专题十三推理与证明第三十八讲推理与证明答案

专题十三推理与证明

第三十八讲推理与证明

答案部分

1. B【解析】解法一因为lnx< x-1(x 0)，所以a i ■ a2 a3 a^ln(a i a2 a3)

< a i a2 a3 -1，所以a4< -1，又印1，所以等比数列的公比q ：：： 0 .

2

若q < -1，则a-i - a2■ a3■ a^ a-i(1 ■ q)(1 q ) < 0 ,

而a a2a3> a11，所以In(a1a2a3) 0 ,

与ln( a-i a2a3) = q a2a3a4< 0 矛盾，

2 2

所以一1 ：： q ::: 0，所以a1 -a3 二a,1 -q ) 0, a2 - a4 二ag(1 - q ) ：： 0 , 所以a1a3, a2::: a4，故选 B.

解法二因为e x> x 1 , a1 a2 a3 a^ In佝a2 *3),

所以e? a2 a3 a4 = a1a2- a3> a1a2a3■a41，贝y a4< -1 ,

又a1 1，所以等比数列的公比q ：：： 0 .

若q < -1，则a1 a2 a3 *4 二印(1 q)(1 q2) < 0 ,

而a a2a3> a11，所以In(a1a2a3) 0

与In(a1 a2 a3) = 01 a2 a3 a4 < 0 矛盾,

2 2

所以-1 ：： q ：： 0，所以a1 —a3 =印(1 一q ) 0 , a^a^ 眄(1 -q ) ：： 0 , 所以a1a3, a2：：：a4，故选 B.

2.D【解析】解法一点(2,1)在直线x-y=1上，ax ^4表示过定点(0,4),斜率为-a

1

的直线，当a = 0时，x -ay =2表示过定点(2,0)，斜率为丄的直线，不等式x - ay < 2

a

表示的区域包含原点，不等式ax y 4表示的区域不包含原点?直线ax ? y = 4与直线x -ay =2互相垂直，显然当直线ax ■ y = 4的斜率-a 0时，不等式ax y 4表

示的区域不包含点灯），故排除A ；点?）与点（0,4）连线的斜率为--，当

-a ：：： -3，即a 3时，ax y 4表示的区域包含点（2,1），此时x - ay ：：：2表示

的

2 2

3 3

区域也包含点（2,1），故排除 B ；当直线ax y = 4的斜率_a二-兰，即a = 3时,

2 2

ax y 4表示的区域不包含点（2,1），故排除C,故选D .

12a亠1?4 3

解法二若（2" A，则2* 2,解得a2，所以当且仅当

(2,1) -一A ?故选 D.

3. D【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好,

看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选

由图2所示，以P为原点建立直角坐标系，不妨设AB = 2，则A（-1,0）, B（1,0）,

C（0

,3），。（0，｛），‘

AP=PB，QC豈2??Q（3，年），R（-訂

则直线RP

的方程为—寺，直线PQ的方程为厂2忌，直线RQ的方程为

4. B【解析】设0为三角形ABC中心，底面如图2,过0 作0E _ RP , OF _ PQ ,

0G _ RQ，由题意可知DO , tan

■:

OE

OD

, tan 忌,

OF

OG

y 3x 5^ ,根据点到直线的距离公式，知OE =乙自,OF39, OG = 1 ,

3 9 21 39 3

二OF :: OG :: OE , tan ：：：tan ::: tan ：,

因为：?，■-, 为锐角，所以上.^ . ?选B

5. B【解析】由数据可知，进入立定跳远决赛的

8人为1~8号，所以进入30秒跳绳决赛的6人从1~8号里产生?数据排序后可知3号，6号，7号必定进入30秒跳绳决赛，则

得分为63, a , 60, 63, a -I的5人中有3人进入30秒跳绳决赛.若1号，5号学

生未进入30秒跳绳决赛，则4号学生就会进入决赛，与事实矛盾，所以I号，5号学生必进入30秒跳绳决赛，故选 B.

