北京四中数学必修四平面向量的基本定理及坐标表示提高版
平面向量的基本定理及坐标表示 编稿：丁会敏 审稿：王静伟
【学习目标】
1.了解平面向量的基本定理及其意义；
2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 【要点梳理】
要点一：平面向量基本定理 1．平面向量基本定理
如果12,e e 是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+，称1122e e λλ+为12,e e 的线性组合.
①其中12,e e 叫做表示这一平面内所有向量的基底；
②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量12,e e 的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的.
这说明如果1122a e e λλ=+且''
1122a e e λλ=+，那么1122λλλλ''=,=.
③当基底12,e e 是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.
要点诠释：
平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量.
2．如何使用平面向量基本定理
平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不供线的向量的线性组合．
（1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的．
（2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共
线的两个向量1e 、 2e ，平面上的任何一个向量a 都可以用1e 、 2e 唯一表示为
a =1λ1e +2λ2e ，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有1e 、 2e 的代数运算．
要点二：向量的夹角
已知两个非零向量a 与b ，在平面上任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，则
00(0180)AOB θθ∠=≤≤叫做a 与b 的夹角，记为〈a ，b 〉．当向量a 与b 不共线时，a
与b 的夹角()
000,180θ∈；当向量a 与b 共线时，若同向，则00θ=；若反向，则0
180θ=，
综上可知向量a 与b 的夹角00
0,180θ??∈??．
当向量a 与b 的夹角是90，就说a 与b 垂直，记作a ⊥b ． 要点诠释：
（1）向量夹角是指非零向量的夹角，零向量与任何向量不能谈夹角问题． （2）向量a ⊥b 是两向量夹角的特殊情况，可以理解为两向量所在直线互相垂直． 要点三：平面向量的坐标表示 1．正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 要点诠释：
如果基底的两个基向量e 1、e 2互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事实上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式．
2．平面向量的坐标表示
如图，在平面直角坐标系内，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、
j 作为基底，对于平面上的一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对
实数,x y ，使得a =x i +y j .这样，平面内的任一向量a 都可由,x y 唯一确定，我们把有序数对(,)x y 叫做向量a 的（直角）坐标，记作a =(,)x y ，x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标．把a =(,)x y 叫做向量的坐标表示．给出了平面向量的直角坐标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系．
要点诠释：
（1）由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即
12a b x x =?=且12y y =，其中1122(,),(,)a x y b x y ==．
（2）要把点的坐标与向量坐标区别开来．相等的向量的坐标是相同的，但始点、终点的坐标可以不同．比如，若(2,3)A ，(5,8)B ，则(3,5)AB =；若(4,3)C -，(1,8)D -，则(3,5)CD =，AB CD =，显然A 、B 、C 、D 四点坐标各不相同．
（3）(,)x y 在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．
要点四：平面向量的坐标运算
1．平面向量坐标的加法、减法和数乘运算
2．如何进行平面向量的坐标运算
在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．但同时注意以下几个问题：
（1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等．
（2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系． （3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的． （4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置无关．
要点五：平面向量平行(共线)的坐标表示 1．平面向量平行(共线)的坐标表示
设非零向量()()1122,,,a b x y x y ==，则a →∥b →
?(x 1，y 1)=λ(x 2，y 2)，即12
12
x x y y λλ=??=?，
或x 1y 2-x 2y 1=0.
要点诠释：
若()()1122,,,a b x y x y ==，则a →
∥b →
不能表示成,2
1
21y y x x =因为分母有可能为0. 2.三点共线的判断方法
判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知
112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y AB --→=(x 2-x 1，y 2-y 1)，AC --→
=(x 3-x 1，y 3-y 1)，
若21313121()()()()0,x x y y x x y y -----=则A ，B ，C 三点共线. 【典型例题】
类型一：平面向量基本定理
【高清课堂：平面向量基本定理及坐标运算394885 例1】
例1．如图，在ABC ?中，:1:2OA a OB b BE EA ===，
，，F 是OA 中点，线段OE 与BF 交于点G ，试用基底,a b 表示： （1）OE ；（2）BF ；（3）OG . 【解析】
（1）OE OB BE =+
=1
3b BA +
=1
()3b OA OB +-
=1
()3b a b +-
=12
33
a b +
（2）BF OF OB =-=11
22
OA b a b -=-
（3）在OAE ?中，取1
3
MN BA =
//FM OE ∴
1
||||2
FM OE ∴=
同理：//GE FM
1
||||2
GE FM =
∴G 是BF 的中点
1
()2OG OB OF ∴=+
=111222b a +?=11
42
a b +
【总结升华】用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平面四边形法则结合实数与向量的积的定义，解题时要注意解题途径的优化与组合．
举一反三：
【变式1】△ABC 中，BD=DC ，AE=2EC ，求
,
AG BG
GD GE
. 【思路点拨】选取AB ，AC 作为基底，构造G A 在此基底下的两种不同的表达形式.再根据相同基底的系数对应相等得实数方程组求解.
【解析】设
,AG BG
m GD GE
λ== ,1
()
2
BD DC AD AB AC AD AD AB AC =∴-=-∴=+
又
()AG GD AD AG λλ==-
()12(1)
AG AD AB AC λ
λ
λ
λ∴=
=
+++ …①
又
()BG mGE AG AB m AE AG =∴-=-，
而2
3
AE AC =
2
3
AG AB mAC mAG ∴-=-
1213(1)
m
AG
AB AC m m ∴=
+++………………② 比较①②，由平面向量基本定理得：????
