北京四中周长生：用高观点教数学
用高观点教数学
作者：周长生（北京四中）
选自《为不教而教》一书
概述
这里所说的高观点，是高层次的观点、理论、思想、方法的总称。
中国有一句古老的教育名言：师傅领进门，修行在个人。这句话虽然家喻户晓。但是，怎样领法呢？根据我的经验，教师主要用高观点武装学生头脑，使他们居高临下，自主修行。
任何事情，只有用较高的观点去审视，才能看清它的本质。
严格来说，同数学课本中的知识一样，高观点也属于知识的范围。因此，从数学教学的角度来看，我们面对的是一座知识的高楼大厦，不同层次的知识居住在不同的楼层。
课本住在哪？主要在底下，D1，D2，D3等。
高观点住在哪？主要在地上，F1，F2，F3等。
可见，这里所说的高观点主要是高于课本的观点，它是获取课本上基本知识的有效手段。没有高观点，即使有苦读深思的习惯，即使把书读破读烂，也是事倍功半。
可以这样讲：精读深思+高观点=如虎添翼。
就中学数学教学而言，高观点有哪些呢？
我不可能说出全部的高观点，根据几十年的经验，我大致谈五个层面。
第一、共性个性原理；
第二、简易逻辑知识；
第三、学习数学的主要原则；
第四、数学的主要特点；
第五、一些数学学习方法口诀。
以下，将分别加以叙述。
一、共性个性原理
（一）回顾和问题
本来，从数学教学的角度看问题应该把方法和知识区分开来，把方法看做获取知识的手段。方法和知识的关系，应看成渔和鱼的关系。
渔和鱼，无论如何不能混为一谈。试想，有哪个人，吃鱼时却吃起鱼杆来？
但是，严格说来，方法和知识又很难区分。比如，有个计算题“已知三角形的两个角分别是50°和60°，求第三个角”，若问，解这个题应该用什么方法，人们都会说三角形的内
角和定理，可见，三角形内角和定理这个基本知识，此时很自然地被人们看成了方法。又比如，解一元二次方程的公式法，是一个方法，但根的公式却又是很重要的基本知识。
在中学数学里，想以上那样，方法和知识难以区分的事实还可以举出很多很多。事实上，教科书里，每一个定理，法则，公式等基本知识都可以看成方法，而每一个带“法”字的所谓方法又都是基本知识。
就数学教科书本身来说，方法和知识难以区分，或者不加以区分，有什么坏处呢？好像看不出来。但是，从教学上来看，有时候却发生了问题。
例如，在20世纪50年代，有个老教师提出点金术来，不仅要给学生金子，而且更重要的是给学生点金术。学校领导也号召其他老师向这位老教师学习。但是号召归号召，变化不大，为什么？因为，大家不了解点金术究竟是什么样，甚至误认为带有“法”字的基本知识就是点金术。
又如，常有学者倡导，教数学要重视渔，但渔和鱼怎样区分，也没有细说。
近二三十年，有些学者相继又提出数学思想，数学方法等，其用意虽然想提高教学水平，但是，由于提法本身模糊笼统，使得老师没个抓挠，收效也不明显。
由此可见，不把方法和知识区分开来，对改进教学是不利的。既然如此，何不分开？不过，分开也有分开的困难。若把教科书中的基本知识看作“金”，看做“鱼”，那么点金术和渔是什么样呢？倡导者自己也说不清楚。老师们也就自然知难而止步了。
长时期以来，点金术，渔，数学思想方法等之所以不断被提出来，总是希望找出获取基本知识的有效途径，但之所以成效不显著，我想还是由于对这个问题没有深刻认识。事实上，这些提法还是缺乏实践性和科学性，多是感觉而已。一般性的号召号召，不可能取得很大成效。
根据我的经验，我认为解决这个问题（即找出获取新知识的方法），需要具备以下三点有关哲学的基本常识。
第一点，方法是一般性的东西。从而寻求方法要从特殊到一般。
第二点，一般正确，特殊也正确，而特殊正确，一般未必正确。或者说，一般有的特殊都有，而特殊有的一般未必有。
第三点，一般和特殊，有绝对性，也有相对性。
在以上三点中，前两点学生比较容易了解，第三点不太熟悉。下面将加以详述。
（二）一般和特殊的相对性
一提起相对，人们自然会想到绝对。
绝对和相对，这本是一个相当难懂的哲学术语，我发现在日常生活中，处处都有关于它的事例。我就从这些事例谈起吧！
大哥、二哥、三弟，三个人的岁数是什么情形呢？就大哥和二哥两人来说，二哥的年岁是比大哥小，这是固定不变的，所以，这是绝对的。就二哥和三弟两人来说，二哥的年岁比
三弟大，这也是固定不变的，这又是绝对的。但就三人来说，二哥的年岁比大哥小而又比三弟大，这又是事实，这个事实说明二哥的年岁，也可以说小，也可以说大，这就是相对性。因此，只就这三个人来说，二哥的年岁具有相对性。
不与其他人相比，但就某一人而言，说张三岁数是大是小呢？这是一个没有意义的问题。
长江，黄河，黑龙江。就黄河和长江相比，黄河短，长江长，这是绝对。就黄河和黑龙江来比，黄河长黑龙江短，这也是绝对。但是，黄河虽比长江短可又比黑龙江长，这说明对这三条河而言，黄河的长短有相对性。
单独说，黄河很长吗？就没有意义。
飞机比火车快，这是绝对。火车比马车快，这也是绝对。但火车比飞机慢比马车快，这就是相对。
由以上事实可以知道，大小，长短，高低，厚薄，软硬，轻重，快慢，等等，都具有相对性。
一般和特殊，也有相对性。
比如，四边形和平行四边形，四边形是一般，平行四边形是特殊，这是一般和特殊的绝对性。相对于四边形而言，平行四边形是特殊，相对于长方形而言，平行四边形又是一般，这是一般和特殊的相对性。
又比如，对整式方程来说，代数方程是一般，一元一次方程是特殊，这是整式方程所具有的相对性。
又比如，对定理来说，命题是一般，勾股定理是特殊，这是定理的相对性。
毛泽东在《矛盾论》中曾指出：“由于事物范围的极其广大，发展的无限性，所以，在一定场合为普遍性的东西，而在另一一定场合则变为普遍性。”毛泽东在这里所说的就是一般特殊的绝对性和相对性。但是，必须注意，谈论绝对或相对时，一定先要弄清场合，离开场合是不行的。在我的数学教学中，《矛盾论》的上述论断，对我的帮助是最大的。
几何中的定理是一般性的理论知识，自古以来人们都是这样认为的，天经地义，好像是个绝不变的东西。其实，从一般特殊的相对性来考虑，几何的定理对四个命题的关系而言，它又是特殊的东西。这个事实，对解放我的思想，对发展我的思维，对提高我的认识，起了不可估量的作用。
仍以几何来讲，那个神圣不可侵犯的欧几里得著作，对于逻辑学知识而言，都可以看成特例，都可以看成零星的东西。由此使我认识到，所有中学数学课本，尽管其理论体系多么严密，多么系统，多么完整，但是，从教和学的观点看问题，它们都可以被视为支离破碎的东西。这样一来，根据一般和特殊的相对性，我就有足够的胆量，在这个支离破碎的基础上去寻求比定理、法则、公式等更为一般的方法。
我把这个高于数学基本知识的方法叫做高层次的方法。事实上，把一般和特殊看成“高”和“低”两个层次是合情合理的。
例如，四边形，平行四边形，矩形，正方形，是按照从一般到特殊的顺序排列的，这四个几何概念，就可以从高到低依次分成四个层次。
又如，方程，整式方程，一元二次方程，从高到低是三个不同层次的方程。
理论的层次性或知识的层次性，应是按照一般和特殊的关系区分的。知识的层次性具有重要的意义。
（三）一般和特殊的关系就是共性和个性的关系
毛泽东在《矛盾论》中指出：“矛盾的普遍性和矛盾的特殊性的关系，就是矛盾的共性和个性的关系”。
这就是说，一般和特殊的关系就是共性和个性的关系。
普遍性，一般性或一般，就是共同性或共性。
特殊性或特殊，就是差异性或个性。
表面看来，这种改变，只是用词的不同而已，并没有实质含义的改变。但是依我来看，这种改变虽然意义没有什么区别，却给一般人理解和应用这个哲学术语带来极大的好处。因为，共同性和共性较之一般性和一般更为通俗，更易把握，比如，有两个图形（四边形和梯形），要让学生找出这两个图形的一般性，他们也许感到困惑，但是，要让学生找出这两个图形有哪些共同性或相同性，他们就会轻而易举地说出，它们都有四个顶点，它们都有四条边，它们都有四个角等。同样，要让学生回答这两个图形的特殊性，就不如让他们回答差异性更为通俗易懂。
（四）共性个性原理
《矛盾论》在说完普遍性和特殊性就是共性和个性之后，紧接着又指出：“这一共性个性、绝对相对的道理，是关于事物矛盾的问题的精髓，不懂得它，就等于抛弃了辩证法”。
共性个性、绝对相对，既然是矛盾的精髓，可知也是《矛盾论》的核心。既然不懂得它，就等于抛弃了辩证法，那么，懂得它不就是懂得了辩证法吗？
第（二）节，我们谈了一般和特殊的相对性，第（三）节又谈了一般特殊就是共性个性，可见，第（二）节和第（三）节，实际说出了矛盾的精髓，或者说，实际说出了辩证法的精髓。
这个矛盾的精髓，这个辩证法的精髓，是很难懂的。从50年代到60年代，前后十多年，我读它有多少遍呢？说300遍也不多，说500遍也不过分。一开始接触这段话，我感到好像天书，好几个月，好几十遍，竟没有什么体会。以后，我下苦功夫，断断续续，精读，深思，应用，经过好多年，我逐渐理解了它。当我深刻理解之后，在80年代，我用数学的思维方式，对这个辩证法的核心观点，按照我自己的体会，依我的学习心得，可以看做“关于世界事物属性的一些基本原理”，（简称共性个性原理）共有三条：
第1条事物之间，有差异，也有共性。特别是，任意一组事物必有共同属性。
第2条共性寓于个性。
第3条共性个性具有相对性。
现在略做说明。
何以称做“关于世界事物属性的一些基本原理”呢？
众所周知，人的任务，或人的使命，归根结底无非这样两个方面，或认识世界，或改造世界。所谓认识世界，无非是认识世界事物的属性，否则，认识世界不就成为一句空话吗？每个人都有两只眼睛，一个鼻子，这就是人的属性。中国的首都在北京，这是中国的属性。地球绕着太阳转动，这是地球的属性。光速每秒30万公里，这是光的属性。有理数可以写成循环小数，这是有理数的属性。对顶角相等，这是对顶角的属性，等等。既然认识世界就是认识世界事物的属性，那么，关于事物的属性具有哪些共同特征呢？我提出了三条。为什么把这三条叫做基本原理呢？我是把基本原理当做数学中的公理看待的，既然类似公理，其存在性，其正确性，就不言而喻了，就毋庸置疑了。
第1条原理告诉人们，寻求事物的共同属性，绝不会落空。比如，在一章书中不管有多少节，各节之间一定有共性。在一本书中，不管有多少章，各章之间一定有共性。在数学中，不管有多少科，各科之间一定有共性。共性的存在是绝对的。事实上，事事有共性，处处有共性，时时有共性。
第2条原理告诉人们，共性乃个性的一部分，凡是共性一定也是个性，因此，寻求共性，只有从个性之中去找，而不能脱离开个性去寻求共性，这就是从特殊到一般的依据，或者说，是归纳法的依据。
