第三章模糊推理1

第三章 模糊推理 §3.1 模糊推理

一、模糊条件语句 （一）模糊语言 1．模糊语言定义

带有模糊性的语言。如“小王很年轻”、“今天是个好天气”等。 定义：由4个参数U 、T 、E 、N 描述的系统，即

L=（U ，T ，E ，N ）

其中：U ——语言主体的全体，即论域。

T ——词或项的模糊集合，称为项集合，分为原子词与合成词，原子词如：人、狗，黑，快、美丽等不可再分解；合成词如：红花，可分解成“红”、“花”两个原子词。

E ——名词记号间的连接总和，称其为对T 的嵌入集合。T 是E 的模糊子集。E 对T 有：

]1,0[:→E T μ

即词)(E x x ∈对T 的隶属函数)(x T μ定义在闭区间[0，1]之内。 N ——是E 对U 的模糊关系。称其为命名关系，有：

]1,0[:→?U E N μ

即隶属函数]1,0[),(∈y x N μ是U y E x ∈∈,两个变量的函数。

例：设x 为单词“高个子”，y 为成年男子的身高（cm ），则有：

）

高个，155(N μ=0.2

）高个，163(N μ=0.5 ）高个，177(N μ=0.9 ）

高个，190(N μ=1 2．语言变量

以自然语言中的字或句，而不是以数做值的变量，如：年龄、大小、高低、快慢等。

定义：语言变量由一个五元体（N ，U ，T （N ）、G ，M ）来表征，其中：

（1）N 是语言变量名称，如年龄、大小等。 （2）U 是N 的论域。

（3）T （N ）是语言变量值X 的集合，其中每个X 都是论域U 上的模糊集合，如：

T （N ）=T （年龄）

=“很年轻”+“年轻”+“中年”+“较老”+“很老” =54321X X X X X ++++

（4）G 是语法规则，用于产生语言变量N 的值X 的名称，研究原子词构成合成词后词义的变化，并求取其隶属函数，如：

否定词“非”的隶属函数：A A ~~1μμ-= 连结词“或”的隶属函数：B A B A ~~~~μμμ∨= 连结词“与”的隶属函数：B A

B A ~~~~μμμ∧= 修饰词“极”、“非常”、“相当”、“比较”、“略”、“稍微”的隶属函数：

4~~A A

μμ=极、2~~A A μμ=非常、25.1~~A A μμ=相当、75.0~~A A μμ=比较、5.0~~A A μμ=略、25

.0~~A

A μμ=稍微 上述加重或减弱语气的词可视为一种模糊算子，其中“极”、“非常”、“相

当”称为集中化算子，“比较”、“略”、“稍微” 称为散漫化算子，二者统称为语气算子。

例：查德在论域U=[0，100]岁内给出了“年龄”的语言变量值“老”的模糊子集隶属函数为：

??

???

≥-+<=-50,)550(11

50,0)(2

~x x x x 老μ

现以60岁为例，通过隶属函数分别计算它属于“极老”、“非常老”、“相当老”、“比较老”、“略老”、“稍微老”的程度为：

4~~]60[60）（）（老老极μμ==4

8.0）（=0.41 2~~]60[60）（）（老老非常μμ==28.0）（=0.64 25.1~]60[60）（）（老相当老μμ==25.18.0）（=0.757 75.0~~]60[60）（）（老老比较μμ==75.08.0）（=0.845 5.0~~]60[60）（）（老老略μμ==5.08.0）（=0.89 25.0~~]60[60）（）（老老稍微μμ==

25

.08.0）（=0.946 （5）M 是语义规则，根据语义规则给出模糊子集X 的隶属函数。 （二）模糊语句 1．模糊直言语句

句型：“A ~是1~

A ”

