数密切联系起来（数形分离），促进了几何学的发展。对于这个危机要么勾股定理不对，要么就承认有理数的不完备，进而预示着无理数的存在。

2、 第二次数学危机

（1）危机产生

无理数的引入建立了完整的实数理论，第一次数学危机也促进了几何学的发展

解析几何将数学演算与几何图形结合起来。十七和十八世纪，微积分得到了发展和创立，并在生活中用于解决实际问题，得到了广泛的应用。由于微积分的不严密性，引发了科学家对无穷小的怀疑，这个新的数学领域对传统的数学产生了巨大的冲击，第二次数学危机在这个时候产生。 当时对导数的定义为y x ??或()dy f x dx

'=，,dx dy 为无穷小量。并解释无穷小量为绝对值很小的书，比任何正数都小，但是不为零。莱布尼兹还把无穷小量称为“正在消失的量”。但是由于没有严密的理论基础，而不能自圆其说。如，牛顿在求n y x =的导数时，有()12(1)()2

n n n n n n n x x x nx x x x x --++?=+?+?++? ，则()112()(1)2

n n n n n x x x n n nx x x x ---+?-+=+++?? ，将无穷小量舍去，得到其导

数为1n y nx -'=。贝克莱指出，其中前面除以x ?认为其不是

零，后面将含x ?的项舍掉又认为其为零，自身前后矛盾。

因此贝克莱嘲笑其为“消去的量的鬼魂”。

同样，对于曲边梯形的面积，用到面积微元

()dA f x dx =，求累积()b

a A f x dx =?。但是利用面积微元求累积得到的曲边梯形的面积是否得到了真正的面积？以及对无穷级数不讨论收敛性而使用，到底是否存在和？等等，这些问题都是这次危机所研究的。

无穷小量到底是否为零，并且无穷小的存在及其分析到底是否合理，导数、微

分、积分、无穷小、无穷大、级数收敛等问题的出现，引发了第二次危机。

（2）危机的解决——集合论的诞生

这次危机的产生，推动了集合论的诞生和发展。柯西（Cauchy ）用εδ-语言

对无穷小进行了定义，维尔斯特拉斯（Weierstrass ）对其又进行了加工，给出了极限的定义。极限的研究为有限和无限的联系逐渐明确。之后代德金，康托尔，海涅等人对实数理论的研究，完成了实数的完备性工作。康托尔（Cantor ）又将主要工作放在了对无穷量的研究上，在考察实数理论的基础是，康托尔有创立了集合论。实数理论与极限理论、集合论的几何，为微积分建立了稳固的基础。第二次数学危机得到了解决。

3、 第三次数学危机

（1） 危机的产生

第二次危机的产生，促进了微积分理论的基础的完善，集合论得到了创立。

集合论被认为是其他概念的基础。但在数学家们考虑理论体系是否完善的时候，

英国数学家罗素（Russell ）对作为基础的集合论提出了疑问。

罗素提出了一个著名的悖论——“理发师难题”。他提出，如果有个理发师，

他“只给不给自己理发的人理发”，那么理发师是否为自己理发？这就是罗素悖

论。还有其他相类似的悖论，如谎言悖论，鳄鱼悖论，上帝万能论。罗素悖论可

以用集合来表示做：考察把集合分做两类，N 类：不以自身作为元素的集合；M 类：以自身作为自身元素的集合。可知两集合相互拍此，任何一集合必属于其中

一个，那么N类属于哪一类？

罗素悖论的提出成为了数学史上一次更大的危机，它直接冲击着数学的基础理论体系。

（2）危机的解决

三、集合论的诞生

集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的。

十七世纪数学中出现了一门新的分支：微积分。在之后的一二百年中这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成果，其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础。十九世纪初，许多迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动。正是在这场运动中，康托尔开始探讨前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端。到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念。他对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素。人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日。

