普通物理学教程力学课后答案高等教育出版社第四章 动能和势能
第4章动能和势能
习题解答
4.2.2 本题图表示测定运动体能的装置。绳拴在腰间沿水平展开跨过理想滑轮，下悬重物50kg ，人用力向后蹬传送带而人的质心相对于地面不动，设传送带上侧以2m/s 的速率向后运动，问运动员对传送带做功否？功率如何？
解：人作用在传送带上的力有向下的压力和水平向后的静摩擦力，压力方向与传送带位移方向垂直，所以压力不做功，但静摩擦力方向与传送带位移方向相同，所以静摩擦力对传送带做正功。
分析人受力情况，由质心定理可知，人与传送带之间的静摩擦力的大小f=mg ，所以，人对传送带做功的功率为：
N = fv = mgv = 50×9.8×2 = 9.8×102（瓦）
4.2.3 一非线性拉伸弹簧的弹性力的大小为l l k l k f ,321+=表示弹簧的伸长量，k 1为正，⑴研究当k 2＞0、k 2<0和k 2=0时弹簧的劲度df/dl 有何不同；⑵求出将弹簧由l 1拉长至l 2时弹簧对外界所做的功。
解：弹簧的劲度df/dl=k 1+3k 2l 2
. k 2=0时，df/dl =k 1，与弹簧的伸长量 无关；当k 2>0时，弹簧的劲度随弹簧 伸长量的增加而增大；k 2<0时，弹簧 的劲度随弹簧伸长量的增加而减小。在以上三种情况中，劲度df/dl 与弹簧伸长量l 的关系如图所示。
)
)](([)
()()(2
12
22
12
222
11214
1422412
1221213
213
212
1
2
1
2
1
l l l l k k l l k l l k dl
l k ldl k dl l k l k A l l l l l l -++-=--
--
=--=+-=???
4.2.4一细线系一小球，小球在光滑水平桌面上沿螺旋线运动，线穿过桌中心光滑圆孔，用力F 向下拉绳，证明力F 对线做的功等与线作用于小球的拉力所做的功，线不可伸长。 证明：以圆孔为顶点建立极坐标，设小球的位置由r 1,θ1
变为r 2,θ2，由于忽略绳
的质量、伸长，不计摩擦，所以绳对球的拉力T=F
F
T F r r r r r r r
T A A r r T r r F A r r T dr
T
Tdr
dr F
A =∴-=-=-==-
==
???),
()()(2121211
2
2
1
2
1
4.2.5 一辆卡车能够沿着斜坡以15km/h 的速率向上行驶，斜坡与水平面夹角的正切tg α=0.02，所受阻力等于卡车重量的0.04，如果卡车以同样的功率匀速下坡，卡车的速率是多少？
解：设卡车匀速上坡时，速率为v, 牵引力为F, 功率为N,由质点平衡方程有，F = (0.04+sin α)mg ，∴N = Fv = (0.04+sin α)mgv
设卡车匀速下坡时，速率为v ’,牵引力为F',功率为N', 由质点平衡方程有 F'+ mg sin α= 0.04mg, F'=(0.04-sin α)mg, ∴N'= (0.04-sin α
)mgv'.
令N'= N, 即（0.04+sin α）mgv = (0.04-sin α)mgv'，可求得：
v'= v(0.04+sin α)/(0.04-sin α). 利用三角函数关系式，可求得： sin α≈tg α=0.02 ,∴v'=3v =3×15×103/602 m/s = 12.5m/s.
4.3.1质量为m=0.5kg 的木块可在水平光滑直杆上滑动，木块与一不可伸长的轻绳相连，绳跨过一固定的光滑小环，绳端作用着大小不变的力T=50N ，木块在A 点时具有向右的速率v 0=6m/s ，求力T 将木块从A 拉至B 点时的速度。
解：以A 为原点建立图示坐标o-x ，木块由A 到B ，只有拉力T 做功：
?
??
+--===
4
3
)4()4(4
4
02
2
cos x dx x x T dx T dx F A θJ
x x x d x T 100)35(50|9)4(50
|]
9)4[(2]9)4[(]9)4[(4
024
2
/122
504
2
2/122
=-?=+-=+-?-=+-+--
=?- 设木块到达B 时的速度为v ，由
动能定理：2
0212
2
1mv mv
A -
=
s m v m A v /88.2065.0/1002/22
2
≈+?=+=
，方向向右
4.3.2 质量为1.2kg 的木块套在光滑铅直杆上，不可伸长的轻绳跨过固定的光滑小环，孔的直径远小于它到杆的距离。绳端作用以恒力F ,F=60N,木块在A 处有向上的速度v 0=2m/s,求木块被拉至B 时的速度。
解：以地为参考系，建立图示坐标A-xy ，木块在由A 到B 的运动过程中受三个力的作用,各力做功分别是： A N = 0；A W = -mg(y B -y A )=-1.2×9.8×0.5= -5.88J ；F 大小虽然不变，但方向在运动过程中不断变化，因此是变力做功。
J
F y y d y y d y dy
F dy F dy F A F F F y y y F 43.12)12(605.0)12(5.0|]
)5.0(5.0[2]
)5.0(5.0[]
)5.0(5.0[)
5.0(])5.0(5.0[cos 5
.00
2
/12
2
2
5
.00
2
2
2
/12
2
25
.002
2
/12
2
25
.00
)
5.0(5.05.05
.00
5
.00
2
2
=-?=-=-+?-
=-+-+-=--+-====?
??
?
?
---+-θ
由动能定理：22
12
2
1A
B F W N mv
mv A A A -
=++
代入数据，求得 v B =3.86 m/s.
4.3.3 质量为m 的物体与轻弹簧相连，最初m 处于使弹簧既未压缩也未伸长的位置，并以速度v 0 向右运动，弹簧的劲度系数为k ，物体与支撑面间的滑动摩擦系数为μ求证物体能达到的最远距离l
为
A
B
x
)11(2
2
-+
=
mg
v k k
mg
l μμ
证明：质点m 由弹簧原长位置运动到最远位置l ，弹力F 和滑动摩擦力f 对质点做负功，导致质点动能由mv 02
/2变为0。根据动能定理：
A F +A f =0 - mv 02/2 ……①
其中，mgl A kl ldl k A f l
F μ-=-=-=?,2
2
10，代入①中，并整理，有：kl 2+2μmgl-m v 02
=0. 这是一个关于l 的一元二次方程，其根为：
k
v m k g m g m l 24)2(22
2
+±
-=
μμ，负根显然不合题意，舍去，所以，
)11()(2
2
20
2
21
-+
=
++
-
=g
m v k k
g
m k
k
g
m kmv g m l μμμμ
4.3.4圆柱形容器内装有气体，容器内壁光滑，质量为m 的活塞将气体密封，气体膨胀前后的体积各为V 1,V 2，膨胀前的压强为p 1，活塞初速率为v 0. ⑴求气体膨胀后活塞的末速率,已知气体膨胀时气体压强与体积满足pv=恒量. ⑵若气体压强与体积的关系为pv γ=恒量，γ为常量，活塞末速率又如何？
解：以活塞为研究对象，设膨胀后的速率为v ，在膨胀过程中，作用在活塞上的力有重力mg ，气体对活塞的压力N=pS （S 为气缸横截面），忽略重力所做的功（很小），对活塞应用动能定律：
m A v v mv mv
A N N /2,2
02
0212
2
1+=
∴-
=
⑴若pV=p 1V 1，
1
22
2
1
2
1
ln
11111V V V V
V
V V V V N V p dV V p pdV pSdx A ====?
