第1章题解( 2010姚四版)

第一章 光的干涉

1.1 波长为500nm 的绿光投射在间距d 为0.022cm 的双缝上，在距离180cm 处的光屏上形成干涉条纹，求两个亮条纹之间的距离。若改用波长为700nm 的红光投射到此双缝上，两个亮条纹之间的距离又为多少？算出这两种光第2级亮纹位置的距离。

解：由条纹间距公式0

1j j r y y y d

λ+?=-=

得 7011180500100.4090.022r y cm d λ-?=

=??= 7022180700100.5730.022

r y cm d λ-?=

=??= 0

212

120.4090.818r y j cm d

λ==?= 0

222

220.573 1.146r y j cm d

λ==?= 22221 1.1460.8180.328j y y y cm ?=-=-=

1.2 在杨氏实验装置中，光源波长为640nm ，两狭缝间距为0.4mm ，光屏离狭缝的距离为50cm 。试求：(1)光屏上第1亮条纹和中央亮条纹之间的距离；(2)若p 点离中央亮条纹为0.1mm ，问两束光在p 点的相位差是多少？(3)求p 点的光强度和中央点的强度之比。

解：(1)由公式λd

r y 0

=

? 得52050 6.4108.0100.4

r y cm d λ--?=

=??=? (2)由课本第20页图1-2的几何关系可知

52100.01sin tan 0.040.81050

y r r d d d cm r θθ--≈≈===? 5215

22()0.8106.4104

r r πππ?λ

--?=

-=

??=? (3)由公式

22

22

121212cos 4cos 2

I A A A A A ?

??=++?=得

22

221222220

00

114cos cos 1cos 2244cos 0.8536cos 0824cos

2

p p A I A I A A ?πππ??+=======?

1.3 把折射率为1.5的玻璃片插入杨氏实验的一束光路中，光屏上原来第5级亮条纹所在的位置为中央亮条纹，试求插入的玻璃片的厚度。已知光波长为

7610m -?

解：未加玻璃片时，1S 、2S 到P 点的光程差，由公式

r

?πλ

??＝2可知为 215252r r r λ

πππ

?=-=

??= 现在1S 发出的光束途中插入玻璃片时，P 点的光程差为

()'210022r r h nh λλ

?ππ

-+=

?=?=???? 所以玻璃片的厚度为

42151061010.5

r r h cm n λ

λ--=

===?- 1.4 波长为500nm 的单色平行光射在间距为0.2mm 的双狭缝上。通过其中一个缝的能量为另一个的2倍，在离狭缝50cm 的光屏上形成干涉图样。求干涉条纹间距和条纹的可见度。

解：60500

50010 1.250.2

r y mm d λ-?=

=??= 122I I = 22

12

2A A =

1

2

A A =

122

1220.94270.94121A A V A A ?? ???∴===≈+??

+ ???

1.5 波长为700nm 的光源与菲涅耳双镜的相交棱之间距离为20cm ，棱到光屏间的距离L 为180cm ，若所得干涉条纹中相邻亮条纹的间隔为1mm ，求双镜平面之间的夹角θ。

解：()()64200180070010sin 351012'222001

r L r y

λθθ--++??====?≈???弧度

1.6 在题1.6图所示的劳埃德镜实验中，光源S 到观察屏的距离为1.5m ，到劳埃德镜面的垂直距离为2mm 。劳埃德镜长40cm ，置于光源和屏之间的中央。(1)若光波波长λ=500nm ，问条纹间距是多少？(2)确定屏上可以看见条纹的区域大小，此区域内共有几条条纹？(提示：产生干涉的区域P 1P 2可由图中的几何关系求得)

解：(1)干涉条纹间距601500

500100.18754

r y mm d λ-?=

=??= (2)产生干涉区域12PP 由图中几何关系得：设2P 点为2y 位置，1P 点位置为1y ，则干涉区域

21y y y =-

()()()()()()2020000111

2

'tan '122

'2

'215004003800 3.4552'150********

d y r r r r r r r r d mm r r α=

-=-?-++====-- ()()()()()()10100001

11

2

'tan '122

'2

'21500400 1.162'1500400d y r r r r r r d r r mm r r α=

-=----===++ 21 3.46 1.16 2.30y y y mm =-=-= 劳埃镜干涉存在半波损失现象y N y

∴?暗＝

2.3111121110.1875

y N N y =-=

-=-=-=?亮暗条亮纹 1.7 试求能产生红光(λ=700nm)的二级反射干涉条纹的肥皂膜厚度。已知肥皂膜折射率为1.33，且平行光与发向成30°角入射。

解：根据题意

解：2

22

sin 222

12

2λ

λ

θj

n n d =+

-

2

)12(sin 22212

2λ

θ-=-j n n d .....2,1=j

取2=j

()

nm d 42630

sin 33.141220

22=--?=

λ

或2

22sin 222

12

2λ

λ

θj

n n d =-

-

2

)