???+=++=+)
1(2)1(32)1(211
λλλλm m m
解得：32m =
或1m =-（舍） ，把3
2
m =代入112(1)m λλ=++得：4λ= 2
3
,4==∴
GE BG GD AG . 例2．如图，在△OAB 中，14OC OA =
，1
2
OD OB =，
AD 与BC 交于点M ，设OA a =，OB b =，试以a ，b 为基底表示OM ．
【思路点拨】直接利用a 、b 表示OM 比较困难，可以先设OM ma nb =+，再根据三点共线的知识寻找出,m n 的两个方程，联立方程组，解之即得．
【解析】设OM ma nb =+（m ，n ∈R ），则(1)AM OM AO m a nb =-=-+．
11
22
AD OD OA b a a b =-=-=-+，
∵A 、M 、D 三点共线，AM AD λ∴=，∴()1
1()2
m a nb a b λ-+=-+ ∴
111
2
m n
-=-，即m+2n=1． ① 而14CM OM OC m a nb ??=-=-
+ ??
?，1144
CB OB OC b a a b =-=-=-+， ∵C 、M 、B 三点共线，CM CB λ∴=，1144m a nb a b λ?
???∴-
+=-+ ? ??
???
∴
1
4
11
4
m n
-
=
-
，即4m+n=1．②
由
21
41
m n
m n
+=
?
?
+=
?
，解得
1
7
3
7
m
n
?
=
??
?
?=
??
，∴
13
77
OM a b
=+．
【总结升华】（1）充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线，注重方程思想的应用；（2）用基底表示向量也是运用向量解决问题的基础，应根据条件灵活应用，熟练掌握．
举一反三：
【变式1】如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且
1
2
AN NC
=，BN与CM 相交于点E，设AB a
=，AC b
=，试用基底a，b表示向量AE．
【解析】易得
1
3
AN b
=，
11
22
AM AB a
==，由N、E、B三点共线知存在实数m，满足
1
(1)(1)
3
AE mAN m AB mb m a
=+-=+-．
由C、E、M三点共线知存在实数n，
满足
1
(1)(1)
2
AE nAM n AC na n b
=+-=+-．
所以
11
(1)(1)
32
mb m a na n b
+-=+-．
即
1
1
3
1
1
2
m n
m n
?
=-
??
?
?-=
??
，解得
3
5
4
5
m
n
?
=
??
?
?=
??
，即
21
55
AE a b
=+．
类型二：利用平面向量基本定理证明三点共线问题
例3．设OA、OB、OP是三个有共同起点的不共线向量，求证：它们的终点A、B、
P 共线，当且仅当存在实数m 、n 使m+n=1且OP mOA nOB ==．
【思路点拨】本题包含两个问题：（1）A 、B 、P 共线?m+n=1，且OP mOA nOB ==成立；（2）上述条件成立?A 、B 、P 三点共线．
【证明】（1）由三点共线?m 、n 满足的条件．
若A 、B 、P 三点共线，则AP 与AB 共线，由向量共线的条件知存在实数λ使
AP AB λ=，即()OP OA OB OA λ-=-，∴(1)OP OA OB λλ=-+．
令1m λ=-，n=λ，则OP mOA nOB =+且m+n=1． （2）由m 、n 满足m+n=1?A 、B 、P 三点共线．
若OP mOA nOB =+且m+n=1，则(1)OP mOA m OB =+-． 则()OP OB m OA OB -=-，即BP mBA =． ∴BP 与BA 共线，∴A 、B 、P 三点共线． 由（1）（2）可知，原命题是成立的．
【总结升华】 本例题的结论在做选择题和填空题时，可作为定理使用，这也是证明三点共线的方法之一．
举一反三：
【变式1】设e 1，e 2是平面内的一组基底，如果124AB e e =-，12BC e e =+，
1269CD e e =-，求证：A ，C ，D 三点共线．
【解析】 因为1212121
(4)()233
AC AB BC e e e e e e CD =+=-++=-=
，
所以AC 与CD 共线．
类型三：平面向量的坐标运算
例4．已知(2,4),(3,1),(3,4)A B C ----，且3,2,CM CA CN CB ==求M 、N 及MN 的坐标.
【思路点拨】根据题意可设出点C 、D 的坐标，然后利用已知的两个关系式，列方程组，求出坐标.
【解析】
(2,4),(3,1),(3,4)A B C ----
(1,8),(6,3).
3(3,24),2(12,6).
CA CB CM CA CN CB ∴==∴====
设(,)M x y ，则(3,4)(3,24),CM x y =++=
33,0,,(0,20).424,20x x M y y +==??∴∴∴??+==??
同理可求(9,2)N ，因此(9,18).MN =-
(0,20),(9,2),(9,18).M N MN ∴=-
【总结升华】向量的坐标是向量的另一种表示形式，它只与起点、终点、相对位置有关，三者中给出任意两个，可求第三个.在求解时，应将向量坐标看做一“整体”，运用方程的思想求解.向量的坐标运算是向量中最常用也是最基本的运算，必须熟练掌握.
举一反三：
【变式1】 已知点)8,2(),2,1(B A -以及11
,,33
AC AB DA BA ==-求点C ，
D 的坐标和CD 的坐标.
【解析】设点C 、D 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，
由题意得1122(1,2),(3,6),(1,2),(3,6).AC x y AB DA x y BA =+-==---=-- 因为11
,,33
AC AB DA BA =
=-， 所以有1111,22x y +=??
-=?和2211,22x y --=??-=?，解得110,4x y =??=?和222,
x y =-??=?
所以点C 、D 的坐标分别是(0，4)，(-2，0)，从而(2,4).CD =-- 类型四：平面向量平行的坐标表示
例5. 平面内给定三个向量(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-= (1)若()//(2),a kc b a +-求实数k ；
(2)设(,)d x y =满足()//()d c a b -+且||1,d c -=求d .
【思路点拨】(1)由两向量平行的条件得出关于k 的方程，从而求出实数k 的值；(2)由两向量平行及得出关于x ，y 的两个方程，解方程即可得出x ，y 的值，从而求出d .
