北京市清华附中2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)

北京市清华附中2019-2020学年高一上学期期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1.已知集合A={0,1,2}，则()

A. 0∈A

B. 1?A

C. 2=A

D. 3∈A

2.下列函数中，在定义域内是减函数的是()

A. f(x)=?1

x B. f(x)=√x C. f(x)=1

2x

D. f(x)=tanx

3.已知角α的终边上一点P(3,m)，且cosα=3

5

，则m=()

A. 4

B. ?4

C. ±4

D. ±5

4.设a=log1

3π，b=log

3

π，c=log4π，则()

A. a

B. c

C. a

D. b

5.已知平面α⊥平面β，α∩β=ι，a?α，b?β，则“a⊥ι”是“a⊥b”的()

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

6.已知函数f(x)=6

x

?log2x，则f(x)的零点所在区间是()

A. (0,1)

B. (1,2)

C. (2,4)

D. (4,+∞)

7.函数f(x)=1

1?x

+lg(x+1)的定义域是()

A. (?∞,?1)

B. (?1,+∞)

C. (?1,1)

D. (?1,1)∪(1,+∞)

8.某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A原料2千克，B原料3千克；生

产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克。每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在要求每天消耗A，B原料都不超过12千克的条件下，生产产品A，产品B 的利润之和的最大值为

A. 1800元

B. 2100元

C. 2400元

D. 2700元

9.设θ为第四象限的角，cosθ=4

5

，则sin2θ=()

A. 7

25B. 24

25

C. ?7

25

D. ?24

25

10.设函数f(x)=e x+x?2,g(x)=lnx+x2?3，若实数a,b满足f(a)=0,g(b)=0，则()

A. g(a)<0

B. f(b)<0

C. 0

D. f(b)

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

11.如果幂函数f(x)=x n的图象经过点(2,2√2)，则f(4)=_____________．

12.已知θ为第二象限角，若tan(θ+π

4)=1

2

，则sin(7π

2

+θ)?sin(θ?3π)=________．

13.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,ω>0,|φ|<π

2

)的图象(部分)

如图所示，则f(x)的解析式是______ ．

14.对于函数f(x)=2sin(2x+π

3

)，给出下列结论：其中正确的结论是________.(填序号)

①图象关于原点成中心对称；

②图象关于直线x=π

12

成轴对称；

③图象可由函数y=2sin2x的图象向左平移π

3

个单位长度得到；

④图象向左平移π

12

个单位长度，即得到函数y=2cos2x的图象．

15..已知函数f(x)={kx+2,x≤0

lnx,x>0

(k∈R)，若函数y=|f(x)|+k有三个零点，则实数k的取值范围是____________。

16.函数f(x)=log a x+a(x+1)2?8在区间(0,1)内无零点，则实数a的范围是________________．

三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）

17.化简计算：

(1)计算：log 2√748+log 212?12log 242+(1

8)?1

3×(?7

6)0+80.25×√24； (2)化简：

sin(π+α)?tan(π2?α)?cos(π

2+α)

cos(π?α)?sin(3π

2

?α)?tan(2π?α)

．

18. 已知tan α

2=1

2，求①sinα，cosα即tanα的值；②sin(α?π

4)．

19. 已知函数f(x)=2+log 3x(1≤x ≤9)，求函数g(x)=[f(x)]2+f(x 2)的最大值和最小值．

20. 已知函数f(x)=cos 2x +sinxcosx ．

(1)求函数f(x)的对称轴方程；

(2)若sinα=3

5，α∈(π

2

,π)，求f(α

2

+π

24

)的值．

21.已知f(x)是实数集R上的函数，且对任意x∈R，f(x)=f(x+1)+f(x?1)恒成立.(1)求证：

f(x)是周期函数；(2)已知f(3)=2，求f(192)．

22.已知集合{1,2}?A?{1,2,3,4}，求集合A的个数．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：A

解析：

本题考查了元素与集合的关系，由集合A={0,1,2}，故可得答案．

解：因为A={0,1,2}，故可得0∈A是正确的，

故选A．

2.答案：C

解析：解：A D两选项里的函数图象在定义域内是不连续的，因此不能说在定义域内具有什么样的单调性，故排除．

B选项该函数是幂函数，它的图象在定义域内是单调递增的，故排除．

故选C．

常见函数单调性的判断，采用排除法即可．

做这类题应该掌握住常用函数的图象及性质．

3.答案：C

解析：解：∵角α的终边上一点P(3,m)，且cosα=3

5

，

∴

√9+m2=3

5

，

∴m=±4．故选：C．

由角α的终边上一点P(3,m)，且cosα=3

5，可得

√9+m2

=3

5

，即可求出m的值．

本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．4.答案：A

解析：

本题考查比较大小，考查推理能力和计算能力，属于基础题． 利用对数函数的性质即可比较． 解：因为，

，

，

则a

5.答案：A

解析：解：由面面垂直的性质得当a ⊥l ，则a ⊥β，则a ⊥b 成立，即充分性成立， 反之当b ⊥l 时，满足a ⊥b ，但此时a ⊥l 不一定成立，即必要性不成立， 即“a ⊥l ”是“a ⊥b ”的充分不必要条件， 故选：A ．