1 无穷集合的早期研究

康托尔集合论的全部历史都是围绕无穷集合而展开的。在数理哲学中，有两种无穷方式历来为数学家和哲学家所关注，一种是潜无穷，一种是实无穷。希腊哲学家亚里士多德最先提出要将它们加以区别。公元5世纪，普罗克拉斯410 - 485年在研究直径分圆问题时，注意到圆的一根直径分圆成两个半圆，由于直径有无穷多，所以必须有两倍无穷多的半圆。为了解释这个在许多人看来是矛盾的问题，他指出：任何人只能说有很多很多数目的直径或者半圆，而不能说一个实实在在无穷多的直径或者半圆，也就是说，无穷只能是一种观念，而不是一个数，不能参与运算。到中世纪，随着无穷集合的不断出现，部分能够同整体构成一一对应这个事实也就越来越明显地暴露出来。伽利略1564 - 1642年注意到：正整数与它们的平方可以构成一一对应，这说明无穷大有不同的“数量级”。十七世纪，无穷小量被引进数学，构成所谓“无穷小演算”，这就是微积分的最早名称。由于无穷小量运算的引进，“无穷”概念进入数学，虽然给数学带来了前所未有的进步，但基础及其合法性仍然受到许多数学家的质疑。

“数学家之王”高斯1777 - 1855年说：“我必须最最强烈地反对把无穷作为一完成的东西来使用。”法国大数学家柯西1789 - 1857年也不承认无穷集合的存在，他认为部分同整体构成一一对应是自相矛盾的。

2康托尔集合论的诞生

面对“无穷”的长期挑战，数学家们为解决无穷问题而进行了不懈的努力。1854年，黎曼在论文《关于用三角级数表示函数的可能性》中首次提出“唯一性问题”。康托尔就是通过对“唯一性问题”的研究，认识到无穷集合的重要性，并开始从事无穷集合的一般理论研究。1870年和1871年，康托尔两次在《数学杂志》上发表论文，证明了函数的三角级数表示的唯一性定理，而且证明了即使在有限个间断点处不收敛，定理仍然成立。1872 年他在《数学年鉴》上发表论文，把海涅一致收敛的严酷条件推广到允许间断点是某种无穷集合的情形。这是从唯一性问题的探索向点集论研究的开端，并为点集论奠定了理论基础。1873年康托尔把导致集合论产生的问题明确提了出来：正整数的集合N与实数的集合R之间能否一一对应?并于同年成功地证明实数的“集体”不可数，也就是不能同正整数的“集体”一一对应。1874 年，他又提出了“可数集”概念，并以一一对应为准则对无穷集合进行分类，证明了一些重要结果：（1）一切代数是可数的；（2）任何有限线段上的实数是不可数的；（3）超越数是不可数的；（4）一切无穷集并非都是可数的，无穷集同有穷集一样也有数量上的区别。从1879年到1883年，康托尔写了6篇论文，讨论了集合论的一些数学成果，特

别是涉及集合论在分析上的一些应用。它在数学上的主要成果是引进超穷数。该文从内容到叙述方式都与现代的朴素集合论基本一致，标志着点集论体系的建立。康托尔最后一部重要的数学著作是《对超穷集合论基础的贡献》。该书的发表标志集合论已从点集论过渡到抽象集合论。但是，由于它还不是公理化的，而且它的某些逻辑前提和某些证明方法如不给予适当的限制便会导出悖论，所以康托尔集合论通常称为朴素集合论。朴素集合论创立后，一些学者包括康托尔自己对集合论提出了怀疑，因为他们构造出了一系列集合论悖论。

二、集合论悖论

集合论提出伊始，曾遭到许多数学家的激烈反对，康托尔本人一度成为这一激烈论争的牺牲品。在猛烈的攻击下与过度的用脑思考中，他得了精神分裂症，几次陷于精神崩溃。然而集合论前后经历。到二十世纪初集二十余年，最终获得了世界公认合论已得到数学家们的赞同。数学家们为一切数学成果都可建立在集合论基础上的前景而陶醉了。他们乐观地认为从算术公理系统出发，借助集合论的概念，便可以建造起整个数学的大厦。在1900 年第二次国际数学大会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“数学已被算术化了。今天，我们可以说绝对的严格已经达到了。”然而这种自得的情绪并没能持续多久。不久，集合论有漏洞的消息迅速传遍了数学界。