??
⑵若pV γ=p 1V 1
)(111
12
1
1112
1
2
1
γ
γ
γ
γ
γ
γ
-----=
==??V V V p dV V
V p pdV A V V V V N
4.3.5 o'坐标系与o 坐标系各对应轴平行，o'相对o 沿x 轴以v 0做匀速直线运动. 对于o 系质点动能定理为： 2
1212
22
1mv mv x F -=
?，v 1,v 2沿x 轴，根据伽利略变换证明：对于o'系，动能定理也取这种形式。
证明：由伽利略变换：x=x'+v 0t , v=v'+v 0，Δx=Δx'+v 0Δt ① v 1=v 1'+v 0，v 2=v 2'+v 0 ②，将①②代入2
1212
22
1mv mv x F -
=
?中，有
122
1212
22
10122
1212
22
12
01212
022
10)('')''('')
'()'('v v v m mv mv v v v m mv mv v v m v v m tv F x F -+-
=-+-
=
+-
+=?+? 据动量定理：
)(12v v m p t F -=?=?
所以， 2
1212
221'''mv mv x F -
=?
m
S
4.3.6 在质量分析器中（详见教材）,电量为e 的离子自离子源A 引出后，在加速管中受到电压为U 的电场加速.设偏转磁感应强度为B ,偏转半径为R.求证在D 漂移管中得到的离子的质量为
m=eB 2R 2/2U.
证明：正离子从离子源A 引出后，在加速管中受到电压为U 的电场加速，正离子动能的增量等于电场力对正离子所做的功，即，
mv 2/2-0=eU,∴v=(2eU/m)1/2
正离子在半径为R 的弯管中受到洛仑兹力的作用而发生偏转，若能进入漂移管道，根据牛顿二定律必须满足：qvB=mv 2
/R ,也就是，
eB=mv/R ，将v=(2eU/m)1/2代入，并将方程两边平方，得：
e 2B 2=2meU/R 2，∴m=eB 2R 2/2U .
4.3.7 轻且不可伸长的线悬挂质量为500g 的圆柱体，圆柱体又套 在可沿水平方向移动的框架内，框架槽沿铅直方向，框架质量为200g.自悬线静止于铅直位置开始，框架在水平力F =20.0N 作用下移至图中位置，求圆柱体的速度，线长20cm,不计摩擦。
解：设绳长l ，圆柱质量m 1，框架质量m 2，建立图示坐标o-xy ；据题意，圆柱在o 点时，圆柱和框架的速度均为零；圆柱在图示位置时，设圆柱的速度为v 1，方向与线l 垂直，框架的速度为v 2,方向水平向右，由圆柱与框架的套接关系，可知v 2=v 1x ，v 1y =v 1x tg30o
圆柱体m 1与框架m 2构成一质点系，此质点系在从竖直位置运动到图示位置的过程中，只有重力W 1=m 1g 和拉力F 做功：其中，
A W 1= - m 1gl(1-cos30o)= - 0.13J, A F = F l sin30o= 2J ,由质点系动能定理，有2
12212
12
11212
22212
112
1
1)(x y x F W v m v v m v m v m A A +
+=+
=
+
)/()(2])301([213
412
122
12
121m m A A v m tg m v F W x x ++=∴+?+=
代入数据,v 1x 2=4.3, v 1y 2=(v 1x tg30o)2=1.44∴v 1=(v 1x 2+v 1y 2)1/2=2.4m/s.
4.4.1两个仅可压缩的弹簧组成一可变劲度系数的弹簧组，弹簧1和弹簧2的劲度系数各为k 1,k 2，它们自由伸展的长度相差l ，坐标原点置于弹簧2自由伸展处，求弹簧组在0≤x ≤l 和x<0时弹性势能的表达式。
解：规定两个弹簧处在坐标原点时的弹性势能为零；弹簧2的势能表达式显然为： 0,2
22
12≤=
x x k E p ；弹簧1的势能：
)
(,
])[(|
)()()()(12
12
12
2
1210
2
12
10
10
11l x lx k x k l x l k x l k x l d x l k dx x l k E x x
x
p ≤-=--=
-=
--=--=??
当0≤x ≤l 时，lx k x k E E p p 12
12
11-==
当x<0时，lx k x k k E E E p p p 12
212
121)(-+=+=
4.5.1 滑雪运动员自A 自由下落，经B 越过宽为d 的横沟到达平台C 时，其速度v c
刚好在水平方向，
2
已知A 、B 两点的垂直距离为25m.坡道在B 点的切线方向与水平面成30o角，不计摩擦，求：⑴运动员离开B 处的速率v B ；⑵B 、C 的垂直高度差h 及沟宽d ；⑶运动员到达平台时的速率v c .
解：运动员在整
个运动过程中,只有重
力做功,故机械能守恒，B 点为势能零点。
∵mgH = mv B 2/2 ∴s m gH v B /1.22258.922=??=
=
运动员由B 到C 作斜抛运动，据题意，C 点即为最高点。由斜抛运动规律可知，v c = v B cos30o = 19.1m/s ∵mv B 2/2 = m v c 2/2+mgh ∴h = (v B 2-v c 2)/2g = 6.3m ；由竖直方向的速度公式可求跨越时间：∵0 = v B sin30
o-gt ∴t = v B /2g =1.13s ，由水平方向的位移公式可求得跨越距离 d = v B cos30ot = 21.6m.
4.5.2装置如图所示，球的质量为5kg ，杆AB 长1m ，AC 长0.1m ，A 点距o 点0.5m ，弹簧的劲度系数为800N/m ，杆AB 在水平位置时恰为弹簧自由状态，此时释放小球，小球由静止开始运动，求小球到铅垂位置时的速度，不计弹簧质量及杆的质量，不计摩擦。
解：取小球在水平位置时，势能为零，小球运动到竖直位置时的速度为v ，弹簧原长：51.01
.05.02
2
0=+=
l ，在小球从水平位置运动到竖直位置的
过程中，只有保守内力做功，因而机械能守恒：
2
0212
2
1
)(0l AC OA k AB mg mv -++
-=，可求得：
s
m m
l AC OA k AB g v /28.45/)51.01.05.0(80018.92/)(22
2
0=-+-??=
-+-=
4.5.3 物体Q 与一劲度系数为24N/m 的橡皮筋连接，并在一水平(光滑)圆环轨道上运动，物体Q 在A 处的速度为1.0m/s ，已知圆环的半径为0.24m,物体Q 的质量为5kg,由橡皮筋固定端至B 为0.16m,恰等于橡皮筋的自由长度.求:⑴物体Q 的最大速度; ⑵物体Q 能否达到D 点，并求出在此点的速度. 解: 物体Q 在整个运动过程中，只有弹簧的弹力做功，所以机械能守恒.总能量E=
2
02022122
1
])([l l R R k mv
A
-+++
代入数据，求得E=3.63J
⑴在B 点, 弹簧的势能全部转 化为动能，所以, 在该点速度最大.