第3条原理告诉人们，可以把有些共性当做个性再进一步寻求更高一层的共性。这就是一般和特殊的相对性的依据。也是理论的层次性的依据。
经过以上整理，尽量避免了哲学的专用术语，这样是否可以认为，能使人们通俗易懂地抓住认识事物的根本方法？
事实上，这三条原理是一个最高的观点，它住在知识大厦的最高层。
有史以来，人类就是依靠这个方法认识世界的，可以说它是方法之母。因此，把共性个性原理作为高观点放到数学教学和数学学习当中是理所当然之事。
根据古往今来的大量事实以及我平生的教学实践，我认为中学数学的首要教学目标是要使学生养成：
（1）认真读书的习惯
（2）深入思考的习惯
（3）不断总结的习惯
其中，（1）和（2）是非智力因素，（3）是智力因素。这个“总结”包含三方面内容：什么是总结、为什么总结以及怎样总结。合在一起就是共性个性原理。这就是说，我把掌握和应用共性个性原理作为中学数学教学的一个首要目标。
二、简易逻辑知识
中学数学教科书中，总有些与数学有密切关系的逻辑知识，如命题、命题的种类以及四种命题之间的关系等。通常，人们把这些逻辑知识都习惯地当做数学基本知识看待，其实，这是很不妥的。逻辑知识毕竟是逻辑学的内容，而逻辑学是以思维为研究对象，数学则是研究空间形式和数量关系。逻辑和数学的关系乃是一般和特殊的关系，且一般的逻辑知识又是借助于共性个性原理才得到的。所以，从数学教学的角度看问题，我认为把数学教科书中的逻辑知识视为数学的一个高层次的观点方法，是较为恰切的。
从方法上讲，既然逻辑知识和数学知识是一般和特殊关系，表明逻辑知识对教好数学和学好数学具有决定性的作用。对必要的逻辑知识的轻视和忽略是不能允许的。但是，近年来，把初中数学中的逻辑知识逐步取消而上放到高中数学，我很难理解。
我的看法正好相反。有两点：
第一点，扩大逻辑知识范围；
第二点，下放到小学一部分。
扩大到什么程度呢？1984年，我拟了一个细目，其中，包括了概念、命题、推理、证明四个问题当中最基本的简单的逻辑知识。请参看本文集中的“什么是初中数学独立学习能力的几点设想”（259页）。
小学学生能接受吗？
80年代初，我在中央教育科学研究所工作时，曾在北京育英学校作过实验。应用小学材料特地为初中一年级学生写了一个阅读课文“浅谈几何证明”，结果小学五六年级学生绝大多数都能读懂。
近年来，我认为义务教育界存在一个很大的问题，就是对少年儿童的理解接受能力估计过低。以致小学毕业学生几乎没有什么逻辑思维能力，下面的事实可以证明。
2004年，我在北京七中担任一个初一班的数学教师。为了了解学生在小学的学习情况，我编了一份基础题目进行测试。根据小学数学课本六年级的总复习的内容“减法与加法的关系、除法与乘法的关系”，编了这一道简单的题目：8-3=？为什么？全班32个学生，第一问全都会，第二问全都不会。茫茫然，没有一个学生知道何从下手。其实，在8-3当中：8是一个数，此时有两方面含义，一方面是被减数，一方面是和。
3也是一个数，此时也有两方面含义，一方面是减数，一方面是加数。
8-3也是一个数，此时也有两方面含义，一方面是差，一方面是另一个加数。
在8是“和”，一个“加数”是3的条件下，另一个“加数”岂不就是5吗？
编这个题的目的只有一个，就是看看学生知不知道减法与加法两者之间的关系。小学生在小学期间，做了成千上万次的加法和减法运算，结果呢？却说不出这个关系。
孤立开来，5+3=？学生会做，8-3=？学生也会做，但是，两者的联系，学生却视之而不
见。思维能力，或者说，逻辑思维能力，其一个重要标志是关注事物之间的联系性。如果杜绝“联系”，我们干吗还要讲逻辑证明呢？
当我详细地解答了问题的来龙去脉之后，叫学生再回答“何以8÷2的商是4”时，就易如反掌了。
于此可见，学生非不能也，而是教科书从而教师实不为也。
培养学生逻辑思维能力，提高学生的思维能力，已经说了半个多世纪，效果又如何呢？这是很值得深思的一个问题。说句实在话，这个问题至今仍然困惑着广大教师群众，当然，也困惑着我们的专家学者，认为这是一个很复杂的问题。依我之见，问题并不复杂，把必要的逻辑知识写在教科书里，叫学生学习逻辑知识，叫学生了解逻辑知识，叫学生熟用逻辑知识，则逻辑思维能力问题自然而然就解决了。否则，远离逻辑知识，就是再空喊100年，提高学生逻辑思维能力问题也是不会彻底解决的。
三、学习数学的主要原则
长期的教学实践，我感到有一些东西对学生学习非常重要，具有规律性或原则性，于是，我就把它们叫做学习数学的原则。要不要给它们下一个明确的定义呢？当然要啦，但是，想了多年都没有做到，好在，我所说的一些学习原则都各有具体所指，我就一一指出并分别加以说明，我的水平也就只能做到这一点。
我所说的原则主要有：
（一）理论的必要性原则，简称必要性原则。
（二）理论的范围性原则，简称范围性原则。
（三）理论的和谐性原则，简称和谐性原则。
（四）理论的层次性原则，简称层次性原则。
（五）二知然原则（知其然知其所以然）。
（六）以简驭繁原则（循序渐进）。
（一）必要性原则
这个原则要解决的问题是：为什么要学这个？为什么要学那个？
打开一本数学教科书，有目录，每一节有标题。目录和标题，主要说的是学什么的问题，可是并没有说出为什么要学的问题。学什么固然很重要，但为什么学更为重要。不仅知其然，而且还知其所以然。一个学生，不管听课还是看书，一定要有这样的思想准备：务必弄清数学理论提出的必要性。我这里所说的数学理论，不仅指课文，还包括例题、习题和考题。
泛而言之，理论的必要性原则，就是古往今来人们常说的学以致用的原则。理论联系实际的原则也包含在必要性原则之内。
学以致用的“用”，理论联系实际的“实际”，长期以来，时有争论，争论的焦点多为狭
义的还是广义的，眼前的还是长远的。比如，有这种事情，某某老师要讲应用题讲函数啦，校园里就有人大喊，去听联系实际的课。如果讲有理数运算讲方程解法，就没有听到过类似的号召。这是很典型的狭隘的实用的思想。其实，要说应用题和函数重实际的话，那么有理数运算和方程解法就更为重视实际。在这个方面我有深刻的亲身体验。60年代初，我在北京仪器厂开门办学一年，70年代末，我又在北京无线电三厂开门办学一年，进厂之前，我对他们的生产实际毫无了解。但经过工人师傅短短几个星期的指点以后，我帮助师傅解决了他们的大量生产实际问题。原因很简单，就是由于我对中学数学融会贯通，并有较强的思维能力。指点我的工人师傅反而又以我为师了。我说的那些工人师傅并非没有文化的老工人，而是拿有技校文凭的富有生产经验的技师。
说一个突出的事例。
70年代初，北京市无线电生产系统共有四台用电子计算机控制的线切割机，无线电三厂有一台，解放军兵工部门有一台。当时，这是从国外引进的最先进的技术。我在无线电三厂就参与线切割机的学习和应用。有一天，越南人民民主共和国军工部门要委托中国解放军军工部门，替他们加工一个叫做“航向头”的部件。这个航向头，形状像直角梯形，唯一个斜腰是阿基米得螺线，难以生产。解放军部门一看无法解决，于是送到无线电三厂求救。三厂的两位老师傅也无能为力。因为线切割机的功能只能在坐标平面上加工直线和圆，不能加工其他曲线。看了图纸以后，我立刻想出一个办法，利用极限逼近的思想，把阿基米得螺线分解为上百个不同半径的圆弧，从而顺利地完成了任务。在这个过程中，我所任教的四中高一两个班近百名学生帮助计算两个整天，从而也使他们亲身体验到数学与生产劳动的相结合。说实在，在当时，对于线切割机的功能来说，这的确是一个很大的突破，是一个很大的创新。我之所以能够有这个成效，就是由于我掌握了数学中的一个重要的基本知识——极限概念。
初中数学知识与生活实际和生产实际关系较为简单，较为直接，弄清理论必要性一般并不困难，例如，在几何中，研究的图形都是基本图形，很容易找到这些图形的实例。点、直线、线段、角、三角形、四边形、圆等，在日常生活中都能找到用场。
由于数学有系统性，有一些知识只有到了一定阶段才能看到它的应用。如果今天学习这一点，就要立刻弄清这一点的应用，明天学习那一点，又要马上弄清那一点的用处是不妥的。大家知道，方程很有用，它可以解决许多应用问题。而各种方程概念的建立以及它们的解法，要用到许多基础知识，如正负数及其运算，代数式及其运算等，这就说明引进负数，用字母表示数，学习整式，分式，根式，等式及其性质等都是很必要的。
国外的情况我不了解，中国中学生的数学学习，大部分时间或者绝大部分时间是用之于解题，解例题，解习题，解课外补充题，解考题，可以说，中国的数学教育，实际上是解数学题的教育。说得准确一点，是如坠烟海的解题教育，就是人们常说的题海战术。
前边我说过，当谈到理论的必要性时，学生做题也应属于理论范围之内。这样一来，就
发生一个问题，解题的必要性是什么？
自从我教书之日起到现在，接近60年了，这个问题一直困惑着我。要说我一点不自觉，也不是事实，但是，我有相当的盲目性。我说不出所有解题的必要性。困惑之处有：（1）搞题海战术，有正负两方面影响，但我总觉着负面更多。因为，题海战术远离总结归纳，对发展学生思维可能不利。
（2）带有技巧性题目，不能不要，又不能全要。哪些要，哪些不要，我心中没底。
（3）中国的戏曲界和体育界，都很重视基本功训练，而在教学教育中，基本功问题是否解决，我很疑惑。
（二）范围性原则
范围，这是一个很通俗的东西，也是非常重要的东西，在数学中，经常因为把范围弄错产生错误。在日常生活中，每一个名词，都有它的范围性，比如，饺子有饺子的范围，桌子有桌子的范围。随便指一张桌子，问一个小孩子：“这是饺子吗？”他一定会说：不是。因为，他很熟悉饺子是什么样的东西，所以他知道，桌子不属于饺子范围内的东西。
1.概念的范围
一般地说，每一个概念，都有它确定的范围，或者说，都有它所“管辖”的范围。
说“小光把某个概念弄清楚了”，那就等于说，小光把这个概念的范围弄清楚了，随便拿来一个东西，小光就能分辨它是否在这个概念范围之内。
对概念的识别，无论在生活中，或是在学习中，或是在研究中，都是头等重要的事情。所谓识别某一个概念，就是既能认定范围之内的东西，说“是”，也能认定范围之外的东西，说“非”。范围之内者，是，范围之外者，非。所谓分清是非对概念来说，指的就是这个意思。
在日常生活中，对概念的识别，比较容易，只根据经验就可做到。在数学中，由于数学概念具有精确性，要想正确识别数学概念，必须要弄清掌握概念的定义才可。作为例子请看下面的一段对话：