A ~

是对象的名称。

1~

A 是论域U 上的一个模糊子集。

例：“A ~

是非常小”是一个模糊直言语句，其中模糊子集“非常小”可由论域

U=｛1，2，3，4，5｝上的模糊子集5

2

.044.036.028.011~

++++

=小求得，即： 2~~~~）小（小常非==5

04

.0416.0336.0264.011~++++

=小 2．模糊条件语句 常用句型：

（1）若“A ~

则B ~

”型，记为if A ~

then B ~

。

例如：对加热炉的炉温控制者，控制策略为“若温度偏低，则增加燃料量”。

A ~和

B ~

为不同论域上的模糊集合。

（2）若“A ~则B ~否则C ~”型，记为if A ~ then B ~ else C ~

。

例如：控制策略为“若温度偏低，则增加燃料量, 否则减少燃料量”。

B ~和

C ~为同一论域上的模糊集合，A ~与B ~

、C ~的论域不同。

（3）若“A ~且B ~则C ~”型，记为if A ~ and B ~ then C ~

。反映双输入单输出的一种控制策略。

例如：控制策略为“若温度偏低（A ~

），且温度有继续下降趋势（B ~

），则增加燃料量”（C ~

）。

A ~、

B ~

、C ~分属三个不同的论域。

（4）复杂控制策略

双输入双输出：若“A ~且B ~则C ~则D ~

”

if A ~ and B ~ then C ~ else D ~

双输入三输出:若“A ~且B ~则C ~则D ~则E ~

”

if A ~ and B ~ then C ~ else D ~ else E ~

二、模糊推理

推理方式：直接推理、演绎推理、归纳推理、类比推理等。 （一）假言推理

假言推理属于演绎推理，是最常用的一种方法。 基本规则： 若A ，则B ； 如今A ； 结论B 。

例：A 为“小王住院”，B 为“小王生病”，如今“小王住院”为真，结论“小王生病”也真。 （二）模糊推理 1．模糊假言推理

上述命题A 、B 是指精确事件，若在模糊情况下，A ~

与B ~

为模糊命题，代表模糊事件，不能用传统的形式逻辑中的假言推理方法进行推理，查德提出了以下近似推理理论。

若“A ~

则B ~

”型，记为if A ~

then B ~

设X 和Y 是两个各自具有基础变量x 和y 的论域，其中模糊集合X A ∈~

及

Y B ∈~的隶属函数分别为)(~x A μ及)(~y B μ。又设B

A R ~~~→是Y X ?论域上描述模糊条件语句“若A ~则

B ~

”的模糊关系，其隶属函数为：

)](1[)]()([),(~~~~~x y x y x A

B A B A

μμμμ-∨∧=→ 模糊关系B

A R ~~~

→可写成： ]~[]~~[~

~~E A B A R B

A ??=→ 其中E 为代表全域的全称矩阵。

近似推理情况下的假言推理逻辑结构：

若A ~则B ~

；

如今1~

A ；

结论B

A R A

B ~~11~

~~→= 。 其中B

A R A

B ~~11~

~~→= 表征合成推理规则，算符“ ”代表合成运算。推理合成规则是假言推理的近视推广。

例：设论域X =54321a a a a a ++++和Y =54321b b b b b ++++上的模糊子集

A ~=小~=2

15.01a a +及B ~=大~=5411b b +，Y X ?上的模糊关系为“若x 小，则y 大”（即

若A ~则B ~

）。求通过模糊假言推理确定，与“x 为较小”即与模糊集合

1~A =小较~~=3

212.04.01a a a ++

对应的模糊集合1~

B 。 解：（1）计算模糊关系B

A R ~~~

→，即： ]~

[]~~[~

~~E A B A R ??=→ 大

小=[][]111111115.0015.00000005.01???????

?

????????∨????????????????

=????????????????∨????????????????1111111111111115.05.05.05.05.000000000

00

00000000005.05.00

0015.0000=???

??

??

?

????????1111111111111115.05.05.05.05.015.0000

（2）由已知1~A 及模糊关系B

A R ~~~→的合成运算，求1~

B ： 大

小

~~11~~~

→=R A B =

[][]15.04.04.04.01111111111111115.05.05.05.05.015.0000

002.04.01=?????

??

?????????

