第二章 静电场与导体

第二章 静电场与导体

一、判断题（正确划“∨”错误码划“?” ）

1、由公式

0εσ

=

E 知，导体表面任一点的场强正比于导体表面处的面电荷密度，因此该 点场强仅由该点附近的导体上的面上的面电荷产生的。（ ）×

2、一导体处静电场中，静电平衡后导体上的感应电荷分布如图，根据电场线的性质，必有一部分电场线从导体上的正电荷发出，并终止在导体的负电荷上。（ ）×

3、一封闭的带电金属盒中，内表面有许多针尖，如图所示，根据静电平衡时电荷面密度按曲率分布的规律，针尖附近的场强一定很大。（ ）×

4、孤立带电导体圆盘上的电荷应均匀分布在圆盘的两个圆面上。（ ）√

5、对于一个孤立带电导体，当达到静电平衡时，面电荷的相对分布与导体表面的曲率成正比。（ ）√

6、一个接地的导体空腔，使外界电荷产生的场强不能进入腔内，也使内部电荷产生的场不进入腔外。（ ）×抵消

7、若电荷间的相互作用不满足平方反比律，导体的屏蔽效应仍然存在。（ ）×

8、用一个带电的导体小球与一个不带电的绝缘大导体球相接触，小球上的电荷会全部传到大球上去。（ ）×

9、带电体的固有能在数值上等于该带电体从不带电到带电过程中外力反抗电力作的功。（ ）√

10、静电平衡时，某导体表面的电荷在该导体内部产生的场强处处必为零。（ ）×

11、两个带有同种电荷的金属球，一定相斥。（ ）×

12、真空中有一中性的导体球壳，在球中心处置一点电荷q ，则壳外距球心为r 处的场强为2

04r

q E πε=

,当点电荷q 偏离中心时，则r 处的场强仍为2

04r

q

πε。（ ）√

13、接地的导体腔，腔内、外导体的电荷分布，场强分布和电势分布都不影响。（ ）√

14两个导体A 、B 构成的带电系的静电能为）

（B B A A q q ?+?21，则式中的A A q ?21及

B B q ?21

分别表示A 和B 的自能。（ ）×

15、两个半径相同的金属球，其中一个是实心的，一个是空心的，通常空心球比实心球的电容大。（ ）×

二、选择题、

1、关于导体有以下几种说法：（B ） （A ）接地的导体都不带电。

（B ）接地的导体可带正电，也可带负电。 （C ）一导体的电势零，则该导体不带电。

（D ）任何导体，只要它所带的电量不变，则其电势也是不变的。

2、一面积为S 的很大金属平板A 带有正电荷，电量为Q ，把另一面积亦为S 的不带电金属平板平行放在A 板附近，若将A 板接地，则A 、B 两板表面上的电荷面密度是：（A ） （A ）04321=σ=σ=σ=σ （B ）4

3222σ-=-

=σσ==

σS

Q S

Q ，

（C ）

32410σ-==σ=σ=σS Q ，

（D ）4

3210σ-==σ=σ=σS Q

，

3、一点电荷+q 位一本来不带电的金属球外，q 到球心的距离为a ，球的半径为R （如图），

若P 为金属球内的一点，它的坐标是（b 、θ），金属球内的感应电荷在P 点产生的场强的大小是：( A )

（A ）

）（θ-+πε=

cos 242

2

ab b a q

E O

（B ） 0=E

（C ）

204a q E πε=

（D ）

204R

q E πε=

，

4、两个平行放置的带电大金属板A 和B ，四个表面电荷面密度为4321σσσσ、、、如图所

示，则有(A )

（A ）3241σ-=σσ=σ， （B ）3241σ=σσ=σ， （C ）3241σ-=σσ-=σ，

（D ）3241σ=σσ-=σ，

5、如图所示 两个同心球电容器的联接法是：(B) （A ） （a ）串联 （b ）并联 （B ） （a ）并联 （b ）串联 （C ） （a ）（b ）均并联 （D ） （a ）（b ）均串联

（a ） （b ）

6、将一接地的导体B 移近一带正电的孤立导体A 时，A 的电势。(B ) （A ）升高 （B ）降低 （C ）不变 （D ）无法判断

7、一个电容量为C 的平行板电容器，两极板的面积都是S ，相距为d ，当两极板加上电压U 时，（略去边缘效应），则两极板间的作用力为：(C )

a

q

R

P

θ

b 1Q 2

Q 1σ2σ3σ4σA B

（A ）

d CU F 22

=

排斥力 （B ）

d

CU F 2

=

排斥力

（C ）d CU

F 22

=吸引力 （D ）d CU

F 2

2=

吸引力

8、a 、b 、c 为带电导体表面上的三点，如图所示，静电平衡时，比较三点的电荷密度，电势及面外附近的场强，下诉说法中错误的是：(B )

（A ）a σ>b σ>c σ （B ）a σ>b σ

（C ）a E >b E >c E

（D ）c b a ?=?=?

