模糊数学评价方法教程

模糊综合评价法（见课件）

模糊数学是从量的角度研究和处理模糊现象的科学．这里模糊性是指客观事物的差异在中介过渡时所呈现的“亦此亦比”性．比如用某种方法治疗某病的疗效“显效”与“好转”、某医院管理工作“达标”与“基本达标”、某篇学术论文水平“很高”与“较高”等等．从一个等级到另一个等级间没有一个明确的分界，中间经历了一个从量变到质变的连续过渡过程，这个现象叫中介过渡．由这种中介过渡引起的划分上的“亦此亦比”性就是模糊性．

一、单因素模糊综合评价的步骤 1． 根据评价目的确定评价指标（evaluation indicator ）集

合

},,,{21m u u u U =

例如评价某项科研成果，评价指标集合为U ={学术水平，社会效益，经济效益}．

2．

给出评价等级（evaluation grade ）集合

},,,{21n v v v V =

如评价等级集合为V ={很好，好，一般，差}． 3．

确定各评价指标的权重（weight ）

},,,{21m W μμμ =

权重反映各评价指标在综合评价中的重要性程度，且∑=1i μ． 例如假设评价科研成果，评价指标集合U ={学术水平，社会效益，

经济效益}其各因素权重设为}4.0,3.0,3.0{=W ．

4．确定评价矩阵R

请该领域专家若干位，分别对此项成果每一因素进行单因素评价（one-way evaluation ），例如对学术水平，有50%的专家认为“很好”，30%的专家认为“好”，20%的专家认为“一般”，由此得出学术水平的单因素评价结果为()0,2.0,3.0,5.01=R

同样如果社会效益，经济效益两项单因素评价结果分别为

()1.0,2.0,4.0,3.02=R

()2.0,3.0,2.0,2

.03=R

那么该项成果的评价矩阵为

????

?

??=????? ??=2.03.02.02.01.02.04.03.002.03.05.0321R R R R 5．进行综合评价

通过权系数矩阵W 与评价矩阵R 的模糊变换得到模糊评判集S ： 设m j W ?=1)(μ，n m ji r R ?=)(，那么

()()n mn m m n n m s s s r r r r r r r r r R W S ,,,,,,212

1

22221

11211

21

=????

??

?

??==μμμ

其中“ ”为模糊合成算子．

进行模糊变换时要选择适宜的模糊合成算子，模糊合成算子通

常有四种：

(1) ),(∨∧M 算子

(){}n k r r s jk

j m

j jk j m

j k ,,2,1,

,min max )(11

=∧=≤≤=∨μμ＝

符号“∧”为取小， “ ∨” 为取大．例如：

n k s R W S ?==1)( =)4.03.03.0(????

? ?

?2.03

.02

.02.01.02.04.03.002.03.05.0 =()2.03.03.03.0 其中)2.04.0()3.03.0()5.03.0(1∧∨∧∨∧=S =)2.03.03.0(∨∨ =3.0

其他k S （)4,3,2=k 求法相同． (2) (M ﹒),∨算子

{}n k r r s jk j m

j jk j m

j k ,,2,1,max )(11

=??=≤≤=∨μμ＝

例如

n k s R W S ?==1)( =)4.03.03.0(????

?

?

?2.03

.02

.02.01.02.04.03

.002.03.05

.0 =()08.012.012.015.0 其中)2.04.0()3.03.0()5.03.0(1?∨?∨?=S =)08.009.015.0(∨∨ =15.0

其他k S （)4,3,2=k 求法相同． (3) ),(⊕∧M 算子

“⊕”是有界和运算，即在有界限制下的普通加法运算．对t 个实数

t x x x ,,,21 有?

??

???=⊕⊕⊕∑=t i i t x x x x 121,1min ．利用),(⊕∧M 算子，有

()n k r s m j jk j k ,,2,1,,min ,1min 1 =?

??

???=∑=μ

例如

n k s R W S ?==1)( =)4.03.03.0(????

?

?

