二次函数两根式要点及作业
12-23日知识要点概要：
两根式：若抛物线与x 轴交于点A （x 1,0）,B(x 2,0),
则可设解析式为：y=a(x-x 1)(x-x 2) 对称轴：直线22
1x x x += 线段AB=|x 1-x 2|
这里的x 1 、x 2是抛物线与x 轴的两个交点的横坐标的值，
a 的值还需要另外一个点来求。
作业：用两根式求以下二次函数的解析式：
① 已知抛物线的图像经过（-2 , 0）、（6 , 0），
并且经过（-3 , 4），求其解析式。
② 已知抛物线的图像经过A （1,0）、B （0, -3）
且对称轴是直线x=2，求其解析式。
（以上两题限时20分钟，第一节下课就交，预做导学案到P20第7题）
二次函数常见关系式符号的判定
二次函数常见关系式符号的判定 例1如图1是抛物线的图像，则① 0；② 0；③ 0； ④ 0；⑤ 0；⑥ 0；⑦ 0。 图3 例 2如图2，已知二次函数的图像与轴相交于( ，0 )，( ， 0)两点，且，与轴相交于(O ，-2)，下列结论：① ； ② ；③ ； ④；⑤ 。． 其中正确结论的个数为( ) A ．1个 B .2个 C .3个 D ．4个 练习1、如图3，的二次函数2y ax bx c =++的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）2 40b ac ->；（2）c >1；（3）2a －b <0；（4）a +b +c <0. 你认为其中错误．．的有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．1个 2、函数)0(2≠++=a c bx ax y 图象如图4，下列结论正确的是：__________ ① 0>abc ; ② c a b +<; ③ 4a +2b +c >0; ④ 2c <3b; ⑤ 2a +b =0; ⑥ a +b >m (am +b ); ⑦042 <-ac b 图5 图4 图6
3、二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图5，给出下列结论：①b2－4ac>0；② 2a＋b<0； ③ 4a－2b＋c=0；④a︰b︰c=-1︰2︰3.其中正确的是( ) A．①②B．②③C．③④D．①④ 4、如图6为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，则下列说法：①a＞0②2a+b=0③a+b+c＞0④当-1＜x＜3时，y＞0其中正确的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 压轴题训练：如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y 轴交于点C（0，﹣3）（1）求抛物线的解析式； （2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积． （3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B 和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．
中考数学复习专题二次函数知识点归纳
二次函数知识点归纳 一、二次函数概念 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： o o 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结： 2. 2y ax c =+的性质： 结论：上加下减。 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．
总结： 3. ()2 y a x h =-的性质： 结论：左加右减。 总结： 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 总结： a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
运用口诀判断二次函数的系数关系式.docx
运用口诀判断二次函数的系数关系式 学生对二次函数中字母系数a、b、c及其关系式的符号判断常有些不知所措，这里介绍儿个口诀来帮助同学们解惑. 1.基础四看 “基础四看”是指看开口，看对称轴，看与y轴的交点位置，看与x轴的交点个数.“四看”是对二次函数y=ax? + bx+c (aHO)的图象最初步的认识，而且这些判断都可以通过图彖直接得到，同时还可以在此基础上进行一些简单的组合应用. 例1二次函数y = ax2+bx+c(aH0)的图象如图1所示，则下列说法不正确的是( ) (A)b2-4ac>0 (B)a>() (C)c>0 (D)b<0 分析根据“基础四看”，由抛物线开口向上，故a>0；由对称 轴在y轴的右侧，则a、b异号,故bvO：由抛物线与y轴交于 负半轴，故c<0； 由抛物线与x轴有两个交点，故b2-4ac>0. 所以本题答案是C. 分析对于几个函数图象组合的辨别，笔者常用的一种方法是“才盾排除法”. 对A屮的图象分析可得：在抛物线 屮， a>().b>0,c>0 ； 在直线 屮， a>0,b>0,无矛 盾, 可为备选答案. 对B中的图象分析可得：在抛物线 中，a<0,b<0,c<0 ； 在直线 中， a>0.b=0,有矛 盾, 故排除. 对C中的图象分析可得：在抛物线 中，a>0,b<0,c>0 ； 在直线中, a<0,b>0,有矛 盾, 故排除. 对D中的图象分析可得，在抛物线 中， av(),b>0,c<0 ； 在直线中, av(),b<(),有矛 盾，故排除. 所以本题答案是A. 注从上面介绍中可以看到，对于某个二次函数y=ax2+bx+c(aH0)的图象我们可以 对单独的a、b、c与△进行直接判断，同时也可以对a、b、c的简单乘除组合式进行符号