【解析】
(1)()//(2),a kc b a +-
(34,2),2(5,2),234)(5)(2)0,16
.13
a kc k k
b a k k k +=++-=-∴?+--?+=∴=-
又（
(2)
(4,1),(2,4),d c x y a b -=--+=
又()//()d c a b -+且||1,d c -=
22
4(4)2(1)0,(4)(1)1,4,45555(445555
x y x y x x y y d ---=?∴?-+-=???=+=-??????
??==????+-∴=+
-解得或或（）.
【总结升华】
(1)与平行有关的问题，一般可以考虑运用向量平行的充要条件，用待定系数法求解； (2)向量共线定理的坐标表示提供了代数运算来解决向量共线的方法，也为点共线、线平行问题的处理提供了简单易行的方法. 举一反三：
【变式1】向量(,12)PA k =，(4,5)PB =，(10,)PC k =，当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线？
【解析】 (,12)(4,5)(4,7)BA PA PB k k =-=-=-，
(,12)(10,)(10,12)CA PA PC k k k k =-=-=--．
∵A 、B 、C 三点共线，∴//BA CA ，即(k ―4)(12―k)―(k ―10)×7=0． 整理，得k 2―9k ―22=0．解得k 1=―2或k 2=11． ∴当k=―2或11时，A 、B 、C 三点共线．
【总结升华】以上方法是用了A 、B 、C 三点共线即公共点的两个向量BA ，CA 共线，
本题还可以利用A 、B 、C 三点共线6(1)11PB PA k λλλ=-??=+-??=?或122
k λ?
=
???=-?
，即得
k=―2或11时，A 、B 、C 三点共线．
【变式2】已知向量a=（1，2），b=（1，0），c=（3，4）．若λ为实数，（a+λb ）∥c ，则λ=（ ）
A ．
14 B ．1
2
C ．1
D ．2 【答案】B
【高清课堂：平面向量基本定理及坐标运算394885 例4】
例6．如图，已知点A （4，0），B （4，4），C （2，6），求AC 与OB 的交点P 的坐标．
【解析】方法一：由O 、P 、B 三点共线，可设(4,4)OP OB λλλ==， 则(44,4)AP OP OA λλ=-=-．
(2,6)AC OC OA =-=-，
由AP 与AC 共线得(4λ－4)×6－4λ×(－2)=0，解得3
4
λ=， 所以3
(3,3)4
OP OB =
=．所以P 点坐标为（3，3）． 方法二：设P （x ，y ），则(,)OP x y =， 因为(4,4)OB =，且OP 与OB 共线，所以
44
x y
=，即x=y ． 又(4,)AP x y =-，(2,6)AC =-，且AP 与AC 共线，则得(x －4)×6－y ×(－2)=0，解得x=y=3，所以P 点坐标为（3，3）．
【总结升华】（1）平面向量的坐标表示，使向量问题完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样很多几何问题的证明，就转化为熟悉的数量运算．
（2）要注意把向量的坐标与点的坐标区别开来，只有当始点在原点时，向量坐标才与终点坐标相等．
举一反三：
【变式1】如图，已知A（4，5），B（1，2），C（12，1），D（11，6），求AC与BD的交点P的坐标．
【解析】设(111,62)(10,4)
BP BD
λλλλ
==--=．
∵(11,1)
CB=-，
∵(1011,41)
CP CB BPλλ
=+=-+．
又(8,4)
CA=-，而CP与CA共线，
∴4(10λ―11)+8(4λ+1)=0，
解之，得
1
2
λ=．设点P的坐标为（x P，y P），
∴(5,2)(1,2)
P P
BP x y
==--，
∴
15
22
P
P
x
y
-=
?
?
-=
?
，即
6
4
P
P
x
y
=
?
?
=
?
．
故点P的坐标为（6，4）．
【总结升华】利用向量的坐标运算求线段交点坐标的一般方法：
（1）设线段AC、BD交于点P（x，y），并以AC、BD为对角线作四边形ABCD；
（2）在四边形中寻找向量的相等或共线关系；
（3）利用向量的坐标表示这些关系，将问题转化为方程（组）问题；
（4）解这个方程（组），可得到问题的答案．
2020-2021年北京四中高三(上)期中语文
2020北京四中高三（上）期中 语文 （试卷满分为150分，考试时间为150分钟） 一、本大题共5小题，共18分。 认真阅读下面的材料，然后完成1－5题。 材料一 就算让贾公彦拍破脑袋，也不会知道在一千年后，他会被人们认为是指纹识别技术的最早发现者。这位唐朝的儒生凭借对周礼的研究，曾做过太常博士。《周礼》中介绍过周代的一个官职“司市”，类似于现在的市场监管人员。在对“司市”的描述中，提到了一个词叫“质剂”。汉代的郑玄注释说：“质剂谓两书一扎，同而别之也，若今下手书。”“下手书”这个汉代的名词到唐朝时已经不被人熟悉了，贾公彦就在《周礼义疏》中写道：“汉时下手书即今画指券。”也就是说，汉朝的“下手书”就相当于唐朝的一种被称为“画指券”的契约文书， 它要求签约的甲乙方及中间人都要把手指在纸张上平放，画下食指上三条指节，以此作为证明。本来，贾公彦的这条注释十分平常，但德国学者罗伯特·海因德尔偶然看到了这一段文字，顿时大感兴奋。他不仅将文字的内容写入了其在1927年出版的《指纹鉴定》，还盛赞贾公彦是世界上最早发现并阐述指纹性质及其应用的人。于是，贾公彦这位古人就莫名其妙地多了一个身份——指纹识别第一人。 欧洲人对指纹的应用似乎要晚得多。但在认清了指纹的科学性质之后，他们迅速地把这些发现应用到了实践。渐渐地，人们还发现人脸、虹膜、声纹、DNA等都有和指纹类似的独特、 唯一的性质，可以被用来进行人的身份识别。于是，一种全新的，综合运用多种高科技手段，通过人体固有的生理特性和行为特征等“生物密钥”来实现个人身份鉴别的技术就诞生了。这种技术，就是我们现在十分熟悉的生物识别技术。 近几年，在智能手机、移动互联、人工智能等技术的推进之下，生物识别技术更是迅速普及。有了按指纹、刷脸等技术，我们就不再需要记忆繁琐的密码，进行身份验证时的效率一下子就提升了很多。当然，生物识别技术也有着缺陷和相应的风险。用生物密钥来进行身份识别的原理就是对关键点采样，然后对这些采样点的特征进行比对。在这样的背景下，很多因素都可能对识别结果产生干扰。一方面，一些外部环境因素可能对生物识别的准确性产生比较大的影响；另一方面，人们本身的生物特征变化也可能干扰生物识别的准确性，像整容、受伤、年龄变化，乃至佩戴隐形眼镜等事件都可能会对生物识别的结果产生影响。 （取材于陈永伟的相关文章） 1．根据材料一，下列表述正确的一项是（3分）
高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳
平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量：既有大小又有方向的量。记作：AB 或a 。 2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。 3.单位向量：长度为1的向量。若e 是单位向量，则||1e =。 4.零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】 5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。 6.相等向量：长度和方向都相同的向量。 7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则： AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数） 9.平行四边形法则： 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。 10.共线定理：//a b a b λ=?。当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。 11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+，22||a a =，2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ?=?； cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ?=?=；121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误： （1）共线向量就是在同一条直线上的向量。 （2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。 （3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。 （4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 （5）若AB CD =，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 （6）若a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线。 （7）若ma mb =，则a b =。