9、有一点电荷q 及金属导体A ，且A 处于静电平衡状态，下列说法中正确的是：(C ) （A ）导体内E=0， q 不在导体内产生电场。 （B ）导体内E ≠0，q 在导体内产生电场。

（C ）导体内E=0，q 在导体内产生电场。 （D ）导体内E ≠0，不在导体内产生电场。

10、真空中有一组带电导体，某一导体表面电荷面密度为σ处，其表面附近的场强

0εσ

=

E ，该场强E 是由：(D )

（A ）该处无穷小面元上的电荷产生的。 （B ）该面元以外的电荷产生的。

（C ）该导体上的全部电荷产生的。 （D ）所有导体表面上的电荷产生的。 11、一半径为R 的孤立导体球，带有正电荷q ，其电势分布曲线?—r 是：(B)

（A ） （B ）

（C ） （D ）

12、平行板电容器两极板的面积都是S ，相距为d ，其间有一厚度为t 的金属板与极板平行放置面积亦是S 则系统电容是：(B)

（A ）d s 0ε （B ）t d s -ε0 （C ）t s

0ε （D ））（

t d s 1

1

0-=ε

13、半径分别为a 和b 的两个金属球，球心间距为r ，（r ?a ，r ?b ）今用一根电容可忽略的细线将两球相连，该系统的电容是：(A)

（A ）（b a +πε04 （B ）b a ab

+πε04 （C ） 0 （D ） r 04πε

14、如图所示，在一边长为a 的立方体的每个顶点上放一个点电荷-e ，在中心放一个点电荷+2e ，此带电体的相互作用能：(A )

（A ）

a

e

02

344.0ε （B ）

a

e

02

688.0ε

c

b a

Q

+R r ?R r ?R r

?R

r

?e -e

-e

-e

-e -e

-e

-e

-e

2+

（C ）

a

e

02

75ε- （D ）-a 062

.4ε

15、如图所示，一半径为c R 的导体球，带电量为Q ，在距球心为d 处挖一半径为b R （b R

R

（A ）

???

???++-πεc

b a R q Q R q R q 2

220

41）（

（B ）

222

01

8a b c

q q Q q R R R πε??

+-+??

??（） （C ）2

2

1

8q

Q

R a

R c

πε+

（

）

（D ））

（

a c R R qQ 11

81

+

πε 16、平行板电容器充电后与电源断开，然后将距离拉大，则电容C ，电压U,电场能量W ，将有如下变化：（A ）

（A ）↓C ↑U ↑W （B ）↑C ↓U ↓W

（C ）↑C ↑U ↑W （D ）↓C ↓U ↓W

17、平行板电容器接入电源保持其两极板间的电压不变，将两极板间距离拉大，则电容器各量的变化为：（D ）

（A ）电容增大 （B ）带电量增大

（B ）电场强度增大 （D ）电量、电容、场强都减小

18、真空中有一半径为R 的导体球，当球上带电量为Q 时，其电场能量为：（C ）

（A ） 2

04RQ

πε （B ） R Q

02

4πε （C ）R Q

02

8πε （D ）R Q

02

16πε

三、填空题

1、导体在静电场中达到静电平衡的条件是（ ）。 合场强在导体内部处处为零

2、在一电中性的金属球内，挖一任意形状的 空腔，腔内绝缘地放一电量为q 的点电荷，

如图所示，球外离开球心为r 处的P 点的 场强（ ）。 r

r q

E e ∧

=

2

04πε

3、如图所示，在金属球A 内有两个球形空腔， 此金属球整体上不带电，在两空腔中心绝缘 地各放置一点电荷q 1和q 2，球外远处有一固 定的点电荷q ，q 到球心的距离r 比球的球的 半径大得多。

（1）q 受到的静电力（ ）; C

R b R a

R q

O

P r

A

q

1

q 2

q r

（2）q 1受到的q 的作用力（ ）； （3）q 受到q 2的作用力（ ）; （4）q 1受到q 2的作用力（ ）。 2

0214r

q q q πε+）（、 0、 2

024r

q

q πε、 0

4、在一电中性的绝缘金属盒内悬挂一带正电的金属小球B

如图所示。 （1）、带正电的试探电荷A 位于金属荷附近，A 受( )， 若将B 从盒中移走，A 受（ ）；（2）若使B 与金属盒内壁接触，

A 受（ ）；（3）若让金属盒接地，则A 受（ ）；

（4）当金属盒接地后，先把B 从盒内移走，然后拆去接地线，

则A 受（ ）。（括号内填吸力或斥力）。

斥力、 吸 力、 斥 力、 吸力、 吸力

5、如图所示，金属球壳内外半径分别为a 和b ，带电量为Q ，球壳腔内距球心O 为r 处置一电量为q 的点电荷，球心O 点的电势（ ）。

?

??

??++-πε

b q Q a q r

q 0

41

6、在金属球壳外距球心O 为d 处置一点电荷q ，球心O 处电势（ ）。

d q

04πε

7、演示用的范德格喇夫静电起电机，它的铝球半径为10cm ，该起电机能达到的最高的电势（ ）(设空气的击穿场强为3×104

cm V

)

3×105

V

8、一球形电容器内外两壳的半径分别为R 1和R

4

（如图），

今在壳之间放一个内外半径分别为R 32R 和的同心导体球壳 当给内壳（R 1）以电量Q 时，半径分别为41R R 和两壳的电势差

( )及电容（ ）

）

（

4

3

2

1

11114R R R R Q -

+

-

πε

213443214

32104R R R R R R R R R R R R ）（）（-+

-πε。

9、如图所示，电容，

，uF C C uF C 0.510321===间电容、）（b a 1（ ）; (2)a 、b 间加上电压100V ，2C 上的电量（ ）; (3)上的电量被击穿，若31C C （ ）

uF

4

15 250uF uF 250

10、如图所示电路，F C C C C C 12

54321102-?=====，

端电压V U 10000=

所带电量1C （ ）

A B

a b

q

o 1

R 4

R 1

C 3

C 2

C a

b

1

C 2

C 3

C 4

C 5

C 0

U

C 9

10

25.1-?

