数理逻辑2.1
1.4 将自然语言转化为命题公式
*要把自然语言转化为命题公式, 按以下步骤进行.
1.首先判定这个句子是否命题逻辑中所研究的命题, 排除
一些不是陈述句的句子,以及一些不具有真假值的句子. 2.其次,找出这个句子中所包含的原子命题.通常只有一个主
语和一个谓语的句子就是一个原子命题.
3.再次,将句子中的原子命题用命题变量表示,在整个句子中,
若相同的原子命题出现多次,则用相同的命题变量表示同一原子命题.
4.然后,分析句子中连词的逻辑含义,确定句子的整体结构,
以及各支命题之间的逻辑关系.
5.最后,使用合适的命题联结词将各支命题符号化,最后写出
整个句子的命题公式.
例1.12:
1.我们在学好逻辑学的同时,还应学好其它学科.
2.我虽人到中年, 但求知欲并未减弱.
3.液体沸腾的原因是温度增高,或是压力下降.
4.李晓霞是湖南人或江西人.
5.逆水行舟,不进则退.
解:
1.设p: 我们要学好逻辑, q: 我们要学好其它学科.
公式: p∧q .
2.设p: 我人到中年, q: 我求知欲减弱.
公式: p∧┐q .
3.设p: 液体沸腾的原因是温度增高.
q: 液体沸腾的原因是压力下降.
公式: p∨q .
4.设p: 李晓霞是江西人.
q: 李晓霞是湖南人.
公式: (p∧┐q)∨(┐p∧q) .
5.设p: 逆水行舟会进, q: 逆水行舟会退.
公式: (p∧┐q)∨(┐p∧q) .
例1.13:
1.如果看不到事物的否定方面, 就不能科学地预见事物的
发展方向.
2.只有懂了事物的对立统一规律, 才能懂得事物的发展.
3.只要你努力, 就会取得成果.
4.会休息的人, 才会工作.
5.不会休息的人, 就不会工作.
6.哪里有他, 哪里就有歌声.
7.若要人不知, 除非己莫为.
8.除非他真心悔改, 才能得到群众的谅解.
9.除非整数x是奇数, 否则x会被2整除.
10.整数x能被2整除, 除非x是奇数.
11.没有共产党就没有新中国.
解: 1. 设p: (你)看不到事物的否定方面,
q: (你)不能科学地预见事物的发展方向.
公式: p→q .
2. 设p: (你)懂了事物的对立统一规律,
q: (你)懂得事物的发展.
公式: q→p .
3. 设p: 你努力; q: (你)会取得成果.
公式: p→q .
4. 设p: (你)是会休息的人; q: (你)会工作.
公式: q→p .
5. 设p: (你)是会休息的人; q: (你)会工作.
公式: ┐p→┐q .
6.设p: 哪里有他, q: 哪里有歌声.
公式: p→q .
7.设p: 人不知, q: 己莫为.
相当于: 只有己莫为, 才能人不知.
公式: p→q .
8.设p: 他真心悔改; q: (他)得到群众的谅解.
相当于: 只有他真心悔改, 才能得到群众的谅解. 公式: q→p .
9.设p: 整数x是奇数, q: x会被2整除.
相当于: 只有整数x是奇数, x才不会被2整除.
公式: ┐q→p .
10.设p: 整数x能被2整除, q: x是奇数.
相当于: 只有x是奇数, x才不会被2整除.
公式: ┐p→q .
11.设p: 有共产党, q: 有新中国.
公式: ┐p→┐q .
例1.14:
1. 如果小张在孩子落水的现场但没有参加营救, 那么,或者他看到了孩子落水却假装没看见, 或者他确实不会游泳. 解: 设p: 小张在孩子落水的现场; q: (小张)没有参加营救; r: (小张)看到了孩子落水; s: (小张)假装没看见(孩子落水); t: (小张)确实不会游泳.
公式: (p∧q)→((r∧s)∨t) .
2. 如果光强调团结,不强调斗争, 或者光强调斗争,不强调团结, 就不能达到既统一思想又团结同志的目的.
解: 设p: (我们)强调团结; q: (我们)强调斗争;
r: (我们)达到统一思想的目的;
s: (我们)达到团结同志的目的.
公式: ((p∧┐q)∨(┐p∧q))→┐(r∧s)
3. 如果恐怖分子的要求能在规定期限内满足, 则全体人质就能获释, 否则, 恐怖分子就要杀害人质, 除非特种部队能实施有效的营救.
解: 设p: 恐怖分子的要求能在规定期限内满足;
q: 全体人质获释;
r: 恐怖分子杀害人质;
s: 特种部队能实施有效的营救.
公式: (p→q)∧(┐p→(┐r→s))
第二章命题逻辑的等值演算
2.1 重言式与等值式
定义2.1: 设A, B是两个命题公式. 若A, B构成的等价式
A?B为重言式, 则称A与B是等值的, 记作A?B.
*设A与B共含有n个命题变项, A与B等值即在所有2n个赋值下, A与B的真值都相同.
例2.1: 判断下面两个公式是否等价
┐(p∨q)与┐p∧┐q
p q ┐p ┐q p∨q ┐(p∨q) ┐p∧┐q 左式?右式0 0 1 1 0 1 1 1
0 1 1 0 1 0 0 1
1 0 0 1 1 0 0 1
1 1 0 0 1 0 0 1
例2.2: 判断下列各组公式是否等值.
(1) p→(q→r)与(p∧q)→r ;
(2) (p→q)→r与(p∧q)→r ;
p q r p→(q→r) (p∧q)→r (p→q)→r
0 0 0 1 1 0
0 0 1 1 1 1
0 1 0 1 1 0
0 1 1 1 1 1
1 0 0 1 1 1
1 0 1 1 1 1
1 1 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1
所以p→(q→r)?(p∧q)→r ;
而(p→q)→r与(p∧q)→r真值表不同, 因而它们不等值.
代入规则: 设A是一命题公式, 含有命题变项p1, p2, …, p n, 又设B1, B2, …, B n是任意命题公式. 对于每个i(i=1, 2, …, n), 把p i在A中的所有出现都换成B i, 所得的新命题公式记作B. 那么, 如果A是重言式, 则B也是重言式.
例2.3: A: (p→(q→r))?((p∧q)→r)是重言式.