2018-2019学年九年级数学下册第26章二次函数26-1二次函数同步练习新版华东师大版
26.1 二次函数 知|识|目|标 1．通过对教材“问题1”“问题2”中所列函数关系式共同点的探索，归纳出二次函数的定义，并会判断一个函数是不是二次函数． 2．类比根据实际问题列出一次函数关系式的方法，能根据实际问题或几何图形写出二次函数的关系式及自变量的取值范围． 目标一能识别二次函数 例1 教材补充例题下列函数：①y＝x＋2；②y＝2x2；③y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数)； ④y＝3 x2；⑤y＝x(x＋1)；⑥y＝－ 1 3 x2－x＋2；⑦y＝(x＋1)2－x(x＋1)．其中y一定是x的 二次函数的有哪些？请指出二次函数中相应的a，b，c的值． 【归纳总结】 1．一个函数是二次函数必须同时满足： (1)函数关系式是整式；(2)化简后自变量的最高次数是2；(3)二次项系数不等于零．三者缺一不可． 2．确定二次函数中各项系数时，应先将关系式化为一般形式，注意各项系数应包括它前面的符号． 目标二会列二次函数关系式 例2 教材练习第1题针对训练如图26－1－1，有长为30 m的篱笆，现一面利用墙(墙的最大可用长度为15 m)围成中间隔有一道篱笆的长方形菜园．设菜园的一边AB＝x m，总面积为S m2，求S关于x的函数关系式，并确定自变量x的取值范围． 图26－1－1 【归纳总结】列二次函数关系式“三步法”： (1)审清题意，找到实际问题中的已知量(常量)和未知量(变量)，分析各量之间的关系，找出等量关系． (2)根据实际问题中的等量关系，列出二次函数关系式，并化成一般形式． (3)根据实际问题的意义及所列函数关系式，确定自变量的取值范围．
知识点一 二次函数的概念 定义：形如__________________________________的函数叫做二次函数． 其中x 是自变量，ax 2，bx ，c 分别是二次函数的二次项、一次项和常数项．a ，b ，c 分别是 二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．自变量x 的取值范围是__________． 知识点二 列二次函数关系式 根据题意用自变量表示出题目中的相关量，然后列出函数关系式．列出函数关系式后，要注意标明自变量的取值范围． 当m 为何值时，y ＝(m ＋1)是关于x 的二次函数？ 解：令x 的指数是2，即m 2－3m －2＝2， 解得m 1＝－1，m 2＝4. 所以当m ＝－1或m ＝4时，y ＝(m ＋1)是关于x 的二次函数． 以上解答过程正确吗？若不正确，请指出错误，并给出正确的解答过程． 教师详解详析 【目标突破】 例1[解析] ①自变量的最高次数是1，不是二次函数；②是二次函数，a ＝2，b ＝0，c ＝0；③当a ＝0时不是二次函数；④函数关系式不是整式，故不是二次函数；⑤是二次函数，a ＝1， b ＝1， c ＝0；⑥是二次函数，a ＝－13 ，b ＝－1，c ＝2；⑦化简得y ＝x ＋1，不是二次函数． 解：y 一定是x 的二次函数的有②⑤⑥. ②y ＝2x 2：a ＝2，b ＝0，c ＝0； ⑤y ＝x(x ＋1)：a ＝1，b ＝1，c ＝0；
二次函数知识点总结及典型题目
二次函数知识点总结及典型题目 一.定义： 一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数的图象是抛物线，所以也叫抛物线y=ax2+bx+c ；抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界，一半图象上坡，另一半图象下坡；其中c 叫二次函数在y 轴上的截距, 即二次函数图象必过（0，c ）点. 二.二次函数2ax y =的性质 （1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0 淇滨区第一中学教案 九年级班执课教师：执课时间：年月日课题二次函数与方程的关系课时安排第课时 教学课型新授课□实（试）验课□复习课□实践课□其他□ 教学目标1理解一元二次函数与一元二次方程的关系，并会求有关字母的值。 2. 会用一次函数与二次函数的图象的交点求方程组的解及由方程组的解求交点坐标 教学重点 利用一元二次函数与一元二次方程的关系，并会求有关字母的值教学难点 抛物线图象与x轴交点的位置来判断方程的根． 课前准备二次函数的解析式中的一般式是: y = a x2+ bx +c (a≠0) 顶点式：y = a(x-h) 2+ k 交点式：y = a(x-x1)(x-x2) 教学环 节 内容设计意图 教学构架 一、知识梳理二、错题再现三、知识新授四、小结与 预习 一、一元二次函数与一元二次方程的关系 1、从形式上看： 二次函数：y=ax2＋bx＋c (a≠0) 一元二次方程：ax2＋bx＋c=0 (a≠0) 2、从内容上看： 二次函数表示的是一对(x，y)之间的关系，它有无数对解； 一元二次方程表示的是未知数x的值，最多只有2个值 3、相互关系： 二次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的 根。 