11、四个电容器电容是，联接如图和、、4321C C C C 间的电容

AB （ ）

间的电容DE （ ），间的电容AE （ ）

3

23

23121C C C C C C C C +++

2

12

13231C C C C C C C C +++ 0

12、有一些相同的电容，电容都是F 6

10

2-?，耐压都是200V ，现在要获得耐压为1000V ，电容F 6

1040.0-?,需要这种电容器（ ）个，采用（ ）连接方式。 5 串联

13、半径为R 的孤立金属圆盘，盘的厚度忽略不计，其电容是（ ）。

R 02πε

14、静电天平，如图所示，当电容器不带电时，天平正好平衡当天平一端加上质量为m 的砝码时，电容器两极板需加电压（ ）时，天平才能重新达到平衡。 s mgx

U 02

ε=

15、一平行板电容器极板面积为S ，间距为d ，接在电源上以保持电压为U ，将极板的距离垃开一倍。（1）静电能的改变（ ）, (2)电场对电源作的功（ ） (3)外力对极板作的功( )。

d

SU 42

0ε-

d

SU

22

0ε

d

SU

42

0ε

16、平行板电容器充电后两极板的面电荷密度分别为+σ与-σ,极板上单位面积的受力（ ）

02

2εσ

四、问答题

1、具有金属外壳的金箔验电器，放在绝缘的台上。先使验电器带电，则金箔张开，见（a ）图。若让验电器的小球与金属外壳相连，则金属下垂，见（b ）图。撤除小球与外壳的连接后，若用手指触及验电器的小球，则金箔又重新张开，，见（c ）图。试解释这一现象。

答：（a ）使验电器带电，金箔张开，是因为金箔与棒带同号电荷，在斥力的作用下而张开。

（b ）验电器的小球与金属外壳相连金箔下垂，是因为电荷只能分布在金属外壳，棒与金箔不带电而下垂。

（c ）用手指触及验电器的小球，金箔又重新张开，是因为通人手、人体使小球与大地相连，相当于接地。金属外壳与大地之间形成电场，使大地表面带负电荷。又由于大地与小球相连，小球也带负电荷。因此金箔与棒带同号负电荷，在斥力的作用下而张开。

)(a )(b )(c 1

C 2

C 3

C 4

C B

E

?

A

D

?

?

?

x m S 固定极板

2、如图所示是一种用静电计测量电容器两极板间电压的装置。试问：电容器两极板上的电压越大，静电计的指针的偏转偏转是否也越大，为什么？ 答：静电计可看作一个电容器，与平行板电容器 并联，二者极板上的电压相等，当电容一定时，电 量与电压成正比，当平行板电容器的电压增大时， 静电计构成的电容器上的电压也增大，从而指针和 秆子的电量也随之增大，故指针和秆子的排斥力也 增大，指针偏转也就越大。

3、在能量公式dV

W ρ?=

2

1中，能否将ρ?

2

1

作为电场的能量密度？为什么？

答：

dV

W ρ?=

?21

是电荷系的总静电能，即包括自能又包括互能。积分遍及电荷分布空间。

dV

E W 2

02

1

ε=

?是电场的能量，也包括自能和互能，积分遍及场分布空间，故不能将

ρ?

21

作为电场的能量体密度。 五、证明题

1、将一带正电的导体A 置于一中性导体B 附近，B 上将出现感应电荷。A 上的电荷也将重新分布。证两个导体上不可能都出现异号电荷（如图所示）的分布

证明：假设此二导体达到静电平衡时，每一个导体都带有异号电荷，则其中一导体（如 A ）正电荷所发电场线，必有部分终止于它邻近的另一导体（如B ）负电荷上。由于电场线的指向是由高电位指向低电位，因而A 上正电荷处的电位+A U 就高于B 上负电荷处的电位-

B U 即A

B U U

+

-

>，B 上正电荷所发电场线由于不可能终止于本身负电荷上(否则,如图a 所示,则-+?B B U U ,与等势体相矛盾),则必由部分终止于A 的负电荷上(图b),因而-+?A B U U ,于是

-

+-+

?=?A B B A U

U U U

,与等势体相矛盾。因此，若一带电导体A 由电场线终止于另一带电

导体B 时，B 就不可能再有电力线终止于A 上。这有两种可能。一是一个导体A 只带正电（图C ）或者另一导体B 只带负电（图d ）。即此二带电体中至少有一个只带同种电荷，因而两个导体上都出现异号电荷是不可能的。

2、一封闭金属壳A 内有一电量为q 的导体B ，求证，为使

B A

?=?

,唯一的方法是令q=0.

