立体几何题型总结

立体几何类型题

如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，

又

//AD BC ，AD DC ⊥， 且33PD BC AD ===. （Ⅰ）画出四棱准P ABCD -的正视图； （Ⅱ）求证：平面PAD ⊥平面PCD ；

并求

PE EB

（Ⅲ）求证：棱PB 上存在一点E ，使得//AE 平面PCD ，的值.

（Ⅰ）解：四棱准P ABCD -的正视图如图所示.

………………3分

（Ⅱ）证明：因为 PD ⊥平面ABCD ，AD ?平面ABCD ，

所以 PD AD ⊥. ………………5分 因为 AD DC ⊥，PD CD D =I ，PD ?平面PCD ，CD ?平面PCD ， 所以AD ⊥平面PCD . ………………7分 因为 AD ?平面PAD ，

所以 平面PAD ⊥平面PCD . ………………8分

（Ⅲ）分别延长,CD BA 交于点O ，连接PO ，在棱PB 上取一点E ，使得1

2

PE EB =.下证//AE 平面

PCD .

………………10分

因为 //AD BC ，3BC AD =，

所以 13OA AD OB BC ==，即12OA AB =.

所以 OA PE AB EB

=

. 所以 //AE OP . ………………12分 因为OP ?平面PCD ，AE ?平面PCD ，

所以 //AE 平面PCD . ………………14分

2如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，AD BC //，AB AD ⊥，

AD BC AB 2

1

==，PA ⊥底面ABCD ，过BC 的平面交PD 于M ，交PA 于

N （M 与D 不重合）

． （Ⅰ）求证：BC MN //； （Ⅱ）求证：CD PC ⊥

；

（Ⅲ）如果BM AC ⊥，求此时PM

PD

的值．

证明：（Ⅰ）因为梯形ABCD ，且AD BC //，

又因为?BC 平面PAD ，?AD 平面PAD ，

所以//BC 平面PAD ． 因为平面I BCNM 平面PAD =MN ， 所以BC MN //． ……………………4分 （Ⅱ）取AD 的中点Q ，连结CQ ．

因为AD BC //，AD BC 2

1

=

， 所以AQ BC //，且AQ BC =． 因为AB BC =，且AB AD ⊥， 所以ABCQ 是正方形． 所以BQ AC ⊥.

又因为BCDQ 为平行四边形，所以且//CD BQ 所以⊥CD AC ． 又因为PA ⊥底面ABCD ，

所以PA ⊥CD ． 因为A AC PA =I ，

所以⊥CD 平面PAC ， 因为PC ?平面PAC ，

所以⊥CD PC ． （Ⅲ）过M 作//MK PA 交AD 于K ，连结BK ．

因为PA ⊥底面ABCD ，

O

E

D C

B

A

P

C

N

M

P

D

B

A

K

A B

D

P

M

C

Q

A

B

D

P

M

C

A

B

C

C 1

A 1

B 1

M

所以MK ⊥底面ABCD ． 所以MK AC ⊥．

又因为BM AC ⊥，BM MK M =I ， 所以⊥AC 平面BMK ， 所以AC BK ⊥．

由（Ⅱ）知AC CD ⊥，

所以在平面ABCD 中可得BCDK 是平行四边形． 所以BC DK AK ==， 因为K 是AD 中点，

所以M 为PD 中点．

所以1

2PM PD

=

． 3如图，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD =60°，平面SAD ⊥平面ABCD ，SA=SD ，

E ，P ，Q 分别是棱AD ，SC ，AB 的中点． （Ⅰ）求证：PQ ∥平面SAD ； （Ⅱ）求证：AC ⊥平面SEQ ； （Ⅲ）如果SA=AB=2，求三棱锥S -ABC 的体积．

（Ⅰ）证明：取SD 中点F ，连结AF ，PF ．

因为 P ，F 分别是棱SC ，SD 的中点， 所以 FP ∥CD ，且FP =CD ．

又因为菱形ABCD 中，Q 是AB 的中点，

所以 AQ ∥CD ，且AQ =CD ．

所以 FP //AQ 且FP =AQ ． 所以 AQPF 为平行四边形． 所以 PQ //AF ．

又因为 平面，

平面，

所以 PQ //平面SAD ． …………………5分

（Ⅱ）证明：连结BD ，

因为 △SAD 中SA=SD ，点E 棱AD 的中点，

所以 SE ⊥AD ． 又 平面SAD ⊥平面ABCD ，

平面SAD 平面ABCD=AD ，

SE 平面，

所以 SE ⊥平面ABCD ， 所以SE ⊥AC ．

因为 底面ABCD 为菱形，

E ，Q 分别是棱AD ，AB 的中点， 所以 BD ⊥AC ，EQ ∥BD ．

所以 EQ ⊥AC ， 因为 SE EQ=E ，

所以 AC ⊥平面SEQ ． …………………11分

（Ⅲ）解：因为菱形ABCD 中，∠BAD =60°，AB=2，

所以=

． 因为SA=AD=SD=

2，E 是AD 的中点，所以SE ． 由（Ⅱ）可知SE ⊥平面ABC ，

所以三棱锥S -ABC 的体积 =． …………………14分

4．如图，在三棱柱11

1C B A ABC -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，M 为棱AC 中点. AB BC =，

2AC =，1AA ．

（Ⅰ）求证：1B C //平面1A BM ；

（Ⅱ）求证：1AC ⊥平面1A BM ；

（Ⅲ）在棱1BB 的上是否存在点N ，使得平面1AC N ⊥平面C C AA 11？如果存在，求此时

1

BN

BB 的值；如果不存在，说明理由．

（Ⅰ）连结1AB 交1A B 于O ，连结OM ．

在1B AC ?中，因为M ，O 分别为AC ， 1AB 中点， 所以OM //1B C ．

又因为OM ?平面1A BM ，1B C ?平面1A BM ， 所以1B C //平面1A BM ． ……………………4分

1

21

2

PQ ?SAD AF ?SAD I ?SAD I ABC S ?1

sin 2

AB BC ABC ??∠V 113

ABC S SE ??=O

M

B 1

A 1

C 1

C

B

A

（Ⅱ）因为侧棱1AA ⊥底面ABC ，BM

?平面ABC ，

所以1AA BM ⊥．

又因为M 为棱AC 中点，AB BC =， 所以BM AC ⊥． 因为1AA AC A =I ，所以BM

⊥平面11ACC A ．

所以1BM AC ⊥．

因为M 为棱AC 中点，2AC =，所以1AM =．

又因为1AA =1Rt ACC ?和1Rt A AM ?

中，11

tan tan AC C AMA ∠=∠=． 所以11AC C A MA ∠=∠，即111190AC C C AC A MA C AC ∠+∠=∠+∠=o

．

所以11A M AC ⊥． 因为1BM A M M =I ，

所以1AC ⊥平面1A BM ． ……………………10分 （Ⅲ）当点N 为1BB 中点时，即

11

2

BN BB =，平面1AC N ⊥平面11AAC C ． 设1AC 中点为D ，连结DM ，DN ． 因为D ，M 分别为1AC ，AC 中点，

所以DM //1CC ，且11

2

DM CC =．

又因为N 为1BB 中点，

所以DM //BN ，且DM BN =． 所以BM //DN ， 因为BM

⊥平面11ACC A ，

所以DN ⊥平面11ACC A ．

又因为DN ?平面1AC N ，所以平面1AC N ⊥平面11ACC A ． ……………………14分

M

B 1

A 1

C 1

C

B

A

D

N