如：y=x2－4x＋3与x轴的交点是(1，0)、(3，0)，则一元二 次方程x2－4x＋3=0的根是x=1或x=3 （1）二次函数y=a x2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况: a、有两个交点, b、有一个交点, c、没有交点. (2)当二次函数y=a x2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横 坐标就是当y=0时自变量x的值, 即 一元二次方程a x2+bx+c=0的根. ★二次函数知识点汇总★ 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2ax y =的性质 (1)抛物线2ax y =） （0≠a 的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.(2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；②当0a 时，开口向上；当0a b (即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧； ③0c ,与y 轴交于正半轴；③0 21.1 二次函数同步练习 一、选择题（本大题共17小题，共51.0分） 1.若其中m，n，p是常数为二次函数，则 A. m，n，p均不为0 B. ，且 C. D. ，或 2.下列函数中，是二次函数的为 A. B. C. D. 3.下列函数中，一定是二次函数的是 A. B. C. D. 4.下列函数中是二次函数的是 A. B. C. D. 5.函数b，c为常数是二次函数的条件为 A. B. C. ，， D. 6.二次函数的函数值是8，那么对应的x的值是 A. 3 B. 5 C. 和5 D. 3和 7.下列函数：，，，，其中以x为自变量的二次函数有 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8.是二次函数，则m的值为 A. 0， B. 0，2 C. 0 D. 9.对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是 A. B. C. D. 10.若二次函数配方后为，则h，k的值分别为 A. 2，5 B. 4， C. 2， D. ， 11.若函数是二次函数，则m的值为 A. 3 B. 3或 C. D. 2或 12.二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是 A. ，， B. ，， C. ，4， D. ，，1 13.将函数进行配方正确的结果应为 A. B. C. D. 14.是二次函数，则m的值为 A. 0， B. 0，3 C. 0 D. 15.下列函数关系中，是二次函数的是 A. 在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系 B. 当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系 C. 等边三角形的周长C与边长a之间的关系 D. 圆心角为的扇形面积S与半径R之间的关系 16.下列函数是二次函数的是 A. B. C. D. 第1页，共7页 【最新整理，下载后即可编辑】 2017二次函数同步练习最完整编辑 一、二次函数的定义（考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 1、下列函数中，是二次函数的是 . ①142+-=x x y ； ②22x y =； ③x x y 422+=； ④x y 3-=； ⑤12--=x y ； ⑥p nx mx y ++=2； ⑦x y 4=； ⑧x y 5-=。 2、在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为t t s 252+=，则t ＝4秒时，该物体所经过的路程为 。 3、若函数54)82(22++-+=x x m m y 是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 。 4、已知函数1)3(72 ++=-m x m y 是二次函数，则m ＝ 。 5、若函数15)2(22 ++-=-x x m y m 是关于x 的二次函数，则m 的值为 。 6、已知函数35)1(12 -+-=+x x m y m 是二次函数，求m 的值。 同步作业（2）二次函数)0(2≠=a ax y 的图象与性质 A 1. 二次函数2 21x y = 的顶点坐标是 ，对称轴是直线 。 2. 二次函数24 1 x y =的图象开口 ，当x ＞ 0时，y 随x 的增大 而 ；当x ＜ 0时，y 随x 的增大而 ； 当x ＝ 0时，函数y 有最 值是 。 3. 二次函数23x y -=的图象开口 ，当x ＞ 0时，y 随x 的增大而 ；当x ＜ 0时，y 随x 的增大而 ；当x ＝ 0时，函数y 有最 值是 。 4. 已知点A （2，1y ），B （4，2y ）在二次函数23x y -=的图象上，则1y 2y . 5. 已知点A （－2，1y ），B （4，2y ）在二次函数)0(2>=a ax y 的图象上，则1y 2y . 6. 在函数222)1(,32 1 ,,4,-=+=-===x y x y x y x y x y 中，其图象的对称轴是y 轴的有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 7. 抛物线2 2 1x y - =不具有的性质是（ ） 二次函数知识点 二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如y=ax 2+bx+c （a b c ，，是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a ≠0，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数。