令p 替换为B1: p∨q
q 替换为B2: r→s
r 替换为B3: q∧s
则以上公式代入后, 得公式
B: ((p∨q)→((r→s)→(q∧s)))?(((p∨q)∧(r→s))→(q∧s))
则B仍为重言式.
这因为对于B中p, q, r, s的任一赋值, B1, B2, B3分别有一个真值, 把B1的真值代入A中的p, B2的真值代入A中的q, B3的真值代入A中的r, 则A的真值恒为1. 故B为重言式. *几个重要的重言式:
1.双重否定律: A?┐┐A (
2.1)
2.幂等律: A?A∨A, A?A∧A (2.2)
3.交换律: A∨B?B∨A
A∧B?B∧A (2.3)
4.结合律: (A∨B)∨C?A∨(B∨C)
(A∧B)∧C?A∧(B∧C) (2.4)
5.分配律: A∨(B∧C)?(A∨B)∧(A∨C)
A∧(B∨C)?(A∧B)∨(A∧C) (2.5)
6.德?摩根律: ┐(A∨B)?┐A∧┐B
┐(A∧B)?┐A∨┐B (2.6)
7.吸收律: A∨(A∧B)?A
A∧(A∨B)?A (2.7)
8. 零律: A∨1?1, A∧0?0 (2.8)
9. 同一律: A∨0?A, A∧1?A (2.9)
10. 排中律: A∨┐A?1 (2.10)
11. 矛盾律: A∧┐A?0 (2.11)
12. 蕴涵等值式: A→B?┐A∨B (2.12)
13. 等价等值式: A?B?(A→B)∧(B→A) (2.13)
14. 假言易位: A→B?┐B→┐A (2.14)
15. 等值否定等值式: A?B?┐A?┐B (2.15)
16. 归谬论: (A→B)∧(A→┐B)?┐A (2.16) *上式中的A, B, C可以是命题变项, 也可以是任一公式. *解释这些公式的含义.
*用真值表法证明上述等值式:
例2.4. 1. A?┐┐A 2. A∨B?B∨A
A ┐A ┐┐A A
B A∨B B∨A
0 1 0 0 0 0 0
1 0 1 0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 1 1
3. A∨(A∧B)?A
A B A∧B A∨(A∧B) A∨(A∧B)?A
0 0 0 0 1
0 1 0 0 1
1 0 0 1 1
1 1 1 1 1
4. A∨(B∧C)?(A∨B)∧(A∨C)
A B C B∧C A∨(B∧C) A∨B A∨C (A∨B)∧(A∨C)
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0 1 0 0
0 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 1 1
1 0 1 0 1 1 1 1
1 1 0 0 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
5. A→B?┐A∨B
A B ┐A ┐A∨B A→B
0 0 1 1 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 1 0 1 1
6. A?B?(A→B)∧(B→A)
A B A→B B→A (A→B)∧(B→A) A?B
0 0 1 1 1 1
0 1 1 0 0 0
1 0 0 1 0 0
1 1 1 1 1 1
置换规则: 设φ(A)是含公式A的命题公式, φ(B)是用公式B置换φ(A)中的A所得到的命题公式. 若B?A, 则φ(A)?φ(B).
*如果B?A, 那么在任意真值赋值下, B和A的真值相同, 把它们代入φ(?)得到的结果当然也相同. 从而φ(A)?φ(B). 例如:
(p→q)→r
?(┐p∨q)→r ┐p∨q?p→q,置换规则
?┐(┐p∨q)∨r s→r?┐s∨r, 用┐p∨q代入s
?(┐┐p∧┐q)∨r 德?摩根律, 置换规则
?(p∧┐q)∨r 双重否定律, 置换规则
?(p∨r)∧(┐q∨r) 分配律, 用┐q代入.
例2.5: 用等值演算证明等值式:
(p∨q)→r?(p→r)∧(q→r)
证明:
(p→r)∧(q→r)
?(┐p∨r)∧(┐q∨r) 蕴涵等值式
?(┐p∧┐q)∨r 分配律, 交换律
?┐(p∨q)∨r 德?摩根律
?(p∨q)→r 蕴涵等值式
例2.6: 证明以下等值式不成立:
(p→q)→r?p→(q→r)
证: 方法1: 真值表法, 读者自己证明.
方法2: 观察法. 找出一个赋值, 使得这两个命题公式真值不同即可. 例如: (p, q, r)的赋值(0,1,0)使得(p→q)→r为假, 而p→(q→r)为真.
方法3: 通过等值演算,将两个公式化为容易观察真值的形式, 再进行判断.
A = (p→q)→r
?(┐p∨q)→r 蕴涵等值式
?┐(┐p∨q)∨r 蕴涵等值式
?(┐┐p∧┐q)∨r 德?摩根律
?(p∧┐q)∨r 双重否定律
B = p→(q→r)
?p→(┐q∨r) 蕴涵等值式
?┐p∨(┐q∨r) 蕴涵等值式
?┐p∨┐q∨r 结合律
容易观察到, (p, q, r)取(0, 0, 0)或(0, 1, 0)时, A为假而B为真. 例2.7: 用等值演算判断下列公式的类型.
(1) (p→q)∧p→q
(2) ┐(p→(p∨q))∧r
(3) p∧(((p∨q)∧┐p)→q)
解: (1)
(p→q)∧p→q
?(┐p∨q)∧p→q
?┐((┐p∨q)∧p)∨q
?(┐(┐p∨q)∨┐p)∨q
?((┐┐p∧┐q)∨┐p)∨q ?((p∧┐q)∨┐p)∨q
?((p∨┐p)∧(┐q∨┐p))∨q ?(1∧(┐q∨┐p))∨q
?┐q∨┐p∨q
?(┐q∨q)∨┐p
?1∨┐p
?1
故公式(1)是重言式.
(2)
┐(p→(p∨q))∧r
?┐(┐p∨(p∨q))∧r
?(┐┐p∧┐(p∨q))∧r
?(p∧(┐p∧┐q))∧r
?((p∧┐p)∧┐q)∧r
?(0∧┐q)∧r
?0∧r
?0
故公式(2)是矛盾式.