北京四中高一数学上学期期末试题
高中数学精品资料 2020.8 【人教版高一数学模拟试卷】 北京市四中上学期高一年级期末测验数学试卷 试卷分为两卷，卷（I ）100分，卷（II ）50分，共计150分 考试时间：120分钟 卷（I ） 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1. ?210cos = A. 2 1 B. 2 3 C. 2 1- D. 2 3- 2. 设向量()?? ? ??==21, 21,0,1，则下列结论中正确的是 A. ||||= B. 2 2= ? C. 与-垂直 D. ∥ 3. 已知?? ? ??- ∈0,2πα，53cos =a ，则=αtan A. 43 B. 4 3- C. 3 4 D. 3 4- 4. 已知向量a 、b 满足2||,1||,0===?，则=-|2| A. 0 B. 22 C. 4 D. 8 5. 若 2 4 π θπ < <，则下列各式中正确的是 A. θθθtan cos sin << B. θθθsin tan cos << C. θθθcos sin tan << D. θθθtan sin cos << 6. 设P 是△ABC 所在平面内的一点，且2=+，则 A. 0=++PC PB PA B. 0=+PC PA C. 0=+PC PB D. 0=+PB PA 7. 函数14cos 22 -?? ? ? ?- =πx y 是 A. 最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数
C. 最小正周期为π2的奇函数 D. 最小正周期为π2的偶函数 8. 若向量()()1,1,4,3-==d AB ，且5=?AC d ，则=?BC d A. 0 B. －4 C.4 D. 4或－4 9. 若函数()?? ? ? ?<≤+=20sin 3cos πx x x x f ，则()x f 的最小值是 A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 10. 若()()m x x f ++=?ωcos 2，对任意实数t 都有()t f t f -=??? ? ?+4π，且18-=?? ? ??πf ，则实数m 的值等于 A. 1± B. 3± C. －3或1 D. －1或3 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知ααcos 3sin =，则=ααcos sin _________。 12. 已知向量()()()2,1,,1,1,2-=-=-=c m b a ，若() c b a ∥+，则=m ________。 13. ??? ? ? + 6tan πα21=，316tan -=??? ? ? -πβ，则()=+βαtan _________。 14. 若函数()x x f 2 sin =，则=?? ? ??12πf _________， ，单调增区间是_________。 15. 如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BD BC 3= ，1||=AD ，则=?AD AC _________。 16. 定义运算b a *为：()()? ??>≤=b a b b a a b a *。例如：12*1=，则函数()x x x f cos *sin =的值域为_________。 三、解答题（本大题共3小题，共26分） 17. （本小题满分6分） 已知：如图，两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为3 2π ，点C 是以O 为圆心的劣弧AB 的中点。
高中数学必修四平面向量知识归纳典型题型(经典)
一,向量重要结论 （1）、向量的数量积定义：||||cos a b a b θ?= 规定00a ?=， 22||a a a a ?== （2）、向量夹角公式：a 与b 的夹角为θ，则cos |||| a b a b θ?= （3）、向量共线的充要条件：b 与非零向量a 共线?存在惟一的R λ∈，使b a λ=。 （4）、两向量平行的充要条件：向量11(,)a x y =,22(,)b x y =平行?12210x y x y -= （5）、两向量垂直的充要条件：向量a b ⊥0a b ??=?12120x x y y += （6）、向量不等式：||||||a b a b +≥+，||||||a b a b ≥? （7）、向量的坐标运算：向量11(,)a x y =,22(,)b x y =，则a b ?=1212x x y y + （8）、向量的投影：︱b ︱cos θ=||a b a ?∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 （9）、向量：既有大小又有方向的量。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。相等 向量：长度相等且方向相同的向量。 （10）、零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝ 0 ?｜a ｜＝0 由于0的方向是任意的， 且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） （11）、单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量?｜ 0a ｜＝1 （12）、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b (即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 注：解析几何与向量综合时可能出现的向量内容： （1） 给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,= ，要会求出直线的斜率； （2）给出+与AB 相交,等于已知+过AB 的中点; （3）给出0 =+,等于已知P 是MN 的中点; （4）给出()+=+λ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线; （5）给出以下情形之一：①AC AB //；②存在实数,AB AC λλ=使；③若存在实数,,1,O C O A O B αβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共线. （6） 给出λλ++=1OP ，等于已知P 是AB 的定比分点，λ为定比，即λ= （7） 给出0=?,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=?m ,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0>=?m ,等于已知 AMB ∠是锐角。 （ 8）给出=??λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/ （9）在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-?+，等于已知ABCD 是菱形;