mV B 2/2 = E, v B = (2E/m)1/2 = 1.2m/s
⑵在D 点的弹性势能，
E p =k(2R)2
/2=2kR 2
=2×24×0.242
=2.76
∵E p 4.6.1 卢瑟福在一篇文章中写道：可以预言，当α粒子和氢原子相碰时，可使之迅速运动起来.按正碰考虑很容易证明,氢原子速度可达α粒子碰撞前速度的1.6倍,即占入射α粒子能量的64%.试证明此结论(碰撞是完全弹性的,且α粒子质量接近氢原子质量的四倍 ). 证明: 设氢原子质量为m,碰前速度为零,碰后速度v H ',α粒子质量为4m,碰前速度为v α,碰后速度为v α'.根据完全弹性碰撞基本公式： ?? ?-=+=''' '44αα ααv v v mv mv mv H H 即 ， )2('')1(''44ααααv v v v v v H H -=+= ⑴＋⑵×4，得 8 v α= 5v H ', ∴ v H '= 8 v α/5 = 1.6 v α 64.02 2 2 2 4)6.1(2 /42/'== = α αα α v v v m v m E E H H 4.6.2 m 为静止车厢的质量，质量为M 的机车在水平轨道上自右方以速率v 滑行并与m 碰撞挂钩.挂钩后前进了距离s 然后静止。求轨道作用于车的阻力。 解：整个过程可分为两个阶段： 第一阶段，机车与车厢发生完全非性碰撞而获得共同速度v ’，由于阻力远小于冲力，可认为质点系动量守恒， Mv=(M+m)v ’,v ’=Mv/(M+m) 第二阶段，机车与车厢挂钩后，在摩擦阻力的作用下向前移动了s ，速度由v ’变为零，由动能定理，有 – fs = 0 - (M+m) v ’2 /2, 将v ’代入，可求得 ) (22 2m M s v M f += 4.6.3 两球具有相同的质量和半径，悬挂于同一高度.静止时,两球恰能接触且悬线平行.碰撞的恢复系数为e.若球A 自高度h 1释放，求该球弹回后能达到的高度。又问若二球发生完全弹性碰撞，会发生什么现象，试描述之。 解：设两球质量均为m ，球A 由h 1高处运动到水平位置获得的速度v A ，可由能量守恒方程求出： mgh 1=mv A 2 /2∴v A =12gh 设A,B 两球碰后速度分别为v A '和v B '，根据非完全弹性碰撞的基本公式，有 ?? ?=-+=A A B B A A ev v v mv mv mv ''' ' 即， ''''A B A B A A v v ev v v v -=+= 可求得，???? ?+=+=-=-=) 2(2 /2)1(2/)1(')1(2 /2)1(2/)1('11 gh e e v v gh e e v v A B A A 设A 球弹回后的最大高度为h ，根据能量守恒,2 1mv A '2=mgh 12 2 )1(4 12' h e g v h A -= = 若为完全弹性碰撞，则e=1,由（1）,（2）可知：v A '=0, v B '=v A ,即，碰后A 球静止，B 球以A 球原来的速度向右运动；B 球达到h 1高度返回后，又把能量、动量、速度全部传给A 球，周而复始，这种传递永远 进行下去。 4.6.4质量为2g 的子弹以500m/s 的速度射向质量为1kg ，用1m 长的绳子悬挂着的摆，子弹穿过摆后仍然有100m/s 的速度，问摆沿铅直方向升起若干？ 解：用v 0,v 分别表示子弹穿过摆前后的速度，V 表示子弹穿过摆后摆的速度，设摆升起的最大高度为h 由动量守恒：MV mv mv +=0，可得 8.0)100500(002.0)(0=-=-= v v V M m 由能量守恒：Mgh MV =2 2 1 m g V h 033.0)8.92/(8.02/2 2 =?== 4.6.5一质量为200g 的框架，用一弹簧悬挂起来，使弹簧伸长10cm ，今有一质量为200g 的铅快在高30cm 处从静止开始落进框架，求此框架向下移动的最大距离，弹簧质量不计，空气阻力不计。 解：框架静止时，弹簧伸长Δl =0.1m ，由平衡条件mg=k Δl ,求得： k=mg/Δl =0.2×9.8/0.1=19.6N/m 铅块落下h=30cm 后的速度v 0，可由能量守恒方程求出：2 02 1mv mgh = s m gh v /42.23.08.9220=??= = 设铅快与框架碰后的共同速度为v ，由动量守恒： s m v v mv mv /21.12/42.2, 202 10=== = 设框架下落的最大距离为x ，由机械能守恒： mgx x l k l k v m m 2)()(2 2 12 2 12 2 1-+?= ?+ +，进行整理并代入数据，可得x 的一元二次方程： m x x x 3.0,003.02.02 ==-- 4.6.6 质量为m 1=0.790kg 和m 2=0.800kg 的物体以劲度系数为10N/m 的轻弹簧相连，置于光滑水平桌面上，最初弹簧自由伸张。质量为0.01kg 的子弹以速率v 0=100m/s 沿水平方向射于m 1内，问弹簧最多压缩了多少？ 解：整个过程可分为两个阶段处理。第一阶段：子弹射入m 1内， 发生完全非弹性碰撞，动量守恒，设子弹质量为m 0，子弹与m 1获得的共同速度为v ,则有 m 0v 0 = (m 1+m 0) v ∴v = v 0m 0 / (m 1+m 0) （1） 第二阶段：子弹与m 1以共同速度v 开始压缩弹簧至m 1与m 2有相同的速度V ,压缩结束；在此过程中，由m 0,m 1,m 2组成的质点系，其动量、能量均守恒，设弹簧最大压缩量为l .由动量守恒，有： V m ) 2()()(0 210 00 210102101m m m v m v m m m m m V V m m m v m m ++= +++= ∴++=+ 由能量守恒:)3()()(2 2 1 2 0212 12 012 1kl V m m m v m m + ++=+ 将⑴、⑵代入⑶中，可求得： m m m m m m k v m l 25.0)11 ( 10 210 10 0≈++- += 4.6.7 一10g 的子弹沿水平方向以速率110m/s 击中并嵌入质量为100g 的小鸟体内，小鸟原来站在离地面4.9m 高的树枝上，求小鸟落地处与树枝的水平距离。 解：设鸟被子弹击中后与子弹共有的速度为v ，由动量守恒： v m m v m )(2101+= s m v m m v m /101 .001.011001.02 101== = +?+ 由平抛运动公式2 2 1gt h =,可求得子弹落地时间： s g h t 18.9/9.42/2=?= = ，所以，水平距离S=vt=10×1=10m 4.6.8在一铅直面内有一光滑轨道，左边是一个上升的曲线，右边是足够长的水平直线，两者平滑连接，现有A 、B 两个质点，B 在水平轨道上静止，A 在曲线部分高h 处由静止滑下，与B 发生完全弹性碰撞。碰后A 仍可返回上升到曲线轨道某处，并再度滑下，已知A 、B 两质点的质量分别为m 1和m 2，球A 、B 至少发生两次碰撞的条件。 解：设碰前m A 的速度v 0,碰后m A 、m B 的速度分别为v A 、v B ，方向如图示。由能量守恒，有 m A gh = m A v 02/2 , v 0 = (2gh )1/2 (1) 根据完全弹性碰撞基本公式，有 ?? ?=++-=) 3()2(0 0v v v v m v m v m B A B B A A A ⑴,⑵,⑶联立求解，得 )(22)(2)(B A A B B A A B A m m gh m v m m gh m m v +=+-= 发生两次碰撞的条件是：v A >v B , 即 m B -m A >2m A m B >3m A 4.6.9一钢球静止地放在铁箱的光滑地面上，如图示。CD 长l ，铁箱与地面间无摩擦，铁箱被加速至v 0时开始做匀速直线运动，后来，钢球与箱壁发生完全弹性碰撞，问碰后再经过多长时间钢球与BD 壁相碰？ 解：以地为参考系，设v 10,v 1为钢球与AC 端碰撞前后的速度，v 20,v 2为铁箱碰撞前后的速度，据题意，v 10=0,v 20=v 0. 对于完全弹性碰撞，碰前接近速度等于碰后分离速度：v 0=v 1-v 2 ，分离速度 m 1 m 2 C v 1-v 2也就是碰后球相对箱的速度v'，所以钢球由AC 端运动到BD 端所需时间为： 021/)/('/v l v v l v l t =-==? 