此结论与A 是否带电有无关系？

证：若0≠q 。金属壳的内表面带负电，有电场线从B 出发，终止于A 内表面上，因此有

A B

＋－

＋＋－－－－B A B

A B A

-

B

)(a )

(b )

(d )(c －－－

＋＋＋＋＋

＋

＋

＋＋＋＋

－－

＋＋

＋＋

＋

＋－－－－

－

－－

－－

＋＋

0??-?B A ,由此可见，要使B A ?=?，其必要条件是B 不带电，q=0。

若q=0，A 壳内表面没有电荷，壳外部的场又不能影响它内部的场，A 与B 之间没有电场存在，它们之间没有电位差，因此，要使B A ?=?的充要条件是q=0。

由于静电屏蔽效应，金属壳带电与否，不会影响金属壳外表面所包围的区域内的场强和电位差，因此A 是否带电对上面证明的结论没有影响。

3、在带正电的导体A 附近有一不接地的中性导体B ，试证A 离B 越近，A 的电势越低。 证：带电体A 移近B 时，B 上将出现感应电荷,靠近A 的一边感生电荷为负，远离A 的一边为正，B 上负电荷比正电荷对A 电位的贡献大，因此A 离B 越近，感生电荷对A 的电位贡献的负值越大，A 的电势越低。

4、多个彼此绝缘的未带电导体处于无场的空间。试证明：若其中任一导体（如A ）带正电，则各个导体的电势都高于零，而且其余导体的电势都低于A 的电势。

证：当某一导体（如A ）带正电时，由于静电感应其它导体离A 近端带负电荷，远端带正电荷，从A 发出的电力线一部分终止于负感应电荷上，正的感应电荷发出的电力线延 伸至无限远，由于同一电力线其起点的电位总是高于终点的电位。若选无限远处的电位为零，则其它导体的电势都高于零，但它们的电势都低于A 的电势。

4题图 5题图

5、两个导体分别带有电量 -q 和2q,都放在同一封闭的金属球壳内，证明：电荷为2q 的导体的电势高于金属球壳的的电势。

证：在封闭金属壳的金属内部任意作一个包围着空腔的封闭曲面，静电平衡时，通过此闭合曲面的电通量为零，根据高斯定理，闭合曲面所包围的电荷的代数和为零，空腔内的电荷总量为2q-q=q ，所以，金属球壳内表存在-q 的电量。从电荷为+2q 的导体表面发出的电力线将有一部分终止于金属壳内表面的负电荷，根据电力线起点电位高于终点电位，电荷为2q 的导体的电位高于金属壳的电位。

6、试证明：对于两个无限大带电的平行平面导体板来说，若周围无其它带电体在，则 （1）相向两个面（图中2

和

3）上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反： （2）向背的两个面（图中1和4）上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同。

证：设每极板上A q 和B q 的电量，其面密度依次为1σ、2σ、3σ、4σ。在A 板内取一点1P ,

设n

是向右的单位矢，四个无限大带电平面在1P 的合场强为n

n n n E 040302012222εσ-εσ-εσ-εσ=

静电平衡时0=E

故 4321=σ-σ-σ-σ……①

在B 板内取一点2P 类似的04321=σ-σ+σ+σ……②

故 324

1σ-=σσ=σ

7、试证明：处于静电平衡状态导体（空腔内没有其他带电体）的内表面上各处都没有净电荷

证：如图所示：在空腔导体内外表面之间作一封闭面S ，把空腔包围起来，根据高斯定理 A C q 2q -1

P 2

P S

1234

∑?ε=?q

S d E S

1

由于导体内的场强处处为零，因此内表面上电荷的代数和∑q 为零。

还需证明，内表面各处都没有净电荷。假设内表面处有正电荷q ，2P 处有等量的负电荷-q ，可以从1P 到2P 画一条电场线，又由电场线的性质。1P 的电势高于2P 的电势这与静电平衡时导体是等势体相矛盾。由此可见，处于静电平衡的空腔导体，若腔内没有其他带电体，则在内表面上各处都没有净电荷。

8、处于静电平衡的导体腔，带电量Q 证明：导体内空腔为一等势区。 证明：假设导体腔的腔中，有任意点a,其电势高于导体上的 任意一点b ，则由电场线的性质，必有从高电势的a 点到低 电势的b 点作一条电场线，如图所示，a 点必存在正电荷，b

点必存在负电荷，但根据导体腔处于静电平衡的性质知，导

体腔内、腔的内表面和导体中处处都没有电荷，因此上述电场

不存在。a 点电势也就不可能高于b 点电势，同理可证 a 点电 势不可能低于b 点电势。所以a 、b 两点电势必须相等。即导体 内空腔为一等势区，其电势和导体相同。

六、计算题

1、一面积为S 的很大金属平板A ，带有正电荷，电量为Q ，A 1和A 2是金属板的两个平面，计算两表面上的电荷单独产生的场强和它们的合场强。

解：因导体板的面积很大，厚度很小，可以认为电荷Q 均匀分布在A 1和A 2两个表面上，电荷面密度为 每个面可看作无限大的带电平面，设 和 分别代表A 1和A 2表面上的电荷单独产生的电场的场强，表示垂直金属板向右的单位矢量，则

而

2、一面积为S

的很大金属平板A ，带有正电荷，电量为Q ，A 1和A 2是金属板的两个平面，若把另一面积亦为S 的不带电的金属平板B 平行放在A 板附近，求此时A 、B 板每个表面上的面密度和空间各点的场强。