<＜＞≤≥ 2. 二次函数y=ax 2+bx+c 的性质 1）当a ＞0时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值 2 44ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值2 44ac b a -． （三）、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可 以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 练习 1.下列关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量)( ) A. B. C. D. 2. 函数y=x 2-2x+3的图象的顶点坐标是( ) A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. x 轴上 D. y 轴上 一、基础知识复习（填空） 1、抛物线()20y ax bx c a =++的开口向______对称轴是直线_________，顶点坐标是____________。当x=_____,y 最_____=_________,当x______,y 随x 的增大而减小；当x________,y 随x 的增大而增大。 2、用待定系数法求函数解析式。 知识点回顾：待定系数法求函数解析式步骤 ①设适当的二次函数关系式，即一般式：____________或者顶点式___________或者交点式____________; ②根据已知信息，构建关于待定系数的____________; ③解方程组；把求出的待定系数的值代入所设的关系式。 3、二次函数系数a ，b ，c 及Δ的几何意义 二、培优练习题 1、二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示，则下列结论正确的是( ) A.a ＞0,b ＜0,c ＞0 B.a ＜0,b ＜0,c ＞0 C.a ＜0,b ＞0,c ＜0 D.a ＜0,b ＞0,c ＞0 2、已知正比例函数kx y =的图像如右图所示，则二次函数222k x kx y +-= 的图像大致为（ ） A B C D 3、抛物线y=-2x 2-4x-5经过平移得到y=-2x 2，平移方法是( ) A.向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B.向左平移1个单位，再向上平移3个单位 C.向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D.向右平移1个单位，再向上平移3个单位 4、小明从右边的二次函数2y ax bx c =++图像中，观察得出了+下面的五条信息：①0a <，②0c =， ③函数的最小值为3-，④当0x <时，0y >，⑤当1202x x <<<时，12y y >（6）对称轴是直线 x=2．你认为其中正确的个数为（ ）Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．5 5、二次函数c bx ax y ++=2对于x 的任何值都恒为负值的条件是（ ） A 、0,0>?>a B 、0,0a C 、0,0>? 1、二次函数 1． 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s （米）与时间t 时间t （秒） 1 2 3 4 … 距离s （米） 2 8 18 32 … 写出用t 表示s 的函数关系式。 2． 若() m m x m m y -+=2 2是二次函数，求m 的值。 3． 用100cm 长的铁丝围成一个扇形，试写出扇形面积S （cm 2）与半径R （cm ）的函数关系式。 4． 已知二次函数),0(2 ≠+=a c ax y 当x=1时，y= -1；当x=2时，y=2，求该函数解析式。 5． 等边三角形的边长为4，若边长增加x ，则面积增加y ，求y 关于x 的函数关系式。 6． 富根老伯想利用一边长为a 米的旧墙及可以围成24米长的旧木料，建造猪舍三间，如图，它们的 平面图是一排大小相等的长方形。 （1） 如果设猪舍的宽AB 为x 米，则猪舍的总面积S （米2）与x 有怎样的函数关系？ （2） 请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为32米2，应该如何安排猪舍的长BC 和宽AB 的长度？旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响？怎样影响？ 2、函数2ax y =的图象与性质 1． 在同一坐标系内，画出下列函数的图象：（1）221x y = ；（2）2 2 1x y -=。 根据图象填空：（1）抛物线2 2 1x y = 的对称轴是 （或 ） ，顶点坐标是 ，抛物线上的点都在x 轴的 方，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ； （2）抛物线2 2 1x y - =的对称轴是 （或 ） ，顶点坐标是 ，抛物线上的点都在x 轴的 方，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ； 2． 已知函数()4 2 2-++=m m x m y 是关于x 的二次函数，求： （1） 满足条件的m 的值； （2） m 为何值时，抛物线有最底点？