功能梯度材料分层法研究

功能梯度材料分层法研究

摘要

功能梯度材料具有随空间位置呈梯度变化的材料属性，这一性能引起了材料科学家和工程师研究的兴趣。基于分层法，将功能梯度材料平面结构划分成若干层，每层的材料参数按函数形式变化。在此分层模型基础上得到同一层的材料参数为常数，然后各层按照常规的有限元方法进行网格划分，建立有限元模型进行功能梯度材料平面结构的力学分析。通过设计组分材料弹性模量的三种工况，讨论了弹性模量梯度系数对有限元计算结果的影响，有一定的误差。

于是引入线性分层法，该模型基于任意一条连续曲线可用一系列的分片连续直线段来逼近的事实，将梯度材料层分成若干子层，在各子层界面处材料参数连续并且等于实际值。将此模型应用于实际问题推导，我们发现与指数模型结果吻合的很好。

关键词：功能梯度材料；分层法；梯度系数；线性分层法

1 FGM研究背景

FGM概念是在1984年前后，由在日本仙台地区的二位材料科学家，日本航天技术研究所的新野正之博士、东北大学的平井敏雄教授和渡边龙三教授首先提出的。当初提出FGM概念的目的是为了解决在设计制造新一代航天飞机的热保护系统中出现的许多问题。据估计，航天飞机工作时，机体外部有些部位最高温度将达1800℃，因此对航天飞机表面的材料要求是要能耐高达1800℃的温度和1600℃的温度落差。已知的工业材料没有能忍受如此苛刻的热机负载的，能用于这种环境条件的材料必须具备以下三个特征:材料的高温表面层能耐热和抗氧化,低温侧具有力学韧性及整个材料中能有效地缓和热应力。面对这种材料要求,FGM这一新概念被提了出来。

这种新材料的高温侧是能耐热的陶瓷,低温侧是具有高热导率的韧性金属,并具有从陶瓷到金属的梯度成分变化。这种FGM的特征其热膨胀系数可以通过控制两个表面之间的成分、微结构、微孔的比率来加以调节。FGM概念一提出就受到日本和世界材料界的高度重视。日本科技厅授予此概念的发明者特别奖。FGM也被列入各种国际国内会议的报告范围。

1.1 FGM定义及原理

所谓功能梯度材料（简称FGM)是指一种材料，其功能例如组分、微结构、浓度等性质，随着空间或时间连续变化。FGM 一般包括不同的材料组分，最典型的梯度材料是由陶瓷/金属构成的。随着FGM 应用领域的扩大，金属/金属陶瓷/陶瓷等体系FGM 的研究也在不断发展。FGM 的最重要特征是它是一种微观不均匀的材料。它同传统复合材料的根本区别就是其微结构的连续变化。组成上的连续变化会导致性质的梯度变化，功能梯度材料和传统复合材料在微结构和性质上的对于陶瓷/金属体系的梯度材料其组成和结构(或组织)是连续变化的。

与之相随，从陶瓷侧到金属侧其力学强度是连续下降的，而热导率则是连续上升的。对于非功能梯度材料(传统均匀材料)，其组成、结构、组织及与之相对应的功能和性质在整个材料体内

是均匀分布的。研究者引用FGM 的设计思想，在结构高温侧采用耐高温、 耐压、绝缘性好的陶瓷材料，在另外一侧采用延性、导热性好的金属材料，而中间过渡区则采用梯度递变的规律，从陶瓷侧向金属侧陶瓷成分连续梯度递减，直至金属表面。至于材料按何种形式递变，需要详细考虑结构的制备用途和实际工作环境。 1.2 FGM 研究现状

