流体力学【关于伯努利方程的应用】

工程流体力学

综合报告

学院：机械工程学院专业：机械工程

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提交日期：2017年12月27 日

关于伯努利方程的应用

摘要

“伯努利原理“是著名的瑞士科学家丹尼尔·伯努利在1726年提出的。这是在流体力学的连续介质理论方程建立之前，水力学所采用的基本原理，其实质是流体的机械能守恒。理想正压流体在有势彻体力作用下作定常运动时，运动方程（即欧拉方程）沿流线积分而得到的表达运动流体机械能守恒的方程。即：动能+重力势能+压力势能=常数。其最为著名的推论为：等高流动时，流速大，压力就小。伯努利方程对于确定流体内部各处的压力和流速有很大意义，在水利、造船、航空等部门有着广泛的应用。

关键词：伯努利方程公式及原理应用流体力学

1 伯努利方程

伯努利原理往往被表述为p+1/2ρv2+ρgh=C，这个式子被称为伯努利方程。式中p为流体中某点的压强，v为流体该点的流速，ρ为流体密度，g为重力加速度，h为该点所在高度，C是一个常量。它也可以被表述为p1+1/2ρv12+ρgh1=p2+1/2ρv22+ρgh2。

需要注意的是，由于伯努利方程是由机械能守恒推导出的，所以它仅适用于粘度可以忽略、不可被压缩的理想流体

1.1 流线上的伯努利方程

流线上的伯努利方程：

适于理想流体（不存在摩擦阻力）。式中各项分别表示单位流体的动能、位能、静压能之差。如果流动速度为0，则由伯努利方程可得平衡流体的流体静力学基本公式（C g p z =+ρ

）。 1.2 总流的伯努利方程

总流是无数元流的总和，将元流伯努利方程沿总流过流断面积分，即可推导出总流的伯努利方程，也即总流能量方程。

动能修正系数α为实际动能与按平均速度计算的动能的比值，α值反映了断面速度分布的不均匀程度。由于气体的动力黏度值较小，过流断面速度梯度小，实际的气流运动的速度分布比较均匀，接近于断面平均流速。所以，气体运动中的动能修正系数常常取1.0。管中水流多数也属于这种情况，此时总流与流线上的伯努利方程形式上无区别。 g

V g p z g V g p z 222222221111αραρ++=++g

V g p z g V g p z C g v g p z 222222221112++=++=++ρρρ

1.3 实际流体总流的伯努利方程

实际流体总流的伯努利方程式：

z ——总流过流断面上某点（所取计算点）单位重量流体的位能，位置高度或高度水头；

g

p ρ——总流过流断面上某点（所取计算点）单位重量流体的压能，测压管高度或压强水头；

g 2v 2

α——总流过流断面上单位重量流体的平均动能，平均流速高度或速度水头；

hf ——总流两端面间单位重量流体平均的机械能损失。

总流伯努利方程的应用条件：

（1）恒定流；（2）不可压缩流体；（3）质量力只有重力；（4）所选取的两过水断面必须是渐变流断面，但两过水断面间可以是急变流。（5）总流的流量沿程不变。 （6）两过水断面间除了水头损失以外，总流没有能量的输入或输出。 （7）式中各项均为单位重流体的平均能（比能），对流体总重的能量方程应各项乘以ρgQ 。

221112221222f p v p v z z h g g g g

ααρρ++=+++

1.4 粘性流体的伯努利方程

2 伯努利方程的应用

2.1 皮托管

毕托管又叫皮托管，是将流体动能转化为牙能、从而通过测压计测定流体运动速度的仪器。这种仪器是1730年由享利?毕托(Henri Pitot)所首创，后经200多年来各方面的改进，目前已有几十种型式。

图1.皮托管原理图

用毕托管可以测得总压管管口处的流速为V=gh 2

221

12212L 22p v p v z z h g g γγ++=+++

优点：能测得流体总压和静压之差的复合测压管。结构简单，使用、制造方便，价格便宜，只要精心制造并严格标定和适当修改，在一定的速度范围之内，它可以达到较高的测速精度。

缺点：用毕托管测流速时，仪器本身对流场会产生扰动，这是使用这种方法测流速的一个缺点。

2.2 生活中的应用举例

2.2.1 关于飞机如何起飞

飞机的飞行要解决两个问题：一是上升；二是前进。

前进靠的是发动机的动力带动螺旋桨旋转产生的向前牵引力或是喷气产生的向前推力。上升是根据伯努利原理，即流体（包括气流和水流）的流速越大，其压强越小；流速越小，其压强越大。

机翼周围空气的流线分布是指机翼横截面的形状上下不对称，侧剖面是一个上缘向上拱起，下缘基本平直的形状。所以气流吹过机翼上下表面而且要同时从机翼前端到达后端，从上缘经过的气流速度就要比下缘的快（因为上缘弧度大，弧长较长，就是说距离较远）。