6. A【解析】当s =4时，p , q , r都是取0, 1, 2 , 3中的一个，有4 4 4 = 64种,

当s=3时，p , q , r都是取0,1, 2中的一个，有3 3 3 = 27种，当s = 2时，p , q , r都是取0 , 1中的一个，有2 2 2=8种，当s=1时，p , q , r都取0 ,有1 种，所以card；： -64 27 8 ^100，当t =0 时，u 取1, 2 , 3, 4 中的一个，有4种，当t =1时，u取2 , 3, 4中的一个，有3种，当t = 2时，u取3, 4中的一

个，有2种，当t=3时，u取4，有1种，所以t、u的取值有1 2 3 ^10种，

同理，v、w的取值也有10种，所以card F i；= 10 10=100,

所以card； card F =100 100 = 200，故选 D.

7.B【解析】学生甲比学生乙成绩好，即学生甲两门成绩中一门高过学生乙，另一门不低

于学生乙，一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且没有相同的成绩，则存在的情况是，最多有3人，其中一个语文最好，数学最差；另一个语文最差，数学最好；第三个人成绩均为中等.故选 B .

& A【解析】“至少有一个实根”的反面为“没有实根”，故选A .

9. D【解析】??? 55 =3125,56 =15 625,57 = 78125 ,58 =390 625 , 59 =1953125 ,

510 =9 765 625，…，??? 5n(n，Z，且n > 5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为

4,记5n( n ? Z ,且n > 5)的末四位数字为f (n),则f (2011) = f (501 4 7) 2011 7

二f (7) , ? 5 与5的末位数字相同，均为 8 125,选D.

10.D【解析】由给出的例子可以归纳推理得出：若函数 f (X)是偶函数，则它的导函数是

奇函数，因为定义在R上的函数f(x)满足f (_x)二f(x)，即函数f(x)是偶函数，所

以它的导函数是奇函数，即有g(_x)=_g(x)，故选D?

11.27【解析】所有的正奇数和2n( n ? N* )按照从小到大的顺序排列构成{a.},在数列{务}

5 5 6

中，2 前面有 16 个正奇数，即a2i = 2 , a38 = 2 .当n=1 时，S=1：：：12a2 = 24 , 不符合题意；当n =2时，S2 =3 ：：： 12a3 =36 ,不符合题意；当n=3时，

S s =6 ：：：12a4 =48，不符合题意；当n =4时，S4 =10 ：：12a^60，不符合题意；……；

21 x(1 +41) 2x(1 _25)

当n -26时，S26= 441 +62= 503< 12a27二516 ,不符合题

2 1-2

5

22^(1+43) 2汉(1_25)

意；当n =27 时，S27=484 +62=546> 12a28=540,符合题

2 1—2

意.故使得 & 12a n,成立的n的最小值为27.

12. Q1 P2【解析】设线段AB的中点为G(X i,y)，则Q i -2y i，其中i =1,2,3

①由题意只需比较线段 A B i中点的纵坐标的大小即可，作图可得A1B1中点纵坐标比

A2B2, A3B3的中点纵坐标大，所以第一位选Q .

②由题意口二览，只需比较三条线段OC1, OC2OC3斜率的大小，分别作B1, B2,B3

X i

关于原点的对称点B1,B2,B3,比较直线AB n A2B2,A3B3斜率，可得A2B2最大，所

以选p2.

13. 1和3【解析】为方便说明，不妨将分别写有

1和2, 1和3, 2和3的卡片记为A , B , C从丙出发，由于丙的卡片上的数字之和不是5,则丙只可能是卡片 A或B，无论是哪

一张，均含有数字1，再由乙与丙的卡片上相同的数字不是1可知，乙所拿的卡片必然是C,最后由甲与乙的卡片上相同的数字不是2,知甲所拿的卡片为 B,此时丙所拿的

卡片为A.

4

14.［解析】根据已知，归纳可得结果为一 n(n+1).

3

,1丄11丄丄1 1 1丄1丄丄1

15. 1 一一

2 3 4 2n—1 2n n+1 n+2 2n

【解析】观察等式知：第 n 个等式的左边有2n 个数相加减，奇数项为正，偶数项为负,

=2 [(C 2n 」+C ；：：) + (C 2n 二 + C 腐)+ (C ；n 」+ Cjf) +川 + (C ；^ + C ；n 」)] = 1(C 爲 +C ；n 」+C ；n”li+C 壮 +C ；n 」+ili + C 鋁)=1 ”22n

」=4巴

1

【解析】解法一 直接递推归纳；等腰直角三角形

ABC 中，斜边BC =2..2，所以

4

AB = AC = a/2 , A 1A 2 = a 3 = 1 , ■ ■■, A 5A 6 — a^ = a^-()

2

解法二 求通项：等腰直角三角形 ABC 中，斜边BC =2,2, 所以 AB = AC = q = 2, AA^ = a 2 = \ 2，…，

6【解析】因为①正确，②也正确，所以只有①正确是不可能的；若只有②正确，①③

的个数是6.