集合论悖论的提出给逻辑界、数学界出了一大难题，为解决这一难题，逻辑学家们提出了一系列方案，并在不知不觉中，大大推动了逻辑学、数学的发展及康托尔集合论的完善。1布拉里- 佛梯悖论

1897年3月，布拉里和佛梯在巴勒摩数学会上宣读的论文中发表了第一个逻辑史上集合论悖论。在集合论中，有一个关于序数的定理：即：一个序数组成的良序集本身的序数必大于作为元素的任一序数。按照康托尔构造集合论的“概括原则”，布拉里和佛梯就构造了一个由一切序数构成的良序集B。于是，B 的序数B是否是B中的一元素? 按照构造时所说的性质，B应在B中，然而，按序数定理，B大于B中的任一元素，故B又不在B之中。这一悖论又被人们称为最大序数悖论。

2 康托尔悖论

1899年8月，康托尔给出了最大基数悖论，康托尔依据“概括原则”构造了一个“以一切集合为元素组成的集合C”，而Pc是C的幂集。根据康托尔定理，任一集合R的基数R 必小于其幂集PR的基数PR，亦即R < PR。于是有C< Pc，可是，由于Pc是C的一切子集之集合，即Pc的任一元素必为集，而C是一切子集。因此，即Pc又是C的子集，即C> Pc 。这就导致了C< Pc且C> Pc的逻辑矛盾。

3 罗素悖论

1901年6月，罗素使用集合论中几个最简单和最基本的概念“集合”、“元素”和“属于”，构成了一个新的集合论悖论，史称“罗素悖论”。罗素把集合分为两类：一类是不把自身作为元素的集合，称为寻常集；另一类是把自身作为元素的集合，称为不寻常集。问题是：由一切寻常集所构成的集合是寻常集还是不寻常集。如果它是寻常集，那么它就是把自身作为其元素的集合，故应为不寻常集；如果它是不寻常集，那么它就不把自身作为其元素，故应为寻常集。这样就导致逻辑矛盾。

三、公理化集合论的建立

罗素悖论出现后，人们普遍认为这动摇了数学的基础，这一仅涉及集合与属于两个最基本概念的悖论如此简单明了以致根本留不下为集合论漏洞辩解的余地。这就是数学史上严密的数学陷入了自相矛盾之中的第三次数学危机，就连当时像弗雷格、贝克莱等数学界和逻辑界的许多大学者都为之震惊。这就引导人们去解决这个问题。

1908 年，策梅罗提出公理化集合论，后经改进形成无矛盾的集合论公理系统，简称ZF 公理系统。原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础之上，从而避免了悖论的出现。这

就是集合论的发展进入第二阶段：公理化集合论。

公理化集合论是对朴素集合论的严格处理。它保留了朴素集合论的有价值的成果并消除了其可能存在的悖论，因而较圆满地解决了第三次数学危机。现代公理化方法的奠基人是希尔伯特。他发展了欧氏几何的公理体系，形成了现代公理化方法。现代公理化方法重在公理结构而不是对象概念。这样现代公理系统就表现了更大的一般性。当赋予公理关系中以具体对象时，那么公理系统就形成了各种各种特殊的理论。

希尔伯特建立了现代公理方法的基本逻辑要求，即相容性；独立性和完备性。这样的体系就为公理系统结构建立严密的逻辑基础。因此，公理化方法成了现代科学组织理论知识的工具。集合论和公理化方法在20世纪组建成为数学抽象和科学抽象的范式，它们的相互结合把数学甚至科学引向了高度抽象的道路。。公理化集合论的建立，标志着著名数学家希尔伯特所表述的一种激情的胜利，他大声疾呼：没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中赶出去。