解：当B 板放在A 板附近时，由于静电感应，电荷将重新分布，最后达到静电平衡。用1σ、2σ、3σ、4σ分别表示A 和B 两板每个面上的电荷面密度，如图所示。 根据电荷守恒定律，不管板上的电荷怎样重新分布，每一金属板的总量保持不变，即

a b p S Q 2=

σ2

E 1E =1E i ?210σε（A 1右侧）i ?21

0σε-（A 1左侧）

=2E i ?21

σε（A 2右侧）

i ?210σε

-（A 2左侧）=+=21E E E i ?10σε（A 1右侧）0 （A 1、A 2之间）i ?1

σε-（A 2左侧）

2

A 1A A x 1σ

S Q

=+21σσ0

43=+σσ

根据静电平衡条件，每一金属板内的场强为零，若1E

、2E 、3E 和 4E 分别是每一面上的电荷单独产生的场强，则在金属板内任一处

取向右的方向为正，把每一个带电面看作无限大带电平面，在金属板A 内，有

在金属板B 内，有

解以上四个方程式，可得

三个区域中的场强为 012I II III Q E E E S ε===

方向如图所示。由此可见，B 板的引入并不改变A 板上电荷的分布，除B 板内各处的场强为零外，空间其它地方的场强亦未变化。

3、在上题中，若将金属板B 接地，求A 、B 两板表面上的电荷密度。 解：B 板接地后，B 板和大地变成同一导体，B 板外侧表面不带电，即

根据电荷守恒定律 根据静电平衡条件，A 、B 两板内部电场强度为零，故有

解以上方程得

即当B 板接地后，原来分布在A 板两个表面上的电荷全部集中到B 板的一个表面上，而在B 板的靠近A 板的那个表面上出现与A 板等量异号的感应电荷，电场只分布在区域II 内。 4、在x<0的半个空间内,充满金属，在x=a 处有一电量为q 的正点电荷,如图4-1所示，试计算导体表面的场强和导体表面上的感应电荷面密度。

解：根据场强叠加原理，空间任一点的场强由点电荷+q 单独产生的电场和金属表面感应电荷单独产生的电场叠加而成，如图4-2。

1）若P 1是x<0空间内的一点，其坐标为（-δ，y ），δ→0 ，点电荷q 在P 1点的场强为

图4-1

设金属表面的感应电荷在该点产生的场强为1E

，如图4-2，则由场强叠加原理和静电平衡条件有 04321=+++E E E E 04321=---σσσσ04321=-++σσσσ212σσ==S Q

432σσ-=-=S Q 1σ2σ3σ4

σx

A B 1234

?

?ⅠⅡⅢ

I E II E III

E 04=σS Q

=+2

1σσ0321=--σσσ0321=++σσσ01=σ3

2σσ-==S

Q

2322020)

(??4?41y a i a j y q e r q E r q +-==πεπε

a

o x E 1

E o

y

q

x

)

,(1y p δ-q

θ

由此得 图4-2

2）若P 2是x>0空间内的一点，其坐标为（δ，y ），δ→0 ，因P 1和P 2无限接近，在这两

点，点电荷q 的电场强度是相等的，但感应电荷在P 1处的场强1E 和P 2处的场强'E 是不同

的，根据导体表面附近一点的场强垂直于导体表面知，q

E

和'

E 大小相等，方向不同，如图4-3。

图4-3

5、 电量为q 的点电荷绝缘地放在导体球壳的中心，球壳的内半径为R 1，外半径为R 2，求球壳的电势

解：点电荷位于球壳的中心，球壳内表面将均匀带有总电量-q ，球壳外表面均匀带有总电量q ，电场的分布具有球对称性，此时可用两种方法求球壳的电势。 1）积分法

2）叠加法

6、两导体球，半径分别为R 和r ，相距甚远，分别带有电量Q 和q ，今用一细导线连接两球，求达到静电平衡时，两导体球上的电荷面密度之比值。

解：当导体球相距甚远时，每一导体球都可以看作为孤立导体处理。导体球的电势分别为

014Q

R ?πε=

当用导线连结时，两导体球上的电荷重新分布，电量变为 'Q 和 '

q 但导线很细，分布在导

线上的电荷忽略不计。这是两导体球的电势相等，即

而

由此可求得

01=+q E E 2322

0201)(??4?41y a j y i a q e r q E r +-=-=πεπε 23220'1)(??4y a j y i a q E +--=πε 23220'1)

(?24y a i a q E E E q +-=+=πε )?()(22

3220i y a aq -+=πεσε01=E 2

322)(2y a aq +=πσdr r q r d E R ??∞=?=2

204πε? 2041R q πε=201010444R q R q R q πεπεπε?+-+=2

04R q πε=

2R 1R q -q +r

q 041πε?=r q

R Q ''=

q

Q q Q +=+'')('q Q r

R R

Q ++=)

('q Q r

R r

q ++=

a o x q '1E y E

q

E θ

面电荷密度

所以

7、 一导体球通过与一带电金属板反复接触而获得电荷，每当导体球与金属板接触并分后,又重新使金属板带有电量Q ，若q 1是导体球与金属板第一次接触后所带的电量，求导体球可获得的最大电量。

