初中数学专题讲义-数据的收集与整理

初中数学专题讲义-数据的收集与整理

一、课标下复习指南 (一)数据的收集和整理 1．全面调查与抽样调查

统计调查分全面调查和抽样调查两种，实际中常采用抽样调查的方式． (1)考察全体对象的调查属于全面调查．

(2)从总体中抽取样本进行调查，属于抽样调查．抽样调查是根据样本来估计总体的一种调查，简称抽查．抽查体现了用样本估计总体的思想．

(3)总体、个体及样本

总体：所要考察对象的全体，称为总体； 个体：总体中的每一个考察对象，称为个体；

样本：从总体中抽取的一部分个体，称为总体的一个样本． 样本中个体的数目称为样本容量．

说明 抽样调查是实际中应用非常广泛的一种调查方式，它是从总体中抽取样本进行调查，根据样本来估计总体的一种调查；常采用问卷调查等调查方式．

用划记法记录数据，通过表格整理数据，可以帮助我们找到数据的分布规律． 说明 对于不同的抽样，可能得到不同的结果． 2．频数与频率

(1)频数：落在不同小组中的数据个数称为该组的频数．

(2)频数与数据总数的比称为频率．频率反映了各组频数在总数中所占的百分比． 3．几种常见的统计图表

(1)条形图

将数据按要求分成若干小组，并用“划记”的方法统计出各小组的频数；再根据统计的频数画出条形图．

(2)扇形图

将数据按要求分成若干小组，统计出各小组的频数，并算出各组的频数占数据总数的百分比；画一个圆，并规定圆的面积表示100％；算出各百分数所对应的扇形的圆心角的度数，用量角器画出各扇形，并标出各百分数．

(3)折线图

以横轴表示统计的时间，纵轴表示数据，建立平面直角坐标系；在坐标平面内描点；用线段从左到右将这些点依次连接起来．

(4)频数分布直方图

用频数分布直方图描述数据的一般步骤为：计算最大值与最小值的差；确定组距与组数；决定分点；列数频分布表；画频数分布直方图．

①把数据按一定的规律分成组的个数为组数，每一组两个端点的差称为组距．

1+-=的整数部分组距最小值

最大值组数；

②数据分组时，对数据要遵循“不重不漏”的原则，既不能有一个数据同时落在两个组内重复出现的现象，也不能有一个数据不在任何组内的遗漏现象；

③频数分布直方图能够显示各组频数的分布情况，易于显示各组之间频数的差别． (5)频数折线图

频数折线图可以在频数分布直方图的基础上画出来．取频数分布直方图中每一个矩形上边的中点，然后在横轴上取两个频数为0的点，即在直方图的左边和右边各取一个频数为0

的点，再用线段从左到右将这些点依次连接起来．

说明 利用统计图表示经过整理的数据，能更直观地反映数据规律． (1)条形图：能显示具体数据，易于比较数据差别；

(2)扇形图：用扇形的面积占圆的面积的百分比表示部分在总体中所占百分比，易于显示每组数据相对于总体的大小；

(3)折线图：易于显示数据的变化趋势；

(4)直方图：能显示各组频数分布的情况，易于显示各组之间频数的差别． (二)数据的分析

1．平均数、众数与中位数

(1)算术平均数

).(1

21n x x x n

x +++=

Λ (2)加权平均数

如果一组数据中，x 1，x 2，x 3，…，x k 出现的次数分别是f 1，f 2，f 3，…，f k ，那么这组数

据的加权平均数?++++++++=k

k

k f f f f f x f x f x f x x ΛΛ321332211

(3)众数与中位数

①在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数(一组数据的众数有时不止一个)；

②将一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，把处在最中间的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数；

③众数、中位数和平均数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势． (4)平均数、中位数、众数的特征

①平均数、中位数和众数都是数据的代表，它们刻画了一组数据的平均水平； ②平均数容易受极端值的影响，而中位数则不能充分利用所有数据的信息，众数在各个数据的重复次数大致相等时往往没有特别的意义． 2．极差和方差、标准差

