级数知识点总结教学内容

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第十二章 无穷级数

一、 常数项级数 1、 常数项级数：

1) 定义和概念：无穷级数：ΛΛ+++++=∑

∞

=n n n u u u u u 3211

部分和：n n

k k

n

u u u u u

S ++++==

∑=Λ3211

正项级数：∑∞

=1

n n u ，0≥n u

级数收敛：若S

S n n =∞

→lim 存在，则称级数

∑∞

=1

n

n u 收敛，否则称级数

∑∞

=1

n

n u 发散 2)

性质：

? 改变有限项不影响级数的收敛性；如级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛. ? 两个收敛级数的和差仍收敛.，级数

∑∞=1

n n a ，

∑∞

=1

n

n b 收敛，则

∑∞

=±1

)(n

n n b a 收敛；注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散.

? 去掉、加上或改变级数有限项, 不改变其收敛性级数

∑∞

=1

n

n a 收敛，则任意加括号后仍然收敛； ? 若级数收敛, 则对这级数的任意项加括号后所成的级数仍收敛，其和不变，且加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散. 注：收敛级数去括号后未必收敛.

?

注意：不是充分条件！唯一判断发散条件） 3) 审敛法：（条件：均为正项级数 表达式：

∑∞

=1

n

n u ，0≥n u ）S

S n n =∞

→lim 前n 项和存在极限则收敛；

∑∞

=1

n n

u

收敛?

{}n

S 有界；

? 比较审敛法：且),3,2,1( Λ=≤n v u n n ，若∑∞

=1

n n v 收敛，则∑∞

=1

n n u 收敛；若∑∞

=1

n n u 发散，则∑∞

=1

n n v 发散.

? 比较法的极限形式：

)0( l lim

+∞<≤=∞→l v u

n

n n ，而∑∞n v 收敛，则∑∞n u 收敛；若0lim >∞→n n n v u 或+∞=∞→n n n v u lim ，而∑∞n v 发散，则∑∞

n

u 发散. ?

2、 交错级数：

莱布尼茨审敛法：交错级数：

∑∞

=-1

)1(n

n n u ，0≥n u 满足：),3,2,1( 1Λ=≤+n u u n n ，且0lim =∞

→n

n u ，则级数∑∞

=-1

)1(n n n u 收敛。

条件收敛：

∑

∞

=1

n n u 收敛，而

∑

∞

=1

n n u 发散；绝对收敛：

∑

∞

=1

n n u 收敛。

∑∞

=1

n n u 绝对收敛，则∑∞

=1

n n u 收敛。

其他级数：； 二、 函数项级数（幂级数：

∑∞

=0

n

n n x a ） 1、

2、

和函数)(x s 的性质：在收敛域I 上连续;在收敛域),(R R -内可导，且可逐项求导; 和函数)(x s 在收敛域I 上可积分，且可逐项

积分.( R

不变,收敛域可能变化).