解：导体球与金属板接触时，两者达到电势相等。设经过第一次接触，导体球的电量为q 1金属板的电量为Q 1，它们的比值为

导体球和金属板接触达到静电平衡时电势相等，K 值不变。

根据电荷守恒定律11q Q Q +=，故有 金属板第二次被充电到Q 后再与导体球接触，设导体球和金属板的电量分别为q 2和Q 2，则

根据电荷守恒定律， ，故有

同理，经过第n 次接触，导体球的电量为

当n →∞时 8、 一球形电容器内外薄壳的半径分别为R 1和R 4，今在两壳之间放一个内外半径分别为R 2和R 3的同心导体壳，求半径为R 1和R 4两球面间的电容。 解：因静电感应，各球面带电情况如图所示，导体内部无电场。

R r R Q q R Q R 1)(44'2

++==ππσr r R Q q r q r 1

)(44'2

++==ππσR r r R =

σσk

Q q =111111+==-k k

Q q k q Q q k Q q =2

2

Q q Q q +=+122

k q q Q q =-+2

12)1()(11112Q q

q q Q k k q +=++=)1(11

122111--+??+++=n n n Q q Q q Q q q q Q

q q q 1

1

m ax 11-=11

q Q Q q -=dr r

Q dr r Q r d E R R R R ???+=?=-43

2120204144πεπε?? 1

R 2

R

4

R 3

R

Q

Q

-Q

-Q

9、在图示的电路中C 1=C 3=2μF ， C 2=C 4=C5=1μF ，ε=600v 试求各个电容器上 的电势差？

解：此电容组合并非简单的电容串、并联，对闭合回路AC 1C 2B εA 、

AC 4C 5B εA 及AC 1C 3C 4A 分别应用环路定理 得

把高斯定理应用于图中电容器C 1、C 2、C 3各一极板的闭合曲面（虚

线）注意到各电容器原来未带电，故由 得

同理

注意到 ，联立以上五式得

10、试从电场的能量密度出发计算一均匀带电薄球壳的固有能，设球壳半径为R ，带电量为q 。

解：带电球壳的场分布在球外，离球心为r 处的场强为

电场的能量密度为

能量分布具有球对称性，取体积元 球壳的固有能为 11、如图所示，两块厚度都是δ的无限大平行平板均匀带电，电荷体密度分别为ρ±试求电

????

??-+-=4321011114R R R R Q πε3

2142143143243210414R R R R R R R R R R R R R R R R Q C -+-=-=πε??ε

021=-+εU U 0

5

4=-+εU U 0

431=-+U U U ???

=++-

01

11302010ds ds ds σεσεσε332211C U C U C U +=3

21Q Q Q +=435Q Q Q +=U C Q =V U 2401=V U 3602=V U 3604=V U 1203=V

U 2405=εB 4C

A 1C 2

C 3

C

5

C ?

=?0

l d E

?=?0

εq s d E 2

41r

q E πε=)(R r ≥4

2022

032121r q E E επεω==dr r dV 2

4π=ρ±2

2

240

1432E R q W dV r dr r ωππε∞==???2018q

R

πε=

场对每一平板单位面积的作用力，设A 板带正电，B 板带负电。

解：A 板处在B 板的电荷所产生的电场中，B 板上的电荷在A 板处所产生的场是均匀电场，其场强为

因此，A 板每单位面积所受到的力为

式中是带电板单位面积所带来的电量。

12、一半径为R 带电量为q 的球形导体，被切为两半，如图如示，求两半球的相互排斥力。 解：导体表面单位面积所受的力等于电场能量密度。任选一面元dS ，其受力大小为

方向垂直球面向外，即沿径向。将dF

分解，由于球对称，可知

而

其中

所以两半球相互排斥力为

13、三块平等的金属平板A 、B 和C ，面积都是200cm 2,A 、B 两极板相距4.0mm,A 、C 两板

相距2.0mm ，B 、C 两板都接地（如附图所示），如果A 板带3.07

10-?C 的正电，边缘效应忽略不计，试求：（1）B 、C 两板上的感应电荷升是多少？（2）以地为零电势，A 板的电势是多少？

解：因B 、C 两极都接地，故知B 、C 两板上只有向着A 的那一面有感应电荷,设电荷量的面

密度分别为C B σσ和,A 板向着B 和C 的两面上的电荷量的面密度分别为AC AB σσ和又因导体板面积很大，每个面可看作无限大的带电平面，根据静电平衡条件，每一金属板内的场强为零，有

22220

=+

+

+

εσ

εσ

εσ

εσB

AB

AC

C

0=+++B

AB

AC

C σ

σ

σ

σ……①

i i

E B ?21?2100δρεσε== B B E S E dq

F ??δ?ρ==i i E f B

?21?2120

220σερδεδρ=== dS

E F d 2

02

1ε= ?

=0Y dF dS

E d

F x θεcos 2120=θθπd R dS sin 22=204R

q E πε=θF d dS x ??πθθθπε===2020

2

sin cos 16d R q dF F F X X 2

20132q R

πε=m m

0.2m m

0.4

22220

=-

-

+

εσ

εσ

εσ

εσB

AB

AC

C

0=--+B

AD

AC

C σ

σσ

σ……②

根据电荷守恒定律有

()S Q AC

AB

A ?+=σ

σ

……③

由① ②式得

0=σ+σAC C …………④

0=σ+σAB B …………⑤

由④ ⑤式可得三块板上电荷量间的关系为

A C

B Q Q Q -=+………⑥

由高斯定理得A 、B 间，A 、C 间的电场强度为 e E AB AB ?0

εσ

= ……⑦

()e

e

E C AC

AC ??0

εσεσ=-=

……⑧

式中e

?为垂直板面的单位矢量，从A 指向B ，设A 、B 间距离为AB d ，A 、C 间距离为AC d ，则由C B U U =得 AB

B AB AB A

C C d d d 0

εσ-

=εσ=

εσ-……⑨

所以 B

AC AB C d d σ=

σ……⑩ B

AC

AB C Q d d Q =

……?