12(sin 222

12

2λ

θ+=-j n n d .....2,1,0=j

取1=j

()

nm d 42630

sin 33.141120

2

2

=-+?=

λ

1.8 透镜表面通常镀一层如MgF 2(n=1.38)一类的透明物质薄膜，目的是利用干涉来降低玻璃表面的反射。为了使透镜在可见光谱的中心波长(550nm)处产生极小的反射，则镀层必须有多厚？

解：可以认为光是沿垂直方向入射的。即120i i ==

由于上下表面的反射都由光密介质反射到光疏介质，所以无额外光程差。 因为光程差22cos 2nh i nh δ==

如果光程差等于半波长的奇数倍即公式()212

r j λ

?=+，则满足反射相消的条

件，因此有()2212

nh j λ

=+

所以()()210124j h j n

λ

+=

=，

，… 当0j =时厚度最小5min 550

99.641044 1.38

h nm cm n

λ

-=

=

=≈?

1.9 在两块玻璃片之间一边放一条厚纸，另一边相互压紧。玻璃片长10cm ，纸厚为0.05mm ，从60°的反射角进行观察，问在玻璃片单位长度内看到的干涉条纹数目是多少？设单色光源波长为500nm 。

解：由课本49页公式(1-35)可知斜面上每一条纹的宽度所对应的空气劈尖的厚度的变化量为

1-j j h h h λ+?==

=

=

如果认为玻璃片的厚度可以忽略不计的情况下，则上式中1211,60o n n i === 而厚度h 所对应的斜面上所包含的条纹数为

-70.05

100500010h h N h λ=

===?? 故玻璃片上单位长度的条纹数为

'-11001010

N N l =

== 条厘米 1.10 在上题装置中，沿垂直于玻璃片表面的方向看去，看到相邻两条暗纹间距为1.4mm 。—已知玻璃片长17.9cm ，纸厚0.036mm ，求光波的波长。

解：依题意，相对于空气劈的入射角2220,cos 1,sin tan , 1.0d

i i n L

θθ====

=

222cos 22L L n i d

λλλ

θθ∴?===

4220.036 1.4

5.63128491610563.13179

d L mm nm L λ-???∴=

==?=

1.11 波长为400 760nm 的可见光正射在一块厚度为1.2×10-6m ，折射率为1.5玻璃片上，试问从玻璃片反射的光中哪些波长的光最强。

解：依题意，反射光最强即为增反膜的相长干涉，则有：

()212

d j λ

δ=+2=2n

故2421

n d

j λ=

+ 当0j =时，3244 1.5 1.2107200n d nm λ-==???=

当1j =时，3

4 1.

5 1.21024003nm λ-???＝

＝ 当2j =时，3

4 1.

5 1.21014405nm λ-???＝

＝ 当3j =时，3

4 1.

5 1.21010707nm λ-???＝

＝ 当4j =时，3

4 1.

5 1.2108009nm λ-???＝

＝ 当5j =时，3

4 1.

5 1.210654.511nm λ-???＝

＝ 当6j =时，3

4 1.

5 1.210553.813nm λ-???＝

＝ 当7j =时，3

4 1.

5 1.21048015nm λ-???＝

＝ 当8j =时，3

4 1.

5 1.210423.517nm λ-???＝

＝ 当9j =时，3

4 1.

5 1.21037819

nm λ-???＝

＝

所以，在390～760的可见光中，从玻璃片上反射最强的光波波长为423.5nm 、480nm 、553.8nm 、654.5nm 。

1.12 迈克耳孙干涉仪的反射镜M 2移动0.25mm 时，看到条纹移过的数目为909个，设光为垂直入射，求所用光源的波长。

解：根据课本59页公式可知，迈克尔孙干涉仪移动每一条条纹相当h 的变化为()212

22

12cos 2cos 2cos j j h h h i i i λλλ

+?=-=

-

=

现因20i =，故2

h λ

?=

909N =所对应的h 为2

N h N h λ

=?=

故4220.25 5.510550909

h mm nm N λ-?===?=

1.13 迈克耳孙干涉仪平面镜的面积为4×4cm 2，观察到该镜上有20个条纹。当入射光的波长为589nm 时，两镜面之间的夹角为多大？

解：244S cm =?