A: 6=5是不是等式？
B: 当然不是。
A：为什么？
B：6和5，分明是两个不相等的数，如果把6=5叫做等式，岂不故意制造混乱吗？
A: 如果你把这个当成混乱，那么在数学里这样的混乱就太多了。
B：不可能，你举个例子。
A: 第一个例子，“有”和“无”。“有”和“无”截然不同。“有”就是有，“无”就是没有。日常，谁也不能把“有”说成“无”，或者把“无”说成“有”。一个人有病，能说成无病吗？一个人身无分文，能说他有钱吗？
但是在数学里，却有这样的事：把“无”说成“有”。盘子里分明没有苹果了，可是数
学里却能计算出盘子里还剩有0个苹果，即5-3-2=0。这样的题目，小学生都会做，有哪个说是制造混乱呢？因为小学生们思想上很清楚，盘子里没有苹果，与盘子里有0个苹果，实际上是一回事。此时，“无”就是“0”，“0”就是“无”。如果没有“0”这个数，那么5-3-2就不成为一个算式了。因为，得不出结果呀！
当然，小学生学1、2、3在前，容易学会，学0靠后，也是不易理解的。即使上了中学，在心理上，总还是有些疙疙瘩瘩的，不那么顺畅。与1、2、3相比，总觉着0不是一个正儿八经的数。我记得很清楚，当我上高中的时候，数学老师还经常在课堂上用英语说“Zero is a number.”（零是一个数）以引起我们的注意。
在学校里，学生对于“0”的认识过程，与数学的历史发展过程，基本也是一致的。自然数1，2，3在早期的历史上就产生了，而“0”的产生却是几千年以后的事。这说明让人类对于“0”的认识也是很困难的。但是，必须指出，把“0”作为一个数引进到数学里，这是人类认识的一个很大的进步。很容易想到，在“0”产生之前，数学里，不可能进行类似2-2的运算。
在数学里，引进“0”从而把“有”和“无”这个差异统一起来，这就是认识上进步的标志。
第二个例子，“东”和“西”。日常生活中，“东”和“西”是截然不同个的两个方向。向东走，就不能说成向西走。但是，在引进正负数之后，如果把向东规定为正，那么向西走100米，就可说成向东走-100米。这样一来，“东”和“西”的差异统一起来了。这又体现人类认识的进步。
事实上，在引进正负数之后，类似于“东”和“西”一样，“上”和“下”的差异也可以统一为“上”，“赚”和“赔”的差异也可以统一为“赚”，“收入”和“支出”的差异也可以统一为“收入”等等。
需要再次指出，把差异统一起来，并非忽视差异的存在。比方，把“无”说成有“0”，0和1、2、3的区别，就体现了日常的“有”与“无”的差异。向东走-100米，就意味着向西走了100米。
对上述事实，如果我们理解了，为什么就不能把“相等”和“不等”也统一为“相等”呢？
在代数里，“等式”概念的引入，正是基于差异与统一的思想。因此，等式的定义是：用等号把两个代数式连接起来组成的式子叫做等式。
根据这个定义，3x+1=8，a+b=b+a，3=2+1，3=5+4等等就都是等式了。当然，6=5，也是一个等式。
不过，有一个问题尚待解决。“有”和“无”的差异是用“0”来体现的，“东”和“西”的差异是用“负数”来体现的。那么，“等”与“不等”的差异又怎样体现呢？
人们又提出了“成立”和“不成立”两个说法。等号两边的数值相等的等式叫做“成立
的等式”，等号两边的数值不相等的等式叫做“不成立的等式”，于是等式6=6成立，等式
6=5不成立。这样一来，“统一”和“差异”就照顾到了。
可见，识别“等式”的概念，只能根据“等式”的定义。识别其它数学概念也是这样。
总之在学习数学时，首先弄清楚概念的定义，是非常重要的，有助于弄清概念的范围。
2. 定理的范围
定理是由“条件”和“结论”两个部分组成的条件命题“若P 则Q ”，其中P 是条件，Q
是结论。定理是真的条件命题，或者说是成立的条件命题。所谓真的条件命题就是由条件P
可以推导出结论Q 的条件命题。就是说，条件P 和结论Q 之间具有必然的联系性，亦即结论
Q 成立的先决条件是条件P ，结论Q 的成立完全依赖于其条件P 。在实践中人们应用定理，
主要是应用其结论，而结论成立又依赖于其条件，因此，在应用定理的结论处理问题时，务
必要弄清其条件是否存在。如果其条件不具
备或者不完整就不能盲目地套用结论。
例如，有的学生一看到开口相反顶点不
重合的两个角（图1），就认为是对顶角，就
是不重视对顶角定理的条件造成的。
又如，有的学生一听到垂直半径的直线
就说是切线。这就忽略了切线判定定理中
“直线过切点”这个条件。
又如，人们在应用三角形稳定性时，并不太注意这个稳定性的前提条件是三角形全等的
判定定理，事实上，在SSA 的情况下三角形并不稳定。大部分学生知道满足SSS 条件的三角
形是稳定的。但是大部分学生又不清楚这个条件的具体内涵。这是一个看起来容易实际上很
难理解的条件。三角形全等说的是某某两个三角形或者更多的三角形，而三角形的稳定性说
的是某一个三角形。比方说，已知图2中的三角形ABC 的三边分别是4、5、7，它是稳定的，
但是，它的条件又是起到什么样的具体作用呢？无非是满足三边分别为4、5、7的三角形都
是全等的，即都是可以完全重合的，这就意味着
把所有的△ABC 以外的那些三角形拿来放到△
ABC 上面都是与△ABC 完全重合的。所谓完全重
合意即一切对应部分重合，对应点重合，对应线
段重合，对应角重合等等。由此可知△ABC 的各
个部分都是稳定不变的，从而可以断定三边之长
为4、5、7的三角形ABC 的其他部分也必然都是
稳定不变的，也就是说由△ABC 三边之长4、5、
7这三个数值，可以使得△ABC 的其它所有的长度、角度和面积的数值一定都是稳定不变的，
或者说其大小都是固定不变的。比如由4、5、7这三个数出发可以计算出它的各角，它的高、
图 2 B A C
4 5
7
中线、角平分线等，至于怎样具体计算，将来再去研究。不过一定可以研究出一个计算方法出来。很明显，进一步可以断言，由SAS、ASA、AAS的条件也可以起到同样的作用。
如果有人问我，在平面几何的基本知识中，什么定理最为重要时，那我就回答，全等三角形的判定定理以及由全等三角形判定定理导致的三角形的稳定性。在平面几何中，多数图形的性质都是根据三角形判定定理来推证的。作图问题的解决也与三角形的全等有直接关系。这里所说的稳定性指的是大小和形状的稳定。而在讲相似三角形的判定定理时，可以再确切地说明三角形形状的稳定性。进一步就可得到锐角三角函数，从而再导出解直角三角形和解斜三角形的有关公式。
学生开始学有理数运算时，往往把“-1-1”这样非常简单的题算错，认为结果是“0”，这就是不知分析条件不知这个式子的意思的原因。事实上，这是两个有理数的减法运算（或看做两个有理数“-1”与“-1”的省略运算符号“+”的加法），被减数是“-1”，减数是“1”，根据减法法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”，原题应先变为加法，于是有“-1-1=-1+（-1）”。这样一来，就不易出错了。
总之，定理的范围就是定理的条件的“管辖”的范围。应用定理时务必重视条件分析是否具备定理条件再应用定理的结论。
3.字母的范围
数学中的基本知识主要指概念和定理，前面既然谈到了概念的范围和定理的范围，也就基本上说了基本知识的范围，可为什么又提出字母的范围呢？因为，在数学中字母代表数极为普遍，单独提出来研究字母的范围性是不会有什么坏处的。但是，字母的范围既不是与概念并列，也不是与定理并列，它也可能属于概念，它也可能属于定理。关于字母的范围，应关注以下三个问题。
第一，字母代表数。
第二，字母代表什么数。
第三，为什么代表这些数。
关于第一个问题，字母代表数，在代数中，好像是个不成问题的问题。但从习惯性的要求来看，并不是每一个学生都已解决的问题。实践证明，有些高三学生，被问到题中的字母代表什么时，竟然发愣。
关于第二、三个问题，字母代表什么数，指的是字母的取值范围。以及为什么取这些数，是个关键。大多数学生在这两个问题上面缺乏自觉性。
代数式中字母的取值范围。
代数式分有理式和无理式。
有理式分整式和分式。
整式中字母的取值范围与实数的下列性质有关：
实数+实数=实数。
实数-实数=实数。
实数×实数=实数（实数的乘方是实数）。
实数÷实数=实数（但除数不得为0）。
整式中的运算最多有加、减、乘、乘方，所以整式中的字母的取值范围是一切实数。据
此，学生可以了解一次函数和二次函数的定义域是一切实数的原因，并可推知三次、四次、
以致n 次函数的定义域也是一切实数。
因为，分式中的运算有除法，所以，分式中字母取值范围是除去使分母为零的一切实数。
根据定义，a 是算术平方根，所以a 的取值范围是非负实数。
了解以上所说，初中代数中字母的取值范围问题也就解决了。
当然，欲使学生了解以上知识，必须先使学生了解实数所能满足的运算以及各种代数式
的定义。如此一来，就必然扩大教材的范围，增加学生的记忆，加重学生的负担。但是，这
是一些带根本性的问题，如果当成公理性的知识要求记住，在遇到有关具体问题时，学生就
不致死记硬背，反而会减轻学生的负担。比如，解方程的一条原理是，方程两边可以同加（或
减）一个数或一个整式，学生对为什么可加整式这一点就只能死记硬背。学生如能从整式中
字母的取值范围这个高度看问题，他们就会知道其所以然了。
现在，再看一个例子。
若a 是实数，b 是非负实数，把2a b 的根号外面的2a 移进根号内，就要注意有关字
母的取值范围了。在2a b 中，2a 是整式，b 是二次根式，整式与二次根式相乘的法则课本上没有讲过，但在二次式相乘的法则ab b a =?（a ≥0，b ≥0）中，可以看出，预
把2a 移进根号之内，就得设法把2a b 变成两个二次根式相乘的形式，就是说，先把2a
变成二次根式。要解决这个问题，可以考虑应用：
2a = |a| = 即当a 在非负数范围时，有a=2a ，当a 在负数范围时，有a=-2a ,因此，要把2a 移进
根号之内，就得分两种情形：
若a ≥0，有2a b =b a b a 2242=
?）（； 若a ＜0，有2a b =-b a b a 2
24-2=?）（。 可见，若不弄清题中字母的取值范围，而机械地把2a b 写成b a 24就是错误的。
还应指出，有一些公式与实际问题有关，其中字母的取值范围，必须得考虑字母所代表
的实际意义。
现在来看三角形的面积公式：S=
21ah.