(3)
p∧(((p∨q)∧┐p)→q)
?p∧(((p∧┐p)∨(q∧┐p))→q)
?p∧((0∨(q∧┐p))→q)
?p∧((q∧┐p)→q)
?p∧(┐(q∧┐p)∨q)
?p∧((┐q∨┐┐p)∨q)
?p∧((┐q∨q)∨p)
?p∧(1∨p)
?p∧1
?p
故(3)式不是重言式, (p, q)取(0, 0)或(0, 1)时, (3)式为假;
(3)式也不是矛盾式, (p, q)取(1, 0)或(1, 1)时, (3)式为真.
作业:
1. 将下列自然语言的句子转化为命题公式:
(1) 刘晓月跑得快,跳得高.
(2) 小张数学学得好, 但物理学得不好.
(3) 老王是山东人或河北人.
(4) 王欢和李乐组成一个小组.
(5) 他一面吃饭,一面听音乐.
(6) 2或4是素数, 这是不对的.
(7) 只有天下大雨, 他才乘车上班.
(8) 除非天下大雨, 否则他不乘车上班.
(9) 下雪路滑, 他迟到了.
(10) 2+2 = 4当且仅当3+3 = 6.
(11) 2+2 = 4仅当3+3 = 6.
(12) 若厂方拒绝增加工资, 则罢工不会停止, 除非罢工超过一年并且工厂经理辞职.
2. 用真值表证明以下等值式:
(1) A∧(A∨B)?A
(2) A∨┐A?1
3. 用等值演算法判断下列公式的类型:
(1) ┐((p∧q)→q)
(2) (p→(p∨q))∨(p→r)
(3) (p∨q)→(p∧r)
4. 用等值演算证明下面等值式:
(1) ((p→q)∧(p→r))?(p→(q∧r))
(2) p?(p∧q)∨(p∧┐q)
最经典最简约的面向计算机科学的数理逻辑复习笔记
该笔记适用于任何版本的数理逻辑！ 绪论 一、数理逻辑研究什么？ ★研究前提和结论的可推导性关系，它是由命题的逻辑形式而非内容所决定的 二、数理逻辑如何研究？ ★形式语言 第一章预备知识 第一节集合 一、集合 1、集合的内涵和外延（所有元素的共同性质/构成集合的所有元素） 2、有序偶和笛卡儿集 二、关系 1、概念：集合S上的n元关系R 2、特殊情况：集合S上的一元关系R（集合S上的性质R） 三、函数（映射） 1、概念：函数（集合＋有序偶＋性质）、定义域dom（f）、值域ran（f） 2、概念：f（x）（函数f在x处的值） 3、概念：f：S－>T（函数f是由S到T的映射）、满射、一一映射 四、等价 1、概念：关系R是集合S上的等价关系（自反＋对称＋传递） 2、概念：元素x的R等价类 3、性质：R等价类对集合S的一个划分（两两不相交，且并为S） 五、基数 1、概念：S～T（两个集合S和T是等势的） 2、概念：集合S的基数|S|（集合中的元素个数） 3、概念：可数无限集
第二节归纳定义和归纳证明 一、归纳定义 1、集合的归纳定义 ⑴、直接生成某些元素 ⑵、给出运算，将其作用在已有元素上，以产生新的元素 ⑶、只有这样才是集合中的元素，除此之外，再也没有了 2、典例：自然数集N的两个归纳定义 二、归纳证明 1、归纳定理：设R是一个性质，如果 ⑴、R（0） ⑵、对于任何n∈N，如果R（n），则R（n’） 那么，对于任何n∈N，都有R（n） 2、概念：归纳基础、归纳步骤（包括归纳变元和归纳假设）、归纳命题、归纳证明 3、概念：串值归纳法及其变形 三、递归定义 1、递归定义（在归纳定义的集合上，定义函数） 在自然数集N上定义一个这样的函数f：g，h是N上的已知函数 f（0）＝g（0） f（n’）＝h（f（n）） 2、递归定义原理（这样的函数是存在而且唯一的）
数理逻辑复习题
一、选择题 1、永真式的否定是（2） (1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能 2、设P ：2×2=5，Q ：雪是黑的，R ：2×4=8，S ：太阳从东方升起，则下列真命题为(1) (1)R Q P ∧→ (2)S P R ∧→ (3)R Q S ∧→ (4) )()(S Q R P ∧∨∧。 3、设P ：我听课，Q ：我看小说，则命题R “我不能一边听课，一边看小说”的符号化为⑵ ⑴ P Q → ⑵Q P ?→(3) Q P →? ⑷ P Q ?→?()P Q ?∧ 提示：()R P Q P Q ??∧?→? 4、下列表达式错误的有⑷ ⑴()P P Q P ∨∧? ⑵()P P Q P ∧∨? ⑶()P P Q P Q ∨?∧?∨ ⑷()P P Q P Q ∧?∨?∨ 5、下列表达式正确的有⑷ ⑴ P P Q ?∧ ⑵ P Q P ?∨ ⑶ ()Q P Q ???→⑷Q Q P ??→?)( 6、下列联接词运算不可交换的是(3) ⑴∧ ⑵∨ (3)→ ⑷ ? 6、设D ：全总个体域，F （x ）：x 是花，M(x) ：x 是人，H(x,y)：x 喜欢y ，则命题“有的人喜欢所有的花”的逻辑符号化为⑷ ⑴(()(()(,))x M x y F y H x y ?∧?→ ⑵(()(()(,))x M x y F y H x y ?∧?→ (3) (()(()(,))x M x y F y H x y ?∧?→ ⑷(()(()(,))x M x y F y H x y ?∧?→ 7、设L(x)：x 是演员，J(x)：x 是老师，A(x , y)：x 钦佩y ，命题“所有演员都钦佩某些 老 师”的逻辑符号化为⑵ ⑴)),()((y x A x L x →? ⑵))),()(()((y x A y J y x L x ∧?→? (3) )),()()((y x A y J x L y x ∧∧?? ⑷)),()()((y x A y J x L y x →∧?? 8、谓词公式)())()((x Q y yR x P x →?∨?中的 x 是⑶ ⑴自由变元 ⑵约束变元 ⑶既是自由变元又是约束变元 ⑷既不是自由变元又不是约束变元 9、下列表达式错误的有⑴ ⑴(()())()()x A x B x xA x xB x ?∨??∨? ⑵(()())()()x A x B x xA x xB x ?∧??∧? (3) (()())()()x A x B x xA x xB x ?∧??∧? ⑷(()())()()x A x B x xA x xB x ?∨??∨?