42【解析】先由徒弟粗加一工原料

B , 6天后，师傅开始精加工原料 B ，徒弟同时开始

粗加工原料 A ,再9天后(15天后)，徒弟粗加工原料 A 完成，此时师傅还在精加工原 料B , 27天后，师傅精加工原料 B 完成，然后接着精加工原料 A ，再15天后，师傅

精加工原料 A 完成，整个工作完成，一共需要 6 +21 + 15= 42个工作日.

21. F ，v-E=2【解析】三棱柱中5 +6-9 =2 ;五棱锥中6+6 -10 =2 ;立方体中6+8 -12 =2 ,

16. 且分子为1，分母是1到2n 的连续正整数, 4n-1

【解析】 具体证明过程可以是: 1

等式的右边是

—

1

+—— n 1 n 2 2n

1

2 ■■ ■ n 1

1

2n 1

' 2C 2n_1

2C

2n J

I I 2C 2n J )

17. 兀

近

乓人勺厂

sin

4 a n

盲汗2

n

，故 a 7

= 2

18. ④都不正确，则符合条件的有序数组为 (2,3,1,4) , (3,2,1,4);若只有③正确，①②④ 都不正确，则符合条件的有序数组为 (3,1,2,4);若只有④正确，①②③都不正确，则

符合条件的有序数组为(2,1,4,3),

(3,1,4,2) , (4,1,3,2).综上符合条件的有序数组

19. 20.

1 2014x

X

XX

【解析】由f 1

(x) ，得f 2

(x) = f (

)=

2 一 2」—丿

1 + 2x X 1 x x

可得 f 3

(x)二 f (f 2

(x)) ，故可归纳得 f 2014

(x)二

1 3x 1 2014x

6

1

_

4

由此归纳可得F —2.

2 2 小2 2 ,八n+1 2 / 八n+1 n(n，1)

22. 1 — 2 +3 —4 + …+ (- 1) n = ( — 1) ( n€ N )

2

【解析】观察上式等号左边的规律发现，左边的项数一次加1,故第n个等式左边有n 项，每项所含的底数的绝对值也增加1，一次为1，2，3,…n，指数都是2,符号成

正负交替出现可以用(-1)n*表示，等式的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右边可以表示为(_1)n? n(n__1)，所以第n个式子可为12— 22+32— 42+…

2

+ ( -1)n 1 n2= (— 1) n+1?迎 ( n € N).

2

23. 1000【解析】观察n2和n前面的系数，可知一个成递增的等差数列另一个成递减的等

差数列，故N n,24 =11 n2-10n , N 10,24 =1000

1 1 1 1 1 11

24. 1 —2 2 2 2 2 【解析】观察不等式的左边发现，第n个不等式的左

2 3 4 5 6 6

边=1 ? 2 \-—2 , 右边=2~n—1 -, 所以第五个不等式为

2 3 (n +1) n+1

彳 1 1 1 1 1 11

1 -

32 425262 6

n _4

25.(1) 6; (2) 3 2 11

【解析】(1)当N =16时，

F0 ￥ X2X3X4X5X6|)|X16，可设为(1,2,3,4,5,6,)11,16),

R =%X3X5X7 川X15X2X4X6111x16，即为(1,3,5,7,9,1112,4,6,8,111,16),

P2 F1X5X9X13X3X7X11X15X2X6 丨1必6，即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,川6) , x?位于P2 中

的第6个位置；

(2 )在R中X173位于两段中第一段的第87个位置，位于奇数位置上，此时在P2中为73位

于四段中第一段的第44个位置上，再作变换得F3时，为73位于八段中第二段的第22

个位置上，再作变换时，X,73位于十六段中的第四段的第11个位置上.也就是位于P4中的第3 2n^ 11个位置上.

26.n ? (n - 1^1 - (3n - 2) =(2 n -1)2【解析】把已知等式与行数对应起来，则每一个