四、康托尔集合论的发展及展望

自从康托尔创立古典集合论一个多世纪以来，集合论得到迅速发展和创新，后来相继出现了Fuzzy集合论与可拓集合论。

1从Cantor 集合到Fuzzy集合

集合论思想经历了从Cantor到Fuzzy的演变。长期以来，人们利用数学处理问题的主导思想通常是语言的“准确”，推理的“严格”，结论的“确定”。然而，随着社会的发展，人类的知识视野和研究领域不断扩大，需要探讨的问题剧增。于是，不确定性现象，特别是其中的模糊性现象，逐渐被人们意识到。严格地说，这些概念都没有明确的外延。若按这些概念去确定“集合”，则相应的“集合”都没有清晰的边界。一个对象对于一个这样的集合，除可以属于和不属于外，还可以有某种程度的属于或不属于，而且后者才是更一般的情形。这就是事物的模糊性。为了研究和处理模糊性事物，美国控制论专家查德教授于1965年提出了Fuzzy集合论。这从根本上建立了模糊性与分明性的联系，为分明性研究和处理事物的模糊性奠定了基础。随后给出的模糊子集的截集概念及所证明的分解定理进一步架起了普通子集与模糊子集间的桥梁，引入的扩展原理把集合间的映射扩展到了Fuzzy集合论。

2可拓集合论的产生与发展

可是，Cantor集合论与Fuzzy 集合论还描述不了现实中的许多事物，仍然满足不了日益广泛的科技实践的需要。就客观现实而言，许多事物均可按某性质P一分为二，其中不具有性质P的又可分为在一定条件下可转化为具有性质P的和不能转化为具有该性质的两类。例如产品检验，有合格品与不合格品，不合格品又分为可经返工以达合格的产品和返工也不能合格的废品。这类例子所反映的现实正体现着辩证法关于矛盾转化和内外因关系的思想。然而，Cantor集合论与Fuzzy集合论都无法描述这类问题。实际上，它们都只能描述静态的事物，而无法描述在一定条件下“非”与“是”互相转化的情形。因此，第三种集合论的问世成为必然。

可拓集合论创始人蔡文在创立新学科物元分析的过程中，为了找到处理矛盾问题的数学工具，建立了可拓集合理论正文。蔡文发现：传统数学解决不了矛盾问题是因为它只就事物某特征的量值关系进行研究，而不同时考虑事物本身及其特征两个要素。于是他引入事物、特征、量值这个有序三元组，作为描述事物的基本元，称为物元。他指出：任何问题都可利用物元来描述；解决矛盾问题的关键，就在于对物元进行变换。为给物元变换建立数学模型，必须有适应这种思想的集合理论。这个新数学工具就是可拓集合论。蔡文这一研究的开创性论文《可拓集合和不相容问题》在1983年发表于《科学探索学报》。这篇论文的发表宣告了可拓集合论的诞生，标志着新学科物元分析从孕育阶段进入了初创阶段。1994年，蔡文的第二本专著《物元模型及其应用》出版。书中确定了新学科的研究范围，必须采取的

范畴，解决问题的技术手段和研究途径，并初步形成了解决问题的方案。这标志着新学科的创建已由初创阶段转入完成阶段。随着可拓集合理论研究的深入，以此为基础的一些课题如可拓代数、可拓概率、可拓矩阵、可拓逻辑与算法等的研究也逐步展开，它们将形成解决矛盾问题的新的数学分支——可拓数学。由于可拓集合概念的普适性，使可拓集合可应用于诸多研究领域。如：人工智能、市场、资源、检测、控制、系统和信息等。但由于该研究的时间还很短，有很多生长点，不但理论问题需要深入研究，应用领域也需要进一步开拓。

总之，从数学史上看，每一次危机都是由数学体系内部形成悖论所引发，且在每一次悖论消除之后都建立了新的数学理论体系。在集合论发展历程中，我们已经看到征服无穷的路途中，悖论一次次出现，历经几百年，数代数学家的艰苦努力，解决了这些悖论。Fuzzy集合论的问世，使数学开始摆脱Cantor集合论思想的束缚，宣告了集合论的多样性，促进了数学家学术思想的开放，为可拓集合论的诞生准备了思想条件。可拓集合论的产生与初步发展，使数学第三次跨越了确定性研究范围，步入了事物可变性领域，成为一门当代最新的数学分支——可拓数学，并逐渐形成体系，从而使数学有可能为各门科学不仅仅解决量变范围的问题，而且能有效地解决质变范围的问题。