集合与数理逻辑用语测试题3份
测试一 填空：(每空2分，共30分) 1.用适当的符号(、、、＝、)填空： (1)0_______；(2)5______{质数}； (3){，}______{，，}；(4){1，3}_____{|－4＋3＝0}； (5){0，－1}_____{|＋＝0}. 2.用列举法表示9的平方根的全体构成的集合________. 3.用性质描述法表示大于－2的整数全体构成的集合________. 4.用充分条件、必要条件、充要条件填空 (1)＞0是，都是正数的________； (2)＝4是＝－2或＝2的________； (3)＞5是＞4的________； (4)sin＝是＝45°的___________. 5.已知＝，＝{|≥－4}，＝{|＜6}，则∪＝_________，∩＝________，＝_______，＝_________. 选择题:(每题5分，共25分) 6.设，＝{|＜3}，则正确结论是( ). (A) (B) (C){} (D){} 7.{正实数}∩{整数}等于( ). (A){正有理数} (B){整数} (C){正整数} (D){自然数} 8.下列句子不是命题的是( ). (A)5＋1－3＝4 (B)正数都大于0
(C)＞5 (D) 9.下列命题是真命题的是( ). (A)8≤8(B)3＋4＝5或2＞3 (C)(－2)＝－8，且|－1|＝－1.(D)如果2≠3，则1＝2 10.“，至少有一个是正数”的否定是( ). (A)，都是正数(B)，都不是正数 (C)，都是负数(D)，不都是正数 解答题：(共45分) 11.写出下列集合之间的关系，并用图形表示： ＝{有理数}，＝{偶数}，＝{奇数}，＝{|是能被4整除的数}.(8分) 12.设全集＝{绝对值不大于3的整数}，＝{－1，1，2}，＝{－2，－1}.求∪，∩，∩，∪.(12分) 13.写出集合{，}的所有子集和真子集.(8分) 14.写出下列命题的否定，并判断真假.(12分) (1)是无理数； (2)对实数，都有－4＋4＞0； (3)实数，使得＋1＝0； (4)15能被3整除或能被7整除. 15.用充分条件和必要条件叙述下面的真命题：如果是整数，则(＋1)是偶数.(5分)
语言与逻辑浅谈
语言与逻辑浅谈 语言与逻辑是一个很大的题目，足以写一本书。本文目的只是想谈谈人们在日常生活所说的「逻辑」究竟是指甚么，以及逻辑与语言的关系。 甚么是逻辑？ 在日常语言中，「逻辑」有时被用作「定律」或「常理」的同义词。例如，在语句「你说张三昨天死了，但这不合逻辑，因为他今早还有上学」中，所谓「不合逻辑」是指违反常理。另外又如在语句「这本科幻小说说某星球的温度比绝对零度还低，这是不合逻辑的」中，所谓「不合逻辑」是指违反物理定律。以上两例中所指的逻辑究竟是否等同于逻辑学中所指的逻辑呢？ 要回答上述问题，首先要了解逻辑学究竟是研究甚么的？一般而言，逻辑学就是研究正确思维方式的学科。由于推理是人类思维中极重要的一部分，因此逻辑学中很大一部分的内容是研究正确的推理方式。推理的一般格式是给定某些前提(Premises)，然后根据这些前提推导出某些结论(Conclusion)。所谓「正确的推理方式」就是运用一些已被证实为正确的推理规则从前提一步一步推出结论。例如，根据前提「如果张三掉下海，他会淹死」和「张三掉下海」可以推出「张三会淹死」，可是却不能从「如果张三掉下海，他会淹死」和「张三淹死」推出「张三掉下海」，因为张三可能是在河中或泳池中淹死的。
逻辑学所研究的不是个别的推理，而是一般的「推理模式」，而这些推理模式可以用符号表示。例如上段的「张三淹死」正确推理便可以表示为：给定前提「如果p，则q」和「p」，可以推出「q」(注1)，此推理称为「肯定前件式」(Modus Ponens)。反之，从「如果p，则q」和「q」却不可以推出「p」。在上述正确推理模式中的p和q可以代表任何「命题」(Proposition)(亦作Statement，相当于语言学中的「陈述句」)，即如果把p和q 换为任何命题，该推理仍是正确的，而不管p和q这两个命题是否真实或是否有意义。例如，假设p代表「太阳从东边升起」，q代表「一加一等于三」，那么以下推理虽然看似荒谬，但从逻辑上看去却是正确的：根据前提「如果太阳从东边升起，则一加一等于三」和「太阳从东边升起」，可以推出「一加一等于三」。 请注意上段的推理之所以会推出「一加一等于三」这个错误结论，乃在于它的其中一个前提-「如果太阳从东边升起，则一加一等于三」是错误的，而不是整个推理模式有错误。因此逻辑学所关心的是整个推理模式的正确性，而不是个别前提的正确性。逻辑学只能保证从正确的前提出发可以推出正确的结论，至于前提正确与否，并不属于逻辑学的研究范围，而须根据其它学科或常识作出判断。 由此可见，逻辑学所指的正确推理方式是纯粹从形式方面考虑的，而不考虑其实质内容，实质内容是其它学科的研究范围。这一点有点跟
数理逻辑练习题及答案-5
一阶逻辑等值式与置换规则 1．设个体域D={a,b,c}，消去下列各式的量词： (1) x y(F(x)∧G(y)) (2) x y(F(x)∨G(y)) (3) xF(x)→yG(y) (4) x(F(x,y)→yG(y)) 2．设个体域D={1,2}，请给出两种不同的解释I1和I2，使得下面公式在I1下都是真命题，而在I2下都是假命题。 (1) x(F(x)→G(x)) (2) x(F(x)∧G(x)) 3．给定解释I如下： (a) 个体域D={3,4}。 (b) (x)为(3)=4，(4)=3。 (c) (x,y)为(3,3)=(4,4)=0，(3,4)=(4,3)=1。 试求下列公式在I下的真值： (1) x yF(x,y) (2) x yF(x,y) (3) x y(F(x,y)→F(f(x),f(y))) 4．构造下面推理的证明： (1) 前提：x(F(x)→(G(a)∧R(x)))，xF(x)