?2.03

.02

.02.01.02.04.03

.002.03.05

.0 =()3.07.08.08.0 其中)2.04.0()3.03.0()5.03.0(1∧⊕∧⊕∧=S =)2.03.03.0(⊕⊕ =0.8

其他k S （)4,3,2=k 求法相同． (4) (M ﹒),⊕算子

n k r s m j jk j k ,,2,1,,1min 1 =???

?

??=∑=μ

例如

n k s R W S ?==1)( =)4.03.03.0(????

?

?

?2.03

.02

.02.01.02.04.03

.002.03.05

.0 =()3.07.08.08.0 其中3.0(1=S ?3.0()5.0⊕?4.0()3.0⊕?)2.0 =)08.009.015.0(⊕⊕ =0.32

以上四个算子在综合评价中的特点是：

),(∨∧M 和(M ﹒),∨在运算中能突出对综合评判起作用的主要因

素，在确定W 时不一定要求其分量之和为1，即不一定是权向量，故为主因素突出型．

),(⊕∧M 和(M ﹒),⊕在运算时兼顾了各因素的作用，W 为名符其

实的权向量，应满足各分量之和为1，故为加权平均型．

最后通过对模糊评判向量S 的分析作出综合结论．一般可以采用以下三种方法：

(1) 最大隶属原则

模糊评判集S =),,,(21n S S S 中i S 为等级i v 对模糊评判集S 的隶属度，按最大隶属度原则作出综合结论，即

),,,max(21n S S S M =

M

所对应的元素为综合评价结果．该方法虽简单易行，但只考虑隶属

度最大的点，其它点没有考虑，损失的信息较多．

(2) 加权平均原则

加权平均原则是基于这样的思想：将等级看作一种相对位置，使其连续化．为了能定量处理，不妨用“n ,,2,1 ”依次表示各等级，并称其为各等级的秩．然后用S 中对应分量将各等级的秩加权求和，得到被评事物的相对位置．这就是加权平均原则，可表示为

∑∑==?=

n i k i

n

i k

i i

s

s u 1

1

*)(ν

μ （12－1）

其中k 为待定系数（k ＝1或k ＝2），目的是控制较大的i s 所起的作用．可以证明，当∞→k 时，加权平均原则就是最大隶属原则．

例如：对()2.0,3.0,3.0,3.0=S ，评价等级集合为V ={很好，好，一般，差}，各等级赋值)(i νμ分别为{4，3，2，1}，仿照普通加权平均法的计算公式，有

*

=1k u =

2

.03.03.03.02

.013.023.033.04+++?+?+?+?=2.64

即该项成果的综合评价结果为好稍偏一般．

(3) 模糊向量单值化

如果给等级赋予分值，然后用S 中对应的隶属度将分值加权求平均就可以得到一个点值，便于比较排序．

设给n 个等级依次赋予分值n c c c ,,,21 ，一般情况下（等级由高到低或由好到差），n c c c >>> 21，且间距相等，则模糊向量可单值化为

∑∑==?=

n i k i

n

i k

i i

s

s c

c 1

1 （12－2）

其中k 的含义与作用同（12－1）中的k 相同．多个被评事物可以依据（12－2）式由大到小排出次序．

以上三种方法可以依据评价目的来选用，如果需要序化，可选用后两种方法，如果只需给出某事物一个总体评价结论，则用第一种方法．

二、多级模糊综合评判

有些情况因为要考虑的因素太多，而权重难以细分，或因各权重都太小，使得评价失去实际意义，为此可根据因素集中各指标的相互关系，把因素集按不同属性分为几类．可先在因素较少的每一类（二级因素集）中进行综合评判，然后再对综合评判的结果进行类之间的高层次评判．如果二级因素集中有些类含的因素过多，可对它再作分类，得到三级以至更多级的综合评判模型．注意要逐级分别确定每类的权重．

以二级综合评判为例给出其数学模型： 设第一级评价因素集为

},,,{21m u u u U =

各评价因素相应的权重集为

},,,{21m W μμμ =

第二级评价因素集为

},,,{21ik i i i u u u U = m i ,,2,1 =

相应的权重集为

},,,{21ik i i i W μμμ =

相应的单因素评判矩阵为：

[]

n

k j

l i r R ?= k l ,,2,1 =

二级综合评判数学模型为

?