高一数学必修4平面向量练习题及答案(完整版)
平面向量练习题 一、选择题 1、若向量a = (1,1), b = (1,－1), c =(－1,2),则 c 等于( ) A 、21-a +23b B 、21a 23-b C 、23a 2 1-b D 、2 3-a + 21b 2、已知，A （2，3），B （－4，5），则与共线的单位向量是 （ ） A 、)10 10 ,10103(- = B 、)10 10 ,10103()1010,10103(-- =或 C 、)2,6(-= D 、)2,6()2,6(或-= 3、已知k 3),2,3(),2,1(-+-==垂直时k 值为 （ ） A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 4、已知向量=(2，1)， =(1，7)， =(5，1)，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，那么XB XA ?的最小值是 ( ) A 、-16 B 、-8 C 、0 D 、4 5、若向量)1,2(),2,1(-==分别是直线ax+(b －a)y －a=0和ax+4by+b=0的方向向量，则 a, b 的值分别可以是 （ ） A 、 －1 ，2 B 、 －2 ，1 C 、 1 ，2 D 、 2，1 6、若向量a =(cos α,sin β)，b =(cos α ,sin β )，则a 与b 一定满足 （ ） A 、a 与b 的夹角等于α－β B 、(a ＋b )⊥(a －b ) C 、a ∥b D 、a ⊥b 7、设j i ,分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量，j i θθsin 3cos 3+=，i -=∈),2 ,0(π θ。若用 来表示与的夹角，则 等于 （ ） A 、θ B 、 θπ +2 C 、 θπ -2 D 、θπ- 8、设πθ20<≤，已知两个向量()θθsin ,cos 1=，()θθcos 2,sin 22-+=OP ，则向量21P P 长度的最大值是 （ ） A 、2 B 、3 C 、23 D 、 二、填空题 9、已知点A(2，0)，B(4，0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 运动，则使BP AP ?取得最小值的点P 的坐标
北京四中：高一《数学》第一学期期中考试和答案
高一数学（必修1）期中模拟卷 一、选择题：（每小题5分，共12小题，合计60分） 1、 下列几个关系中正确的是（ ） A 、0{0}∈ B 、 0{0}= C 、0{0}? D 、{0}?= 2、设:f M N →是集合M 到集合N 的映射，下列说法正确的是（ ） a 、M 中每一个元素在N 中必有输出值。 b 、N 中每一个元素在M 中必有输入值。 c 、N 中每一个元素在M 中的输入值是唯一的。 d 、N 是M 中所有元素的输出值的集合。 3、下列函数与y x =有相同图象的一个是（ ） A 、y = B 、2 x y x = C 、 log (0,a x y a a =>且1)a ≠ D 、log (0,x a y a a =>且1)a ≠ 4、集合11 {|,},{|,}2442 k k M x x k Z N x x k Z == +∈==+∈，则（ ） A 、M N = B 、M N ? C 、N M ? D 、M N =? 5、已知53()2f x x ax bx =-++且(5)17f -=，则(5)f 的值为（ ） A 、19 B 、 13 C 、 -19 D 、 -13 6、若0a <，则函数(1)1x y a =--的图象必过点（ ） A 、(0,1) B 、（0，0） C 、（0，-1） D 、（1，-1） 7、要得到函数(2)1y f x =-+的图象，只需将函数()y f x =的图象（ ） a 向右平移2个单位，向下平移1个单位。 b 向左平移2个单位，向下平移1个单位。 c 向右平移2个单位，向上平移1个单位。 d 向左平移2个单位，向上平移1个单位。 8、定义集合A 、B 的一种运算：1212{,,}A B x x x x x A x B *==+∈∈其中，若{1,2,3}A =，{1,2}B =，则A B *中的所有元素数字之和为（ ） A ．9 B. 14 C.18 D.21 9、已知函数()312f x ax a =+-在区间（-1，1）上存在0x ，使得0()0f x =，则（ ） A 、115a -<< B 、15a > C 、1a <-或1 5 a > D 、1a <- 10、对任意实数x 规定y 取1 4,1,(5)2 x x x -+-三个值中的最小值，则函数y （ A 、有最大值2，最小值1， B 、有最大值2，无最小值， C 、有最大值1，无最小值， D 、无最大值，无最小值。 11、如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积(2m )与时间t (月) 的关系:t y a =,有以下叙述: ① 这个指数函数的底数是2;② 第5个月时,浮萍的面积就会超过230m ; ③ 浮萍从2 4m 蔓延到2 12m 需要经过1.5个月; t/月
北京四中10-11第一学期高一数学期中测试
北京四中2010-2011学年度第一学期期中测试高一年级 数学试卷 卷（Ⅰ） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 1． 若集合{}0123A =， ，，，{}124B =，，，则集合A B =（ ） A ．{}01234， ，，， B ．{}1234，， ， C ．{}12， D ．{}0 【解析】 A {}01234A B =，，，， 2． 函数()lg(1)f x x =-的定义域是（ ） A ．(2)+∞， B ．(1)+∞， C ．[)1+∞， D ．[)2+∞， 【解析】 B 10x -> ∴1x > 3． 下列各选项的两个函数中定义域相同的是（ ） A ．2 ()f x = ，()g x = B ．()x f x x = ，()1g x = C ．()2f x x =-，()g x = D ．()f x =()0g x = 【解析】 C 对于A ，()f x 的定义域为0x >，()y x 的定义域为R 对于B ，()f x 的定义域为0x ≠，()y x 的定义域为R 对于D ，()f x 的定义域为1x =，()y x 的定义域为R 4． 下列函数中值域是(0)+∞，的是（ ） A ．2()32f x x x =++ B ．21()4 f x x x =++ C ．1 ()|| f x x = D ．1 ()12 f x x = + 【解析】 C 对于A ， 2231()32()24f x x x x =++=+-，()f x 的值域为1 [,)4 -+∞． 对于B ，2211 ()()42 f x x x x =++=+，()f x 的值域为[0,)+∞． 对于C ，()f x 的值域为 (0)+∞，． 对于D ，()f x 的值域为 R ． 5． 函数4 y x = 是（ ） A ．奇函数且在(0)-∞，上单调递增
2020-2021年北京四中高一(上)期中物理含答案
2020北京四中高一（上）期中 物理 一、单项选择题（本大题共8分，每小题3分，共24分。） 1、关于力，下列说法中正确的是 A．只有相互接触的物体间才能产生力的作用 B．重心是物体所受重力的等效作用点，重心一定在物体上 C．弹力是接触力，两个互相接触的物体一定会产生弹力 D．静止的物体也可以受到滑动摩擦力 2、ab为一圆周的直径，一物体先由a点沿圆周运动到b点，再由b点沿另一半圆周回到a点。在这两个运动的过 程中，物体的 A．位移和路程都相同B．位移和路程都不相同 C．位移相同，路程不相同D．位移不相同，路程相同 3、下列“画阴影”的物体受力分析正确的是 4、两个共点力作用于一个物体上，力的方向可以任意调节，其中一个力为20N，另一个力是F，它们的合力是 50N。则F的大小不可能的是 A．20N B．30N C．40N D．50N 5、中国飞人刘翔在第十一届全运会男子110米栏的比赛中，以13秒34的成绩如愿摘金，完美实现了王者归来， 关于比赛的下列说法中正确的是 A．刘翔在110米中点的速度一定等于8.2m/s B．刘翔在13秒34的中间时刻的速度一定等于8.2m/s
