2017年北京中考数学——尺规作图

尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。

五种基本作图：

1、作一条线段等于已知线段；

2、作一个角等于已知角；

3、作已知线段的垂直平分线；

4、作已知角的角平分线；

5、过一点作已知直线的垂线；

题目一：作一条线段等于已知线段。

已知：如图，线段a .

求作：线段AB，使AB = a .

作法：

①作射线AP；

②在射线AP上截取AB=a .

则线段AB就是所求作的图形。

题目二：作已知线段的中点。

已知：如图，线段MN.

求作：点O，使MO=NO（即O是MN的中点）.

作法：

①分别以M、N为圆心，大于1/2MN的相同

线段为半径画弧，两弧相交于P，Q；

②连接PQ交MN于O．

则点O就是所求作的ＭＮ的中点。

（试问：PQ与ＭＮ有何关系？）

题目三：作已知角的角平分线。

已知：如图，∠AOB，

求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。

作法：

①以O为圆心，任意长度为半径画弧，

分别交OA，OB于M，N；

②分别以M、Ｎ为圆心，大于1/2MN

的相同线段为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ；

③作射线OP。则射线OP就是∠AOB的角平分线。

题目四：作一个角等于已知角。

（请自己写出“已知”“求作”并作出图形，不写作法）

题目五：已知三边作三角形。

已知：如图，线段a，b，c.

求作：△ABC，使AB = c，AC = b，BC = a.

作法：

①作线段AB = c；

②以A为圆心b为半径作弧，以B为圆心

a为半径作弧与前弧相交于C；

③连接AC，BC。

则△ABC就是所求作的三角形。

题目六：已知两边及夹角作三角形。

已知：如图，线段m，n, ∠α.

求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n.

作法：

①作∠A=∠α；

C

B

A

C

B

A

A

② 在AB 上截取AB=m ,AC=n ； ③ 连接BC 。

则△ABC 就是所求作的三角形。 题目七：已知两角及夹边作三角形。 已知：如图，∠α，∠β，线段m .

求作：△ABC ，使∠A=∠α，∠B=∠β,AB=m. 作法：

① 作线段AB=m ；

② 在AB 的同旁作∠A=∠α，作∠B=∠β， ∠A 与∠B 的另一边相交于C 。 则△ABC 就是所求作的图形（三角形）。

1、如图,有一破残的轮片,现要制作一个与原轮片同样大小的圆形零件,请你根据所学的有关知识,设计一种方案,确定这个圆形零件的半径.

2、 如图:107国道OA 和320国道OB 在某市相交于点O,在∠AOB 的内部有工厂C 和D,现要修建一个货站P,使P 到OA 、OB 的距离相等且PC=PD,用尺规作出货站P 的位置(不写作法,保留作图痕迹,写出结论)

3、 三条公路两两相交，交点分别为A ，B ，C ，现计划建一个加油站，要求到三条公路的距离相等，问满足要求的加油站地址有几种情况？

4、过点C 作一条线平行于AB ；

5、过不在同一直线上的三点A 、B 、C 作圆O ； 6

、过直线外一点A 作圆O 的切线。

C

B

A

二、几何画图：

1、只利用一把有刻度的直尺,用度量的方法,按下列要求画图: 1）画等腰三角形ABC 的对称轴: 2)画∠AOB 的对称轴

2、有一个未知圆心的圆形工件.现只允许用一块三角板（注：不允许用三角板上的刻度）画出该工件表面上的一条直径并定出圆心.要求在图上保留画图痕迹，写出画法.

3、某校有一个正方形的花坛，现要将它分成形状和面积都相同的四块种上不同颜色的花卉，请你帮助设计至少三种不同的方案，分别画在下面正方形图形上（用尺规作图或画图均可，但要尽可能准确些、美观些）．

4、某村一块若干亩土地的图形是ΔABC ，现决定把这块土地平均分给四位“花农”种植，请你帮他们分一分，提供至少两种分法。要求：画出图形，并简要说明分法。

5、如图所示，在正方形网格上有一个三角形ABC. ①作△ABC 关于直线MN 的对称图形(不写作法)； ②若网格上的最小正方形的边长为1.求△ABC 的面积.