结论：x(F(x)∧R(x)) (2) 前提：x(F(x)∨G(x))，┐xG(x) 结论：xF(x) (3) 前提：x(F(x)∨G(x))，x(┐G(x)∨┐R(x))，xR(x) 结论：xF(x) 5．证明下面推理： (1) 每个有理数都是实数，有的有理数是整数，因此有的实数是整数。 (2) 有理数、无理数都是实数，虚数不是实数，因此虚数既不是有理数、也不 是无理数。 (3) 不存在能表示成分数的无理数，有理数都能表示成分数，因此有理数都不 是无理数。
答案 1. (1) x y(F(x)∧G(y)) xF(x)∧yG(y) (F(a)∧F(b))∧F(c))∧(G(a)∨G(b)∨G(c)) (2) x y(F(x)∨G(y)) xF(x)∨yG(y) (F(a)∧F(b)∧F(c))∨(G(a)∧G(b)∧G(c)) (3) xF(x)→yG(y) (F(a)∧F(b)∧F(c))→(G(a)∧G(b)∧G(c)) (4) x(F(x,y)→yG(y)) xF(x,y)→yG(y) (F(a,y)∨F(b,y)∨F(c,y))→(G(a)∨G(b)∨G(c)) 2.(1) I1: F(x):x≤2,G(x):x≤3 F(1),F(2),G(1),G(2)均为真，所以 x(F(x)→G(x)) (F(1)→G(1)∧(F(2)→G(2))为真。 I2: F(x)同I1,G(x):x≤0 则F(1),F(2)均为真，而G(1),G(2)均为假， x(F(x)→G(x))为假。 (2)留给读者自己做。 3. (1) x yF(x,y)
数学春季高考各章主要公式汇总
各章主要公式汇总 第一章 集合与数理逻辑用语 1．如果B A ?，同时A B ?，那么A = B. 2．如果C A C B B A ???，那么， 3．A ?A ；φ?A ； A ∩A ＝A ∪A ＝A ； A ∩φ＝φ；A ∪φ＝A ； 4．A ∩B ＝A ?A ∪B ＝B ?A ?B ； 5．A ∩ U A ＝φ； A ∪ U A ＝U ； U ( U A)＝A ； U (A ∪B)＝ U A ∩ U B 6.常用数集：自然数集N 、正整数集N *或N ＋、整数集Z 、有理数集Q 、实数集R 、空集φ 7．充分条件与必要条件： 对命题p 和q ，若p ?q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。 当p ?q 时，即p 即是q 的充分条件，p 又是q 的必要条件，称p 是q 的充要条件。 8. 复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题。三种形式：p 或q 、p 且q 、非p 真假判断：p 或q ，都假才假，否则为真；p 且q ，都真才为真；非p ，真假相反 第二章 方程与不等式 一、一元二次方程 1．一元二次方程的的一般形式ax 2 +bx+c=0(a ≠0) 2．解一元二次方程的基本方法有求根公式法，直接开平方法，配方法和因式分解法。 4．ax 2+bx+c=0(a ≠0)求根公式:x 1,2=a ac b b 242 -±-( b 2 -4ac ≥0) 4．一元二次方程的判别式：△=b 2 -4ac (1)△>0?一元二次方程有两个不相等的实数根； (2)△=0?一元二次方程有两个相等的实数根； (3)△<0?一元二次方程的没有实数根。 5. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 设方程ax 2 +bx+c=0(a ≠0)的两根为x 1,x 2,则两根与系数a 、b 、c 关系为: x 1＋x 2=a b -； x 1.x 2=a c 6．配方法：ax 2+bx+c=a[x 2+b a x+22b a ?? ???-22b a ?? ??? ]=a(x+2b a )2+2 44ac b a - （提出系数a 后，加上一次项系数一半的平方，再减去一次项系数一半的平方） 二.一元二次不等式的解法 22 三.绝对值不等式 |x|>a(a>0)解集为{x|x>a 或x<-a}
浅谈数理逻辑在计算机科学中的应用
浅谈数理逻辑在计算机科学中的应用 文章整理编辑---论文文库工作室（QQ1548927986） 摘要：数理逻辑是离散数学课程中研究推理的逻辑学科，它为确定一个给出的论证是否有效提供各种法则和技巧，在计算机科学里用来检验程序的正确性，也可以验证定理和推论，同时在计算机模型、计算机程序设计语言、计算机硬件系统等方面有着重要作用。研究数理逻辑在计算机科学领域中的应用，必须从研究数理逻辑的符号化开始讨论、加以分析、验证结论。 关键词：数理逻辑；命题逻辑；一阶逻辑；推理理论 离散数学是现代数学的重要分支，是研究离散量的结构及相互关系的学科，它在计算机理论研究及软、硬件开发的各个领域都有着广泛的应用。其内容大致包含数理逻辑、集合论、代数结构、组合数学、图论和初等数论6部分，这6部分从不同的角度出发，研究各种离散量之间数与形的关系。本文主要研究数理逻辑部分在计算机科学领域中的应用。 1.为计算机的可计算性研究提供依据 数理逻辑分为命题逻辑和一阶逻辑两部分，命题逻辑是一阶逻辑的特例。在研究某些推理问题时，一阶逻辑比命题逻辑更准确。数理逻辑中的可计算谓词和计算模型中的可计算函数是等价的,互相可以转化，计算可以用函数演算来表达，也可以用逻辑系统来表达。 某些自然语言的论证看上去很简单，直接就可以得出结论，但是通过数理逻辑中的两种符号化表达的结果却截然不同，让人们很难理解，这就为计算机的可计算性研究埋下伏笔。下面举一个简单例子加以说明。 例1 凡是偶数都能被2整除。6是偶数，所以6能被2整除。 可见，一个复杂的命题或者公式可以利用符号的形式来说明含义，来判断正确性，这使得计算机科学中的通过复杂文字验证的推理过程变得简单、明了了。 2.为计算机硬件系统的设计提供依据 数理逻辑部分在计算机硬件设计中的应用尤为突出，数字逻辑作为计算机科学的一个重要理论，在很大程度上起源于数理逻辑中的布尔运算。