C．刘翔在110米终点的速度一定等于8.2m/s D．刘翔比赛中的平均速度约是8.2m/s 6、舰载机通过弹射系统获得初速度，再利用自身发动机在航空母舰的跑道上加速，进而飞离航空母舰。某型号的 舰载机在航空母舰的跑道上加速时，发动机产生的最大加速度为5m/s2，起飞所需的速度为50m/s，跑道长只有90m。为了使飞机能正常起飞，弹射系统使飞机获得的初速度至少为 A．40m/s B．35m/s C．32m/s D．30m/s 7、北京地下铁道某电气列车，以12m/s的速度行驶。快进站时司机刹车使列车做匀减速直至停住。加速度大小为 0.5m/s2。那么从刹车开始经30s列车通过的位移大小是 A．135m B．144m C．180m D．360m 8、如图，小球用细绳系住，绳另一端固定于O 点。现用水平力F缓慢推动斜面体，小球在斜面上无摩擦地滑动， 细绳始终处于拉直状态，当小球升到接近斜面顶端时细绳接近水平，此过程中斜面对小球的支持力N以及绳对小球的拉力T的变化情况是 A．N逐渐减小，T逐渐增大 B．N逐渐减小，T逐渐减小 C．N逐渐增大，T先增大后减小 D．N逐渐增大，T先减小后增大 二、多项选择题（本大题共6小题。每小题4分，共24分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项正确，漏选 得2分，错选不得分。请将答案填涂在答题卡上） 9、下列关于加速度和速度的说法是正确的是 A．物体的速度变化越大，加速度一定越大B．物体的速度变化越快，加速度一定越大 C．物体的加速度增大，速度可能减小D．物体的加速度增大，速度一定增大 10、甲、乙两物体沿同一直线运动，它们的x—t图如图所示。由图像可知
必修4平面向量知识要点
必修４平面向量知识要点 1、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 2、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+； ②结合律：()() a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=． ⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 3、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． 4、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ① a a λλ=； ②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当 0λ=时，0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③() a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==． 5、向量共线定理：向量() 0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=． 设()11,a x y =，()22,b x y =， 其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、() 0b b ≠共线． 6、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作 b a C B A a b C C -=A -AB =B
北京市高一化学上学期期末考试试题
北京四中2017-2018学年上学 期高一年级期末考试化学试卷 （满分150分，考试时间100分钟） 可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Cl 35.5 Br 80 Fe 56 I卷 一、选择题（每小题只有 ．．．．．．．，1-10题每小题3分，11-18题每小题2分，共．．1．个选项符合题意 46分） 1. 下列物质与危险化学品标志的对应关系不正确的是 A B C D 乙醇甲烷浓硫酸氢氧化钠 2. 氧化还原反应的实质是 A. 电子转移 B. 元素化合价变化 C. 氧元素参加反应 D. 原子重新组合 3. 下列物质中，属于电解质的是 A. 稀盐酸 B. 铜丝 C. 氯化钠固体 D. 蔗糖 4. 下列冶炼金属的方法错误 ．．的是 A. 加热分解HgO制金属Hg B. 高温下用CO还原赤铁矿炼铁
C. 电解NaCl 溶液制金属Na D. Fe 和4CuSO 溶液湿法炼铜 5. 目前，很多自来水厂用氯气杀菌、消毒。下列关于氯气的性质描述正确的是 A. 黄绿色 B. 无毒 C. 无味 D. 难溶于水 6. 下列氯化物既能由金属和氯气直接化合制得，又能由金属和盐酸反应制得的是 A. 2CuCl B. 2FeCl C. NaCl D. 3FeCl 7. 下列物质露置于空气中不易变质的是 A. NaCl 溶液 B. 4FeSO 溶液 C. 漂白粉溶液 D. 氯水 8. 下列关于钠及其化合物性质的叙述，正确的是 A. 钠与硫酸铜稀溶液混合制备金属铜 B. 氧化钠和过氧化钠都能与水反应，生成物完全相同 C. 过氧化钠是淡黄色固体，可用作呼吸面具的氧气来源 D. 等质量的碳酸钠和碳酸氢钠分别与足量盐酸反应，产生气体质量相同 9. 现有一瓶甲和乙的混合物，已知甲和乙的某些性质如下表所示： 物质 熔点/℃ 沸点/℃ 密度/（3 /cm g ） 水中的溶解性 甲 -98 57.5 0.93 可溶 乙 -84 77 0.90 可溶 据此，将甲和乙互相分离的方法是 A. 蒸馏法 B. 升华法 C. 萃取法 D. 过滤法 10. 下列离子方程式书写正确的是 A. 氯气通入氯化亚铁溶液中：+-+ +=+3222Fe Cl Cl Fe B. 澄清石灰水中通入少量2CO ：O H CaCO CO OH Ca 23222+↓=++-+ C. 大理石与稀盐酸反应：O H CO H CO 2223 2+↑=++- D. 碳酸氢钠溶液与稀盐酸反应：O H CO CO H 2223 2+=+- + 11. 对比3NaHCO 和32CO Na 的性质，下列说法中正确的是 A. 常温下在水中溶解性：323CO Na NaHCO > B. 热稳定性：323CO Na NaHCO <
北京四中2020-2021高一上学期期中考试
北京四中2020-2021高一上学期期中考试 一．选择题 1.已知全集U ，集合{1,2,3,4,5},{3,2}A B ==-，则图中阴影部分表示的 集合为 A．{3} B.{3,2}- C.{2} D.{2,3}-2.不等式20 1x x -≤+的解集是 A．(,1)(1,2]-∞-?- B.[1,2]- C.(,1)[2,)-∞-?+∞ D.(1,2] -3.下列函数中，在区间(0,)+∞上为减函数的是 A．22y x x =- B.||y x = C.21y x =+ D.y = 4.已知函数2()51f x x x =-+，则下列区间中一定包含()f x 零点的区间是 A．(2,1)-- B.(1,0)- C.(0,1) D.(1,2) 5.若函数()f x 是偶函数，且在区间[0,3]上单调递增，则 A．(1)(2)(3)f f f ->> B.(3)(1)(2) f f f >->C.(2)(1)(3) f f f >-> D.(3)(2)(1)f f f >>- 6.已知12,x x 是方程220x -+=的两根，则2212x x += A．2 B.3 C.4 D.5 7.已知,,a b R ∈且,a b >则下列结论中正确的是 A．1a b > B.11a b < C.||||a b > D.33a b >8.“2a =”是“函数()||f x x a =-在区间上[2,)+∞为增函数”的 A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 9.向某容器中匀速注水时容器水面高度h 随时间t 变化的函数()t f h =的图像如右图 所示，则容器的形状可以是
北京四中2011-学年高一数学上学期期末试题