求出这个最底点，这时x 为何值时，y 随x 的增大而增大； （3） m 为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？ 3． 对于函数2 2x y =下列说法：①当x 取任何实数时，y 的值总是正的；②x 的值增大，y 的值也增 大；③y 随x 的增大而减小；④图象关于y 轴对称。其中正确的是 。 4． 二次函数1 2 -=m mx y 在其图象对称轴的左则，y 随x 的增大而增大，求m 的值。 5． 二次函数2 2 3x y - =，当x 1＞x 2＞0时，求y 1与y 2的大小关系。 6． 函数2 ax y =与b ax y +-=的图象可能是（ ） 中考数学二次函数知识点总结 I. 定义与定义表达式 一般地，自变量x和因变量y之间存有如下关系：y=ax^2+bx+c (a, b, c为常数，a z0,且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，lal还能够决定开口大小，lal越大开口就越小,IaI 越小开口就越大. )则称y 为x 的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 II. 二次函数的三种表达式 一般式：y=ax A2+bx+c (a, b, c 为常数，a z0) 顶点式：y=a(x-hF2+k[抛物线的顶点P (h, k)] 交点式：y=a(x-x)(x-x)[ 仅限于与x 轴有交点A(x, 0)和B( x, 0) 的抛物线] 注：在 3 种形式的互相转化中,有如下关系： h=-b/2a k=(4ac-bA2)/4a x,x=(- b±V bA2-4ac)/2a III. 二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数y=xA2 的图像,能够看出,二次函数的图像是一条抛物线。 IV. 抛物线的性质 1. 抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a 。 对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物 线的对称轴是y 轴(即直线x=0) 2. 抛物线有一个顶点P,坐标为：P（-b/2a , （4ac-"2）/4a）当-b/2a=0 时，P在y轴上；当△二b^2-4ac=0时，P在x轴上。 3. 二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小。 当a>0时，抛物线向上开口；当a v0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。 4. 一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置。 当a与b同号时（即ab> 0）,对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab v 0）,对称轴在y轴右。 5. 常数项c 决定抛物线与y 轴交点。 抛物线与y 轴交于（0, c） 6. 抛物线与x 轴交点个数 △=b A2-4ac >0时，抛物线与x轴有2个交点。 △=bA2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 △=bA2-4ac v 0时，抛物线与x轴没有交点。 X的取值是虚数（x=-b±V bA2 —4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a） V. 二次函数与一元二次方程 特别地,二次函数（以下称函数）y=axA2+bx+c, 当y=0 时,二次函数为关于x 的一元二次方程（以下称方程）,即 axA2+bx+c=0 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 二次函数一般式、顶点式、交点式 这节课我们学什么 1. 会用待定系数法求二次函数的解析式； 2. 会平移二次函数2(0)y ax a =≠的图象得到二次函数2()y a x h k =-+的图象； 了解特殊与一般相互联系和转化的思想； 3. 根据交点求解解析式． 知识点梳理 1、顶点式：()2y a x h k =-+的图像与性质 2、交点式：12()()y a x x x x =--的图像与性质 1x 、2x 分别是二次函数与x 轴的两个交点坐标，如果二次函数与x 轴的交点坐标已知，则我们可以设解析式为12()()y a x x x x =--，然后再根据条件求出a 即可； 3、一般式2y ax bx c =++的性质 对于一般式：2(0)y ax bx c a =++≠，我们怎么能知道二次函数的对称轴以及顶点坐标呢？ 将一般式配方成顶点式： 2y ax bx c =++=2 ()b c a x x a a ++=22222()44b b b c a x x a a a a ++-+ =222(())()22b b c b a x x a a a a +++- =222424b b ac a x a a -??+= ?? ? 所以，任意二次函数，其对称轴方程为：直线2b x a =-；顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ， 1． 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为直线2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大； 2． 