在同人民生活密切相关的许多领域，像通信、信息、医疗、能源和交通等，都需要高性能多功能的材料。伴随着材料应用领域的多样化，具有生物学、化学、电学、磁学、光学、机械、热学和核等单一功能的材料已不能满足要求。代之而起的是同时具有几种不同优异功能的多功能材料。人类的发展离不开科学技术的进步，而材料就是科学技术的一大支柱。自然界中有许多物质，比如:贝壳、骨、竹、树木等，其组织和结构在内部是连续变化的，与之相伴的功能在内部也连续变化(功能梯度)，这一事实最近已逐渐明了，而现在制造的工业材料，几乎都是以在材料内部功能的单一性作为前提进行材料设计的。

由于该研究的大获成功,日本科技厅1993年再次设立了一个为期5年的称为“具有功能梯度结构的能量转换材料的研究”大型研究项目,旨在将FGM 推向实用化,并以高效率能量转换材料的开发研究为主。在这第二期FGM 项目中,再次组成了一个包括8个国立大学和2个私立大学的共30个单位的庞大攻关阵容。最近,日本也开始了用于建筑材料的木质系FGM 的开发研究。在这些研究中, 功能梯度材料是作为结构材料开发研究的一环,而对于追究FGM 本质的基础性研究几乎未有涉及。另一方面，FGM 已在1992年作为关键词列入日本文部省的科研费募集要项。以此作为契机,各种不同研究领域的大学研究者纷纷卷入对FGM 的研究,这对于FGM 研究的推动做出了很大的贡献。我们总结了主要在日本各大学开展的FGM 研究情况。通过对有关生物梯度组织,以及有关生物化学、电学、磁学、热电等多种功能梯度化的基础性研究, 急速地推进了FGM 这门学问的

体系化。除日本之外,其他发达国家像美国、德国和瑞士等也正积极开展这方面的工作。1993 年,美国的国家标准技术研究所(NIST )开始了一个以开发超高温耐氧化保护涂层为目标的大型FGM 研究项目。我国对FGM的研究起步也较早, 并在材料设计,工艺和评估等方面已作了不少工作,取得不少可喜的成果。当然，由于经费条件等的限制,同日本等发达国家仍存在一定差距。尚需国家的支持及各领域科学工作者的通力合作和努力。概括地说FGM研究主要由材料设计、材料制造和材料评估等三部分组成。而这三个部分又是相互关联不可分割的。通常是先根据 FGM 的结构进行材料的设计；接下来在合理化设计基础上, 进行材料的制备合成；然后对所合成的FGM进行评估，而评估的结果又是设计的依据。对FGM的设计,较为流行的是采用倒设计过程,开展得最多的工作是模拟和设计FGM的热学和力学性质,诸如:热应力,热形变,热传导等。随着FGM应用从结构向功能发展,对FGM功能性质的设计工作将会增多。

以反应物的状态划分,可分为气相、液相和固相反应三种。以反应的性质来区分,又可分为化学和物理反应两种。每种技术均有其特殊点,需视实际应用而进行选择。对于在热应力缓和方面的应用,烧结法采用较多。随着FGM应用领域的拓宽和发展、共他制备技术将会找到越来越多的用武之地。

2基于均匀分层法的功能梯度材料研究

2.1 均匀分层法模型

将功能梯度材料划分成若干层，每层的材料参数不同，但是在同一层的材料参数为常数。在此基础上，每层按照常规的有限元方法进行网格划分，建立有限元模型求解功能梯度材料的力学问题。为了保证分层法模型中相邻层之间的材料参数有较好的连续性，防止跳跃，材料参数通常按函数形式变化。由有限元建模分析可知，只有将层数分的越多越细，材料参数的变化越接近连续变化，建模的计算结果才能和解析解吻合。