北京市四中2011-2012学年上学期高一年级期末测验数学试卷 试卷分为两卷，卷（I ）100分，卷（II ）50分，共计150分 考试时间：120分钟 卷（I ） 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1. ?210cos = A. 21 B. 23 C. 21 - D. 23 - 2. 设向量()??? ??==21,21,0,1b a ，则下列结论中正确的是 A. ||||b a = B. 22 =?b a C. b b a 与-垂直 D. b a ∥ 3. 已知??? ??-∈0,2π α，53 cos =a ，则=αtan A. 43 B. 43- C. 34 D. 34 - 4. 已知向量a 、b 满足2||,1||,0===?b a b a ，则=-|2|b a A. 0 B. 22 C. 4 D. 8 5. 若24π θπ<<，则下列各式中正确的是 A. θθθtan cos sin << B. θθθsin tan cos << C. θθθcos sin tan << D. θθθtan sin cos << 6. 设P 是△ABC 所在平面内的一点，且BC BP BA 2=+，则 A. 0=++PC PB PA B. 0=+PC PA C. 0=+PC PB D. 0=+PB PA 7. 函数14cos 22-??? ??-=πx y 是
A. 最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数 C. 最小正周期为π2的奇函数 D. 最小正周期为π2的偶函数 8. 若向量()()1,1,4,3-==d AB ，且5=?AC d ，则=?BC d A. 0 B. －4 C.4 D. 4或－4 9. 若函数()??? ? ?<≤+=20sin 3cos πx x x x f ，则()x f 的最小值是 A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 10. 若()()m x x f ++=?ωcos 2，对任意实数t 都有()t f t f -=??? ? ?+4π，且18-=?? ? ??πf ，则实数m 的值等于 A. 1± B. 3± C. －3或1 D. －1或3 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知ααcos 3sin =，则=ααcos sin _________。 12. 已知向量()()()2,1,,1,1,2-=-=-=c m b a ，若() c b a ∥+，则=m ________。 13. ??? ? ?+6tan πα21=，316tan -=??? ??-πβ，则()=+βαtan _________。 14. 若函数()x x f 2sin =，则=?? ? ??12πf _________，，单调增区间是_________。 15. 如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BD BC 3=，1||=AD ， 则=?AD AC _________。 16. 定义运算b a *为：()() ???>≤=b a b b a a b a *。例如：12*1=，则函数()x x x f cos *sin =的值域为_________。
高中数学必修4第二章平面向量教案完整版
§ 平面向量的实际背景及基本概念 1、数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：； ④向量的大小――长度称为向量的模，记作||. 3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别： （1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量； （2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段. 4、零向量、单位向量概念： ①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别. ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行. 说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 6、相等向量定义： 长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等； （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段．．．．． 的起点无关．．．．． . 7、共线向量与平行向量关系： 平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的．．．．．．起点无关）．．．．． . 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. A(起点) B （终点） a
高中数学必修4平面向量知识点总结
高中数学必修4 平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的 起点与终点的大写字母表示，如：AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ，a ；坐标表示法 ),(y x yj xi a 向量的大小即向量的模（长度） ，记作|AB u u u r |即向量的大小，记作｜a ｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向 量a ＝0 ｜a ｜＝0 由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在 有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 ｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以 移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b 由于向量可 以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的． ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为 b a 大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x 21 2 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r （1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一
2018北京四中高一(上)期末英语
2018北京四中高一（上）期末 英语 第一卷（三部分, 共90分） 第一部分：听力（共两节, 满分15分） 第一节（共5小题；每小题1分, 共5分） 听下面5段对话。每段对话后有一道小题, 从每题所给的A、B、C三个选 项中选出最佳选项。听完每段对话后, 你将有10秒钟的时间来回答有关小题和 阅读下一小题。每段对话你将听一遍。 1. Which of the following does the woman suggest? 2. What kind of novels does the woman like most? A. Fantasies. B. Science fictions. C. Detective stories. 3. When do high schools usually start? A. At 8：30AM. B. At 8：15AM. C. At 7：30AM. 4. What does the man invite the woman to do? A. Plan a wedding. B. Watch a new movie. C. Go to a concert. 5. Where does the conversation most probably take place? A. At a gas station. B. At a car wash. C. At a repair shop. 第二节（共10小题；每小题1分, 共10分） 听下面4段对话或独自。每段对话或独白后有几道小题, 从每题所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。听每段对话或独白前, 你将有5秒钟的时间阅读每小题。听完后, 每小题将给出5秒钟的作答时间。每段对话或独白你将听两遍。 听第6段材料, 回答第6至7题。 6. What's the man's favorite food? A. Fruit salad. B. Apple pie.