(1)极差：一组数据中数据最大值减去最小值的差叫做这组数据的极差．

①极差用来反映一组数据变化范围的大小，是刻画数据离散程度的最简单的统计量； ②极差受极端值的影响较大，不能反映中间数据的离散情况．

(2)方差：在一组数据x 1，x 2，x 3，…，x n 中，各数据与它的平均数x 的差的平方和的平均数叫做这组数据的方差，即

].)()()[(1

222212x x x x x x n

s n -++-+-=Λ

①方差是用来反映一组数据波动情况的特征数，常常用来比较两组数据的波动大小，方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小；

②方差的单位是原数据单位的平方．

(3)标准差：一组数据的方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，即.2s s =

*标准差的计算公式： ?-++-+-=

])()()[(1

22221x x x x x x n

s n Λ 说明 (1)一组数据的众数可以不唯一，但一定出现在这组数据中；而一组数据的其他

统计量都是唯一的，但未必出现在这组数据中；

(2)一组数据都在常数a 上下波动，即x'1＝x 1＋a ，x 2'＝x 2＋a ，…，x n '＝x n ＋a 时，平均数a x x ++'；方差s'2＝s 2．

二、例题分析

例1 下列调查方式，合适的是( )．

A ．要了解一批灯泡的使用寿命，采用普查方式

B ．要了解甘肃电视台“陇原风貌”栏目的收视率，采用普查方式

C ．要保证“神舟六号”载人飞船成功发射，对重要零部件的检查采用抽查方式

D ．要了解人们对环境的保护意识，采用抽查方式 解 D ．

说明 当一项调查具有破坏性或以现有的人力、物力、财力很难(或没有必要)进行普查时，就选择抽查，对像“神舟六号”重要零部件的检查这类调查则必须选择普查．

例2 某校对1200名女生的身高进行了测量，身高在1.58～1.63(单位：m)这一小组的频率为0.25，则该组的人数为( )．

A ．150人

B ．300个

C ．600人

D ．900人

分析 1200名女生就有1200个身高，故数据总数为1200．同理，该组的人数即为落在该组的数据个数，即该组的频数．由频率＝频数÷数据总数得，频数＝频率×数据总数＝0.25×1200＝300．故该组的人数为300人．故选B ．

说明 对频数与频率的考查大多数放置于数据处理的背景之下，侧重于对概念的理解与运用，单独考查时一般以填空和选择的题型出现，但更多的是与统计图等结合考查．

例3

A ．27℃，28℃

B ．27.5℃，28℃

C ．28℃，27℃

D ．26.5℃，27℃

分析 由上表可知，一共统计了7个数据，将它们按从小到大排列为25，26，27，27，28，28，28，第4个数据是27，故这组数据的中位数是27(℃)．又数据28出现的次数最多，所以众数是28(℃)．故选A ．

说明 (1)求中位数时，先看这组数据的个数是奇数还是偶数，然后将这组数据按从小到大的顺序排列．若有奇数个数据，则最中间那个数据就是这组数据的中位数；若有偶数个数据，则最中间两个数据的平均数即是这组数据的中位数；(2)求众数时，先数出各数据在这组数据中出现的次数，出现次数最多的数据就是这组数据的众数．有时一组数据的众数不只一个．

例4 某单位欲从内部招聘管理人员一名，对甲、乙、丙3名候选人进行了笔试和面试两项测试，3

图19－1

根据录用程序，组织200名职工对三人利用投票推荐的方式进行民主评议，三人得票率(没有弃权票，每位职工只能推荐1人)如图19－1所示，每得一票记作1分．

(1)请算出三人的民主评议得分；

(2)如果根据三颂测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用(精确到0.01)?

(3)根据实际需要，单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按的4∶3∶3比例确定个人成绩，那么谁将被录用?