计算机的各种运算是通过数字逻辑技术实现的，而代数和布尔代数是数字逻辑的理论基础，布尔代数在形式演算方面虽然使用了代数的方法，但其内容的实质仍然是逻辑。范式正是基于布尔运算和真值表给出的一个典型公式。 下面以计算机科学中比较典型的开关电路的设计为实例说明数理逻辑中布尔代数和范式的应用。整个开关电路从功能上可以看做是一个开关，把电路接通的状态记为1（即结果为真），把电路断开的状态记为0（即结果为假），开关电路中的开关也要么处于接通状态，要么处于断开状态，这两种状态也可以用二值布尔代数来描述，对应的函数为布尔函数，也叫线路的布尔表达式。接通条件相同的线路称为等效线路，找等效线路的目的是化简线路，使线路中包含的节点尽可能地少。利用布尔代数可设计一些具有指定的节点线路，数学上既是按给定的真值表构造相应的布尔表达式，理论上涉及到的是范式理论，但形式上并不难构造。 例2 关于选派参赛选手，赵，钱，孙三人的意见分别是：赵：如果不选派甲，那么不选派乙。钱：如果不选派乙，那么选派甲；孙：要么选甲，要么选乙。以下诸项中，同时满足赵，钱，孙三人意见的方案是什么？ 解答：把赵，钱，孙三个人的意见看做三条不同的线路，对三条线路化简得到接通状态
离散数学及其应用数理逻辑部分课后习题答案
作业答案：数理逻辑部分 P14：习题一 1、下列句子中，哪些是命题？在是命题的句子中，哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？ （3 答：简单命题，真命题。 （9）吸烟请到吸烟室去！ 答：不是命题。 （12）8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。 答：复合命题，假命题。 14、讲下列命题符号化。 （6）王强与刘威都学过法语。 答：:p 王强学过法语；:q 刘威学过法语。 符号化为：p q ∧ （10）除非天下大雨，他就乘班车上班。 答：:p 天下大雨；:q 他乘班车上班。 符号化为：p q → （13）“2或4是素数，这是不对的”是不对的。 答：:p 2是素数；:q 4是素数。 符号化为：(())p q ??∨ 15、设:p 2+3=5. :q 大熊猫产在中国。 :r 太阳从西方升起。 求下列复合命题的真值。 （2）(())r p q p →∧?? （4）()(())p q r p q r ∧∧???∨?→ 解答： p 真值为1；q 真值为1；r 真值为0. （2）p q ∧真值为1；()r p q →∧真值为1；p ?真值为0； 所以(())r p q p →∧??真值为0. （4）p q r ∧∧?真值为1，p q ?∨?真值为0，()p q r ?∨?→真值为1； 所以()(())p q r p q r ∧∧???∨?→真值为1.
19、用真值表判断下列公式的类型。 （4）()()p q q p →→?→? 所以为重言式。 （7） 所以为可满足式。
P36:习题二 3、用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出其成真赋值。 （1）()p q q ?∧→ 解答： ()(())(()) ()10 p q q p q q p q q p q q ?∧→???∧∨???∨?∨???∨?∨??? 所以为永假式。 （2）(())()p p q p r →∨∨→ 解答： (())()(())()()()1()1 p p q p r p p q p r p p q p r p r →∨∨→??∨∨∨?∨??∨∨∨?∨?∨?∨? 所以因为永真式。 （3）()()p q p r ∨→∧ 解答： ()() ()()()() p q p r p q p r p q p r ∨→∧??∨∨∧??∧?∨∧ 为可满足式。 真值表为
简单的 逻辑推理
逻辑推理（一） 专题简析： 逻辑推理题不涉及数据，也没有几何图形，只涉及一些相互关联的条件。它依据逻辑汇率，从一定的前提出发，通过一系列的推理来获取某种结论。 解决这类问题常用的方法有：直接法、假设法、排除法、图解法和列表法等。 逻辑推理问题的解决，需要我们深入地理解条件和结论，分析关键所在，找到突破口，进行合情合理的推理，最后作出正确的判断。 推理的过程中往往需要交替运用“排除法”和“反正法”。要善于借助表格，把已知条件和推出的中间结论及时填入表格内。填表时，对正确的（或不正确的）结果要及时注上“√”（或“×”），也可以分别用“1”或“0”代替，以免引起遗忘或混乱，从而影响推理的速度。 推理的过程，必须要有充足的理由或重复内的根据，并常常伴随着论证、推理，论证的才能不是天生的，而是在不断的实践活动中逐渐锻炼、培养出来的。 例题1： 星期一早晨，王老师走进教室，发现教室里的坏桌凳都修好了。传达室人员告诉他：这是班里四个住校学生中的一个做的好事。于是，王老师把许兵、李平、刘成、张明这四个住校学生找来了解。 （1）许兵说：桌凳不是我修的。 （2）李平说：桌凳是张明修的。 （3）刘成说：桌凳是李平修的。 （4）张明说：我没有修过桌凳。 后经了解，四人中只有一个人说的是真话。请问：桌凳是谁修的？ 根据“两个互相否定的思想不能同真”可知：（2）、（4）不能同真，必有一假。 假设（2）说真话，则（4）为假话，即张明修过桌凳。 又根据题目条件了：只有1人说的是真话：可退知：（1）和（3）都是假话。由（1）说的可退出：桌凳是许兵修的。这样，许兵和张明都修过桌凳，这与题中“四个人中只有一个人说的是真话”相矛盾。 因此，开头假设不成立，所以，（2）李平说的为假话。由此可退知（4）张明说了真话，则许兵、刘成说了假话。所以桌凳是许兵修的。 练习1： 1、小华、小红、小明三人中，有一人在数学竞赛中得了奖。老师问他们谁是获奖者，小华说是小红，小红说不是我，小明也说不是我。如果他们当中只有一人说了真话。那么，谁是获奖者？ 2、一位警察，抓获4个盗窃嫌疑犯A、B、C、D，他们的供词如下： A说：“不是我偷的”。 B说：“是A偷的”。 C说：“不是我”。 D说：“是B偷的”。 他们4人中只有一人说的是真话。你知道谁是小偷吗？ 3、有500人聚会，其中至少有一人说假话，这500人里任意两个人总有一个说真话。说真话的有多少人？说假话的有多少人？ 例题2： 虹桥小学举行科技知识竞赛，同学们对一贯刻苦学习、爱好读书的四名学生的成绩作了