440L cm mm ∴==

40220

L L mm N ∴?=

== 又2L λθ

?=

()6

6

589147.251030.37"22210

rad L

λ

θ-∴=

=

=?=???

1.14 调节一台迈克耳孙干涉仪，使其用波长为500nm 的扩展光源照明时会出现同心圆环条纹。若要使圆环中心处相继出现1000条圆环条纹，则必须将移动一臂多远的距离？若中心是亮的，试计算第一暗环的角半径。（提示：圆环是等倾干涉图样。计算第一暗环角半径是可利用θ≈sin θ及cos θ≈1－θ2/2的关系。）

解：(1)因为光程差δ每改变一个波长λ的距离，就有一亮条纹移过。 所以N δλ?＝

又因为对于迈克尔孙干涉仪光程差的改变量2d δ??＝(d ?为反射镜移动的距离)

所以2N d δλ?==? 所以4100050025100.2522

N d nm mm λ?=

=?=?= (2)因为迈克耳孙干涉仪无附加光程差 并且120i i == 12 1.0n n ==

它形成等倾干涉圆环条纹，假设反射面的相位不予考虑 所以光程差2122cos 22d i d l l δ===-即两臂长度差的2倍 若中心是亮的，对中央亮纹有：2d j λ= (1) 对第一暗纹有：()22cos 212

d i j λ

=- (2)

(2)－(1)得：()

221cos 2

d i λ

-

2

222

2

22222sin 4sin 42222i i i d d d di λ??=≈== ???

所以20.032 1.8i rad =

=

== 这就是等倾干涉条纹的第一暗纹的角半径，可见2i 是相当小的。

1.15 用单色光观察牛顿环，测得某一亮环的直径为3mm ，在它外边第5个亮环的直径为4.6mm ，所用平凸透镜的凸面曲率半径为1.03m ，求此单色光的波长。

解：对于亮环，有)0,1,2,j r j =

=…

所以212j r j R λ?

?=+ ???

25152j r j R

λ+??=++ ??? 所以22

22

22

5544.6 3.0 5.90310590.3545451030

j j j j

r r d d mm nm R

R λ++----=

===?=????

1.16 在反射光中观察某单色光所形成的牛顿环。其第2级亮环与第3级亮环间距为1mm ，求第19和20级亮环之间的距离。

解：对于亮环，有

0,1,2j r j =

=…）

所以1r =

2r =

又根据题意可知

211r r mm -=

= 两边平方得

53122R R λλ+-=

所以R λ=

故

2019r -=

15412391541241-?--?=

cm 039.0=

1.17 牛顿环可有两个曲率半径很大的平凸透镜之间的空气产生（图）。平凸透镜A 和B 的曲率半径分别为A R 和B R ，在波长为600nm 的单射光垂直照射下观察到第10个暗环半径4AB r mm =。若另有曲率半径为C R 的平凸透镜C （图中未画出），并且B 、C 组合和A 、C 组合产生的第10个暗环半径分别为4.55BC AC r r mm ==和，试计算A B C R R R 、和。

解：2

2r h R

=

222

11222AB AB AB AB

A B A B A B r r r h h h R R R R ??

∴=+=+

=+ ???

同理，112

BC BC B C r h R R ??

=

+ ???

112

AC AC A

C r h R R ??

=

+ ??? 又对于暗环：()

2212

2

h j λ

λ

δ=-

=+即

2

h j

λ

=

21110AB A B r R R λ??∴=+ ???