以图2所示的各向同性功能梯度材料薄板为例，将板均匀分成n 层，每层赋予不同的材料参数。

2.2 材料参数变化形式

对于材料参数按线性梯度变化的功能梯度材料，分层法模型中各层的材料参数可以由下列方程式得到：

对于材料参数按指数梯度变化的功能梯度材料，分层法模型中各层的材料参数可以由下列方程式得到

每层板赋予不同的材料参数之后，遵循一般原则，对于每层板建立有限元计算模型，联合起来就可以建立整个功能梯度材料薄板的有限元计算模型。 2.3 算例分析

2.3.1考虑材料参数按线性梯度变化和指数梯度变化两种形式，取若干种工况进行计算分析，即分别取E 1=209G Pa 、E 1=1.5×186GPa=279GPa 和E 1=2×186G Pa = 372GPa 等三种工况。功能梯度材料板的弹性模量梯度系数参见表1

表1 功能梯度板的功能梯度材料系数

Table 2 Young’s Modulus nonhomogeneity parameters of FGMs plate

*()()()(0),1,2,,()(0),1,2,,W x

n W x

n E x E e x n x e x n ββυυ==???==

???

*()(0)(,1,2,,n ()(0)(),1,2,,n W

E x E x x n W x x x n γυυγ=+=???=+=

???

2.3.2误差分析

应力的有限元法计算结果与解析解对比分析考察功能梯度材料方板在Y=81mm处的应力。对应功能梯度材料板弹性模量梯度系数的三种工况，可以发现随着梯度系数的增大，有限元计算结果与解析解的误差增大。在第一种工况，材料参数线性梯度变化时(γ=255)，应力σy的最大误差为+0．52％；材料参数指数梯度变化时(β=1.2954)，应力的最大误差为+0．40％。在第三种工况，材料参数线性梯度变化时γ=2066)，应力σy的最大误差为+9．81％；材料参数指数梯度变化时(β=7．7016 )，应力σy的最大误差为+5．04％。

位移u y的有限元法计算结果与解析解对比分析考察功能梯度材料方板在Y=81m m处的位移。材料板弹性模量梯度系数的三种工况，可以发现随着梯度系数的增大，有限元计算结果与解析解的误差增大。在第一种工况，材料参数线性梯度变化时(γ=255)，位移u y的最大误差为-0．43％；材料参数指数梯度变化时(β=1．2954)，位移u y的最大误差为0．41％。在第三种工况，材料参数线性梯度变化时γ=2066)，位移的最大误差为-3．55％；材料参数指数梯度变化时(β=7．7016)，位移的最大误差为-2．94％。这说明功能梯度材料弹性模量的梯度系数对位移的有限元计算结果有一定的影响。

3线性分层法

利用均匀分层模型研究梯度材料的裂纹问题，由于人为引进材料参数的间断面，从而引起变形失配及应力集中，这与功能梯度的设计初衷是不符的。增加分层虽然可以减小模型近似带来的应力集中，但将大大增加计算量。再者每一层的材料参数如何选取也是一个问题。汪和黄等人给出了一个新的分层模型，即将梯度材料划分成若干子层，每一层中材料参数按线性函数变化，并在界面连续且为实际值。

3.1 思想及模型

利用线性分层模型来模拟材料参数按任意函数形式变化的功能梯度材料，该模型基于任意一条连续曲线可用一系列的分片连续直线来逼近的事实，将功能梯度材料涂层分为若干子层（N层），在每一层中，材料的杨氏模量和泊松比在厚度方向上均按照线性函数变化，且在界面上连续并等于实际值。

3.2 材料参数计算

按照这种模拟方式，在每层中杨氏模量和泊松比有下列形式：

其中

和 分别为杨氏模量和泊松比在 处的实际值，即

本文线性分层模型允许按照任意函数形式变化的材料参数。用本文模型求解功能梯度材料接触问题及微动问题十分有效，一般来说，只要将梯度材料层划分为六个子层即可保证结果又足够的计算精度。 3.3实例分析