按照伯努利方程：同样是流过某个表面的流体，速度快的对这个表面产生的压强要小。因此就得出机翼上表面大气压强比下表面的要小的结论，这样子就产生了升力，升力达到一定程度飞机就可以离地而起。飞机的机翼做成的形状就可以使通过它机翼下方的流速低于上方的流速，从而产生了机翼上、下方的压强差（即下方的压强大于上方的压强），因此就有了一个升力，这个压强差（或者说是升力的大小）与飞机的前进速度有关。当飞机前进的速度越大，这个压强差，即升力也就越大。所以飞机起飞时必须高速前行，这样就可以让飞机升上天空。当飞机需要下降时，它只要减小前行的速度，其升力自然会变小，以致小于飞机的重量，它就会下降着陆了。

2.2.2 喷雾器

喷雾器是利用流速大、压强小的原理制成的。让空气从小孔迅速流出,小孔附近的压强小,容器里液面上的空气压强大,液体就沿小孔下边的细管升上来,从细管的上口流出后,空气流的冲击,被喷成雾状。

图二.手摇式喷雾器和日常小巧型喷雾器原理

由伯努利方程：

k=px/(ρg)+vx*vx/(2g)+h2;(1)

由压强与空气流速公式：

px=po(1-vx/v声);

(k表示常量,po表示大压） (2)

图3.喷雾器

喷雾器是压缩c,使B点流速大、由公式（2），知小孔B附近的压强pB＜po,容器里液面上的大气压强的作用,液体就沿小孔下边的细管升上来B,从细管的上口流出后,空气流动的冲击,被喷成雾状。

2.2.3汽油发动机的化油器

汽油发动机的化油器，与喷雾器的原理相同。化油器是向汽缸里供给燃料与空气

的混合物的装置,构造原理是指当汽缸里的活塞做吸气冲程时，空气被吸入管内，在流经管的狭窄部分时流速大，压强小，汽油就从安装在狭窄部分的喷嘴流出，被喷成雾状，形成均匀的油气混合物进入汽缸燃烧。

图4.化油器结构示意图

由伯努利方程：

po/(ρg)+v1* v1 /(2g)+h1 =px/(ρg)+vx*vx/(2g)+h ；

由压强与空气流动速度公式：

px=po(1-vx/v声);…………(2)；

(po为大气压，v1为油下降速度，v声为声速）

以为h1零势面,喷出点绝对高度为h，知h1=0;

由于浮子室内部汽油面积特别大，由流量公式:

Q=v1*s1=vx*sx知:…v1≈0;

解得：vx=po/(v声*ρ)±sqrt[p0*po/(v声*v声*ρ*ρ)]

2.2.4 旋转球的原理

球类比赛中的“旋转球”具有很大的威力。旋转球和不转球的飞行轨迹不同，是因为球的周围空气流动情况不同造成的。不转球水平向左运动时周围空气的流线。球的上方和下方流线对称，流速相同，上下不产生压强差。

图5.过球心的水平截面空气流线分布图

再考虑球的旋转，转动轴通过球心且平行于地面，球逆时针旋转。球旋转时会带动周围得空气跟着它一起旋转，至使球的下方空气的流速增大，上方的流速减小，球下方的流速大，压强小，上方的流速小，压强大。跟不转球相比，旋转球因为旋转而受到向下的力，飞行轨迹要向下弯曲。另一方面, 由于内摩擦力作用, 空气施于球体内摩擦力矩与空气粘滞系数、角速度梯度成正比。空气粘滞系数很小, 因而内摩擦力矩使球体旋转角速度减小很慢。当球旋转着前进时, 由于空气粘性, 紧靠球表面的空气附着球表面随球一起旋转, 在球周围的附着面产生环流如图所示。

2.2.5乒乓球的旋转

表示乒乓球的上旋球，转动轴垂直于球飞行的方向且与台面平行，球向逆时针方向旋转。在相同的条件下，上旋球比不转球的飞行弧度要低下旋球正好相反，球要向反方向旋转，受到向上的力，比不转球的飞行弧度要高。

当球的旋转性质为上旋时，在球的的周围形成跟随其转动的气流流线的方向由前向后（与球飞行方向相反)，则球的上部流线同球周围的环流方向相反，下部球体流线方向同球周围的环流方向相同。因此，空气流线同球体周围环流流线方向一致的，则球体该部流速快。反之，空气流线同球体周围环流流线方向相反的，则球体该部流速慢。

参考文献

[1]张也影流体力学（第二版）

[2]于学昌伯努利及伯努利方程的应用《中学物理教学参考》2001年第七期

[3]赵昌友伯努利方程及其应用《池州学院学报》2014年第6期

[4]郭嘉泰荆彦锋伯努利方程的应用——冷凉作用数理医药学杂志

[5]陈燕黎伯努利方程的原理及应用浅析《漯河职业技术学院院报》2012年

第二期

[6]哈尔滨工业大学理念力学教研室理论力学

[7]孙春峰,杨小云旋转球与非旋转球运动的力学原理孝感学院

学报2003 年 5 月第23 卷第 3 期

[8]伯努利方程的应用知乎网摘抄

[9]郭守月牛顿运动定律和机翼举力大学物理.2003

[10]伯努利原理百度百科整理