4.6.10两车厢质量均为M,左边车厢与其地板上质量为M 的货箱共同向右以v 0运动，另一车厢以2v 0 从相反方向向左运动并与左车厢碰撞挂钩，货箱在地板上滑行的最大距离为l ，求：⑴货箱与车厢地板间的摩擦系数；⑵车厢在挂钩后走过的距离，不计车地间摩擦。 解：整个过程可分为两个阶段：第一阶段是两个车对撞获得共同速度v （向左），由动量守恒：M(2v 0)-Mv 0=2Mv, v=v 0/2 第二阶段是两节车厢以速度v 在摩擦力作用下与货箱发生相对移动，移动距离是l ，最后都静止下来。在此过程中，一对滑动摩擦力做功之和为：A f =-μmg l ，对质点系应用动能定理： )4/(,))(2(02 020 21212 02 1gl v v M Mv mgl =∴- - =-μμ 设货箱相对车的速度为v'，显然，v'=v 0+v=2v+v=3v ，两边同乘摩擦力作用时间Δt ，即为对应的距离，l=3d , d =l /3 4.7.1 质量为M 的氘核以速率u 与静止的质量为2M 的α粒子发生完全弹性碰撞。氘核以与原方向成90o角散射。⑴求α粒子的运动方向，⑵用u 表示α粒子的末速度，⑶百分之几的能量由氘核传给α粒子？ 解：以氘核碰前速度u 和碰后速度u'的方向建立图示坐标0-xy;设α粒子碰后速度为 j v i v v y x ? ?+= 由动量守恒：v M u M u M 2'+=,投影式为 x ：M u = 2M v x ∴ v x = u /2 (1) y ：0 = Mu ’+2M v y ∴v y = - u ’/2 (2) 由能量守恒,)3()(2'2 22 12212 2 1y x v v M Mu Mu +?+= 将⑴、⑵代入⑶中，可求得 u u 3 3 '= ⑷ ⑴ 将（4）代入（2）中，求得u v y 6 3-=, v 与x 轴的夹角， θ= arctg v y /v x = arctg ()3 3- = -30o ⑵ u u u v v v y x 3 32 22 2) 6/3()2/(= += += ⑶ H E Mu Mu v M E 3 22 2 13 22 3 12 2 1)2(= ? = == α 4.7.2 桑塔纳车的总质量m 1=113×10kg,向北行驶，切诺基车的总质量m 2=152×10kg,向东行驶。两车相撞后连成一体，沿东偏北θ=30o滑出d=16m 而停止。路面摩擦系数μ=0.8。该地段规定车速不得超过80km/h.问哪辆车违背交通规则？因碰撞损失多少动能？ 解：设碰撞前，桑塔纳和切诺基的速度分别为v 1,v 2.在发生完全非弹性碰撞 可认为动量守恒，有 v m m v m v m )(212211+=+ v 0 向北投影：)1(30sin )(2111?+=v m m v m 向东投影：)2(30cos )(2122? +=v m m v m 碰后两车连在一起，以速度v 滑行d 后停止，应用动能定理， )3()(0)(2 212 121v m m gd m m +- =+-μ 由（3）可求得h km gd v /572== μ,分别代入⑴、⑵中，可求得， h km v v h km v v m m m m m m /8630cos /8.6630sin 2 211 2 121=?= =?= ++ ∵v 2>80km/h ∴切诺基汽车违反交通规则。 损失动能ΔE k =2 1m 1v 12 + 2 1 m 2v 22 –2 1(m 1+m 2)v 2 4.7.3球与台阶相碰的恢复系数为e ，每级台阶的宽度和高度相同，均等于l ，该球在台阶上弹跳，每次均弹起同样高度且在水平部分的同一位置，即AB=CD ，求球的水平速度和每次弹起的高度，球与台阶间无摩擦。 解：球每次弹起的速度v 1都相同，每次落地的速度v 2也相同，由能量守恒： 2 2212 12 1mv mgl mv = + ①gl v v v v gl v v y x y x 2, 22 12 12 22 22 12 2=--+=- 由牛顿碰撞公式：②y y ev v 21=- 在水平方向动量守恒：③x x x x v v mv mv 2121, == 由①②③可求得：2 22 112, 12e gl v e gl e v y y -= --= 平抛公式：⑥⑤④，2 2 1111,gt t v y t v l gt v v y x y y +==+= 令v y =v 2y ，由④可求得球从弹起到落地的时间： ) 1()1(21122 12e g e l g e e gl g v v t y y -+= +? -= -= 代入⑤中即可求得球的水平速度： ) 1(2)1() 1(2)1() 1()1(2) 1()1(2/ 1e e gl e l l e g e g e l e g e l l t l v x +-= +-? -+= -+== 令v y =0，由④可求得球达最大高度所需时间： x y ) 1(21122 2 1e g l e g e gl e g v t y -=? -=- = 代入⑥中即可求得球所能达到的最大高度： l e e g e g l ge e g l e e gl e y 2 22 2 2 2 1)1(22 1) 1(212-= -+ -?--= 简述建立量子力学基本原理的思想方法 摘要：量子力学是大学物理专业的一门必修理论基础课程，它研究的对象是分子、原子和基本粒子。本文对建立量子力学基本原理的思想方法作一简单叙述，供学员在学习掌握量子力学的基本理论和方法时参考。 关键词：量子力学；力学量；电子；函数 作者简介 0引言 19世纪末，由于科学技术的发展，人们从宏观世界进入到微观领域，发现了一系列经典理论无法解释的现象，比较突出的是黑体辐射、光电效应和原子线光谱。普朗克于1900年引进量子概念后，上述问题才开始得到解决。爱凶斯坦提出了光具有微粒性，从而成功地解释了光电效应。 1量子力学 量子力学是研究微观粒子的运动规律的物理学分支学科，它主要研究原子、分子、凝聚态物质，以及原子核和基本粒子的结构、性质的基础理论，它与相对论一起构成了现代物理学的理论基础。量子力学不仅是近代物理学的基础理论之一，而且在化学等有关学科和许多近代技术中也得到了广泛的应用。 2玻尔的两条假设 玻尔在前人工作的基础上提出了两条假设，成功地解释了氢原子光谱，但对稍微复杂的原予(如氦原子)就无能为力。直到1924年德布罗意提出了微观粒子具有波粒二象性之后才得到完整解释。 1924年，德布罗意在普朗克和爱因斯坦假设的基础上提出了微观粒子具有波粒二象性的假设，即德布罗意关系。1927年，戴维孙和革末将电子作用于镍单晶，得到了与x射线相同的衍射现象，从而圆满地说明了电子具有波动性。 2.1自由粒子的波动性和粒子性 它的运动是最简单的一种运动，它充分地反映了自由粒子的波动性和粒子性，将波(平面波)粒( p，E) 二象性统一在其中。如果粒子不是自由的，而是在一个变化的力场中运动，德布罗意波则不能描写。我们将用一个能够充分反映二象性特点的 《工程力学》复习资料 1．画出（各部分）的受力图 （1）（2） （3） 2．力F作用在边长为L正立方体的对角线上。设Oxy平面与立方体的底面ABCD 相平行，两者之间的距离为h，试求力F对O点的矩的矢量表达式。 解：依题意可得： cos cos F F x sin cos F F y sin F F z 其中3 3sin 3 6cos 45 点坐标为： h l l ,,则 3 ) ()(33 33 33 3j i h l F k F j F i F F M 3．如图所示力系由 F 1，F 2，F 3，F 4和F 5组成，其作 用线分别沿六面体棱边。已知：的F 1=F 3=F 4=F 5=5kN, F 2=10 kN ，OA=OC/2=1.2m 。试求力 系的简化结果。 解：各力向O 点简化 0.0.0 .523143C O F A O F M C B F A O F M C O F C O F M Z Y X 即主矩的三个分量 kN F F Rx 55 kN F F Ry 102kN F F F F RZ 54 3 1 即主矢量为: k j i 5105合力的作用线方程 Z y X 24．多跨梁如图所示。已知：q=5kN ，L=2m 。试求A 、B 、D 处的约束力。 