解 (1)三人民主评议的得分分别为：甲200×25％＝50(分)，乙200×40％＝80(分)，丙200×35％＝70(分)．

(2)按三项平均成绩计算，甲的成绩是31(75＋93＋50)≈72.67，乙的成绩是3

1

(80＋70＋80)≈76.67，丙的成绩是

3

1

(90＋68＋70)＝76.00．乙的成绩最高，他将被录用． (3)若笔试、面试、民主评议三项测试得分按4∶3∶3的比例确定，三人的成绩分别为：

.9.723

343

50393475=++?+?+?=

甲x

.0.773

34380370480=++?-?+?=乙x

.4.77334370368490=++?+?+?=丙x

丙的成绩最高，他将被录用．

说明 (1)计算加权平均数，随着权数的不同，结果可能不同．权数最大的数据对平均数的结果影响最大；

(2)在实际问题中，往往采用加权平均数算法，而很少用算术平均数的算法．

例5 甲、乙两同学近期5次百米跑测试成绩的平均数相同，甲同学成绩的方差2

甲s ＝4，乙同学成绩的方差2

乙s ＝3.1，则对他们测试成绩的稳定性判断正确的是( )．

A ．甲的成绩较稳定

B ．乙的成绩较稳定

C ．甲、乙成绩的稳定性相同

D ．甲、乙成绩的稳定性无法比较

分析 因为方差越小，波动就越小，且2

甲s ＞2

乙s ，所以乙同学的成绩波动就小，即乙的成绩较稳定．故选B ．

说明 中考对极差、方差和标准差这三个统计量的考查，主要侧重于在实际情景中对其意义的理解，以及根据统计结果做出合理的判断和预测．

例6 某校从甲、乙两名优秀选手中选择一名选手参加全市中学生田径百米比赛，该校

预先对这两名选手测试了8狄，测试成绩如下表：(单位：

s)

1 2 3 4 5 6 7 8 甲选手的成绩 12.1 12.2 13.0 12.5 13.1 12.5 12.4 12.2 乙选手的成绩

12.0

12.4

12.8

13.0

12.2

12.8

12.3

12.5

根据测试成绩，请你运用所学过的统计知识做出判断，派哪一位选手参加比赛更好?为什么?

解 通过计算，可得甲x ＝12.5，乙x ＝12.5，2

甲s ＝0.12，2

乙s ＝0.1025．

∵甲x ＝乙x ，∴两位选手的平均成绩相等． 又∵2

甲s ＝2

乙s ，∴乙选手的成绩更稳定．

因此应该派乙选手去参加比赛．

说明 (1)当用求平均数的方法(包括众数和中位数)无法比较两组数据的集中趋势时，还要用方差(包括极差)进一步比较两组数据的波动情况；看谁的波动小，就说明谁更稳定．

(2)

分数 50 60 70 80 90 100 人 (1)班 3 5 16 3 11 12 数 (2)班

2

5

11

12

13

7

请你根据所学的统计知识，分别从①平均数；②众数；③方差等不同的角度判断，综合分析这两个班中哪个班的考试成绩更加优秀．

解 通过观察和计算，

九年级(1)班：平均数80，众数70，方差244； 九年级(2)班：平均数80，众数90，方差180．

从平均数看，两个班考试成绩相当，不分优劣；从众数看(2)班成绩较好；从方差看(2)班成绩较稳定；综上所述(2)班成绩更加优秀．

(3)比较的角度不同，所得结论不一定相同． 三、课标下新题展示

例7 某校为了解九年级学生体育测试成绩情况，以九年(1)班学生的体育测试成绩为样本，按A ，B ，C ，D 四个等级进行统计，并将统计结果绘成如下两幅统计图(见图19－2)，请你结合图中所给信息解答下列问题：

图19－2

(说明：A 级：90分～100分；B 级：75分～89分；C 级：60分～74分；D 级：60分以下)

(1)求出D 级学生的人数占全班总人数的百分比； (2)求出扇形统计图中C 级所在的扇形圆心角的度数； (3)该班学生体育测试成绩的中位数落在哪个等级内； (4)若该校九年级学生共有500人，请你估计这次考试中A 级和B 级的学生共有多少人? 解 (1)4％；(2)72°；(3)B ；

(4)依题意知：A 级和B 级学生的人数和占全班总人数的76％，500×76％＝380，所以估计这次考试中A 级和B 级的学生共有约380人．

例8 在第49届世界乒乓球锦标赛中，男子单打决赛在我国选手马琳和王励勤之间展开．双方苦战七局，最终王励勤以4∶3获得胜利．七局比分如下表：

(1))．

(2)信互动且预测结果正确的观众，都能参加“乒乓大礼包”的抽奖活动．据不完全统计，有32320名观众参与了此次短信互动活动，其中有50％的观众预测王励勤获胜．刘敏同学参加了本次“短信互动”活动，并预测了王励勤获胜，如果从中抽取20名幸运观众，并赠送“乒乓大礼包”一份，那么刘敏同学中奖概率有多大?