根据面面垂直的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间面面垂直的性质是解决本题的关键．

6.答案：C

解析：

本题考查了函数零点存在性定理，属于基础题． 分别计算f(2)>0，f(4)<0，根据零点存在定理可得．

解：因为f(2)=3?log 22=2>0，f(4)=3

2?log 24=?1

2<0， 所以f(x)在(2,4)上有零点， 故选C ．

7.答案：D

解析：

本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．根据函数成立的条件，即可得到结论．

解：要使函数f(x)有意义，则{x +1>0

1?x ≠0，

即{x >?1x ≠1

，

解得x >?1且x ≠1，

即函数的定义域为(?1,1)∪(1,+∞)， 故选D ．

8.答案：C

解析：

根据题设中的条件可设每天生产甲种产品x 桶，乙种产品y 桶，根据题设条件得出线性约束条件以及目标函数求出利润的最大值即可．

解：设分别生产甲乙两种产品为x 桶，y 桶，利润为z 元 则根据题意可得{2x +2y ≤12

3x +y ≤12x,y ∈N ?，z =300x +400y

作出不等式组表示的平面区域，

作直线L ：3x +4y =0，然后把直线向可行域平移， 当x =0，y =6， 此时z 最大z =2400 故选C ．

9.答案：D

解析：

由条件利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得sin2θ的值． 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题． 解：∵θ为第四象限的角，cosθ=4

5，∴sinθ=?√1?cos 2θ=?3

5， 则sin2θ=2sinθcosθ=?24

25， 故选：D ．

10.答案：A

解析：

熟练掌握函数的单调性、函数零点的判定定理是解题的关键．先判断函数f(x)，g(x)在R上的单调性，再利用f(a)=0，g(b)=0判断a，b的取值范围即可．

解：①由于y=e x及y=x?2关于x是单调递增函数，∴函

数f(x)=e x+x?2在R上单调递增，

分别作出y=e x，y=2?x的图象，∵f(0)=1+0?2<0，

f(1)=e?1>0，f(a)=0，∴0

同理g(x)=lnx+x2?3在R+上单调递增，g(1)=ln1+1?

3=?2<0，g(√3)=ln√3+(√3)2?3=1

ln3>0，g(b)=0，

2

∴1

∴g(a)=lna+a2?3

f(b)=e b+b?2>f(1)=e+1?2=e?1>0．

∴g(a)<0

故选：A．

11.答案：8

解析：

本题考查了幂函数的解析式及其性质、指数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．解：因为幂函数f(x)=x n的图象经过点(2,2√2)，

所以2n=2√2，

所以n=3

，

2

所以f(4)=432=23=8．

故答案为8．

12.答案：2√10

5

解析：

本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中根据两角和的正切函数求得tanθ的值，进而利用诱导公式代入求解是解答的关键．

由题意得，求得tanθ=?1

3，又由θ为第二象限角，求得sinθ=√10

10

,cosθ=?3√10

10

，再由诱导公式，

即可求解．

解：由tan(θ+π

4)=1

2

，可得tan(θ+π

4

)=tanθ+1

1?tanθ

=1

2

，

解得tanθ=?1

3

，

又由θ为第二象限角，所以sinθ=√10

10,cosθ=?3√10

10

，

又由．

故答案为2√10

5

．

13.答案：f(x)=2sin(πx+π

6

)，x∈R

解析：

本题考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式的应用问题，是基础题．

根据函数图象可得周期T、振幅A，利用周期公式求出ω，利用f(1

3

)=2及φ的范围求出φ的值，即可确定函数解析式．

解：∵根据图象判断，周期为T=4×(5

6?1

3

)=2，A=2，

∴2π

ω

=2，解得：ω=π；

又2sin(π×1

3

+φ)=2，

∴π

3+φ=2kπ+π

2

，k∈Z，

∴φ=2kπ+π

6

，k∈Z；

又|φ|<π

2

，

∴φ=π

6

；

∴f(x)的解析式为f(x)=2sin(πx+π

6

)，x∈R．

故答案为：f(x)=2sin(πx+π

6

)，x∈R．

14.答案：②④

解析：

本题是三角函数图象和性质的综合应用，熟练掌握正弦型函数的对称性及平移变换法则是解答本题的关键．

解：当x=0时，2sin(2x+π

3

)=√3≠0，故①错误；

当x=π

12时，2sin(2x+π

3

)=2，取最大值，故②正确；

函数y=2sin2x的图象向左平移π

3个单位可得到y=2sin2(x+π

3

)=f(x)=2sin(2x+2π

3

)的图象，故

③错误；

函数f(x)=2sin(2x+π

3)的图象向左平移π

12

个单位，即得到函数y=2sin[2(x+π

12

)+π

3

]=2sin(2x+

π

2

)=2cos2x的图象，故④正确；

故答案为②④

15.答案：k≤?2

解析：

本题考查根的存在性及个数的判断，考查数形结合的思想．作出函数的图象是解决问题的关键，属中档题．

由题意可得|f(x)|=?k≥0，进而可得k≤0，作出图象，结合图象可得答案．

解：由y=|f(x)|+k=0得|f(x)|=?k≥0，

所以k≤0，作出函数y=|f(x)|的图象，

由图象可知：要使y=?k与函数y=|f(x)|有三

个交点，

则有?k≥2，即k≤?2，

故答案为：k≤?2．

16.答案：(1,2]

