立体几何题型归纳

立体几何题型归纳

题型一线面平行的证明

例 1 如图，高为 1 的等腰梯形 ABCD 中，AM ＝CD ＝1

AB ＝1.现将△AMD 沿 MD 折起，使平面 AMD ⊥

3 平面 MBCD ，连接 AB ，AC .

试判断：在 AB 边上是否存在点 P ，使 AD ∥平面 MPC ?并说明理由 【答案】当 AP ＝1

AB 时，有 AD ∥平面 MPC .

3 理由如下：

连接 BD 交 MC 于点 N ，连接 NP .

在梯形 MBCD 中，DC ∥MB ，DN ＝DC ＝1

，

NB MB 2

在△ADB 中，AP ＝1

，∴AD ∥PN .

PB 2 ∵AD ?平面 MPC ，PN ?平面 MPC ， ∴AD ∥平面 MPC .

【解析】线面平行，可以线线平行或者面面平行推出。此类题的难点就是如何构造辅助线。构造完辅助线， 证明过程只须注意规范的符号语言描述即可。本题用到的是线线平行推出面面平行。 【易错点】不能正确地分析 DN 与 BN 的比例关系，导致结果错误。

【思维点拨】此类题有两大类方法：

1. 构造线线平行，然后推出线面平行。

此类方法的辅助线的构造须要学生理解线面平行的判定定理与线面平行的性质之间的矛盾转化关系。在 此，我们需要借助倒推法进行分析。首先，此类型题目大部分为证明题，结论必定是正确的，我们以此 为前提可以得到线面平行。再次由线面平行的性质可知，过已知直线的平面与已知平面的交线必定平行 于该直线，而交线就是我们要找的线，从而做出辅助线。从这个角度上看我们可以看出线线平行推线面 平行的本质就是过已知直线做一个平面与已知平面相交即可。如本题中即是过 AD 做了一个平面 ADB 与平面 MPC 相交于线 PN 。最后我们只须严格使用正确的符号语言将证明过程反向写一遍即可。即先证AD 平行于 PN ，最后得到结论。构造交线的方法我们可总结为如下三个图形。

2. 构造面面平行，然后推出线面平行。

此类方法辅助线的构造通常比较简单，但证明过程较繁琐，一般做为备选方案。辅助线的构造理论同上。我们只须过已知直线上任意一点做一条与已知平面平行的直线即可。可总结为下图

例 2 如图，在几何体 ABCDE 中，四边形 ABCD 是矩形，AB ⊥平面 BEC ，BE ⊥EC ，AB ＝BE ＝EC ＝2， G ，F 分别是线段 BE ，DC 的中点．

求证：GF ∥平面 ADE ；

【答案】解法一：(1)证明：如图，取 AE 的中点 H ，连接 HG ，HD ，

又 G 是 BE 的中点， 所以 GH ∥AB ，且 GH ＝1

AB.

2 又 F 是 CD 的中点，

AD.

所以DF

＝1 CD.

2

由四边形ABCD 是矩形得，

AB∥CD，AB＝CD，

所以GH∥DF，且GH＝DF，

从而四边形HGFD 是平行四边形，所以GF∥DH.

又DH?平面ADE，GF?平面ADE，

所以GF∥平面ADE.

解法2：(1)证明：如下图，取AB 中点M，连接MG，MF.

又G 是BE 的中点，可知GM∥AE.

又AE?平面ADE，GM?平面ADE，

所以GM∥平面ADE.

在矩形ABCD 中，由M，F 分别是AB，CD 的中点得MF∥

又AD?平面ADE，MF?平面ADE，

所以MF∥平面ADE.

又因为GM∩MF＝M，GM?平面GMF，MF?平面GMF，

所以平面GMF∥平面ADE.

因为GF?平面GMF，所以GF∥平面ADE.

【解析】解法一为构造线线平行，解法二为构造面面平行。

【易错点】线段比例关系

【思维点拨】同例一

题型二线线垂直、面面垂直的证明

例1 如图，在三棱锥P-ABC 中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB=BC=2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．

(1)求证：PA⊥BD；

(2)求证：平面BDE⊥平面PAC

【答案】(1)证明：因为PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，

所以PA⊥平面ABC.

又因为BD?平面ABC，

所以PA⊥BD.

(2)证明：因为AB＝BC，D 为AC 的中点，

所以BD⊥AC.