与大~

=[0 0 0 0.5 1]相比较，可得出： 1~

B =大较~

~。

2．模糊条件推理

（1）若“A ~

则B ~

”型，模糊条件语句“if A ~

then B ~

” 的模糊条件推理

即为上述推理过程。

（2）若“A ~

则B ~否则C ~”型，模糊条件语句“if A ~ then B ~ else C ~

”的模糊条件推理

设A ~

是论域X 上的模糊子集，B ~

及C ~是论域Y 上的模糊子集，则“if A ~

then B ~ else C ~”在论域Y X ?上的模糊关系R ~

为：

]~~[]~

~[~C A B A R ??=

基于推理合成规则，根据模糊关系R ~求得与已知模糊集合1~

A 对应的模糊集合1~

B 为：

R A B ~

~~11 =

（3）若“A ~且B ~则C ~”型，模糊条件语句“if A ~ and B ~ then C ~

” 的模糊条件推理

设A ~、B ~

和C ~分别是论域X 、Y 和Z 上的

模糊子集（一般A ~、B ~

是模糊控制器的输入模

糊集合，C ~

是其输出模糊集合，双输入单输出

系统，常用，如图。例如A ~

是过程误差信号论域上的模糊子集,E ~

、B ~

是其误

A 双输入单输出系统

（E）

差变化率信号论域上的模糊子集C E ~、C ~

是其模糊控制器输出信号论域上的模糊子集U ~

），则“if A ~

and B ~

then C ~”所决定的为三元模糊关系R ~

，即：

C B A R T ~]~

~[~1??=

其中1

]~~[T B A ?为由模糊关系矩阵m n B A ??]~

~[构成的nm 维列向量，n 和m 分别为

模糊集合1~A 和1~

B 的论域元素数目。

（注意： 1T 是变成nm 维列向量符号）

基于推理合成规则，根据模糊关系R ~

求得与给定输入模糊集合1~A 及1~

B 对应的输出模糊集合1~

C ，即为：

R B A C T ~

]~~[~2111 ?=

其中2

]~~[11T B A ?为由模糊关系矩阵m n B A ??]~

~[11构成的nm 维行向量。

（注意： 2T 是变成nm 维行向量符号）

例：设论域X ={}321,,a a a 、Y ={}321,,b b b 、Z ={}21,c c ，已知模糊集合：

A ~=3

211

.015.0a a a +

+，X A ∈~ B ~=3

216.011.0b b b +

+，Y B ∈~ C ~=2

114.0c c +， Z C ∈~

试确定模糊条件语句“if A ~ and B ~ then C ~”所决定的模糊关系R ~

，并计算由给定输入模糊集合：1~

A =3211.05.01a a a ++及1~

B =3

211

5.01.0b b b ++决定的输出模糊集合1~

C 。

解：（1）计算模糊关系R ~

(a)计算A ~与B ~

的笛卡儿积（取小原则）：

B A ~~?[]6.011.01.015.0??????????=????

?

?????=1.01.01.06.011.05.05.01.0

(b) 将A ~

与B ~

笛卡儿积写成列向量：

1

)~

~(T B A ?=1

91.01.01.06.011.05.05.01.0????????

?????????????????????

(c) 由1

)~~(T B A ?和C ~计算模糊关系R ~

C B A R T ~]~

~[~1??==????????????????????????????1.01.01.06.011.05.05.01.0[]14.0=?????????????

?

?????????????

?1.01.01.01.01.01.06.04

.014.01.01.05.04.05.04.01.01.0 （2）基于推理合成规则，求取1~

C (a)计算1~

A 与1~

B 的笛卡儿积

11~~B A ?=[]????

?

?????=??????????1.01.01.05.05.01.015.01.015.01.01.05.01

(b) 将11~

~B A ?写成行向量：

[]91111.01.01.05.05.01.015.01.0]~

~[2?=?T B A

（c ）由2

)~~(11T B A ?和模糊关系R ~计算输出模糊集合1~

C

R B A C T ~]~~[~2111 ?=

[]???????

?

?????

???????????????=1.01.01.01.01.01.06.04.014.01.01.05.04.05.04.01.01.01.01.01.05

.05

.01.015.01.0 []5.04.0=

即：1~

C =

2

15

.04.0c c +

注意：当模糊子集A ~

和B ~

的论域元素相同时，还可通过下列关系进行推理：

)~~()~~(~C B C A R ??=

)~~()~~(~111R B R A C =

对上例有：

)~~()~~(~C B C A R ??= =[]????????????????????14.01.015.0[]????????????????????∧14.06.011.0 ????

?

??

???=??????????∧??????????=1.01

.014.01.01

.06.04.014.01.01

.01.01

.014.05.04

.0

)~~()~~(~111R B R A C ==[][]??

??

?

???????????????∧????????????????????1.01.014.01.01.015.01.01.01.014.01.01.01.05.01 =[][]5.04.05.04.0∧=[]5.04.0 结果相同。