由⑥ ?式联立解得

()

C Q d d d Q A AC

AB AC B 7

7

10

0.110

0.32

42--?-=??+-

=+-

=

()()

C Q C 7

7

100.210

0.12

4--?-=?-?=

A 板的电势为 AB

B AB B AB AB A

d S

Q d d E U

00

ε-

=εσ-

== ()

V 3

4

12

3

7

10

3.2102001085

4.810

0.410

0.1?=??????=

-----

14、面积为2

210m S -=的三块导体薄板A 、B 、C 平行排列如图14-1所示，间距mm d 11=，mm d 22=,今在A 、C 两板接地情况下，将B 以充电至3000V , 然后拆去所有接线，再抽出

B 板，计算：（1）A 、

C 两板上的电荷A q 、C q ；（2）A 、C 两板间的电势差C A ?-?

解： 当A 、C 接地时，A 、C 板上只有向着B 的那一面有感应电荷，面密度分别为A σ、C σ，B 板向着A 、C 两面上电荷面密度分别为BA

σ和BC

σ

由A BA AB d U E =εσ=

得

AB BA d U 0ε=

σ ， AB BA A d U 0ε-

=σ-=σ

由BC BC BC d U

E =εσ=

得

图14-1 BC BC d U 0ε=

σ ，

BC BC C d U 0ε-

=σ-=σ

()

C d US S Q AB A A 7

3

2

3

12

010

66.210

110

10310

85.8---?-=?????-=

ε-=?σ=

()

C d US S Q BC

C C 7

3

2

3

12

010

33.110

210

10310

85.8---?-=?????-=

ε-

=?σ=

当A 、C 接地拆除，B 抽出时，各板表面电荷密度如图14-2所示,根据静电平衡条件和电荷守恒定律得

04321=σ-σ-σ-σ……① 04321=σ-σ+σ+σ……②

()A Q S =σ+σ21…………③

()C

Q S

=σ+σ43…………④

由① ② ③ ④式联立解得 图14-2 S Q Q C

A 241+=

σ=σ 2

5

2

7

7

32/10

67.010

210

33.110

66.22m

C S

Q Q C

A ----?-=??+?-=

-=

σ-=σ()V

d d C A 3

21

1025.2?-=+εσ-

=?-?

15、将两块薄导体平板C 和D ，平行地插入平行板电容器的两极板A 、B 之间，其中距离

3d

l l l DB CD AC =

==，如图所示，已知C 、D 未插入时，A 、B 两极板间的电势差为0U ,

(1)向C 、D 插入后，A 和C ，C 和D 、D 和B 之间的电势差各为多少？各导体板之间的空间中的场强各是多少？

(2)若C 和D 以导线相连接，然后除去导线，再讨论问题（1）

(3)在步骤（2）之后，再用导线将A 与B 连接，然后除去导线，则问题（1）又将如何？ （4）如果在上述（1）和（2）中，将A 和B 分别与电源的两极连接使A 和B 之间的电势差保持不变，而在上述（3）中先与电源分离，然后再用导线连接A 与B ，试问上述（1）（2）、（3）各小题的回答将有何改变？

解： (1)设A 、B 板带电为A B q q q =-=各板电荷面密度分别为1σ、2σ、3σ、4σ、5σ、6σ、7σ、8σ，如图所示，由静电平衡条件得

A

Q C

Q 1σ2σ3σ4

σ1d 2

d A B C

281=+=

σ=σS

q q B

A ……①

S q S

q q B

A =-=

=-==-==-=2765432σσσσσσσ……②

根据电容器串联特点得

0U U U U

DB CD AC

=++……③

0U l E l E l E DB DB CD CD AC AC =?+?+?

因为

3d

l l l DB CD AC =

== 0εσ

=

==DB CD AC E E E ……④ 所以

30

d U U U

DB CD AC

?===εσ……⑤

033

U d =?εσ

d U 0

0εσ=

……⑥

将式⑥分别代入式④⑤得

AC C D D B U E E E d σε====

0313U d U U U

DB

CD AC

=?εσ===

（2）将C 和D 以导线相连接后，C 、D 板等势，电荷只分布在与A 板和B 板的对着那个面上，即有

054=σ-=σ

0=CD U

所以

03

13U d U U

DB AC

=

?

εσ=

=

d U

E E DB AC =

εσ

==0

0=CD E

（3）再将导线将A 与B 连接后，A 与B 等势，不带电荷，所以 0===DB CD AC

U U U

0===DB CD AC

E E E

（4）没有变化

16、一半径为m R 05.01=，带电量

C

q 8

10

32-?=

的金属球，被一同心的导体球壳包围（如

图所示），球壳内半径m R 07.02=,外半径m R 098.03=，带电量Q=-2C 8

10-?，求离球心分别为0.03m ，0.06m,0.08m 和0.10m 的A 、B 、C 、D 四点处的场强和电势之值。

解：由静电感应知，球壳内表面带电q -，外表面带电为Q

q +

当r

A

B

C

D

1σ2σ3σ4σ6σ7σ8

σ

5

σ

Q q

+q q

q -1

R 2

R 3R

0=A E

根据电势叠加原理有 ???? ??++-πε

=

?321

41R Q q R q R q A

?????? ?