由(1)知，PA⊥BD，又AC∩PA＝A，

所以BD⊥平面PAC.

因为BD?平面BDE，

所以平面BDE⊥平面PAC.

【解析】(一)找突破口

第(1)问：欲证线线垂直，应转化到证线面垂直，再得线线垂直；

第(2)问：欲证面面垂直，应转化到证线面垂直，进而转化到先证线线垂直，借助(1)的结论和已知条件可证；

(二)寻关键点

【易错点】规范的符号语言描述，正确的逻辑推理过程。

【思维点拨】(1)正确并熟练掌握空间中平行与垂直的判定定理与性质定理，是进行判断和证明的基础；在证明线面关系时，应注意几何体的结构特征的应用，尤其是一些线面平行与垂直关系，这些都可以作为条件直接应用．

(2)证明面面平行依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行．

(3)证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为

OA | OA |

证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中线、高线或添加辅助线解决．

(4) 证明的核心是转化，空间向平面的转化，面面?线面?线线．

题型三 空间向量

例 1 如图，四面体 ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD = ∠CBD ，AB=BD . (1)证明：平面 ACD ⊥平面 ABC ；

(2)过 AC 的平面交 BD 于点 E ，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角 D -AE -C 的余弦值．

【答案】(1)证明：由题设可得，△ABD ≌△CBD ，从而 AD ＝DC .

又△ACD 是直角三角形，所以∠ADC ＝90°.

取 AC 的中点 O ，连接 DO ，BO ，则 DO ⊥AC ，DO ＝AO . 又因为△ABC 是正三角形，所以 BO ⊥AC . 所以∠DOB 为二面角 D -AC -B 的平面角． 在 Rt △AOB 中，BO 2＋AO 2＝AB 2. 又 AB ＝BD ，

所以 BO 2＋DO 2＝BO 2＋AO 2＝AB 2＝BD 2， 故∠DOB ＝90°.

所以平面 ACD ⊥平面 ABC .

(2)由题设及(1)知，OA ，OB ，OD 两两垂直．以 O 为坐标原点，―→的方向为 x 轴正方向， ―→

为单 位长度，建立如图所示的空间直角坐标系 O -xyz ，则 A (1,0,0)，B

(0， 3，0)，C (－1,0,0)，D (0,0,1)．

由题设知，四面体 ABCE 的体积为四面体 ABCD 1 的体积的 2

，从而 E 到平面 ABC 的距离为 D 到平面 ABC

1

―→ ―→ ―→

1的距离的 ，即 E 为 DB 的中点，得 2

2 故 AD ＝(－1，0,1)，

AC ＝(－2,0,0)， AE 2 设 n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面 DAE 的法向量， ―→ · AD ＝0， ―→ x 1＋z 1＝0， x 11＋1z 1＝0. · AE ＝0， 2 2

可取 n 3 设 m ＝(x 2，y 2，z 2)是平面 AEC 的法向量， ―→ · AC ＝0， ―→ 2x 2＝0，

x 22＋1z 2＝0，

· AE ＝0，

2 2

可取 m ＝(0，－1， 3)．

则 cos 〈n ，m 〉＝ n ·m |n ||m | 2

3 由图知二面角 D -AE -C 为锐角， 所以二面角 D -AE -C 7 【解析】(一)找突破口

第(1)问：欲证面面垂直，应转化去证线面垂直或证其二面角为直角，即找出二面角的平面角，并求其大小为 90°；

第(2)问：欲求二面角的余弦值，应转化去求两平面所对应法向量的夹角的余弦值，即通过建系，求所对应法向量来解决问题．

(二)寻关键点

【易错点】正确建立空间直角坐标系，确定点的坐标，平面法向量的计算。

【思维点拨】1．利用空间向量求空间角的一般步骤

(1)建立恰当的空间直角坐标系；

(2)求出相关点的坐标，写出相关向量的坐标；

(3)结合公式进行论证、计算；

(4)转化为几何结论．

2．求空间角应注意的3 个问题

(1)两条异面直线所成的角α不一定是直线的方向向量的夹角β，即cos α＝|cos β|.

(2)直线与平面所成的角的正弦值等于平面的法向量与直线的方向向量夹角的余弦值的绝对值，注意函数名称的变化．

(3)两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能为两法向量夹角的补角．