?????? ??=m m

R W R W R W W B

22

11

三、模糊综合评判应用举例

某地对区级医院2001~2002年医疗质量进行总体评价与比较，按分层抽样方法抽取两年内某病患者1250例，其中2001年600例，2002年650例．患者年龄构成与病情两年间差别没有统计学意义，观察三项指标分别为疗效、住院日、费用．规定很好、好、一般、差的标准见表12-1，病人医疗质量各等级频数分布见表12—2．

表12-1 很好、好、一般、差的标准

指标 很好 好 一般 差 疗效 治愈 显效 好转 无效 住院日

≤15

16~20 21~25 ＞25 费用（元） ≤1400

1400~180

1800~220

＞2200

表12-2 两年病人按医疗质量等级的频数分配表 指标

很好 质量好 等级一

般

差

疗效

01年 02年 160 170

380 410

20 10

40 60 住院日

01年 02年 180 200 250 310

130 120

40 20

费用 01年 02年 130 110

270 320

130 120

70 100

现综合考虑疗效、住院日、费用三项指标对该医院2001与2002两年的工作进行模糊综合评价．

1．据评价目的确定评价因素集合

评价因素集合为U ={疗效，住院日，费用}． 2．给出评价等级集合

如评价等级集合为V ={很好，好，一般，差}． 3．确定各评价因素的权重

设疗效，住院日，费用各因素权重依次为0.5，0.2，0.3，即

）（3.0,2.0,5.0=W

4．2001年与2002年两个评价矩阵R 分别为

????

? ??=600/70600/130600/270600/130600/40600/130600/250600/180600/40600/20600/380600/1601R

= ????

? ??117.0217.0450.0217.0067.0217.0417.0300.0067.0033.0633.0267.0 ????

? ??=650/100650/120650/320650/110650/20650/120650/310650/200650/60650/10650/410650/1702R

=???

?

? ??154.0185.0492.0169.0031.0185.0477.0308.0092.0015.0631.0262.0

5．综合评价

作权系数矩阵W 与评价矩阵R 的模糊乘积运算．

如果突出疗效，且只需对该地区级医院2001~2002年医疗质量进行总体工作情况给出一个总体评价结论，可采用),(∨∧M 算子，确定模糊评判集S ，按最大隶属度原则进行评判：

n k s R W S ?==111)( = )3.02

.05

.0(????

?

?

?117.0217

.0450

.0217.0067.0217.0417.0300

.0067.0033.0633.0267

.0 =()117.0217.0500.0267.0

n k s R W S ?==122)( = )3.02

.05

.0(????

?

??154.0185.0492.0169.0031.0185.0477.0308.0092.0015.0631.0262.0

=()154.0185.0500.0262.0

按最大隶属度原则，两年最大隶属度均为0.500，可以认为对某地区区级医院2001年与2002年医疗质量评价结果均为“好”．

如果突出疗效，且对该地区级医院2001~2002年医疗质量进行排序，也可采用),(∨∧M 算子确定的模糊评判集S ，按加权平均原则进行评判：

将评价等级很好，好，一般，差分别赋值为4，3，2，1． 2001年的评价结果为

∑∑==*=?=

41

4

1

1)(i i

i i

i

k s

s u ν

μ=

117

.0217.0500.0267.0117

.01217.02500.03267.04+++?+?+?+?=2.833

2002年的评价结果为

∑∑==*=?=

41

4

1

1)(i i

i i

i

k s

s u ν

μ=

154

.0185.0500.0262.0154

.01185.02500.03262.04+++?+?+?+?=2.790

2001年的工作质量略好于2002年．

以上评判结果均没有充分兼顾住院日与费用的作用，如果充分考虑各因素的作用在作权系数矩阵W 与评价矩阵R 的模糊运算的时候可以采用),(⊕∧M 算子或(M ﹒),⊕算子．