空间向量与立体几何知识点归纳总结

空间向量与立体几何知识点归纳总结

一．知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等

的向量。

（2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

OB OA AB a b =+=+u u u r u u u r u u u r v r ;BA OA OB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ;()OP a R λλ=∈u u u r r

运算律：⑴加法交换律：a b b a ?

??ρ+=+

⑵加法结合律：)()(c b a c b a ?

???ρ?++=++

⑶数乘分配律：b a b a ?

???λλλ+=+)(

运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则

3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向

量也叫做共线向量或平行向量，a ρ

平行于b ρ，记作b

a ρ?//。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ

（b ρ≠0ρ），

a ρ

b ρa ρb

ρλ=)1(=++=y x y x 其中

a

±

共面向量

（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b r

r 不共线，p r

与向量,a b r

r 共面的条件

是存在实数,x y 使p xa yb =+r r r

。

（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>y x AP +=

<=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中

5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c r r r

不共面，那么对空间任一向量

p r ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++r r r r

。

若三向量,,a b c r r r 不共面，我们把{,,}a b c r r r

叫做空间的一个基底，,,a b c r r r 叫

做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三

个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r

。

6. 空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标：

在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组

(,,)x y z ，使++=，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐

标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。 注：①点A （x,y,z ）关于x 轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy 平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。②在y 轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz 中的点设为(0,y,z)

（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位

正交基底，用{,,}i j k r r r

表示。空间中任一向量k z j y i x a ++==（x,y,z ）

（3）空间向量的直角坐标运算律：

①若123(,,)a a a a =r

，123(,,)b b b b =r ，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++r r ，

112233(,,)a b a b a b a b -=---r r ，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈r

，

112233a b a b a b a b ?=++r r

， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈r r

， 1122330a b a b a b a b ⊥?++=r r

。

②若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---u u u r

。

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

③定比分点公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，λ=，则点P 坐标

为)1,1,1(

2

12121λ

λλλλλ++++++z z y y x x 。推导：设P （x,y,z ）则),,(),(22211,1z z y y x x z z y y x x ---=---λ,显然，当P 为AB 中点时，

)2

,2,2(

2

12121z z y y x x P +++ ④),,(),,,(,,,333222111

z y x C z y x B ）z y ，A（x ABC 中?，三角形重心P 坐标

为)2

,2,3(

3

21321321z z z y y y x x x P ++++++ ⑤ΔABC 的五心：

内心P

：内切圆的圆心，角平分线的交点。AC AB +

=λ（单位向

量）

外心P

：外接圆的圆心，中垂线的交点。==

垂心P ：高的交点：PC PB PC PA PB PA ?=?=?（移项，内积为0，则垂直）

重心P ：中线的交点，三等分点（中位线比）

)(31AC AB AP += 中心：正三角形的所有心的合一。

（4）模长公式：若123(,,)a a a a =r ，123(,,)b b b b =r

，

则||a ==r

||b ==r

（5

）夹角公式：cos ||||a b

a b a b ??==?r r

r r r r 。 ΔABC 中①0>?<=>A 为锐角②0A 为钝角，钝角Δ （6）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，

则||AB ==u u u r ，

或,A B d = 7. 空间向量的数量积。

（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b r

r ，在空间任取一点O ，

作,OA a OB b ==u u u r u u u r r r ，则AOB ∠叫做向量a r

与b r 的夹角，记作,a b <>r r ；且规定

0,a b π≤<>≤r r ，显然有,,a b b a <>=<>r r r r ；若,2

a b π<>=r r ，则称a r 与b r 互相垂直，

记作：a b ⊥r

r 。

（2）向量的模：设OA a =u u u r r ，则有向线段OA u u u r 的长度叫做向量a r

的长度或模，

记作：||a r

。

（3）向量的数量积：已知向量,a b r

r ，则||||cos ,a b

a b ??<>r r r r 叫做,a b r r 的

数量积，记作a b ?r

r ，即a b

?=r r ||||cos ,a b a b ??<>r r

r r 。

（4）空间向量数量积的性质：

①||cos ,a e a a e ?=<>r r r r r

。②0a b a b ⊥??=r r r r 。③2||a a a =?r r r 。

（5）空间向量数量积运算律：

①()()()a b a b a b λλλ?=?=?r r r r r r 。②a b b a ?=?r r r r

（交换律）。

③()a b c a b a c ?+=?+?r r r r r r r

（分配律）。

④不满足乘法结合率：)()(c b a c b a ?≠? 二．空间向量与立体几何

1．线线平行?两线的方向向量平行

1-1线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 1-2面面平行?两面的法向量平行

2线线垂直（共面与异面）?两线的方向向量垂直 2-1线面垂直?线与面的法向量平行 2-2面面垂直?两面的法向量垂直

3线线夹角θ（共面与异面）]90,0[O O ?两线的方向向量2

,1n n 的夹角或夹角的

补角，><=2,1cos cos n n θ

3-1线面夹角θ]90,0[O O ：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量与面的法向量n 的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角.><=,cos sin θ

3-2面面夹角（二面角）θ]180,0[O O ：若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量2,1n n 的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.