浅谈如何培养小学生的数学逻辑思维能力
浅谈如何培养小学生的数学逻辑思维能力孔子说：“学而不思则罔，思而不学则殆”。根据三十年的数学教学研究和对学生后续发 展的持续跟踪调查，我发现在小学阶段着重培养学生的数学思维能力，对学生一生的发展起着举足轻重的作用，能使学生受益一生。因此，在小学阶段，教师应重点培养学生的数学逻辑思维能力。 一、巧用疑问，激发学生的学习兴趣 美国教育家布鲁纳说：“学习的最好刺激，乃是对所学材料的兴趣。”能使学生一上课就兴趣盎然是教学成功的关键所在。在教学设计时，教师应根据教材内容、结合生活实际，选取身边鲜活的材料作为例子导入新课，以吸引学生的眼球。同时，教师要注重采用灵活多样的方式，创设问题情境，激发学生的探究欲望，培养其探究能力。 悬念能激发学生的思维和想象能力。如教能被8整除的特征时，先让学生说出一个多位数，可能是8的倍数，也可能不是8的倍数，教师再添上一个数字，使所得到的数是8的倍数。每个学生都绞尽脑汁，瞪大眼睛，眼里流露出新奇：“这里面有什么奥秒？”学生怀着迫切的求知欲和探究欲进入了新的学习状态，效果一定会非常好。 二、积极互动，培养学生的合作能力 数学是一种多边活动，它提倡教师与学生之间、学生与学生之间的多边互动。只有师生关系和谐，才能产生高水平的课堂互动。苏霍姆林斯基说：“要以对人的方式对待孩子，要善于发现他们心中能响应我们召唤的那一隅。”教师不能高高在上、指手画脚，应蹲下身子、走进学生，成为学生心灵的真正合作者，参与到学生的学习过程中去，与学生一起实践、一起探讨、一起提升。 三、联系生活实际，培养应用能力 著名数学家华罗庚说：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不有数学。”然而在以往的教学中，教师只注重数学知识的传授，很少注重数学知识和学生实际生活的有机联系，使学生感受不到数学的趣味和作用。因此，在教学过程中，教师要创设一些生活情景、提供一些现实的学习材料，把书本知识与学生的日常生活联系起来，使学生感受到数学来自生活、并不抽象。在教学周长和面积部分的过程中，有些学生往往忽略周长和面积的单位这一问题，例如学生们容易出错的经典判断题：边长为4的正方形面积和周长相等。有些学生在对这一题进行思考时仅仅思考了它的运算过程，感官上看到结果一样，都是16，而忽略了它的单位长度和面积的区别。对待这一问题解决最直观的方法，可以运用动手课，让学生亲自动手体会周长和面积的概念，感受到周长的结果要用长度单位、面积的结果要用面积单位，周长和面积这两个概念没有可比性。 总之，我们必须教孩子在做数学中学习数学，在创造思维中学习数学，培养孩子们的数学逻辑思维能力。
数理逻辑考试题及答案
“离散数学”数理逻辑部分考核试题答案 --------------------------- ★----------------------------- 一、命题逻辑基本知识（5分） 1、将下列命题符号化（总共4题，完成的题号为学号尾数取4的余，完成1题。共2分） （0）小刘既不怕吃苦，又爱钻研。 解：—p ∧q ,其中，P :小刘怕吃苦；q :小刘爱钻研。 （1）只有不怕敌人，才能战胜敌人。 解：q→-p ,其中，P :怕敌人；q :战胜敌人。 （2）只要别人有困难，老张就帮助别人，除非困难已经解决了。 解：—r→（P→P）,其中，P:别人有困难；q :老张帮助别人；r:困难解决了。 （3）小王与小张是亲戚。 解：p，其中，P:小王与小张是亲戚。 2、判断下列公式的类型（总共5题，完成的题号为学号尾数取5的余，完成1题。共1分） （0）A ：（-（p^q）_；（（P -q）（.p^q））） r （1）B : （P 一9一；P））（r q） （2）C: （P -r）＞（q r） （3）E : p-;（P q r） （4）F ：—（q-；r） r------------------------------------------------------------------------ 解：用真值表判断，A为重言式，B为矛盾式，C为可满足式，E为重言式，F为矛盾式。 3、判断推理是否正确（总共2题，完成的题号为学号尾数取.2的余，完成1题。共2分） （0）设y=2∣x∣，X为实数。推理如下：如y在x=0处可导，则y在x=0处连续。发现y在x=0处连续，所以，y在x=0处可导。 解：设y=2|x|，X为实数。令P: y在x=0处可导，q：y在x=0处连续。由此，P为假，q为真。本题推理符号化为：（p—；q） q—；P。由P、q的真值，计算推理公式真值为假，由此，本题推理不正确。 （1）若2和3都是素数，则6是奇数。2是素数，3也是素数。所以，5或6是奇数。 解：令P:2是素数，q:3是素数，r:5是奇数，S:6是奇数。由此，p=1，q=1，r=1，S=O。本题推理符号化为：（（P q）→ S） P q）→ （r S）。计算推理公式真值为真，由此，本题推理正确。 二、命题逻辑等值演算(5分) 1、用等值演算法求下列公式的主析取范式或主合取范式(总共3题，完成的题号为学号尾数取3的余，完 成1题。共2分) (0)求公式p→ ((q ∧r) ∧(P ∨(―q ∧-r)))的主析取范式。 解：p→((q ∧r) ∧(P ∨(—q ∧-「)))：= 一p∨(q ∧r∧P) ∨(q ∧r ∧一q ∧—r)二一P ∨(q ∧r∧P) ∨0 二(P ∧q∧r) ∨= (一p∧1 ∧1) ∨(q ∧r∧P) 二(—p ∧(q ∨-q) ∧(r ∨-r)) ∨(q ∧r∧P) U (~p ∧(q ∨-q) ∧(r ∨一r)) ∨m7 二(一P ∧—q ∧ F ∨ (一P ∧—q ∧r) ∨ (一P ∧q ∧_r) ∨ (一P ∧q ∧r) ∨m7 m0 ∨m1 ∨m2 ∨m3 ∨m7. (1)求公式一(一(P → q)) ∨(—q → 一P)的主合取范式。 解：一(一(P → q)) (—q →-p)二(P → q) (P →q) U (P → q)