a （a>0）
0 （a=0）
-a （a<0）
三角形的面积公式，它的适用范围是计算三角形的面积。但是，光知道这个还不够，还必须注意两点。
首先，要了解其中每一个字母的实际意义，就是说，要弄清其中每一个字母代表哪些实际东西。
在这里，字母S代表三角形的面积，字母a代表三角形的底边，字母h代表底边a上的高。
其次，要了解每一个字母的取值范围。在这里，s、a、h的取值范围都是大于0的数。
有这样一个问题，已知三角形的一边是10cm，有一条高是4cm，它的面积是多少？
这个问题就不能套三角形的面积公式，因为，一个三角形有三条高，问题中的高是不是已知边上的高没有交代清楚。如果已知的高不是已知边上的高，那就越出了三角形面积公式的范围。就不允许使用这个公式。
总之，在代数里，当有些概念和定理中含有代表数的字母时，一定要弄清楚：字母代表数，字母代表哪些数。以及为什么可以代表这些数。
（三）和谐性原则
这个原则说的是，在一本数学教科书里，前后知识不能自相矛盾。事实上，中学的数学教科书，其中的知识，也不能与小学有互相矛盾之处。比如，长方形的四个角都是直角，小学、中学、大学都是如此。又比如，三角形的内角和等于180°，从小学到大学也都不会改变。总之，知识与知识之间和谐相处。
中学、大学数学里，有一个重要的证明方法叫做反证法，反证法的意思是这样：否定结论，若推出与已知或以前的定义、定理等相矛盾的结果，则要证的命题成立。这个方法充分说明，以后的知识不能与以前的发生矛盾。
和谐性原则，可以帮助我们推测出未来的新知识。比如，学了三角形内角和定理之后，我们可以推知，四边形的内角和为360°，五边形的内角和为540°，直至n边形的内角和为（n-2）×180°，还可断定直角三角形只能有一个直角，因为，若有两个直角就得出直角三角形的内角和大于180°与三角形的内角和发生矛盾。在初一代数里，讲完相反数以后，我们也可以从相反数推测出某些新知识来。-5的相反数是+5，-5的相反数可表示成-（-5）。这就是-（-5）=+5。但-（-5）=-(-5)×1，于是有
-(-5)×1=-1×(-5)
∴-1×(-5)=+5，
即（-1）与（-5）相乘结果是（+5）。
由此可知，将来讲两个负数相乘，其结果一定是正数。否则就和相反数的知识产生矛盾破坏了和谐性。
（四）层次性原则
教科书上的知识，都是基本知识。但是，这一点并不是说，基本知识都属于同一个层次。
我们曾教过，知识层次的高低与共性个性原理有关。具有一般与特殊关系的两个知识，一般是高层次，特殊是低层次。从一般特殊关系来看，教科书上的基本知识几乎处处都有层次性区分的。
例如，点，角的顶点，三角形的顶点，直角三角形的直角顶点，这里有四个关于点的概念，其实是四个不同层次。
又如，方程，代数方程，有理方程，整式方程，一元二次方程，它们是五个不同层次的方程。
弄清层次以后，对掌握其性质很有好处，因为，一般东西的性质特殊都有。就没有必要再一一去记高层次东西的性质了。比如，平行四边形有性质：对边平行、对边相等、对角线互相平分，这些个性质，矩形、菱形、正方形都具有之，毫无疑惑之处。
但是，应当指出，不具有层次性的两个知识，千万不可乱加套用。比如，二次函数和一次函数就不是一般和特殊的关系，二次函数的图象是抛物线，而一次函数的图象则是一条直线。
（五）二知然原则
这个原则指的主要是，学生学习数学要有质疑精神，要多问“为什么”。前面提到的必要性原则“为什么讲这个”、“为什么学那个”也属于二知然范围，但后者涉及的范围更广。针对学生各自的情况必然还会产生各种不同的带有质疑性质的问题。经常不断地提出质疑，解决质疑，对于学好数学具有重大深远的意义。
学一个概念，不仅要弄清定义是什么，还要进一步弄清为什么这样定义。讲一个定理，做一道题，都要分析，但是，怎样分析以及为什么这样分析，也必须弄个一清二白。
要经常提醒学生，思考与质疑，互为因果，互为前提。
（六）以简驭繁原则
中国古时，有个很重要的教育教学原则叫做循序渐进。但是，这里所说的“序”和“渐”有哪些特征并没有明确说明。教科书的编者、教师和学生都要依据这个原则编书、教书、学习。但是，却都不能具体说出这个原则的具体内涵。这不能不说是一个很大的问题。根据我的经验，在中学数学的教学中，我用“以简驭繁的原则”来界定“循序渐进的原则”。关于以简驭繁，本文集中有多篇文章对之详细阐述。
四、数学的主要特点
关于数学的特点，通常的说法有精确性、高度抽象性、严密系统性以及广泛应用性。这些都是前人早已提出的东西。
数学的特点，是相对于数学以外的其他学科来说的。但对数学学科自身而言，这些特点就成一般性的东西了。所以，从教学的角度看，我们可以把数学的特点看作数学的一个高层
次的观点和方法。对于数学教学具有重要的意义。
在教学实践中，根据学生的实际接收情况，我对数学的特点，作了必要的修改。下面分别加以说明。
（一）数学特点之一——概念的精确性
关于数学的精确性，我把它改成为数学概念的精确性。因为，命题由概念组成，推理由命题组成，证明由推理组成，如果数学概念精确了，则数学知识就都精确了。
预理解数学概念的精确性，我又强调“粗略”的重要性。事实上，只有从粗略到精确，才能使人更深刻的理解精确的实质。
50年以前，1957年，我教高中数学关于数列极限的概念，这是最难讲好的一个内容，由于正确处理了粗略与精确的关系，才使全班学生都能清楚地理解ε-N的精确意义，从而收到了非常显著的成效。简略言之，讲课的大致过程是这样：我首先提出数列界限的粗略描述——数列的变化趋势无限地逼近于某一个常数。这一点，学生易于接受，然后，再进一步指出，应如何用精确的数学语言来刻画我们心目中的“无限逼近”呢？用“差”，只能用“差”的值越来越小来解决，如此一步一步地最后得到ε-N的定义，使得学生深刻理解定义中的每一个字，每一个词，都是严格的，都是必要的，都是恰如其分的，而且使人心服口服的。
教学实践证明，生活用语，望文生义或顾名思义，往往妨碍学生接受数学概念的精确性。例如，开口相反没有公共顶点的两个角，学生何以误认为对顶角，又如，把两条直线相交叫一直线经过另一直线就是受日常用语中的“相对”和“经过”的影响。
为了纠正类似错误，我向学生明确提出要求：学习数学概念，绝不能停留在顾名思义的阶段，而要越过“名称”抓住其精确含义。80年代，我教初一数学时，还特地让全班每个学生写了一篇题为“数学术语和生活术语”的数学作文，其中较好的一篇是岑宏宇同学所写，至今我还保留在我的书箱里。现在，我一字不改的把原文抄于下面，大家不仅可以看出一个十二三岁孩子的理解水平，而且还可以看出高观点对孩子们的指导作用。
（注：该文成文于1984、2006年）
生活术语和数学术语
生活术语同数学术语，这是两个既有区别又有联系的概念。如果概念不清，就很容易把它们搞混。我在学习代数几何之前，对于它们之间的联系，简直是一无所知。通过学习欧氏几何这一门严谨的演绎科学，使我对它们有了一些了解。
数学术语，又叫“数学语言”，就像什么“音乐术语”、“美术术语”一样，似乎比生活术语更具科学性，更“专用”。的确是这样，不过它们同生活术语一样，都是人为规定。也
就是说虽然几何图形、数学规律是客观存在的，但
它们的名字都是人们起的。就拿我们写字的铅笔来
说吧，它是用木头、石墨粘土等东西制成的，可叫
它铅笔，这便是通常说的“约定俗成”吧。再如如
果当初人们不把它叫长方形（或矩形、平行四边形），
而起个别的什么名字，也未尝不可，还有一点，那就是数学术语来源于生活。我们可以想到，
“几何”这个名称不就是“土地”和“测量”二字合成的吗？看来，人们研究数学，是从研
究生活开始的，数学术语和生活术语分不开的。
我们研究数学，不可能另发明一种语言，来表达数学研究的一些东西的属性。代数研究
的是“数”，几何研究的是“图”。都引入了生活术语，像“集合”这个概念，就是由生活中
“许多分散的人和物聚在一起”这个意义引申的。但是，这样一来，我们就可以清楚的看出
来，在数学术语里，生活术语又有了某些特定的意义，这就形成了某些数学语言。如刚才说
的“集合”，在代数里则指一些对象组成的整体。这样的例子很多。例如“点”，几何中的“点”
是无形状、无大小的，是通过我们的想象得到的，很抽象。（我们画的点只不过是一个模型）
而生活中的点是实实在在的，比如在纸上滴了一个墨点。又如，几何术语“点在直线上”和
生活术语“……在……”。几何术语是指
或直线在平面上……这几种情况，而不是指点A 在直线L 上边那个方向，而生活术语
“……在……”，就是指的第二种情况，如飞机在房子上空盘旋。这些例子说明，数学术语
同生活术语是不同的。
如果我们不注意数学术语与生活术语之间的关系，用生活术语生搬硬套数学术语，或者
是两者截然分开，就会出现错误。像“过”，“经过”，“通过”我们要用生活术语来理解，就
会把右图说成直线l 通过平面M 。
通过以上的分析，我们可以了解到，学习
数学，不能用生活术语生搬硬套地代替数学术
语，但把生活术语作为素材（感性认识），是
有助于我们了解数学术语的。
后记：这篇短文是1983年初一学生写的。这是在学完自编教材《几何》第一章“绪论”
以后，根据向全班学生布置的要求所写的学习小结，题目是由我确定的。
为了研究问题方便，我们对学生的文章没有进行任何修改，
其中有些不准确不合适的地
M
L
方甚至错字都予以保留了，这样可以看出学生真实的理解程度。
写《生活术语和数学术语》的学生叫岑宏宇，她所写的内容都是高层次的东西。由此可
以看出，从初中一年级开始，用高层次的观点、理论、思想、方法武装学生，使其居高临下
地观察问题来学习数学是完全可以做到的。
（二）数学特点之二 —— 数学概念的高度抽象性
一切概念都具有抽象的属性，所以，抽象性并非数学的特点，但数学的抽象却有其自身
的特点，这就是高度的抽象性。数学概念何以有此特点呢？这是由于数学的抽象是通过逐级
的抽象而形成的。对于五个人、五张桌子、五棵树、五只飞鸟等具体物体而言，自然数“5”
是抽象的东西，但对于表示数的字母而言，抽象的自然数又成为具体的东西，而字母的抽象
就是更高一层次的抽象。
抽象的东西，是共性的东西；具体的东西，是个性的东西。上述逐级抽象，用共性个性
的相对性来说明是最恰当不过了。抽象的程度越高就意味着具有更高的层次。
数学研究的对象有二：数和形。同数一样，图形也具有高度抽象性。以点为例，一个点
没有大小没有形状只有位置，当我们只关注某物体的位置时，不管其大小形状如何均可用
“点”来表示。比方，当我们研究分子时，可以用“点”代表电子，当我们研究天体时又可
以用“点”代表地球，代表太阳。
从以上事实可以看出，高度抽象的数学概念并不是脱离实际的东西，它不是由纯粹思维
产生的。与此完全相反，它是从活生生的现实世界中得到的。因此，数学概念又有丰富的实
际的具体的内容。仍拿“点”来说话，一方面由于它的高度抽象性，我们在现实生活中的任
何一个地方都找不出几何的“点”，看起来它什么都不能表示，另一方面，由于它的高度抽
象性，我们在现实生活中到处都能找到它表示的对象。假设我们在几何中不研究抽象的“点”。
而研究具体的“点”，比如，水的分子，那么这样的点既不能代表电子，也不能代表地球，
它的应用范围就极其狭窄。由此可见，科学的抽象不是与实际更远了，而是更深刻、更广泛
地反映实际。科学的抽象是极其重要的，抽象的程度越高，概括的具体内容越多。任何生产
技术部门之所以离不开数学，正是由于它所具有的的高度的科学的抽象性。
简单的自然数和点，虽然具有高度的抽象性质，可人们何以并不感到抽象呢？这是由于
人们很好地实践了具体与抽象相结合，人们平素看到的具体东西太多太多了，以致感到“5”
和“点”好像和桌子椅子那样也是具体的物体了。 经常关注抽象与具体相结合，不断实践抽象与具体相结合，有s s s s '+'+助于我们理
解数学抽象的具体形式。在目前学习中，关于抽象与具体相结合，有些同学不够重视。例如，