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为直线2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小； 二次函数de 基础 一、考点、热点回顾 二次函数知识点 一、二次函数概念： 1．二次函数de 概念：一般地，形如2 y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）de 函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数de 定义域是全体实数． 2. 二次函数2 y ax bx c =++de 结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x de 二次式，x de 最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数de 基本形式 1. 二次函数基本形式：2 y ax =de 性质： a de 绝对值越大，抛物线de 开口越小。 2. 2 y ax c =+de 性质：上加下减。 3. ()2 y a x h =-de 性质：左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+de 性质： 三、二次函数图象de 平移 在原有函数de 基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴ c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵ c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++de 比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++是两种不同de 表达形式，后者通过配方可以 得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -??=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2 y ax bx c =++图象de 画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2 y ax bx c =++化为顶点式2 ()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取de 五点为：顶点、 与y 轴de 交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称de 点()2h c ，、与x 轴de 交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称de 点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴de 交点，与y 轴de 交点. 六、二次函数2 y ax bx c =++de 性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x de 增大而减小；当2b x a >-时，y 随x de 增大而增大；当2b x a =-时，y 二次函数表达式三种形式的联系与区别 二次函数的表达式有三种形式，即一般式、顶点式、交点式。它们之间各不相同，而又相互联系。 一、一般式：)0(2≠++=a c bx a y x 优点：二次项系数a ，一次项系数b ，常数项c ，三系数一目了然。 缺点：不容易看出顶点坐标和对称轴 二、顶点式：)0(4422)2(≠-+=+a a ac a y b a b x 优点：很容易看出顶点坐标和对称轴 缺点：不容易看出二次项系数a ，一次项系数b ，常数项c 各是多少。 三、交点式：))((2 1x x x x a y --= 优点：很容易看出图像与x 轴的交点坐标（x 1，0）和（x 2 ，0） 缺点：（1）不容易看出二次项系数a ，一次项系数b ，常数项c 各是多少。 （2）当图像不与x 轴相交时，此式不成立。 四、三种表达式之间的联系 （1）一般式转化为顶点式 利用配方法转化（一提、二配、三整理） a ac a a ac a a c a x a b a x a b a x a b a c bx a y b a b x b a b x a b a b x x x x 44444][[)2222222222)2()2()2()2(-+=+-=+-++=++ =+ =++=++（ （2）顶点式转化为一般式 展开整理即可 c bx a a ac bx a a ac a bx a a ac x a b a a a ac a y x x b b x b a b x b a b x ++=++=-+++=-+++=≠-+=+222222222224444444)4()0(44)2( （3）交点式转化为一般式 展开，利用韦达定理整理可得 二次函数)0(2≠++=a c bx a y x 与x 轴有两交点（x 1，0）和（x 2，0） 则x 1 和x 2为方程02=++c bx a x 的两个根 ] )([)())((212122121221x x x x x x x x x x x x x a x x a x x a y ++-=+--=--= 由韦达定理得： a c a b x x x x =-=+2121 代入得： c bx a a c x a b a x a y x x x x x x x ++=+--=++-=2221212])([] )([ 三种表达式视情况而定； （1）不知道特殊点的坐标时，常用一般式来表示； （2）知道顶点坐标，常用顶点式来表示； （3）如果知道图像与x 轴的交点坐标，常用交点式来表示。 