(1) 21110BC B C r R R λ??=+ ??? (2)

21110AC A

C r R R λ??=+ ??? (3) (1)(2)(3)联立并代入数据得： 6.28A R m = 4.64B R m = 12.4C R m =

1.18 菲涅尔双棱镜实验装置尺寸如下：缝到棱镜的距离为5cm ，棱镜到屏的距离为95cm ，棱镜角为13932'α= 构成棱镜玻璃材料的折射率' 1.5n =，采用的是单色光。当厚度均匀的肥皂膜横过双冷静的一半部分放置，该系统中心部分附近的条纹相对原先有0.8mm 的位移。若肥皂膜的折射率为 1.35n =, 试计算肥皂膜厚度的最小值为多少？

解：如图所示：光源和双棱镜系统的性质相当于相干光源1S 和2S ，它们是虚光源。 由近似条件

()()1

'122'12d n A d l l n A l

θθθ??≈-≈==- ???和得 (1)

按双棱镜的几何关系得：2A απ+= 所以14'2

A πα

-=

=

(2)

肥皂膜插入前，相长干涉的条件为

d

y j r λ= (3) 由于肥皂膜的插入，相长干涉的条件为

()0

'1d

y n t j r λ+-= (4) 由(3)和(4)得()()()()

()

00'2'1'11d y y l n A y y t r n r n ---=

=

-- 代入数据得：74.9410t m -=?

1.19 将焦距为50cm 的会聚透镜中央部分C 切去（见题图），余下的A 、B 两部分仍旧粘起来，C 的宽度为1cm 。在对称轴线上距透镜25cm 处置一点光源，发出波长为692nm 的红宝石激光，在对称轴线上透镜的另一侧50cm 处置一光屏，平面垂直于轴线。试求：

(1)干涉条纹的间距是多少？

(2)光屏上呈现的干涉图样是怎样的？

解：(1)透镜由 A 、B 两部分粘合而成，这两部分的主轴都不在该 光学系统的中心轴线上，A 部分的主轴在中心线上0.5cm 处，B 部 分的主轴在中心线下0.5cm 处，由于单色点光源P 经凸透镜A 和B 所成的像是对称的，故仅需考虑P 经B 的成像位置即可。 由

111

''

s s f -=得'50s cm =- 因为''

y s y s

β=＝

所以''1s y y cm s == 即所成的虚像在B 的主轴下方1cm 处，也就是在光学系统对称轴下方0.5cm 处，同理，单色光源经A 所成的虚像在光学系统对称轴上方0.5cm 处，两虚像构成相干光源，它们之间的距离为1cm ，所以30 6.9210y r cm d

λ

-?==?

(2)光屏上呈现的干涉条纹是一簇双曲线。

1.20 将焦距为5cm 的薄凸透镜L 沿直线方向刨开（见图1-4），分成A 、B 两部分，将A 部分沿轴线右移至25cm 处，这种类型的装置称为梅斯林对切透镜。若将波长为63

2.8nm 的点光源P 置于主轴上离透镜L B 的距离为10cm 处，试分析：（1）成象情况如何？（2）若在L B 右边10.5cm 处放一光屏，则在光屏上观察到的干涉图样如何？

解：（1）透镜按题意分为A 、B 后，是两个透镜，点光源S 经A 、B 两透镜后，形成两个象S 1、S 2 ，如图。

根据透镜成像公式：

f s s '

=-'1

11 解得象距为：s 1＇=35/6cm s 2＇=10cm 在两透镜的公共主轴上形成两个象。

（2）在光屏上有两束光重叠，以主轴和光屏的交点为圆心，呈现出一组明暗相间的同心半圆周线，见图。

由右图，解出亮条纹的半径：

λjl r j 2=

说明亮条纹的半径随干涉级数的增大而增大。

由上式可解出条纹间距：

j

l r j 2λ

=

? 表明亮条纹之间的距离随j 的增大而减小。

1.21.如图所示，A 为平凸透镜，B 为平玻璃板，C 为金属柱，D 为框架，A 、B 间有空隙，图中绘出的是接触的情况，而A 固结在框架的边缘上。温度变化时，C 发生伸缩，而假设A 、B 、D 都不发生伸缩。以波长63

2.8nm 的激光垂直照射。试问：

(1)在反射光中观察时，看到牛顿环条纹移向中央，这表示金属柱C 的长度在增加还是减小？

(2)若观察到有10个亮条纹移向中央而消失，试问C 的长度变化了对少毫

米？

解：(1)因为：在反射光中观察牛顿环的亮条纹，

()221222

r h j j R λ

λ

δλ=-=-==，

，… 干涉级j 随着厚度h 的增加而增大，即随着薄膜厚度的增加，任意一个指定的j 级条纹将缩小其半径，所

以各条纹逐渐收缩而在中心处消失，膜厚h 增加就相当于金属的长度在缩短。所以，看到牛顿环条纹移向中央时，表明C 的长度在减少。 (2)由()22h N j λλ?==?

得3164h nm ?=