取CD 段0 ci M 0 212 ql l F D 解得 kN F D 5取整体来研究，0iy F 0 2D B Ay F l q F F 0ix F 0 Ax F 0 iA M 0 32l F l ql l F D B 联合以上各式，解得 kN F F Ay A 10kN F B 255．多跨梁如图所示。已知：q=5kN ，L=2m ，ψ=30°。试求A 、C 处的约束力。（5+5=10分） 取BC 段0iy F 0 cos 2C B F l q F 0ix F 0 sin C Bx F F 0 ic M 0 22l l q l F By 3-10 求图示多跨梁支座A 、C 处的约束力。已知M =8kN ·m ，q =4kN/m ，l =2m 。 解：（1）取梁BC 为研究对象。其受力如图(b)所示。列平衡方程 （2）取整体为研究对象。其受力如图(c)所示。列平衡方程 3-11 组合梁 AC 及CD 用铰链C 连接而成，受力情况如图(a)所示。设F =50kN ， q =25kN/m ，力偶矩M =50kN ·m 。求各支座的约束力。 F B kN 1842494902 332, 0=??===? ?-?=∑ql F l l q l F M C C B kN 62431830 3, 0=??+-=+-==?-+=∑ql F F l q F F F C A C A y m kN 32245.10241885.1040 5.334, 022?=??+??-=+?-==??-?+-=∑ql l F M M l l q l F M M M C A C A A 解：（1）取梁CD 为研究对象。其受力如图(c)所示。列平衡方程 （2）取梁AC 为研究对象。其受力如图(b)所示，其中F ′C =F C =25kN 。列平衡方程 F C (b) (c) ′C kN 254 50 252420124, 0=+?=+= =-??-?=∑M q F M q F M D D C kN 254 50256460324, 0=-?=-= =-??+?-=∑M q F M q F M C C D ) kN(252 25225250222021212, 0↓-=?-?-='--= =?'-??-?+?-=∑C A C A B F q F F F q F F M kN 1502 25425650246043212, 0=?+?+='++==?'-??-?-?=∑C B C B A F q F F F q F F M 量子力学教案 主讲周宙安 《量子力学》课程主要教材及参考书 1、教材： 周世勋，《量子力学教程》，高教出版社，1979 2、主要参考书： [1] 钱伯初，《量子力学》，电子工业出版社，1993 [2] 曾谨言，《量子力学》卷I，第三版，科学出版社，2000 [3] 曾谨言，《量子力学导论》，科学出版社，2003 [4] 钱伯初，《量子力学基本原理及计算方法》，甘肃人民出版社，1984 [5] 咯兴林，《高等量子力学》，高教出版社，1999 [6] L. I.希夫，《量子力学》，人民教育出版社 [7] 钱伯初、曾谨言，《量子力学习题精选与剖析》，上、下册，第二版，科学出版社，1999 [8] 曾谨言、钱伯初，《量子力学专题分析（上）》，高教出版社，1990 [9] 曾谨言，《量子力学专题分析（下）》，高教出版社，1999 [10] P.A.M.Dirac,The Principles of Quantum Mechanics (4th edition), Oxford University Press (Clarendon),Oxford,England,1958；（《量子力学原理》，科学出版社中译本，1979） [11]https://www.360docs.net/doc/2e17891702.html,ndau and E.M.Lifshitz, Quantum Mechanics (Nonrelativistic Theory) (2nd edition),Addison-Wesley,Reading,Mass,1965；（《非相对论量子力学》，人民教育出版社中译本，1980） 第一章绪论 量子力学的研究对象： 量子力学是研究微观粒子运动规律的一种基本理论。它是上个世纪二十年代在总结大量实验事实和旧量子论的基础上建立起来的。它不仅在进到物理学中占有及其重要的位置，而且还被广泛地应用到化学、电子学、计算机、天体物理等其他资料。 §1.1经典物理学的困难 一、经典物理学是“最终理论”吗？ 十九世纪末期，物理学理论在当时看来已经发展到相当完善的阶段。那时，一般物理现象都可以从相应的理论中得到说明： 机械运动（v< 初三化学：动能和势能的相互转化 1. 物体由于＿＿＿＿＿而具有的能量叫动能；物体由于被举高而具有的能量叫＿＿＿； 物体由于发生弹性形变而具有的能量叫＿＿＿＿＿＿。 2. 投向空中的篮球具有＿＿＿＿能和＿＿＿＿＿能，落下时，它的＿＿＿能减小。从 落地到被弹离地面时它具有＿＿＿＿＿能。 3. 如图12.2.1所示，使单摆偏离原来静止位置到A 1。当摆球从A 1向下摆动时，它的 速度越来越快，动能逐渐＿＿＿＿＿，势能逐渐＿＿＿＿＿；当摆球到最低点O 1时，它的动能最＿＿＿、势能最＿＿＿。在此过程中，摆球的势能逐渐转变成＿＿＿能。此后，摆球又向B 1的位置运动，随着摆球的上升，它的速度越来越＿＿＿，动能逐渐转变成＿＿能；当摆球到最高处B 1点时，它的动能为＿＿＿，势能最＿＿＿＿。小球摆动起来后，它在O 1处的机械能比在O 2处的机械能＿＿＿（选填“大”、“小”）。 4. 如图12.2.2所示，在用滚摆做探究“机械能的相互转化”的活动时，把滚摆悬挂 在框架上，用手捻动滚摆使悬线缠在轴上，滚摆升到最高点后，放开手，可以看到滚摆 着下降，越转越 ，到最低点时滚摆转 而 ，直到差不多回到 的位置。滚摆在 位置时重力势能最大，在 时动能最大。可见， 和 可以相互转化。 5. 如图12.2.3，小明从滑梯上下滑的过程中，下列说法中正确的是（ ） A. 重力势能减少，动能增加 B. 重力势能增加，动能减少 C. 重力势能增加，动能不变 D. 重力势能减少，动能不变 6. 乒乓球由高处静止下落的过程中，它的机械能的转化情况是 （ ） A. 弹性势能转化为动能 B. 重力势能转化为动能 C. 动能转化为重力势能 D. 重力势能转化为弹性势能 7. 跳伞运动员在空中匀速下落时，以下说法中正确的有 （ ） A. 重力势能减少，动能增加，机械能不变 图12.2.2 图12.2.1 1 图12.2.3 4-1 试求题4-1图所示各梁支座的约束力。设力的单位为kN ，力偶矩的单位为kN ?m ，长度单位为m ，分布载荷集度为kN/m 。(提示：计算非均布载荷的投影和与力矩和时需应用积分)。 解： (b)：(1) 整体受力分析，画出受力图(平面任意力系)； (2) 选坐标系Axy ，列出平衡方程； 0: 0.40 0.4 kN x Ax Ax F F F =-+==∑ ()0: 20.80.5 1.60.40.720 0.26 kN A B B M F F F =-?+?+?+?==∑ 0: 20.50 1.24 kN y Ay B Ay F F F F =-++==∑ 约束力的方向如图所示。 (c)：(1) 研究AB 杆，受力分析，画出受力图(平面任意力系)； (2) 选坐标系Axy ，列出平衡方程； 2 ()0: 3320 0.33 kN B Ay Ay M F F dx x F =-?-+??==∑? A B C D 0.8 0.8 0.4 0.5 0.4 0.7 2 (b) A B C 1 2 q =2 (c) M=3 30o A B C D 0.8 0.8 0.8 20 0.8 M =8 q =20 (e) A B C 1 2 q =2 M=3 30o F B F Ax F A y y x dx 2?dx x A B C D 0.8 0.8 0.4 0.5 0.4 0.7 2 F B F Ax F A y y x 2 0: 2cos300 4.24 kN o y Ay B B F F dx F F =-?+==∑? 0: sin300 2.12 kN o x Ax B Ax F F F F =-==∑ 约束力的方向如图所示。 (e)：(1) 研究CABD 杆，受力分析，画出受力图(平面任意力系)； (2) 选坐标系Axy ，列出平衡方程； 0: 0 x Ax F F ==∑ 0.8 ()0: 208 1.620 2.40 21 kN A B B M F dx x F F =??++?-?==∑? 0.8 0: 20200 15 kN y Ay B Ay F dx F F F =-?++-==∑? 约束力的方向如图所示。 4-16 由AC 和CD 构成的复合梁通过铰链C 连接，它的支承和受力如题4-16图所示。已知均布载荷集度q=10 kN/m ，力偶M=40 kN ?m ，a=2 m ，不计梁重，试求支座A 、B 、D 的约束力和铰链C 所受的力。 解：(1) 研究CD 杆，受力分析，画出受力图(平面平行力系)； (2) 选坐标系Cxy ，列出平衡方程； 0()0: -20 5 kN a C D D M F q dx x M F a F =??+-?==∑? 0: 0 25 kN a y C D C F F q dx F F =-?-==∑? (3) 研究ABC 杆，受力分析，画出受力图(平面平行力系)； A B C D 0.8 0.8 0.8 20 0.8 M =8 q =20 F B F Ax F A y y x 20?dx x dx A B C D a M q a a a C D M q a a F C F D x dx qdx y x y x A B C a q a F ’C F A F B x dx qdx 工程力学习题答案 第一章 静力学基础知识 思考题：1. ×;2. √;3. √;4. √;5. ×;6. ×;7. √;8. √ 习题一 1．根据三力汇交定理，画出下面各图中A 点的约束反力方向。 解：（a ）杆AB 在A 、B 、C 三处受力作用。 由于力p u v 和B R u u v 的作用线交于点O 。 如图（a ）所示，根据三力平衡汇交定理， 可以判断支座A 点的约束反力必沿 通过A 、O 两点的连线。 （b ）同上。由于力p u v 和B R u u v 的作用线 交于O 点，根据三力平衡汇交定理， 可判断A 点的约束反力方向如 下图（b ）所示。 2．不计杆重，画出下列各图中AB 杆的受力图。 解：（a ）取杆AB 为研究对象，杆除受力p u v 外，在B 处受绳索作用的拉力B T u u v ，在A 和E 两处还受光滑接触面约束。约束力A N u u u v 和E N u u u v 的方向分别沿其接触表面的公法线， 并指向杆。其中力E N u u u v 与杆垂直， 力A N u u u v 通过半圆槽的圆心O 。 AB 杆受力图见下图（a ）。 (b)由于不计杆重，曲杆BC 只在两端受铰销B 和C 对它作用的约束力B N u u u v 和C N u u u v ， 故曲杆BC 是二力构件或二力体，此两力的作用线必须通过B 、C 两点的连线，且 B N = C N 。研究杆两点受到约束反力A N u u u v 和B N u u u v ，以及力偶m 的作用而 平衡。根据力偶的性质，A N u u u v 和B N u u u v 必组成一力偶。 (d)由于不计杆重，杆AB 在A 、C 两处受绳索作用的拉力A T u u v 和C T u u v ，在B 点受到支 座反力B N u u u v 。A T u u v 和C T u u v 相交于O 点， 根据三力平衡汇交定理， 可以判断B N u u u v 必沿通过 动能和势能机械能及其转化 撰稿：肖锋审稿：蒙阿妮 【学习目标】 1、知道动能、重力势能、弹性势能及机械能的概念； 2、了解影响动能、重力势能、弹性势能大小的因素； 3、掌握探究影响动能、重力势能大小的实验过程； 4、了解机械能的转化和守恒。 【要点梳理】 要点一、能 物体能够对外做功，我们就说这个物体具有能量，简称能。 要点诠释： 1、物体具有做功的本领，即说明此物体具有能。但是有能不一定正在做功。物体能做多少功，就说它具有多少能。 2、功就是能转化多少的量度。功代表了能量从一种形式转化为一另种形式，因而功和能的单位也是相同的。功的单位是焦耳（J），能的单位也是焦耳（J）。 要点二、动能 动能：物体由于运动而具有的能。 要点诠释： 1、物体动能的大小与两个因素有关：一是物体的质量，二是物体运动的速度大小。当物体的质量一定时，物体运动的速度越大其动能越大，物体的速度越小其动能越小。具有相同运动速度的物体，质量越大动能越大，质量越小动能越小。 2、动能是“由于运动”这个原因而产生的，一定不要把它理解成“运动的物体具有的能量叫动能”。例如在空中飞行的飞机，不但有动能而且还具有其它形式的能量。 要点三、势能 1.重力势能：物体由于被举高而具有的能量，叫做重力势能。 2.弹性势能：物体由于发生弹性形变，而具有的能叫做弹性势能。 要点诠释： 1、重力势能的大小与质量和高度有关。物体的质量越大，被举得越高，则它的重力势能越大。 2、重力势能是“被举高”这个原因而产生的，一定不要把它理解成“被举高的物体具有的能量叫重力势能”。例如在空中飞行的飞机，不但有重力势能而且还具有其它形式的能量。 3、弹性势能的大小与弹性形变的程度有关。 要点四、机械能 动能、重力势能和弹性势能统称为机械能。 要点五、动能和势能之间的相互转化（高清课堂《动能和势能、机械能及其转化》机械能及其转化） 1、在一定的条件下，动能和重力势能之间可以相互转化。如将一块小石块，从低处抛向高处，再从 高下落的过程中，先是动能转化为重力势能后，后来又是重力势能转化为动能。 2、在一定的条件下，动能和弹性势能之间可以相互转化。如跳板跳水运动员，在起跳的过程中，压 跳板是动能转化为弹性势能，跳板将运动员反弹起来是弹性势能转化为动能。 3、机械能守恒。如果一个过程中，只有动能和势能相互转化，机械能的总和就保持不变。这个规律 叫做机械能守恒。 4、水能和风能的利用：自然界的流水和风能都是具有大量机械能的天然资源。利用水能发电，一定量的水，上、下水位差越大，水的重力势能越大，能发出的电就越多。利用风能发电，在风力资源丰富的地区，可以同时安装几十台到几百台风力发电机，组成“风车田”联在一起供电。 第一章 静力学基本概念与物体的受力分析 下列习题中，未画出重力的各物体的自重不计，所有接触面均为光滑接触。 1.1 试画出下列各物体（不包括销钉与支座）的受力图。 解：如图 (g) (j) P (a) (e) (f) W W F F A B F D F B F A F A T F B A 1.2画出下列各物体系统中各物体（不包括销钉与支座）以及物体系统整体受力图。 解：如图 F B B (b) (c) C (d) C F D (e) A F D (f) F D (g) (h) EO B O E F O (i) (j) B Y F B X B F X E (k) 1.3铰链支架由两根杆AB、CD和滑轮、绳索等组成，如题1.3图所示。在定滑轮上吊有重为W的物体H。试分别画出定滑轮、杆CD、杆AB和整个支架的受力图。 解：如图 ' D 1.4题1.4图示齿轮传动系统，O1为主动轮，旋转 方向如图所示。试分别画出两齿轮的受力图。 解： 1 o x F 2o x F 2o y F o y F F F' 1.5结构如题1.5图所示，试画出各个部分的受力图。 解： 第二章 汇交力系 2.1 在刚体的A 点作用有四个平面汇交力。其中F 1＝2kN ，F 2=3kN ，F 3=lkN ， F 4=2.5kN ，方向如题2.1图所示。用解析法求该力系的合成结果。 解 0 00 1 42 3c o s 30c o s 45c o s 60 c o s 45 1.29 Rx F X F F F F KN = =+- -=∑ 00001423sin30cos45sin60cos45 2.54Ry F Y F F F F KN ==-+-=∑ 2.85R F KN == 0(,)tan 63.07Ry R Rx F F X arc F ∠== 2.2 题2.2图所示固定环受三条绳的作用，已知F 1＝1kN ，F 2=2kN ，F 3=l.5kN 。求该力系的合成结果。 解：2.2图示可简化为如右图所示 23cos60 2.75Rx F X F F KN ==+=∑ 013sin600.3Ry F Y F F KN ==-=-∑ 2.77R F KN == 0(,)tan 6.2Ry R Rx F F X arc F ∠==- 2.3 力系如题2.3图所示。