上述三种情况要灵活运用才能更好地理解二次函数的解析式。 2.2 二次函数的图像与性质同步练习 一、选择题： 1、抛物线 y = - x 2 + 4 x + 7 的顶点坐标为（ ） A 、（-2,3） B 、（2,11） C 、（-2,7） D 、（2，-3） 2、若抛物线 y = x 2 - 2 x + c 与 y 轴交于点（0，-3），则下列说法不正确的是（ ） A 、抛物线开口方向向上 B 、抛物线的对称轴是直线 x = 1 C 、当 x = 1时， y 的最大值为-4 D 、抛物线与 x 轴的交点为（-1,0），（3,0） 3、要得到二次函数 y = - x 2 + 2 x - 2 的图象，需将 y = - x 2 的图象（ ） A 、向左平移 2 个单位，再向下平移 2 个单位 B 、向右平移 2 个单位，再向上平移 2 个单位 C 、向左平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位 D 、向右平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位 4、在平面直角坐标系中，若将抛物线 y = 2x 2 - 4x + 3 先向右平移 3 个单位长度，再向 上平移 2 个单位长度，则经过这两次平移后，所得到的抛物线的顶点坐标为（ ） A 、（-2,3） B 、（-1,4） C 、（1,4） D 、（4,3） 5、抛物线 y = x 2 + bx + c 的图象向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，所得图象的 解析式为 y = x 2 - 2 x - 3 ，则 b 、 c 的值为（ ） A 、 b = 2, c = 2 B 、 b = 2, c = 0 C 、 b = -2, c = -1 D 、 b = -3, c = 2 6、二次函数 y=ax 2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（-1，）．设 t=a+b+1， 则 t 值的变化范围是（ ） A ．0＜t ＜1 B ．0＜t ＜2 C ．1＜t ＜2 D ．-1＜t ＜1 ① 二次函数 考点一 一般地，如果y ＝ax 2＋bx ＋c(a 、b 、c 是常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数． 1．结构特征：①等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式；②x 的最高次数是2；③二次项系数a ≠0. 2．二次函数的三种基本形式 一般形式：y ＝ax 2＋bx ＋c(a 、b 、c 是常数，且a ≠0)； 顶点式：y ＝a(x －h)2＋k(a ≠0)，它直接显示二次函数的顶点坐标是(h ，k)； 交点式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，其中x 1 、x 2 是图象与x 轴交点的横坐标． 考 点二 二次函数的图象和性质 考点三 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征与a、b、c及b2－4ac的符号之间的关系 考点四 任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下： 考点五 1．设一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 若已知条件是图象上三个点的坐标．则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a、b、c的值．2．设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般式． 3．设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)． 若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式 考点六 二次函数的应用包括两个方法 ①用二次函数表示实际问题变量之间关系． ②用二次函数解决最大化问题(即最值问题)，用二次函数的性质求解，同时注意自变量的取值范围． (1)二次函数y＝－3x2－6x＋5的图象的顶点坐标是() A．(－1,8) B．(1,8) C．(－1,2)D．(1，－4) (2)将二次函数y＝x2－2x＋3化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为() A．y＝(x＋1)2＋4 B．y＝(x－1)2＋4 C．y＝(x＋1)2＋2 D．y＝(x－1)2＋2 (3)函数y＝x2－2x－2的图象如下图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范围是() ②二次函数与方程的关系
二次函数公式(精华)
21.1 二次函数 同步练习(含答案解析)
2017二次函数同步练习最完整编辑(精品范文).doc
(完整word版)初中二次函数知识点总结(全面)
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2.1二次函数的图像与性质同步练习3
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