有的同学犯这样的错误：（a+b ）2=a 2+b 2,当老师指出以后，还不知道用什么方法去检验，
事实上，这里的字母a 、b ，它们所表示具体东西是数，只要用两个数代替a 和b ，一般就可
以很快看出毛病来了。又如，很多同学都知道多元方程和多元方程的解的不定性，但是，由
于没有养成抽象与具体相结合的习惯，因而对于这些抽象的概念只停留在形式上的了解，以
致在几何和物理学习中遇到公式c=2πr 、s=πr 2、s=ab 、v=31h+()、s=2
21gt
、F=ma 等，都不能把它们看成方程，在一些学生的头脑中，只认为一个等式中出现了x 、y 才是方程。
这样就影响他们灵活解题。比方，已知棱台体积、一个底面积和高，能否求出另一个底面积，
就不知道利用多元方程有关知识把体积公式V=f(S S H '、、)也想成H=f1(S S V '、、)或
S=f2(S H V '、、)等。
总之，在学习数学概念时，注意抽象与具体相结合，才能使我们理解抽象概念的实质，
才能使我们不害怕抽象，到利用抽象来简化运算处理问题，从而逐步提高我们的抽象思维能
力。 （三）（中学）数学特点之三 —— 粗略的公理体系
数学的系统性有个突出的特点是其公理体系。我教书多年以后，才逐渐认识到它的重要
性。认识到其作用就好像下棋的规则一样，无论如何应放在学习数学的最前面介绍给每一个
学生，否则，自始至终，学生都处于盲目学习状态。
立体几何，本来课本上只有两章，第一章是平直关系，第二章是简单体的面积和体积，
为了使学生及早地了解其系统性，我特地增加了一章书，把第一章叫做“对象、内容、体系、
方法。”其中，专有一节讲立体几何的体系和研究方法，具体内容有定理系列、定义系列、
公理和基本概念的关系、定义和定理的关系、粗略的公理体系。对于具体知识而言，这个体
系和方法起着决定性的指导作用，对提高学生的自觉性起着很大的作用。依据以上体验，到
了80年代初，我对初中平面几何又进行了一次教学实验。实验的目的是防止由几何证明而
引起学习分化。使用的课本仍为当时人民教育出版社出版的全国通用的几何教材。有两点较
大的改变：第一，讲几何之前，先讲几何体系，即欧氏体系；第二，把几何课由初二安排到
初一。可能有人会想，年龄越低，学生接受能力越差，本来在初二就易引起两极分化，放在
初一，岂不分化更加严重。但是，我认为分化的原因主要是对几何证明的盲目性，而不是初
二和初一的差别。事实证明，实验的进程基本上是沿着我们的思路，初一学生是可以接受的。
具体做法是，在新课讲授之前用了将近一个月的时间，讲几何体系，讲几何方法。在学生对
体系有一个粗略的认识之后，再进入新课的学习。结果提高了学生学习几何的自觉性，取得
良好的效果。作为检验，在我们讲完体系之后，让全班学生以“粗谈欧氏体系”为题各写一
篇数学作文。其中，较好的一篇是一个当时学习中等水平的学生冯颖所作。先将其原文一字
不改地印于下面。从中可以看出，十二三岁的孩子的理解能力是非常可喜的。事实上，冯颖
的文章，提高了我们教好几何的信心，对我们是一个很大的鼓舞。
在本文集中，还有两篇专门为学生写的谈论数学体系的文章，一篇是《浅谈几何证明》，
适合初一学生和小学五六年级学生阅读，这篇文章就是根据上述几何实验状况写成的（第
162页），另一篇是《学几何，要先学原则》（第193页），是前几年写的，适合初三学生复
习或高一学生阅读。
粗谈欧氏体系
什么是欧氏体系呢？从古代埃及开始，在三四千年的历史时期中，人们主要是利用归纳的方法研究几何的，直到公元前300年左右，希腊的数学家欧几里得才开始用演绎法来研究几何，他所著《几何原本》就是应用这个方法将以前的历史上所遗留下来的几何材料加以整理写成的。因为欧几里得的影响深远，以致欧几里得使几何变成了一门严密的演绎科学。下面我先谈谈欧氏几何的结构。
欧氏体系总的来说，可以分两串。第一串是公理的基础上，建立起的一串定理。那么，什么样的叫定理呢？先看下面的例子。
以此类推，我们可以看到，多边形内角和的度数，都是根据最基本的图形——三角形内角和的度数推算出来的。可是，三角形内角和的度数是不是正好180°呢？如果是179.9999°怎么办？我们知道，三角形内角和的度数是通过测量，用归纳法的出来的。不过，归纳法不是十全十美的，它也有局限性。那么，三角形内角和的度数不就不可靠了吗？以后所得的多边形的度数不就不对了吗？现在，我们用更加令人信服的方法去证明它。（1）我们都承认通过直线外一点只能作一条直线与之平行，见图2-1。（2）通过两条平行线画一条斜线，其对角度数相等；如图2-2。（3）平角的度数是180°如图2-3。由此可见，图2-3中由于∠1+∠3+∠5=180°。而且由图2-2知∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2+∠4+∠5=180°。即三角形的内角和是180°。
2019年北京四中高考数学模拟试卷(文科)(二)(4月份)-解析版
2019年北京四中高考数学模拟试卷（文科）（二）（4月份） 一、选择题（本大题共8小题，共40.0分） 1.已知全集U=R，A={x|x＞1}，B={x|x2＞1}，那么（?U A）∩B等于（） A. B. C. D. 2.在复平面内，复数z=对应的点位于（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.已知曲线C1：y=sin x，C2：，则下面结论正确的是（） A. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得 到曲线 B. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得 到曲线 C. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到 曲线 D. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到 曲线 4.某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较 两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如图茎叶图：则下列结论中表述不正确的是（） A. 第一种生产方式的工人中，有的工人完成生产任务所需要的时间至少 80分钟 B. 第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高 C. 这40名工人完成任务所需时间的中位数为80 D. 无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟． 5.一个棱长为2的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如图所示， 则截去部分与剩余部分体积的比为（） A. 1：3 B. 1：4 C. 1：5 D. 1：6 6.若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则7.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知 直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（） A. B. C. D. 8.若函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足条件：|x1x2+y1y2| 的最大值为0，则称f（x）为“柯西函数”，则下列函数：①f（x）=x+（x＞0）；②f （x）=ln x（0＜x＜e）；③f（x）=cos x；④f（x）=x2-1．其中为“柯西函数”的个数为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 9.曲线f（x）=xe x+2在点（0，f（0））处的切线方程为______． 10.若变量x，y满足则目标函数 ， ， ， 则目标函数z=x+4y的最大值为______． 11.将数列3，6，9，……按照如下规律排列， 记第m行的第n个数为a m，n，如a3，2，如a3，2=15，若a m，n=2019，则m+n=______． 12.已知函数f（x）=|ln x|，实数m，n满足0＜m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m2，n]上的最大 值是2，则的值为______． 13.设D为△ABC所在平面内一点，=-+，若=λ（λ∈R），则λ=______． 14.若圆x2+y2=1与圆x2+y2-6x-8y-m=0相切，则m的值为______． 三、解答题（本大题共6小题，共80.0分） 15.若数列{a n}的前n项和为S n，首项a1＞0且2S n=+a n（n∈N*）． （1）求数列{a n}的通项公式； （2）若a n＞0（n∈N*），令b n=，求数列{b n}的前n项和T n． 16.设函数＞，＜＜的图象的一个对称中心为，，且图象上最高点 与相邻最低点的距离为． （1）求ω和?的值；
北京四中初一数学期末试题_及答案
北京四中初一数学期末考试试题 一、选择题 1. 把方程17.01 2.04.01=--+x x 中分母化整数，其结果应为（ ） A.17124110=--+x x Ｂ.17124110=--+x x ０ Ｃ.1710241010=--+x x Ｄ.17 10241010=--+x x ０ 2.韩老师特制了4个同样的立方块，并将它们如图4（a ）放置，然后又如图4（b ）放置，则图4（b ）中四个底 面正方形中的点数之和为 （ ） A.11 B.13 C.14 D.16 3.对任意四个有理数a ，b ，c ，d 定义新运算： a b c d =ad-bc ，已知 241 x x -=18， 则x= （ ） A ．-1 B.2 C.3 D.4 4.某文化商场同时卖出两台电子琴，每台均卖960元，以成本计算，其中一台盈利20％，另一台亏本20％，则本次出售中商场 （ ） A 不赔不赚 B 赚160元 C 赚80元 D 赔80元 5.已知31＝3，32 ＝9，33＝27，34 ＝81，35＝243，36＝729，37 ＝2187，38＝6561… 请你推测3 20 的个位数是 （ ） A ．3 B.9 C.7 D.1 6、如图，下图是汽车行驶速度（千米／时） 和时间（分）的关系图，下列说法其中正确的个数为（ ） （1）汽车行驶时间为40分钟；（2）AB 表示汽车匀速行驶； （3）在第30分钟时，汽车的速度是90千米／时；（4）第40分钟时，汽车停下来了． A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 7、从平面镜里看到背后墙上电子钟的示数如图所示， 这时的正确时间是（ ）。 A 、21：05 B 、21：15 C 、20：15 D 、20：12 8、近似数12.30万精确到( )。 A 、十分位 B 、百分位 C 、百位 D 、千位
北京四中高考数学总复习 对数与对数函数知识梳理教案