已知：F 1＝100N ，F 2=50N ，F 3=50N ，求力系的合力。 解：2.3图示可简化为如右图所示 080 arctan 5360 BAC θ∠=== 32cos 80Rx F X F F KN θ==-=∑ 12sin 140Ry F Y F F KN θ==+=∑ 161.25R F KN == ( ,)tan 60.25Ry R Rx F F X arc F ∠= = 2.4 球重为W ＝100N ，悬挂于绳上，并与光滑墙相接触，如题2.4 图所示。已知30α=， 量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础 1、1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比,即 m λ T=b(常量); 并近似计算b 的数值,准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ, (1) 以及 λνc =, (2) ||λνρρλd d v =, (3) 有 (),1 18)(| )(|| 5 2-?=?===kT hc v v e hc c d c d d dv λνλλ πλλρλ λλρλ ρρ 这里的λρ的物理意义就是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的就是λ取何值时,λρ取得极大值,因此,就得要求λρ 对λ的一阶导数为零,由此可求得相应的λ的值,记作m λ。但要注意的就是,还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值就是否小于零,如果小于零,那么前面求得的m λ就就是要求的,具体如下: 01151186=??? ? ? ?? -?+--?=-kT hc kT hc e kT hc e hc d d λλλλλ πλρ ? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ,则上述方程为 x e x =--)1(5 这就是一个超越方程。首先,易知此方程有解:x=0,但经过验证,此解就是平庸的;另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得:x=4、97,经过验证,此解正就是所要求的,这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??≈-3109.2λ 这便就是维恩位移定律。据此,我们知识物体温度升高的话,辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动,这样便会根据热物体(如遥远星体)的发光颜色来判定温度的高低。 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5 -?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλ λλρλ ρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ ? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ 工程力学-课后习题答案 4-1 试求题4-1图所示各梁支座的约束力。设力 的单位为kN ，力偶矩的单位为kN m ，长度 单位为m ，分布载荷集度为kN/m 。(提示： 计算非均布载荷的投影和与力矩和时需应用积分)。 A B C D 0.8 0.8 0.4 0 00.7 2 ( A B C 1 2 q ( M= 30o A B C D 0.8 0.8 0.8 2 0.8 M = q =( 解： (b)：(1) 整体受力分析，画出受力图(平面任意 力系)； (2) 选坐标系Axy ，列出平衡方程； 0: 0.40 0.4 kN x Ax Ax F F F =-+==∑ ()0: 20.80.5 1.60.40.720 0.26 kN A B B M F F F =-?+?+?+?==∑ 0: 20.50 1.24 kN y Ay B Ay F F F F =-++==∑ 约束力的方向如图所示。 (c)：(1) 研究AB 杆，受力分析，画出受力图(平 面任意力系)； A B C 1 2 q M= 30o F F A F A y x d 2?x A B C D 0.8 0.8 0.4 00 0.7 2 F F A F A y (2) 选坐标系Axy ，列出平衡方程； 2 0()0: 3320 0.33 kN B Ay Ay M F F dx x F =-?-+??==∑? 2 0: 2cos300 4.24 kN o y Ay B B F F dx F F =-?+==∑? 0: sin 300 2.12 kN o x Ax B Ax F F F F =-==∑ 约束力的方向如图所示。 (e)：(1) 研究C ABD 杆，受力分析，画出受力图 (平面任意力系)； (2) 选坐标系Axy ，列出平衡方程； 0: 0x Ax F F ==∑ 0.8 ()0: 208 1.620 2.40 21 kN A B B M F dx x F F =??++?-?==∑? 0.8 0: 20200 15 kN y Ay B Ay F dx F F F =-?++-==∑? 约束力的方向如图所示。 A B C D 0.8 0.8 0.8 20.8 M = q =F F A F A y x 20 x d 量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)()(5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλ λρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ ? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=h v ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ 4日1-1试画出以下各题中圆柱或圆盘的受力图。与其它物体接触处的摩擦力均略去。 解： 1-2 试画出以下各题中AB 杆的受力图。 (a) B (b) (c) (d) A (e) A (a) (b) A (c) A (d) A (e) (c) (a) (b) 98 解： 1-3 试画出以下各题中AB 梁的受力图。 (d) (e) B B (a) B (b) (c) F B (a) (c) F (b) (d) (e) 解： 1-4 试画出以下各题中指定物体的受力图。 (a) 拱ABCD ；(b) 半拱AB 部分；(c) 踏板AB ；(d) 杠杆AB ；(e) 方板ABCD ；(f) 节点B 。 解： (a) F (b) W (c) (d) D (e) F Bx (a) (b) (c) (d) D (e) W (f) (a) D (b) C B (c) B F D 2-2 杆AC 、BC 在C 处铰接，另一端均与墙面铰接，如图所示，F 1和F 2作用在销钉C 上， F 1=445 N ，F 2=535 N ，不计杆重，试求两杆所受的力。 解：(1) 取节点C 为研究对象，画受力图，注意AC 、BC 都为二力杆， (2) 列平衡方程： 1 21 4 0 sin 60053 0 cos6005 207 164 o y AC o x BC AC AC BC F F F F F F F F F N F N =?+-==?--=∴==∑∑ AC 与BC 两杆均受拉。 2-3 水平力F 作用在刚架的B 点，如图所示。如不计刚架重量，试求支座A 和D 处的约束 力。 (d) F C (e) W B (f) F F BC F 1 F 量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5 -?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλ λλρλ ρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 '=???