6、如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”．如图（一）中四边形ABCD 就是一个“格点四边形”． ①求图中四边形ABCD 的面积；

②在图中方格纸上画一个格点△EFG ，使△EFG 的面积等于四边形ABCD 的面积且为轴对称图形．

7、如图，若A 、B 、C 、P 、Q 、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△ABC ∽△PQR ，则点R 应是甲、乙、丙、丁四点中的( )

A. 甲

B. 乙

C. 丙

D. 丁

D

C

B

A

6题 7题

8、某新建小区要在一块等边三角形的公共区域内修建一个圆形花坛。

（1）若要使花坛面积最大，请你在这块公共区域（如图）内确定圆形花坛的圆心P ； （2）若这个等边三角形的边长为18米，请计算出花坛的面积。

10、如图，已知方格纸中的每个小方格都是全等的正方形，∠AOB 画在方格纸上，请用利用格点和直尺(无刻度)作出∠AOB 的平分线。

11、小芸在班级办黑板报时遇到一个难题,在版面设计过程中需将一个半圆面三等分,请你帮助他设计一个合理的等分方案(要求用尺规作图,保留作图痕迹)

真题练习 垂直平分线相关

1.（2015年中考）阅读下面材料：

在数学课上，老师提出如下问题：

小芸的作法如下：

老师说：“小芸的作法正确．”

请回答：小芸的作图依据是 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线 ．

10题

8题

2.（2016东城一模）

阅读下面材料：

在数学课上，老师提出如下问题： 甲、乙、丙、丁四位同学的主要作法如下： 请你判断哪位同学的作法正确 丁 ；

这位同学作图的依据是 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 ． 3.（2016朝阳一模）阅读下面材料： 数学课上，老师提出如下问题：

小艾的作法如下：

尺规作图：经过已知直线上一点作这条直线的垂线．

已知：直线AB 和AB 上一点C ．求作：AB 的垂线，使它经过点C ．

如图，（1）在直线AB 上取一点D ，使点D 与点C 不重合，以点C 为圆心，CD 长为半径作弧，交AB 于D ，E 两点；

（2）分别以点D 和点E 为圆心，大于

1

2

DE 长为半径作弧，两弧相交于点F ； （3）作直线CF ．

所以直线CF 就是所求作的垂线．

老师表扬了小艾的作法是对的．

请回答：小艾这样作图的依据是____等腰三角形三线合一；两点确定一条直线_____．

4.(人大附中月考)数学课上，老师提出如下问题：

小芸的作法如下：

请回答：小芸这样作图的依据是_____到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线；同弧所对的所对的圆周角是圆心角的一半_____．

5. （燕博园月考）

数学活动课考核时，一小组抽到如下问题某小组讨论的作法如下：

经学校数学活动课考核小组裁定：“该小组的作法正确，小组全体同学通过考核.”

请回答：该活动小组的作图依据是 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 ；不在同一直线上的三点确定一个圆；同弧所对的所对的圆周角是圆心角的一半 .

角平分线、作一个角等于已知角

1. （2016平谷一模）

阅读下面材料：

在数学课上，老师提出如下问题：

小米的作法如下：

老师说：“小米的作法正确．”

请回答：小米的作图依据是___全等三角形判定定理（sss ）；全等三角形的对应角相等；两点确定一条直线___．

2.（2016房山一模）如图，已知∠AOB ．

小明按如下步骤作图：

① 以点O 为圆心，任意长为半径画弧，交OA 于点D ，交OB 于点E ．

②

分别以D ，E 为圆心，大于1

2

DE 长为半径画弧，在∠AOB 的内部两弧交于点C ．

③ 画射线OC ．

所以射线

OC 为所求∠AOB 的平分线.根据上述作图步骤，回答下列问题:

（1）写出一个正确的结论：____△OCD △OCE ______.（2）如果在OC 上任取一点M ，那么点M 到OA 、OB 的距离相等. 依据是：_角平分线上的点到角两边的距离相等____.

