初一 升初二数学衔接

20XX 年秋季初一升初二数学衔接·第9讲

——轴对称和轴对称图形（八年级12章）

【知识要点】

如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能完全重合，那么称两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴．

角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 等腰三角形是轴对称图形． 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴．

等腰三角形的两个底角相等．

如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等．

对应点所连的线段被对称轴垂直平分． 对应线段相等，对应角相等． 【典型例题】

例1 下列的对称图形各有几条对称轴？请画出它们的对称轴．

分析：如果一个图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就是轴对称图形．这条直线就是对称轴．

解：图（1）有3条对称轴；图（2）有6条对称轴；图（3）有5条对称轴；

图（4）有4条对称轴；图（5）有1条对称轴；图（6）有2条对称轴． 画出对称轴如下列所示：

例2 已知等腰梯形两个内角之比为1：4，求这个等腰梯形的顶角．

分析：因为等腰三角形两底角相等．可设三角形两内角分别是x 度、4x 度，那么另一个角可能是x 度或4x 度，由三角形内角和为180o，可求解． 自我解答：

解：设这个等腰三角形两个内角分别是x 度、4x 度． （1）若x 度的角为顶角时，

因为等腰三角形两底角相等，则这个三角形的第三个角是4x 度， 由x ＋4x ＋4x ＝180o，求得x ＝20o， ∴顶角为20o；

（2）若4x 度的角为顶角，则这个三角形的第三个角是x 度， 由4x ＋x ＋x ＝180o，求得x ＝30o，则4x ＝120o， ∴顶角为120o； 例3 如图，△ABC 中，AB ＝AC ，EF 是腰AB 的垂直平分线，交另一腰AC 于点D ，若BD ＋CD ＝10cm ，求AB 的长．

分析：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，知AD ＝BD ． 自我解答：

解：∵EF 是AB 的垂直平分线，且D 是EF 上一点，

∴AD ＝BD （线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等） ∴AC ＝AD ＋CD ＝BD ＋CD ＝10cm ， ∵AB ＝AC ， ∴AB ＝10cm ．

例4 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 边上的中点，∠B ＝30o．求∠BAD 和∠ADC 的度数．

分析：由题知△ABC是等腰三角形，由“三线合一”知，AD是△ABC底边BC 上的中线，它又是底边上的高，还是顶角的平分线．

自我解答：

解：∵AB＝AC，D是BC边上的中点，

∴AD是等腰△ABC底边BC上的中线，

∴AD也是BC边上的高，又是∠BAC的角平分线，（“三线合一”）

即∠ADC＝90o，∠BAD＝∠CAD，

又∵∠B＝30o，

∴∠C＝30o（等腰三角形两底角相等），

∴∠BAC＝180o－30o－30o＝120o，

∴∠BAD＝60o．

例5 如图，已知：△ABC和直线l．画出△ABC关于直线l的对称图形．

分析：要画出△ABC关于直线l的对称图形，只需先作出点A、B、C关于直线l 的对应点，再连接成三角形即可．

自我解答：解：如图，（1）画出点A、B、C关于直线l的对应点C

B

A'

'

'、

、；

（2）连接C

A

C

B

B

A'

'

'

'

'

'、

、．△C

B

A'

'

'就是所画的三角形．

例6 如图，在△ABC中，∠C＝90o，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，BD＝2CD，BC＝30cm，求DE的长．

分析：由角平分线的性质，可知DE＝CD，求出CD即可．

自我解答：

解：∵AD平分∠BAC，且∠C＝90o，DE⊥AB，

∴DE＝CD（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）

∵BC＝30，BD＝2CD，

∴CD＝10，

∴DE＝10（cm）．

说明：运用角平分线性质时，必须强调条件“到角两边的距离”．

20XX年秋季初一升初二数学衔接·第9讲

——轴对称的应用（八年级12章）【知识要点】

一、作一个简单图形关于某直线的对称图形

1．作一点P关于直线l的对称点：

①若点P在直线l上，则点P关于直线l的对称点就是它本身；

②若点P在直线l外，则通过点P作直线l的垂线段并延长，在直线l的另一侧取点，使之与直线l的距离与点P到直线l的距离相等．

2．作一个简单图形关于直线l的对称图形：

找出该图形的几个关键点，作出这些关键点关于直线l的对称点，再按原图形连结．

二、镜面对称

对于水平放置在镜面前的图形，若它有一条与水平方向且与镜面平行的对称轴时，镜中的像与原来一样；

对于正对镜面放置的图形，若它有一条竖直方向的对称轴，镜中的像就和原来一样．

物体正镜面放置时，镜中像的左右顺序与原图形左右顺序相反．

三、学习建议

对于这部分内容的学习，同学们要结合生活中的大量实例来理解、掌握轴对称的性质，同时要积极开动脑筋，多动手操作．通过收集、整理中国民间剪纸艺术、镶边图案，体会数学知识在实际生活中的广泛应用及期丰富的文化价值．

【典型例题】

例1 已知△ABC，直线l，画出△ABC关于直线l对称的三角形．

l

B

解：作图步骤如下：

l

B'

⑴画出点A、B、C关于直线l的对称点A’、B’、C’；

⑵连结A’B’，B’C’，C’A’．

△A’B’C’就是△ABC关于直线l对称的三角形．

例2 在河岸同旁有两个居民点A、B，如图所示，现需在河岸边修一水泵站向两居民点送水，为了使所用的输水管最短，请你确定水泵站应建在河边的哪一个位置，并说明理由．

河岸

A

B

解：如下图所示，先作出点A关于河岸的对称点A’，边接A’B，与河岸线交于点P，则点P满足条件．

河岸

A'

河岸

理由如下：在l 上任取一异于点P 的点P ’，因A 、A ’关于l 对称，由轴对称性质可

知，l 是AA ’的垂直平分线，则有PA ＝PA ’，P ’A ＝P’A’．所以PA ＋PB ＝PA ’＋PB ＝A ’B ，由三角形三边关系可知，P’A’＋ P’B

＞B A’，所以点

P 为所求的点．

例3 下列图形都是正多边形，它们是轴对称图形吗？若是，数一数它们各有多少

条对称轴，并将结果填入下表中．

你能根据上表，猜想正多边形的边数与对称轴条件之间的关系吗？ 解：它们都是轴对称图形，对称轴的条数如下表所示：