解析：

本题考查了函数单调性的判断与应用及函数零点判定定理的应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于基础题．

分01两种情况讨论，从而由函数零点判定定理及函数的单调性判断实数a的范围．解：若0

f(x)=log a x+a(x+1)2?8在定义域内连续，

且lim

x→0

f(x)→+∞，f(1)=0+4(a?2)<0，

故函数f(x)=log a x+a(x+1)2?8在区间(0,1)内有零点；

若a>1时，

函数f(x)=log a x+a(x+1)2?8在区间(0,1)上是增函数，

且lim

x→0

f(x)→?∞，

故只需使f(1)≤0，

即4(a?2)≤0，

故a≤2，

故实数a的范围是(1,2]；

故答案为(1,2]．

17.答案：(1)原式=log2√7×12

√48×√42

+8(?1)×(?13)×1+(23)14×214

=log2

√2+2+234+14=log22?12+4=7

2

．

解(2)原式=

(?sinα)?

cosα

sinα

?(?sinα)(?cosα)?(?cosα)?(?sinα

cosα

)

=?1．

解析：本题考查对数的运算及指数运算性质，考查三角函数值的求法，是基础题． (1)直接利用对数的运算及指数运算性质化简求值； (2)利用诱导公式及特殊角的三角函数值得答案．

18.答案：解：①∵tan α2=1

2，

∴sinα=2sin α2cos

α2cos 2α2+sin 2α2

c =

2tan

α2

tan 2α

2

+1

=4

5

， cosα=

cos 2α2?sin 2

α

2cos 2α2+sin 2α2

=

1?tan 2

α

21+tan 2α2

=3

5，

tanα=

sinαcosα=4

3; ②sin(α?π4

)=sinαcos π4

?cosαsin π

4

=

√22(4

5?35

)=

√210

．

解析：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式，属于基础题． ①由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα、cosα、tanα的值； ②利用两角差的余弦公式求得sin(α?π

4)的值．

19.答案：解：因为f(x)=2+log 3x ，

所以g(x)=(2+log 3x)2+2+log 3x 2=(log 3x)2+6log 3x +6=(log 3x +3)2?3． 由{

1≤x ≤9,

1≤x 2≤9,

解得1≤x ≤3，所以0≤log 3x ≤1．

由g(x)=(log 3x +3)2?3得其最大值为13，最小值为6．

解析：本题考查对数函数及其性质和函数的最值，属于基础题．

根据f(x)的定义域为[1,9]先求出g(x)的定义域为[1,3]，然后利用二次函数的最值再求函数g(x)=

f2(x)+f(x2)=(2+log3x)2+(2+log3x2)=(log3x+3)2?3的最大值与最小值．

20.答案：解：(1)函数f(x)=cos2x+sinxcosx=1+cos2x

2+1

2

sin2x=√2

2

sin(2x+π

4

)+1

2

，

令2x+π

4=π

2

+kπ(k∈Z)，解得x=π

8

+kπ

2

(k∈Z)，

即为所求的对称轴方程．

(2)由sinα=3

5，α∈(π

2

,π)，则cosα=?√1?sin2α=?4

5

，

而f(α

2+π

24

)=√2

2

sin(α+π

3

)+1

2

=√2

2

(sinαcosπ

3

+cosαsinπ

3

)+1

2

，

将sinα=3

5，cosα=?4

5

代入上式，

求得：f(α

2+π

24

)=3√2?4√6+10

20

．

解析：(1)利用三角恒等变换化简f(x)的解析式，再根据正弦函数的图象的对称性，求出函数f(x)的对称轴方程．

(2)由题意利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值，再利用两角和差的三角公式求得f(α

2+π

24

)的

值．

本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式、二倍角公式的应用，属于基础题．21.答案：(1)略；(2)?2

解析：(1)证明∵f(x)=f(x+1)+f(x?1)，∴f(x+1)=f(x)?f(x?1)，则f(x+2)=f[(x+ 1)+1]=f(x+1)?f(x)=?f(x?1)∴f(x+3)=?f(x)∴f(x+6)=f(x)∴f(x)是周期函数且6是它的一个周期.(2)f(192)=f(0)=?f(3)=?2．

22.答案：4．

解析：因为集合{1,2}?A?{1,2,3,4}，所以集合A为{1,2,3}，{1,2,4},{1,2,3,4}，{1,2}．