扭转剪切核载作用下的位移场

非均匀介质轴对称扭转问题的基本方程如下： 物理方程

平衡方程

222221()0r ()v v v v d z v

r r r z z dz z

μμ????+-++=???? （9）

其中v 表示周向位移。 算例：

均匀半无限大的空间上表面粘结一厚为h 的功能梯度涂层，均匀半空间剪切模量为μ*，涂层上表面作用任意分布的周向剪切荷载τ（r ），涂层的剪切模量沿厚度方向按任意的函数形势变化。采用如图3所示的线性分层模型来模拟功能梯度涂层的剪切模量变化形式。假设涂层被分成N 歌

j j E()()()()()()j j j j j j y E y E a b y y y c d y υυυ==+==+1,1,2,...j j h y h j N -<<=1111111111//1a ,//1

,j j j j j j j j j j j j

j j j j j j j j j j j j

h h E E E E b h h h h h h c b h h h h υυυυ------------==

----==

--j E j υy j h ==E E =j j j j j j j j E υυυ（h ）=（h ）（h ）=（h

）

z (,)()

v r z z z

θσμ?=

?

子层，在每个子层内，剪切模量按照如下的线性函数变化：

j ()()j j j z a b z μμ=+

其中

11111//1

a ,j

j j j j j j j j j

j j

h h E b h h h h μμμ-------=

=

-- （11）

将式10代入式8，得到每一子层的控制方程为

2

2j 2

2

2

0r j j j j j

j j v v v v b v r r

r z a b z z

????+

-

+

+

=???+? （12）

均匀半空间的控制方程为

22N+1N+1N+1N+1

222

0r v v v v r r r z ???+-+=??? （13） 对式12和式13应用Hankel 变换可以得到 10201

()()j

j j j j v A I A K ηη=+ （14a ）

1

11

sz N N v A e ++= 2-64b (14b)

其中，j ()

j j j

s a b z b η+=

将变换域内的位移和应力分量表示为矩阵形式

}{{}j

j

S T ()j

z A ??=?? (15)

}{[]{}1

1

1S T

()N N N z A +++=

对于功能梯度材料，在每一子层间的界面z=h j 处有连续性条件：

1(,)(,),0j j j j v r h v r h r +=≤<∞

(16)

,1(,)(,),0zj j z j j r h r h r θθσσ+=≤<∞

在涂层表面z=h 0=0处有

0(,)r ,0zj r h r a

θστ=≤<（） (17)

0(,)0,zj r h r a θσ=>

因此在变换域内，边界条件可写为

{}{}1

S S ,,0,1,2,...,j

j j

z h r j N +==≤<∞= (18a)

(){}01013(,)A =g ()

s h B T h s σ=???? (18b)

将式15带入式18得

{}{}j

j+1

A =A j

V ????

上式为一递推关系式，由此可得：

{}j

N+1A =A j

V

????

将式20代入18b 得

(){}

1

111013h ()N A B T V g s -+????=???

?

将式21代入15得：

1

031

(s,)()v M h g s =

对式22作Hankel 逆变换得：

()()()100110

(,)(,)a v r h t t sM s h J ts J rs dsdt τ∞

=??

根据Bessel 函数的渐进性质，可以得到

00

1

lims (,)s M s h μ→∞

=

于是，梯度涂层表面(z=h 0=0)的位移可改写为：

()(()())()()1011110000

11

()(,)-+H dt a

a

v r t t s M s h J t s J r s ds dt t t t s ττμμ∞??= ??????，，，

与资料中对比，发现线性分层模型时的位移场式与指数场时的位移场式具有相同形式。 4 结论

（1）功能梯度材料弹性模量的梯度系数对应力的有限元计算结果有较大的影响，弹性模量的梯度系数增大时，有限元计算结果的误差有较大的增加。

（2）功能梯度材料弹性模量的梯度系数对位移的有限元计算结果有一定的影响。

（3）线性分层法很好的解决了分层法中存在的问题，并且大大简化了算法，减小了计算量。 （4)两种模型计算结果表明每层材料参数为线性变化规律分层计算模型比材料参数为常数的分层计算模型收敛快的多,提高了计算效率。

(5)从模型的计算过程上可以看出,工作量大大减小,所以线性分层计算模型有很大的工程实用性。

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