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ ? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m = λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2 c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 6 1051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ 结构化学练习之量子力学基础习题附参考答案 量子力学基础习题 一、填空题（在题中的空格处填上正确答案）1101、光波粒二象性的关系式为_______________________________________。1102、德布罗意关系式为____________________；宏观物体的λ值比微观物体的λ值_______________。1103、在电子衍射实验中，│ψ│2对一个电子来说，代表___________________。 1104、测不准关系是_____________________，它说明了_____________________。 1105、一组正交、归一的波函数ψ1，ψ2，ψ3，…。 正交性的数学表达式为，归一性的表达式为。1106、│ψ(x1，y1，z1，x2，y2，z2)│2 代表______________________。 1107、物理量xp y- yp x的量子力学算符在直角坐标系中的表达式是_____。 1108、质量为m的一个粒子在长为l的一维势箱中运动， (1)体系哈密顿算符的本征函数集为_______________________________ ； (2)体系的本征值谱为____________________，最低能量为____________ ； (3)体系处于基态时，粒子出现在0 ─l/2间的概率为_______________ ； (4)势箱越长，其电子从基态向激发态跃迁时吸收光谱波长__________ ； (5)若该粒子在长l、宽为2l的长方形势箱 中运动， 则其本征函数集为____________，本征 值 谱 为 _______________________________。 1109、质量为m 的粒子被局限在边长为a 的立方箱中运动。波函数ψ 211(x ，y ，z )= _________________________；当粒子处于状态 ψ 211 时，概率密度最大处坐标是 _______________________；若体系的能量为 2 247ma h ，其简并度是_______________。 1110、在边长为a 的正方体箱中运动的粒子，其能级E = 2 243ma h 的简并度是_____，E '= 2 2827ma h 的简 并度是______________。 1111、双原子分子的振动，可近似看作是质量为μ= 2 121m m m m +的一维谐振子，其势能为V =kx 2/2，它 的 薛 定 谔 方 程 是 2－6 图示平面任意力系中F 1 = 402N ，F 2 = 80N ，F 3 = 40N ，F 4 = 110M ，M = 2000 N ·mm 。各力作用位置如图所示，图中尺寸的单位为mm 。求（1）力系向O 点简化的结果；（2）力系的合力的大小、方向及合力作用线方程。 F F F F (0,30) (20,20) (20,-30) (-50,0) 45 y x R F 'o o M y x o R F (0,-6) 解：N 15045cos 421R -=--?=∑=F F F F F x x 045sin 31R =-?=∑=F F F F y y N 150)()(22'R =∑+∑=y x F F F mm N 900305030)(432?-=--+=∑=M F F F M M O O F 向O 点简化结果如图（b ）；合力如图（c ），其大小与方向为 N 150' R R i F F -== 设合力作用线上一点坐标为（y x ,），则 x y O O yF xF M M R R R )(-==F 将O M 、'R y F 和'R x F 值代入此式，即得合力作用线方程为：mm 6-=y 2－7 图示等边三角形板ABC ，边长a ，今沿其边缘作用大小均为F P 的力，方向如图（a ）所示，求三力的合成结果。若三力的方向改变成如图（b ）所示，其合成结果如何？ 解（a ）0' R =∑=i F F a F a F M A P P 2 3 23=? =（逆） 合成结果为一合力偶a F M P 2 3 =（逆） （b ）向A 点简化i F P ' R 2F -=（←） a F M A P 2 3 = （逆） F F F F F F 习题2－10图 F F F A ' A d R F R F 'A M 习题2－9图 “动能和势能的转化”教案示例之二 （一）教学目的 1．理解动能和势能可以相互转化并能举例说明。 2．能解释有关动能和势能相互转化的简单现象。 （二）教具 1．麦克斯韦滚摆。 2．课本图1-7的装置，在弹簧片前加一弹簧。 3．单摆、皮球（或乒乓球）。 （三）教学过程 1．复习提问 (1)动能的大小与哪些因素有关？怎样判断质量一定的物体的动能的变化？ (2)势能的大小与哪些因素有关？怎样判断重力势能大小的变化？ （演示钢球从斜槽滚下，斜槽倾角应尽量小一些，使钢球从斜槽滚下的时间尽量长一些，引导学生观察钢球竖直高度的变化和速度的变化，回答上述问题） 2．新课教学 (1)动能和重力势能可以相互转化。 从上面实验可以看到，钢球从斜槽滚下的过程中，高度降低，重力势能减小；速度变快，动能增大，这个动能是怎样产生的？（引导学生回答是由重力势能转化来的） 问：重力势能可以转化为动能，动能可不可以转化为重力势能呢？ 演示滚摆（将摆轮涂成黑白相间，使学生明显观察到转速的变化），引导学生观察：摆下降时，摆轮越转越快；摆上升时，摆轮越转越慢，并说明动能和重力势能变化的情况，最后得出动能和重力势能可以相互转化的结论。 (2)动能和弹性势能可以相互转化吗？ 演示课本图1-7（水平槽末端加一弹簧，以使动能和弹性势能的变化明显显示出来），引导学生观察：钢球接触弹簧后，速度减小，弹簧压缩；弹簧恢复时，形变减小，钢球速度变大，但方向反过来了（教师应指出：动能大小跟运动快慢有关，跟运动方向无关，因为物体向任何方向运动都能做功）。 对钢球和弹簧间的能的转化，应分两步讲：①从钢球压弹簧开始到弹簧形变最大：钢球动能由最大变到零，弹簧弹性势能由零到最大，即动能转化为弹性势能。②从弹簧形变最大到恢复原状：弹簧弹性势能又转化为钢球的动能。 (3)动能和势能相互转化的例子。 先让学生列举日常生活中例子，然后引导学生观察和分析下列事例： ①演示单摆，引导学生观察摆球在高度最大处和最低点的速度大小，说明动能和势能的相互转化。 ②人造卫星：教师先指出：卫星在远地点，势能最大，在近地点势能最小。问学生：卫星由远地点向近球点运动的过程中，速度怎样变化？能量怎样转比？引导学生回答：卫星由远地点到近地点，势能减小了，减小的势能转化为动能，故速度增大。再让学生回答卫星由近地点向远地点运动能的转化情况。 ③撑竿跳高：由于过程比较复杂，可由教师分析讲解。为使问题简化，分析时一律不考虑起跳前助跑的作用。 徒手跳高的高度由起跳时向上的速度决定。即起跳时的动能转化为最高点的重力势能。 撑竿跳高时，人在起跳时使撑竿弯曲（形变），这时人具有动能，撑竿具有弹性势能。到最高点时，撑竿恢复原状。人的动能和撑竿的弹性势能都转化为人的重力势能。 故撑竿跳高比徒手跳高的高度大。 ①跳板跳水：引导学生回答：起跳时为什么人要向下猛压跳板？（答：使跳板形变，具有弹性势能）人离开跳板时的动能是哪里来的？（答：跳板的弹性势能转化来的）人起跳的高度由什么因素决定？（答：由起跳时的动能，也就是由跳板形变最大时的弹性势能决定） 注意：不讨论人在空中的翻转。 3．板书设计 动能和重力势能可以相互转化。简述建立量子力学基本原理的思想方法
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