2.（2016石景山一模）阅读下面材料：

在数学课上，老师请同学思考如下问题：

小轩的主要作法如下：

请回答：⊙P与BC相切的依据是___角平分线上的点到角两边的距离相等_；若圆心到直线的距离等于半径，则这条直线为圆的切线____．

3.（2016顺义一模）

数学课上，同学们兴致勃勃地尝试着利用不同画图工具画一个角的平分线．

小明用直尺画角平分线的方法如下：

（1）用直尺的一边贴在∠AOB的OA边上，沿着直尺的另一条边画直线m；

（2）再用直尺的一边贴在∠AOB的OB边上，沿着直尺的另一条边画直线n，直线m与直线n交于点P；

（3）作射线OP．

射线OP是∠AOB的平分线．

请回答：小明的画图依据是菱形的每一组对角线平分一组对角．

4.（2016朝阳毕业）阅读下面材料: 在数学课上，老师提出如下问题:

请回答:小义的作图依据是____全等三角形判定定理（sss）；全等三角形的对应角相等_________．5.（2016门头沟）阅读下面材料：

数学课上，老师提出如下问题：

请回答：（1）小明的作图依据是全等三角形判定定理（sss）；全等三角形的对应角相等_ ；

（2）他所画的痕迹弧MN是以点E 为圆心，CD 为半径的弧．

四边形

1.（2016海淀一模）

阅读下面材料：

在数学课上，老师提出如下问题：

小云的作法如下：

老师说：“小云的作法正确．”

请回答：小云的作图依据是___四条边都相等的四边形是菱形；菱形的对边平行_．

2.（2016怀柔一模）

在数学课上，老师提出如下问题：

小明的折叠方法如下：

老师说：“小明的作法正确．”

请回答：小明这样折叠的依据是___CD 和EF 是四边形CEDF 的对角线；对角线互相垂直平分的四边形的菱形

3.（2016西城一模）

阅读下面材料：

如图，C 是以点O 为圆心，AB 为直径的半圆上一点，且CO AB ⊥，在OC 两侧分别作矩形OGHI 和正方形

ODEF ，且点I ，F 在OC 上，点H ，E 在半圆上，求证：IG FD =．

小云发现连接已知点得到两条线段，便可证明IG FD =． 请回答：小云所作的两条线段分别是__________和___________， 证明IG FD =的依据是___________________________．

4.

小敏的作法如下：

老师说：“小敏的作法正确．”

A

C

B

请回答：小敏的作图依据是 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；对角线互相平分且相等的四边形

是矩形 ．

圆相关

1.小明四等分

AB ,他的作法如下：

（1）连接A 、B （如图）；

（2）作AB 的垂直平分线交AB 于点N ，交AB 于T ； （3）作∠BTN 与∠ATN 的角平分线，AB 于点M 、P 两点.． 那么Ｎ、M 、P 三点把AB 四等分.

3. 如图，有一木制圆形脸谱工艺品，H 、T 两点为脸谱的耳朵，打算在工艺品反面两耳之间的弧HT 的中点D 处打一小孔．现在只有一块无刻度单位的直角三角板（斜边大于工艺品的直径），请你用1种方法确定点D 的位置（画出图形表示），并且说明理由

_作OC 垂直于TH ，交TH 于C ，则C 点即为TH 的中点。依据：垂径定理。

4. （2016西城一模）已知O e ，如图所示．

（1）求作O e 的内接正方形（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

（2）若O e 的半径为4，则它的内接正方形的边长为_（作两条互相垂直的直径，分别交

圆于A ，C,B ，D ，则ABCD 为正方形）__24____________．

4.

老师认为小敏的作法正确.

请回答：连接OA,OB 后，可证?=∠=∠90OBP OAP ，其依据是直径所对的圆周角是90度 ；由此可证明直线PA,PB 都是⊙O 的切线，其依据是过半径外端且垂直于半径的直线是切线 .