【考纲要求】 1.掌握对数的概念、常用对数、对数式与指数式互化，对数的运算性质、换底公式与自然对数； 2.掌握对数函数的概念、图象和性质. 3.正确使用对数的运算性质；底数a 对图象的影响及对数函数性质的作用. 4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法； 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、对数概念及其运算 我们在学习过程遇到2x =4的问题时，可凭经验得到x=2的解，而一旦出现2x =3时，我们就 无法用已学过的知识来解决，从而引入出一种新的运算——对数运算. (一)对数概念: 1.如果()01b a N a a =>≠，且，那么数 b 叫做以a 为底N 的对数， 记作:log a N=b.其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数. 2.对数恒等式：log log a b N a a N a N N b ?=?=?=? 3.对数()log 0a N a >≠，且a 1具有下列性质： (1)0和负数没有对数，即0N >； (2)1的对数为0，即log 10a =； (3)底的对数等于1，即log 1a a =. (二)常用对数与自然对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，N N lg log 10简记作. 对数与对数函数 图象与性质 对数运算性 质 对数函数的图 像 与 对 数 的 概 念 指对互化 运 算
以e 为底的对数叫做自然对数， log ln e N N 简记作. (三)对数式与指数式的关系 由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化. 它们的关系可由下图表示. 由此可见a ，b ，N 三个字母在不同的式子中名称可能发生变化. (四)积、商、幂的对数 已知()log log 010a a M N a a M N >≠>，且，、 (1)()log log log a a a MN M N =+； 推广：()()12 1212log log log log 0a k a a a k k N N N N N N N N N =+++>、、、 (2)log log log a a a M M N N =-； (3)log log a a M M αα=. (五)换底公式 同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a ≠1， M>0的前提下有: (1) )(log log R n M M n a a n ∈= 令 log a M=b ， 则有a b =M ， (a b )n =M n ，即n b n M a =)(， 即n a M b n log =，即:n a a M M n log log =. (2) )1,0(log log log ≠>= c c a M M c c a ，令log a M=b ， 则有a b =M ， 则有 )1,0(log log ≠>=c c M a c b c 即M a b c c log log =?， 即a M b c c log log =， 即)1,0(log log log ≠>=c c a M M c c a
2017北京四中高二(下)期中数学(理)含答案
2017北京四中高二（下）期中 数学（理） 卷（I） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 1. 复数= A. +i B. +i C. 1-i D. 1+i 2. 下列求导正确的是 A. （3x2-2）'=3x B. （log2x） '= C. （cosx） '=sinx D. （）'=x 3. 曲线y=x·e x在x=1处切线的斜率等于 A. 2e B. e C. 2 D. 1 4. 等于 A. -21n 2 B. 21n 2 C. -ln 2 D. ln 2 5. 函数f（x）=3+x lnx的单调递增区间为 A. （0，） B. （e，+∞） C. （，+∞） D. （，e] 6. 在复平面内，复数（i是虚数单位）的共轭复数对应的点位于 A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 7. 函数f（x）=在区间[0，3]的最大值为 A. 3 B. 4 C. 2 D. 5 8. 已知f（x）=1+（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n，则f '0）= A. n B. n-1 C. D. n（n+1） 9. 函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是 A. （-1，2） B. （-3，6） C. （-∞，-3）∪（6，+∞） D. （-∞，-1）∪（2，+∞） 10. 方程x2=xsinx+cosx的实数解个数是 A. 3 B. 0 C. 2 D. 1 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 11. 复数（2+i）·i的模为__________. 12. 由曲线y=x2,y=x3围成的封闭图形的面积为__________.
2017-2018学年北京四中下学期高一年级期中考试数学试题(解析版)
2017-2018学年北京四中下学期高一年级期中考试数学试题 一、单选题 1．某影院有40排，每排46个座位，一次新片发布会坐满了记者，会后留下了每排20号的记者进行座谈，这样的抽样方法是 A. 抽签法 B. 随机数表法 C. 系统抽样法 D. 分层抽样法 【答案】C 【解析】分析：根据抽样形式确定抽样方法. 详解：因为留下了每排20号的记者,等距抽样，所以抽样方法为系统抽样法， 选C. 点睛：抽签法根据签抽样，随机数表法根据数表抽样，系统抽样法是等距抽样，分层抽样法按比例抽样. 2．下列命题中，正确命题的个数是 ①有三个公共点的两个平面重合②梯形的四个顶点在同一平面内 ③三条互相平行的直线必共面④四条线段顺次首尾相接，构成平面图形 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】分析：根据平面确定的公理判断命题真假. 详解：因为有三个不共线公共点的两个平面重合，所以①错； 因为梯形有两条直线相互平行，所以梯形的四个顶点在同一平面内，②对； 因为三条互相平行的直线不一定共面，如长方体三条平行的棱就不共面，所以③错，因为四条线段顺次首尾相接可构成空间四边形，所以④错； 选B. 点睛：公理3是确定平面的公理，注意其中条件：三个不共线的点，两条平行直线，两条相交直线，一直线以及直线外一点. 3．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
A. 14 B. 8π C. 12 D. 4 π 【答案】B 【解析】设正方形边长为a ，则圆的半径为 2 a ，正方形的面积为2a ，圆的面积为2 4a π.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面 积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是 221248 a a ππ? =，选B. 点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A . 4．△ABC 中，若B ＝45°，，则A ＝ A. 15° B. 75° C. 75°或105° D. 15°或75° 【答案】D 【解析】分析：先根据正弦定理求C ，再根据三角形内角关系求A. 详解：因为，所以 所以 因此， 选D. 点睛：在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．
北京四中数学题典
训练26 三角函数 (推荐时间：75分钟) 1．已知sin α＝55，α∈(0，π2)，tan β＝13 . (1)求tan α的值；(2)求tan (α＋2β)的值． 2．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且1－c 2a ＝sin (B －C )sin (B ＋C ) ，求 cos B 2 的值． 3．若函数f (x )＝sin 2ax －sin ax cos ax (a ＞0)的图象与直线y ＝m (m 为常数)相切，并且切点的横坐标依次成公差为π2 的等差数列．(1)求m 的值；(2)若点A (x 0，y 0)是y ＝f (x )图象的对称中心，且x 0∈[0，3π4 ]，求点A 的坐标． 4.已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .m ＝(1,1)，n ＝??? ?32－sin B sin C ，cos B cos C ，且m ⊥n . (1)求A 的大小；(2)若a ＝1，b ＝3c .求S △ABC . 5．设函数f (x )＝2sin x cos 2φ2 ＋cos x sin φ－sin x (0＜φ＜π)，在x ＝π处取最小值．(1)求φ的值；(2)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知a ＝1，b ＝2，f (A )＝32 ，求角C . 6．(2010·福建)某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/时的航行速度匀速行驶，经过t 时与轮船相遇． (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由． 答案
北京四中高考数学总复习 三角函数的图象和性质(基础)知识梳理教案
【考纲要求】 1、会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的简图；熟悉基本三角函数的图象、定义域、值域、奇偶性、单调性及其最值；理解周期函数和最小正周期的意义. 2、理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2]π的性质（如单调性、最大和最小值、与x 轴交点等）,理解正切函数在区间(,)22 ππ -的单调性. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、“五点法”作图 在确定正弦函数sin y x =在[0,2]π上的图象形状时，最其关键作用的五个点是(0,0)， (,1)2π，(,0)π，3(,-1)2 π ，(2,0)π 考点二、三角函数的图象和性质 名称 sin y x = cos y x = tan y x = 定义域 x R ∈ x R ∈ {|,} 2 x x k k Z π π≠+ ∈ 值 域 [1,1]- [1,1]- (,)-∞+∞ 图象 奇偶 奇函数 偶函数 奇函数 应用 三角函数的图象与性质 正弦函数的图象与性质 余弦函数的 图象与性质 正切函数的 图象与性质
要点诠释： ①三角函数性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、最大值和最小值、对称性等，要结合图象记忆性质，反过来，再利用性质巩固图象．三角函数的性质的讨论仍要遵循定义域优先的原则，研究函数的奇偶性、单调性及周期性都要考虑函数的定义域． ②研究三角函数的图象和性质，应重视从数和形两个角度认识，注意用数形结合的思想方法去分析问题、解决问题. 考点三、周期 一般地，对于函数()f x ，如果存在一个不为0的常数T ,使得当x 取定义域内的每一个值时，都有(+)=()f x T f x ，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期（函数的周期一般指最小正周期）.