><±=21,cos cos n n θ

4．点面距离h ：求点()00,P x y 到平面α的距离： 在平面α上去一点(),Q x y ，

得向量PQ uuu r

;；

计算平面α的法向量n

;.h

=

4-1线面距离（线面平行）：转化为点面距离 4-2面面距离（面面平行）：转化为点面距离

【典型例题】

1．基本运算与基本知识（）

例1. 已知平行六面体ABCD －D C B A ''''，化简下列向量表达式，标出化简结果的向量。

⑴AB BC +u u u r u u u r ； ⑵AB AD AA '++u u u r u u u r u u u r

；

⑶12AB AD CC '++u u u r u u u r u u u u r ； ⑷1()3

AB AD AA '++u u u

r u u u r u u u r 。 例2. 对空间任一点O 和不共线的三点,,A B C ，问满足向量式：

OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r

（其中1x y z ++=）的四点,,,P A B C 是否共面？

例3 已知空间三点A （0，2，3），B （－2，1，6），C （1，－1，5）。

⑴求以向量,AB AC u u u r u u u r

为一组邻边的平行四边形的面积S ；

⑵若向量a r 分别与向量,AB AC u u u r u u u r 垂直，且|a r |＝3，求向量a r

的坐标。

2．基底法（如何找，转化为基底运算） 3．坐标法（如何建立空间直角坐标系，找坐标） 4．几何法

例4. 如图，在空间四边形OABC 中，8OA =，6AB =，4AC =，5BC =，

45OAC ∠=o ，60OAB ∠=o ，求OA 与BC 的夹角的余弦值。

说明：由图形知向量的夹角易出错，如,135OA AC <>=o u u u r u u u r

易错写成,45OA AC <>=o u u u r u u u r

，切记！

例5. 长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，E 为11AC 与11B D 的交点，F 为1BC 与1B C 的交点，又AF BE ⊥，求长方体的高1BB 。 【模拟试题】

1. 已知空间四边形ABCD ，连结,AC BD ，设,M G 分别是,BC CD 的中点，化简

下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）AB BC CD ++u u u r u u u r u u u r

；

（2）1()2AB BD BC ++u u u r u u u r u u u r ； （3）1()2

AG AB AC -+u u u r u u u r u u u r

。

2. 已知平行四边形ABCD ，从平面AC 外一点O 引向量。

,,,OE kOA OF kOB OG kOC OH kOD ====u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

。

（1）求证：四点,,,E F G H 共面； （2）平面AC //平面EG 。

3. 如图正方体1111ABCD A B C D -中，11111114

B E D F A B ==，求1BE 与1DF 所成角的余弦。

5. 已知平行六面体ABCD A B C D ''''-中，

4,3,5,90AB AD AA BAD '===∠=o ， 60BAA DAA ''∠=∠=o ，求AC '的长。

[参考答案]

1. 解：如图，

（1）AB BC CD AC CD AD ++=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

；

（2）111()222

AB BD BC AB BC BD ++=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

。

AB BM MG AG =++=u u u r u u u u r u u u u r u u u r ；

（3）1()2

AG AB AC AG AM MG -+=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r

。

2. 解：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r

，

∵EG OG OE =-u u u r u u u r u u u r ，

∴,,,E F G H 共面；

（2）解：∵()EF OF OE k OB OA k AB =-=-=?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

，又∵EG k AC =?u u u r u u u r ，

∴//,//EF AB EG AC 。 所以，平面//AC 平面EG 。 3.

解：不妨设正方体棱长为1，建立空间直角坐标系O xyz -， 则(1,1,0)B ，13(1,,1)4E ，(0,0,0)D ， 11(0,,1)4

F ，

∴11(0,,1)4BE =-u u u u r ，11

(0,,1)4

DF =u u u u r ，

∴1117

4

BE DF ==u u u u r u u u u r ，

11111500()114416BE DF ?=?+-?+?=u u u u r u u u u r 。

1115

1516cos ,171717BE DF ==u u u u r u u u u r 。

4. 分析：⑴1

(2,1,3),(1,3,2),cos 2

||||AB AC AB AC BAC AB AC ?=--=-∴∠==u u u r u u u r

u u u r u u u r u u u

r u u u r Q ∴∠BAC ＝60°，||||sin 603S AB AC ∴==o u u u r u u u r

⑵设a r

＝（x ，y ，z ），则230,a AB x y z ⊥?--+=u u u r r

解得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1，∴a r ＝（1，1，1）或a r

＝（－1，－1，－1）。

5. 解：

22

||()AC AB AD AA ''=++u u u u r u u u r u u u r u u u r 所以，

||AC '=u u u u r