??-?+?-????=

-----05.010*******.0103205

.010

3210

85.814.341

888812

()6

6

6

9

10

148.010095.010

133.010

9---?-?-??=

V 990-=

当R 1

02

4ε=π?=???q r E S d E B S B

m V r q E B /107.106.01085.814.3410

3

2442

820?=?????=πε=--

???? ?

?++-πε

=

?320

41R q

Q R q r q B

8

966

21039100.095100.14810

0.06---??? ?=?-?-? ? ?

?

?V 31019.1?-=

当R 2

0=C E

???? ??++-πε

=

?332

41R q Q R q R q C

V R q

Q 312

8

8

3

01033.109.01085.814.3410

2103

2

4?-=?????-?=

πε+=

-

当r>R 3时

02

4ε+=π?=???Q q r E S d E D S D

m V r Q q E D /102.11.01085.814.3410

23244

2

12820?-=???????? ??-=πε+=--

V r Q q D 3

12

80102.11.01085.814.3410

2324?-=???????? ??-=+=--πε?

17、如图所示，两个相等的电荷的+q 相距2d ，一个接地导体球放在它们中间，（1）如果要使这两个电荷所受的作用力的矢量和都为零，计算球的最小半径（设r<

解：（1）该导体球上感应电荷为'

q ，由电势叠加原理知，接电导体球的电势为

4'42

00=πε+

πεr

q d

q ……① 由式①得导体球感应电荷电量为 d qr q 0

2'-

=

此电荷均匀分布在导体球表面上，根据库仑定律和受力平衡条件得 ()

2

00

2

02

02

424'24d

d qr q

d

qq d q πε=

πε=

πε

……②

由②式得导体球的最小半径为

80d r =

（2）根据电势叠加原理得

?

=πε+

πε0

004'42

r q d

q ?

=πε

+

πε84'42

0d

q d

q ……③

由③式得导体球感应电荷电量为

42'0q

d q -?πε=

由库仑定律知，每个电荷受力为

()

()d q d

q d q d

q d

qq d q F 8442444'242

02

2

2

02

02

?=

?πε

-?πε+

?πε

=

πε+

πε

=

18、圆筒形静电除尘器是由一个金属筒和沿其轴线的金属丝构成的，两者分别接到高压电源的正负极上，如图18-1所示，若金属丝的直径为2.0mm 圆筒内半径为20cm ，两者的电势差为15000V ，圆筒和金属丝均可近似看作是无限长的，试求离金属丝表面0.010mm 处的电场强度。

解：除尘器可看作由无限长带电同轴圆筒和圆柱组成，其截面如图18-2所示，设电荷线宽度为λ，取同轴圆柱形高斯面，根据高斯定理有

02ελ=?π?=???L L r E S d E S

r E 02πελ

=

……①

由电势计算公式有

12

00ln

222

1

R R r

dr r

r d E R

R πελ=

πελ=?=???

? 图18-1

1

20ln 2R R ??πε=

λ……②

将式②代入式①得

入口

入

吸尘器出口

q

+q

+d d

r

m m

0.1cm

20

r

R R r

R R E ???=πε???πε=

1

201

20ln

2ln 2

3

16

15000

20ln

1.0110

110

2.810/

V --=

???=?m 图18-2

19、半径为R 1的导体球带有电荷q ，球外有一个内、外半径分别为R 2、R 3的同心等体球壳，壳上带有电荷Q （如图19-1所示）。求（1）两球的电势1?和2?;(2) 两球的是势差??;(3)若用导线把内球和球壳连接起来后，则1?,2?和??分别为多少？（4）在情形（1）和（2）中，若外球壳接地，1?,2?和??各为多少？（5）设外球离地面很远，且内球接地,1?,2?和??各为多少？ 解：（1）由静电感应知，球壳内表面带电为-q ，外 表面带电为q Q +，如图19-2 根据电势叠加原理得

?

??? ??++-πε=

?321

141R q

Q R q R q ……①

30333

02441R

q Q R q Q R q R q πε+=

???

? ??++-πε

=

?……② 图19-1 （2）由①式－②式得

????

??-πε=?-?=??21021114R R q

……③

（3）用导线把内球和球壳接起来后，电荷只分布在 球壳外表面上，且二者等势，如图19-3则有

430214R q

Q πε+=

?=?……④ 图19-2

0=??……⑤

（4）当外球壳接地时如图19-4所示，外球壳电势为零 由电势定义有 ???? ??-πε

=

πε=

?=

??

?

210

2

01111442

1

2

1

R R q dr r

q r d E R R R R ……⑥

02=?……⑦

????

??-πε=??210114R R q

……⑧ 图19-3

（5）当内球接地时，内球电势为零，因无限远外的电势也为零，这就要求导体球所带电量

重新分布。设内球外表面带电为'q ，外表面带电'q Q +，如图19-5所示 由电势叠加原理知

0'''413210

1=???? ??++-=

R q Q R q R q πε

?……⑨

由式⑨得

1

R 2

R 3

R Q

q

3

R q

Q +q -q 1

R 2

R 3R -q q

3

R q

Q +Q q

+1

R 2

R q

-q