北京四中10-11第一学期高一数学期中测试
北京四中2010-2011学年度第一学期期中测试高一年级 数学试卷 卷（Ⅰ） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 1． 若集合{}0123A =， ，，，{}124B =，，，则集合A B =（ ） A ．{}01234， ，，， B ．{}1234，， ， C ．{}12， D ．{}0 【解析】 A {}01234A B =，，，， 2． 函数()lg(1)f x x =-的定义域是（ ） A ．(2)+∞， B ．(1)+∞， C ．[)1+∞， D ．[)2+∞， 【解析】 B 10x -> ∴1x > 3． 下列各选项的两个函数中定义域相同的是（ ） A ．2 ()f x = ，()g x = B ．()x f x x = ，()1g x = C ．()2f x x =-，()g x = D ．()f x =()0g x = 【解析】 C 对于A ，()f x 的定义域为0x >，()y x 的定义域为R 对于B ，()f x 的定义域为0x ≠，()y x 的定义域为R 对于D ，()f x 的定义域为1x =，()y x 的定义域为R 4． 下列函数中值域是(0)+∞，的是（ ） A ．2()32f x x x =++ B ．21()4 f x x x =++ C ．1 ()|| f x x = D ．1 ()12 f x x = + 【解析】 C 对于A ， 2231()32()24f x x x x =++=+-，()f x 的值域为1 [,)4 -+∞． 对于B ，2211 ()()42 f x x x x =++=+，()f x 的值域为[0,)+∞． 对于C ，()f x 的值域为 (0)+∞，． 对于D ，()f x 的值域为 R ． 5． 函数4 y x = 是（ ） A ．奇函数且在(0)-∞，上单调递增
北京四中0910学年高二下期末考试数学(理)doc高中数学
1 1 9 18 9 20 北京四中0910学年高二下期末考试数学(理)doc 高中数学 试卷分为两卷，卷〔I 〕100分，卷〔II 〕50分，总分值共计 150分 考试时刻：120分钟 卷〔I 〕 一 ?选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分 6 1?设i 为虚数单位，那么1 i 展开式中的第三项为〔 〕 A . 30i B . 15i C . 30 D . 15 4个，那么所取4个球的最大号码是6的 概率为〔 〕 1 1 2 3 A.— B.— C _ D .- 84 21 5 5 2?从编号为1,2,…,10勺10个大小相同的球中任取 3. (1 ,x)4(1 .、x)4的展开式中x 的系数是〔 〕 A . 4 B . 3 C . 3 球且A 、B 两个球不能放在同一盒子中， 那么不同的放法有〔 〕 A . 15 B . 18 C . 30 D . 36 5 .假设(1 mx) 6 a 0 a 1x a 2x 2 川 a 6X .且 a 〔 a ? III a 6 63，那么实数m 〔 〕 A . 1 B . 1 C . 3 D . 1或3 4 .将A 、B 、C 、D 四个球放入编号为1、2、3的三个盒子中，假设每个盒子中至少放一个 6.假设随机变量 X 的分布列如下表, 那么E(X) 〔 〕 C . 20 9
7.某电视台连续播放5个不同的广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且两个奥运宣传广告不能连续播放，那么不同的 播放万式有〔〕 A. 120种 B. 48 种 C. 36种 D. 18 种 8.假设函数f(x)(x 1)(x 2)(x 3)(x 4)(x5)，且f (x)是函数f(x)的导函数，那么f (1) 〔〕 A. 24 B. 24 C. 10 D. 10 9.假设复数z满足|z 4 3i| 3，那么复数z的模应满足的不等式是〔〕 A. 5 |z| 8 B. 2|z| 8 C. |z|5 D. |z| 8 10.设是离散型随机变量，p(xj 2，p(X2)1，且捲 4 X2，假设E -，D2 3339那么x1X2的值为〔 5711 A. B C. 3 D.— 333 二.填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分 11?假设二项式(1 2x)n的展开式中第七项的二项式系数最大，那么n ___________ ；现在2n 4除以7的余数是__________ 。 12.如图O的直径AB 6cm，P是AB延长线上的一点, 过P点作。O的切线，切点为C，连接AC， 假设CPA 30°, PC _____________ 。 13.甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁两 公司各承包2项，共有承包方式的种数是___________ 。
北京四中2013-2014学年下学期高一年级期中考试数学试卷
北京四中2013-2014学年下学期高一年级期中考试数学试卷 卷（Ⅰ）满分100分，卷（Ⅱ）满分50分，共150分 考试时间120分钟 卷（Ⅰ） 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1. 若0a <、0b >，则下列不等式中正确的是（ ） A. a b > B. 22a b < C. < D. 11 a b < 2. 直线10x y ++=的倾斜角、在y 轴上的截距分别是（ ） A. 45°、1 B. 45°、—l C. 135°、1 D. 135°、—1 3. 等比数列{}n a 中，11 9a =，59a =，则3a =（ ） A. 1 B. 3 C. ±1 D. ±3 4. 直线经过坐标为（1，0）的点，且与直线220x y --=平行，该直线的方程是（ ） A. 210x y -+= B. 210x y --= C. 210x y +-= D. 220x y +-= 5. 函数1 ()(2)2f x x x x =+>-在x a =取最小值，则a =（ ） A. 4 B. 3 C. 1 D. 1+6. 在△ABC 中，sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则△ABC 的最大角等于（ ） A. 56π B. 34π C. 23π D. 3π 7. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21 n a n n =+，则10S =（ ） A. 1 B. 11 12 C. 10 11 D. 9 10 8. 在△ABC 中，45B =?，b =c =A =（ ） A. 15° B. 75° C. 75°或105° D. 15°或75° 9. 数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-，若58k a <<，则k =（ ） A. 6 B. 7 C.8 D.9
北京四中数学高考总复习：数列的应用之知识讲解、经典例题及答案
北京四中数学高考总复习：数列的应用之知识讲解、经典例题及答案
北京四中数学高考总复习：数列的应用之知识讲解、经典例题及答案 知识网络： 目标认知 考试大纲要求： 1.等差数列、等比数列公式、性质的综合及实际应用； 2.掌握常见的求数列通项的一般方法； 3.能综合应用等差、等比数列的公式和性质，并能解决简单的实际问题. 4.用数列知识分析解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题. 重点： 1.掌握常见的求数列通项的一般方法； 3.用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题 难点：
用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题. 知识要点梳理 知识点一：通项与前n项和的关系 任意数列的前n项和； 注意：由前n项和求数列通项时，要分三步进行： （1）求， （2）求出当n≥2时的， （3）如果令n≥2时得出的中的n=1时有 成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式. 知识点二：常见的由递推关系求数列通项的方法1.迭加累加法： ， 则，，…， 2.迭乘累乘法：
， 则，，…， 知识点三：数列应用问题 1.数列应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型. 2.建立数学模型的一般方法步骤. ①认真审题，准确理解题意，达到如下要求： ⑴明确问题属于哪类应用问题； ⑵弄清题目中的主要已知事项； ⑶明确所求的结论是什么. ②抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达. ③将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意列出满足题意的数学关系式（如
北京四中高一数学上学期期末试题
高中数学精品资料 2020.8 【人教版高一数学模拟试卷】 北京市四中上学期高一年级期末测验数学试卷 试卷分为两卷，卷（I ）100分，卷（II ）50分，共计150分 考试时间：120分钟 卷（I ） 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1. ?210cos = A. 2 1 B. 2 3 C. 2 1- D. 2 3- 2. 设向量()?? ? ??==21, 21,0,1，则下列结论中正确的是 A. ||||= B. 2 2= ? C. 与-垂直 D. ∥ 3. 已知?? ? ??- ∈0,2πα，53cos =a ，则=αtan A. 43 B. 4 3- C. 3 4 D. 3 4- 4. 已知向量a 、b 满足2||,1||,0===?，则=-|2| A. 0 B. 22 C. 4 D. 8 5. 若 2 4 π θπ < <，则下列各式中正确的是 A. θθθtan cos sin << B. θθθsin tan cos << C. θθθcos sin tan << D. θθθtan sin cos << 6. 设P 是△ABC 所在平面内的一点，且2=+，则 A. 0=++PC PB PA B. 0=+PC PA C. 0=+PC PB D. 0=+PB PA 7. 函数14cos 22 -?? ? ? ?- =πx y 是 A. 最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数
C. 最小正周期为π2的奇函数 D. 最小正周期为π2的偶函数 8. 若向量()()1,1,4,3-==d AB ，且5=?AC d ，则=?BC d A. 0 B. －4 C.4 D. 4或－4 9. 若函数()?? ? ? ?<≤+=20sin 3cos πx x x x f ，则()x f 的最小值是 A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 10. 若()()m x x f ++=?ωcos 2，对任意实数t 都有()t f t f -=??? ? ?+4π，且18-=?? ? ??πf ，则实数m 的值等于 A. 1± B. 3± C. －3或1 D. －1或3 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知ααcos 3sin =，则=ααcos sin _________。 12. 已知向量()()()2,1,,1,1,2-=-=-=c m b a ，若() c b a ∥+，则=m ________。 13. ??? ? ? + 6tan πα21=，316tan -=??? ? ? -πβ，则()=+βαtan _________。 14. 若函数()x x f 2 sin =，则=?? ? ??12πf _________， ，单调增区间是_________。 15. 如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BD BC 3= ，1||=AD ，则=?AD AC _________。 16. 定义运算b a *为：()()? ??>≤=b a b b a a b a *。例如：12*1=，则函数()x x x f cos *sin =的值域为_________。 三、解答题（本大题共3小题，共26分） 17. （本小题满分6分） 已知：如图，两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为3 2π ，点C 是以O 为圆心的劣弧AB 的中点。