高中数学必修4知识点总结：第二章 平面向量
高中数学必修4知识点总结 第二章 平面向量 16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+ ． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+ ； ②结合律：()() a b c a b c ++=++ ；③00a a a +=+= ． ⑸坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y +=++ ． 18、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y -=-- ． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1 212 ,x x y y A B=-- ． 19、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ ． ①a a λλ= ； ②当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ 的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ= ． ⑵运算律：①()()a a λμλμ= ；②()a a a λμλμ+=+ ；③() a b a b λλλ+=+ ． ⑶坐标运算：设(),a x y = ，则()(),,a x y x y λλλλ== ． 20、向量共线定理：向量() 0a a ≠ 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ= ． 设()11,a x y = ，()22,b x y = ，其中0b ≠ ，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、() 0b b ≠ 共线． 21、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+ ．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基 b a C B A a b C C -=A -AB =B
高中数学必修4第二章 平面向量公式及定义
平面向量公式 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则. AB+BC=AC. a+b=(x+x',y+y'). a+0=0+a=a. 向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a； 结合律：(a+b)+c=a+(b+c). 2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0 AB-AC=CB.即“共同起点,指向被减” a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y'). 4、数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣. 当λ＞0时,λa与a同方向； 当λ＜0时,λa与a反方向； 当λ=0时,λa=0,方向任意. 当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0. 注：按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0. 实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩. 当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍； 当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍. 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb). 向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λ b. 数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.②如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ. 3、向量的的数量积 定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a?b.若a、b不共线,则a?b=|a|?|b|?cos〈a,b〉；若a、b共线,则a?b=+-∣a∣∣b∣. 向量的数量积的坐标表示：a?b=x?x'+y?y'. 向量的数量积的运算律 a?b=b?a（交换律）；
2019北京四中高一(上)期中数学含答案
2019北京四中高一（上）期中 数学 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3}，B＝{3，4，5}，则集合A∩B＝（）A．{2，3，4，5} B．{3} C．{1，4，5} D．{1，3，4，5} 2．（5分）函数的定义域是（） A．R B．{x|x＞2} C．{x|x≥1} D．{x|x≥1且x≠2} 3．（5分）若a＞b，则下列各式中正确的是（） A．ac＞bc B．ac2＞bc2C．a+c2＞b+c2D． 4．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为减函数的是（） A．y＝x2﹣2x B．y＝|x| C．y＝2x+1 D． 5．（5分）命题“?x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（） A．?x∈R，x3﹣x2+1≥0 B．?x∈R，x3﹣x2+1＞0 C．?x∈R，x3﹣x2+1≤0 D．?x∈R，x3﹣x2+1＞0 6．（5分）下列函数中：①②③y＝x2+1④偶函数的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3 7．（5分）“x＞1”是“x2﹣x＞0”的（） A．充分而不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 8．（5分）函数f（x）＝x3﹣2x﹣3一定存在零点的区间是（） A．（2，+∞）B．（1，2）C．（0，1）D．（﹣1，0） 9．（5分）下列函数中，满足f（2x）＝2f（x）的是（）
A．f（x）＝（x+2）2B．f（x）＝x+1 C．D．f（x）＝x﹣|x| 10．（5分）函数f（x）＝的图象如图所示，则下列结论成立的是（） A．a＞0，b＞0，c＜0 B．a＜0，b＞0，c＞0 C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜0 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 11．（5分）设全集U＝R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{﹣3，﹣1，1，3}，则集合（?U A）∩B＝．12．（5分）已知，则f（f（﹣1））的值为． 13．（5分）函数y＝x2+3x﹣1，x∈[﹣2，3]的值域是． 14．（5分）若x＞0，则f（x）＝4x+的最小值为． 15．（5分）若二次函数f（x）的图象关于x＝2对称，且f（a）≤f（0）＜f（1），则实数a的取值范围是． 16．（5分）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： （i）男学生人数多于女学生人数； （ii）女学生人数多于教师人数； （iii）教师人数的两倍多于男学生人数． ①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为． ②该小组人数的最小值为．