解 (1)马琳得分的众数为11；王励勤得分的平均数为9.7，中位数为11．

(2)根据题意，预测正确的观众总数为32320×50％＝16160，他们成为幸运观众的可能性相同，而幸运观众数为20，故刘敏中奖的概率为

?=808

1

1616020

四、课标考试达标题 (一)选择题

1．某课外兴趣小组为了解所在地区老年人的健康状况，分别作了四种不同的抽样调查．你认为抽样比较合理的是( )．

A ．在公园调查了1000名老年人的健康状况

B ．在医院调查了1000名老年人的健康状况

C ．调查了10名老年邻居的健康状况

D ．利用派出所的户籍网随机调查了该地区10％的老年人的健康状况

2．图19－3中，用来表示不同品种的奶牛的平均产奶量最为合适的是( )．

图19－3

3．某地今年1月1～4

日期1月1日 1月2日 1月3日 1月4日

最高

5℃4℃0℃4℃

气温

最低

0℃－2℃－4℃－3℃

气温

其中温差最大的是

A．1月1日B．1月2日

C．1月3日D．1月4日

4．已知样本x1，x2，x3，x4的平均数是2，则x1＋3，x2＋3，x3＋3，x4＋3的平均数为( )．A．2 B．2.75 C．3 D．5

5．数学老师对小明参加的四次中考数学模拟考试成绩进行统计分析，判断小明的数学成绩是否稳定，因此老师需要知道小明这四次数学成绩的( )．

A．平均数B．众数 C．中位数D．方差

6．在1000个数据中，用适当的方法抽取了50个数据作为样本进行统计．频率分布表中，在54.5～57.4这一组的频率是0.12，那么估计总体落在这一组之间的数据有( )．A．120个B．60个C．12个D．6个

(二)填空题

7．在扇形统计图中，占圆12％的扇形的圆心角是______°，圆心角是144°的扇形占它所在圆的面积的______(填百分数)．

8．班主任为了解学生周末在家的学习情况，家访了班内的六位学生，了解到他们在家的学

______．

学生姓名小丽小明小颖小华小乐小恩

学习时间

4 6 3 4

5 8

(小时)

9．数据－2，－1，0，1，2的方差是______．

10．某生物小组11人到校外采集植物标本，其中有2人每人采集到6件，有4人每人采集到3件，有5人每人采集到4件，则这个小组平均每人采集标本______件．

(三)解答题

11．宁波港是一个多功能、综合性的现代化大港，年货物吞吐量位居中国内地第二、世界排名第五，成功跻身于国际大港行列．如图19－4是宁波港1994年至2004年货物吞吐量

统计图．

图19－4

(1)从统计图中你能发现哪些信息，请说出两个；

(2)有人判定宁波港货物吞吐量每两年间的增长率都不超过30％，你认为他的说法正确

吗?请说明理由．

12．某校初一年级学生每人都只使用甲、乙、丙三种品牌中的一种计算器，图19－5是该年级全体学生使用3种不同品牌计算器人数的频率分布直方图．

图19－5

(1)求该校初一年级学生的总人数；

(2)你认为哪种品牌计算器的使用频率最高?并求出这个频率．

(3)通过以上统计结果，请你给为学校供货的商家提出一条进货的合理化建议．

参考答案

数据的收集与整理

1．D ． 2．D ． 3．D ． 4．D ． 5．D ． 6．A ． 7．43.2，40％． 8．4，4.5． 9．2． 10．4． 11．(1)略；

(2)不对；比如1994年到1996年的年增长率为30.6％，超过了30％． 12．(1)20＋60＋120＝200(人)；

(2)丙牌使用频率最高，为%100200

120

＝60％； (3)多进丙牌计算器．