2019-2020学年北京四中高二(上)期中数学试卷-含详细解析
2019-2020学年北京四中高二年级第一学期期中考试 数学试卷 2019.11 一、选择题（本大题共13小题，共62.0分） 1.不等式x?3 x+2 <0的解集为() A. {x|?2 高一数学（必修1）期中模拟卷 一、选择题：（每小题5分，共12小题，合计60分） 1、 下列几个关系中正确的是（ ） A 、0{0}∈ B 、 0{0}= C 、0{0}? D 、{0}?= 2、设:f M N →是集合M 到集合N 的映射，下列说法正确的是（ ） a 、M 中每一个元素在N 中必有输出值。 b 、N 中每一个元素在M 中必有输入值。 c 、N 中每一个元素在M 中的输入值是唯一的。 d 、N 是M 中所有元素的输出值的集合。 3、下列函数与y x =有相同图象的一个是（ ） A 、y = B 、2 x y x = C 、 log (0,a x y a a =>且1)a ≠ D 、log (0,x a y a a =>且1)a ≠ 4、集合11 {|,},{|,}2442 k k M x x k Z N x x k Z == +∈==+∈，则（ ） A 、M N = B 、M N ? C 、N M ? D 、M N =? 5、已知53()2f x x ax bx =-++且(5)17f -=，则(5)f 的值为（ ） A 、19 B 、 13 C 、 -19 D 、 -13 6、若0a <，则函数(1)1x y a =--的图象必过点（ ） A 、(0,1) B 、（0，0） C 、（0，-1） D 、（1，-1） 7、要得到函数(2)1y f x =-+的图象，只需将函数()y f x =的图象（ ） a 向右平移2个单位，向下平移1个单位。 b 向左平移2个单位，向下平移1个单位。 c 向右平移2个单位，向上平移1个单位。 d 向左平移2个单位，向上平移1个单位。 8、定义集合A 、B 的一种运算：1212{,,}A B x x x x x A x B *==+∈∈其中，若{1,2,3}A =，{1,2}B =，则A B *中的所有元素数字之和为（ ） A ．9 B. 14 C.18 D.21 9、已知函数()312f x ax a =+-在区间（-1，1）上存在0x ，使得0()0f x =，则（ ） A 、115a -<< B 、15a > C 、1a <-或1 5 a > D 、1a <- 10、对任意实数x 规定y 取1 4,1,(5)2 x x x -+-三个值中的最小值，则函数y （ A 、有最大值2，最小值1， B 、有最大值2，无最小值， C 、有最大值1，无最小值， D 、无最大值，无最小值。 11、如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积(2m )与时间t (月) 的关系:t y a =,有以下叙述: ① 这个指数函数的底数是2;② 第5个月时,浮萍的面积就会超过230m ; ③ 浮萍从2 4m 蔓延到2 12m 需要经过1.5个月; t/月 【考纲要求】 1. 了解函数的定义域、值域，并能简单求解． 2. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质． 【知识网络】 【考点梳理】 1．单调性 （1）一般地，设函数()f x 的定义域为I 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，若都有12()()f x f x <，那么就说函数在区间D 上单调递增，若都有12()()f x f x >，那么就说函数在区间D 上单调递减。 （2）如果函数()y f x =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()y f x =在这一区间具有严格的单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间。 （3）判断证明函数单调性的一般方法：单调四法，导数定义复合图像 定义法： 用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①设D x x ∈21,，且12x x <；②作差 )()(21x f x f -；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）④判断)()(21x f x f -的 正负符号；⑤根据定义下结论。 复合函数分析法 设()y f u =，()u g x =[,]x a b ∈，[,]u m n ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在[,]a b 上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表： 函数的基本性质 奇 偶 性 单 调 性 周 期 性 ()u g x = ()y f u = [()]y f g x = 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 导数证明法： 设()f x 在某个区间(,)a b 内有导数'()f x ，若()f x 在区间(,)a b 内，总有'()0('()0)f x f x ><，则()f x 在区间(,)a b 上为增函数（减函数）；反之，若()f x 在区间(,)a b 内为增函数（减函数） ，则'()0('()0)f x f x ≥≤。 图像法： 一般通过已知条件作出函数图像的草图，从而得到函数的单调性。 2、奇偶性 (1)定义: 如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为这一定义域内的奇函数;如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称f(x)为这一定义域内的偶函数. 理解： (Ⅰ)上述定义要求一对实数x,-x 必须同时都在f(x)的定义域内,注意到实数x,-x 在x 轴上的对应点关于原点对称(或与原点重合),故知f(x)的定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要条件. (Ⅱ)判断函数奇偶性的步骤: ①考察函数定义域; ②考察f(-x)与f(x)的关系; ③根据定义作出判断. (Ⅲ)定义中条件的等价转化 ①f(-x)=-f(x)?f(x)+f(-x)=0;或f(-x)=-f(x) ? ) () (x f x f -=-1 (f(x)≠0) ②f(-x)= f(x) ?f(x)-f(-x)=0;或f(-x)=f(x) ? ) () (x f x f -=1 (f(x)≠0) 北京市四中2011-2012学年上学期高一年级期末测验数学试卷 试卷分为两卷，卷（I ）100分，卷（II ）50分，共计150分 考试时间：120分钟 卷（I ） 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1. ?210cos = A. 21 B. 23 C. 21 - D. 23 - 2. 设向量()??? ??==21,21,0,1b a ，则下列结论中正确的是 A. ||||b a = B. 22 =?b a C. b b a 与-垂直 D. b a ∥ 3. 已知??? ??-∈0,2π α，53 cos =a ，则=αtan A. 43 B. 43- C. 34 D. 34 - 4. 已知向量a 、b 满足2||,1||,0===?b a b a ，则=-|2|b a A. 0 B. 22 C. 4 D. 8 5. 若24π θπ<<，则下列各式中正确的是 A. θθθtan cos sin << B. θθθsin tan cos << C. θθθcos sin tan << D. θθθtan sin cos << 6. 设P 是△ABC 所在平面内的一点，且BC BP BA 2=+，则 A. 0=++PC PB PA B. 0=+PC PA C. 0=+PC PB D. 0=+PB PA 7. 函数14cos 22-??? ??-=πx y 是 A. 最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数 C. 最小正周期为π2的奇函数 D. 最小正周期为π2的偶函数 8. 若向量()()1,1,4,3-==d AB ，且5=?AC d ，则=?BC d A. 0 B. －4 C.4 D. 4或－4 9. 若函数()??? ? ?<≤+=20sin 3cos πx x x x f ，则()x f 的最小值是 A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 10. 若()()m x x f ++=?ωcos 2，对任意实数t 都有()t f t f -=??? ? ?+4π，且18-=?? ? ??πf ，则实数m 的值等于 A. 1± B. 3± C. －3或1 D. －1或3 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知ααcos 3sin =，则=ααcos sin _________。 12. 已知向量()()()2,1,,1,1,2-=-=-=c m b a ，若() c b a ∥+，则=m ________。 13. ??? ? ?+6tan πα21=，316tan -=??? ??-πβ，则()=+βαtan _________。 14. 若函数()x x f 2sin =，则=?? ? ??12πf _________，，单调增区间是_________。 15. 如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BD BC 3=，1||=AD ， 则=?AD AC _________。 16. 定义运算b a *为：()() ???>≤=b a b b a a b a *。例如：12*1=，则函数()x x x f cos *sin =的值域为_________。 北京市第四中学2011-2012学年下学期高二年级期中测试数学试卷（文科） （试卷满分150分，考试时间为120分钟）试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分 卷（Ⅰ） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1.复数 i ?12 等于A.1＋i B.1－i C.－1＋i D.－1－i 2.在复平面内，复数i i z ?=1（i 是虚数单位）对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.下列推理所得结论正确的是 A.由ac ab c b a +=+)(类比得到y x y x a a a log log )(log +=+ B.由ac ab c b a +=+)(类比得到y x y x sin sin )sin(+=+ C.由)()(c b a c b a ++=++类比得到)()(yz x z xy = D.由n n n b a ab =)(类比得到n n n y x y x +=+)(4.若x x x f sin 1)(2 ?=，则)(x f 的导数是 A. x x x x x 22sin cos )1(sin 2??? B. x x x x x 22sin cos )1(sin 2?+?C. x x x x sin )1(sin 22?+? D. x x x x sin )1(sin 22???5.复数i z +=1，z 为z 的共轭复数，则=??1z z z A.－2i B.–i C.i D.2i 6.已知函数)(x f y =，其导函数)('x f y =的图象如下图，则对于函数)(x f y =的描述正确的是 A.在)0,(?∞上为减函数 B.在0=x 处取得最大值 C.在),4(+∞上为减函数 D.在2=x 处取得最小值 7.函数x x x f ln 3)(+=的单调递减区间为A.?? ????e 1,0 B.? ? ????∞?e 1, C.? ? ????+∞,1e D.? ? ????e e ,18.函数2 16x x y +=的极大值为A.3 B.4 C.2 D.5 9.函数1)(3++=x ax x f 有极值的充要条件是A.0 >a B.0 ≥a C.0 北京四中：高一《数学》第一学期期中考试和答案
北京四中高考数学总复习 函数的基本性质(提高)知识梳理教案
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