数理逻辑怎样用于实际的应用
离散数学 期中课程设计作业 班级：10级计算机 组员：杨鑫 学号：09
数理逻辑怎样用于实际的应用 我们现在在学离散数学,对于离散数学中的数理逻辑这一部分存在很多盲点,那么这看似高深莫测的数理逻辑在实际生活中有着怎样的用处呢,下面让我们来讨论一下. 我们先看数理逻辑的定义:数理逻辑又称符号逻辑、理论逻辑。它既是数学的一个分支，也是逻辑学的一个分支。是用数学方法研究逻辑或形式逻辑的学科。其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统。数理逻辑是数学基础的一个不可缺少的组成部分。虽然名称中有逻辑两字，但并不属于单纯逻辑学范畴。数理逻辑是用数学的方法来研究推理的形式结构和推理规律的数学学科，它与数学的其他分支，计算机科学，人工智能，语言学等学科有密切的联系，并且日益显示出它的主要作用和更加广泛的应用前景. 数理逻辑中的逻辑运算又称布尔运算，它是用数学的方法解决或研究逻辑问题，即用离散的符号“1”和“0”表示逻辑中的“真”和“假”再加上一套与之相关的“与”、“或”、“非”为运算基础的逻辑运算规则解决实际逻辑问题的方法，从而实现复杂逻辑运算到简单的数值计算的转化。下面我们就逻辑运算在电路设计中的运用加以探讨： 某公司王某欲搬入新房，搬迁前需要完成电路的设计安装，由于该房深处闹市，四周楼房林立，严重影响了客厅的采光，于是王某想设计一个电路，要求客厅四盏灯由一个开关控制，开关按下一次亮一盏灯，再按一下亮两盏，以此类推，直到按下第五次时所有灯熄灭。假设四个灯依次为A、B、C、D，灯亮为1，灯灭为0，开关有脉冲输入为1，否则为0，则根据题意可得真值表（如图１）： 设第ｎ号灯的上一状态为Nｎ，第ｎ＋１号灯现在在的状态为Nｎ＋１，脉冲输入状态为M，则有： Nｎ＋１=Nｎ∧M（N0与M的且运算） 其中Ｎｎ＝ＮＡ∧ＮＢ．．．∧Ｎｎ－１ 灯亮的条件为（A∧┐B∧┐C∧┐D）∨（A∧B∧┐C∧┐D）∨（A∧B∧C∧┐D）∨（A∧B∧C∧D） 如Ｂ灯亮的条件是Ａ灯亮并且有脉冲输入，C灯亮的条件是ＡＢ都亮并且有脉冲输入。该电路功能由一个与门电路和一个计数触发器连接即可完成，当开关第5次输入后计数器输出信号置0，灯全部关闭，此时设备全部复位。如图２。
浅谈现代数学的三大学派
江西科技师范学院学年论文 浅谈现代数学基础的三大学派 郭秋平 （数学与应用数学（2）班20081428） 指导老师：王亚辉 摘要本文简单介绍了现代数学基础的三大学派产生的背景，导致各学派失败的原因及其对现代数学发展所做出的贡献。 关键字：逻辑派；直觉派；形式公理派 一、引言 从20世纪初到30年代左右，由于集合悖论的发现，使许多数学家卷入了一场大辩论之中。他们看到这次数学危机动摇了数学大厦的根基，因此必须对数学基础进行严密的考察。原来还不十分明显的意见分歧成为学派之争，相应于数学是什么这个问题的答案，数学基础从它诞生开始便分成了三大哲学流派，这就是以罗素为代表的逻辑派，它强调逻辑而排斥直觉，主张逻辑是整个数学的唯一基础；以布劳威尔为代表的直觉派，它强调直觉而排斥逻辑，主张直觉才是数学的唯一基础；以希尔伯特为代表的形式公理派，认为逻辑具有先验的真理性以及数学整个地具有逻辑的特征，它主张通过逻辑的相容性即无矛盾性来维护数学的数学的真理性和合法性。三派之间的热烈辩论成为现代数学史上著名的数学基础大论战。他们从各自的哲学观点出发，对悖论引起的数学危机，从概念的准确性、提法的严密性、推理的合理性等方面一一加以审查，对数学的本质、数学对象的存在性、数学的真理性以及与数学有关的逻辑问题等进行哲学思考。 二、逻辑派 逻辑主义学派主张把数学还原于逻辑，试图在逻辑的基础上建立全部数学。在他们看来，数学不过是逻辑的自然展延，数学可以从逻辑推导出来，数学概念可以通过显定义而从逻辑概念推导出来，数学定理可以通过纯粹的逻辑演绎法而从逻辑公理推导出来，因此数学即逻辑。 逻辑主义学派的先驱是德国的戴德金和弗雷格，戴德金在集合的概念定义自然数时，便主张把数学还原于逻辑，这就是：从少量的逻辑概念出发，去定义出全部的数学概念；从少量的逻辑命题出发，去演绎出全部的数学理论。 （一）逻辑派的产生 逻辑派的思想萌芽，可追溯到莱布尼茨，但他本人并没有做具体的工作。弗雷格在研究算术公理化时发现，所有的算数概念都可以借助于逻辑概念来定义，所有的算术法则也都可以借助于逻辑法则来证明，从而弗雷格逐渐形成了数学还原为逻辑的观点。他的研究成果发表在《算数基础》和《算数的基本定理》中。罗素在吸引前人成果的基础上，采用了皮亚诺的自然数公理系统来作为自己的基础研究的出发点，于1903年完成了他的《数学的原理》，第一次系统的介绍自己
浅谈逻辑学的性质及其主要作用
浅谈逻辑学的性质及其主要作用 ——生活中的逻辑学 摘要：本文主要讲述在探讨逻辑学的研究对象的基础上来研究逻辑学的性质和作用。在科技爆时代，逻辑学在个人认识和教育领域的运用。 关键字：逻辑学、研究对象、性质、作用 现当代逻辑科学是一门具有综合性的科学，既有人文社会科学特色更有自然科学属性。在我国大学教育中，广泛进行现当代逻辑科学的素质教育，不但有助于推进我国大学生素质教育，而且是加速培养二十一世纪创新人才的重要举措，也无可置疑是培养高素质专门人才的重要举措，因为逻辑科学具有多方面的教育功能，如思维教育功能、品德教育功能、科学教育功能、创新教育功能等。 逻辑学是研究推理的一门学问，而推理是由概念、命题组成的，不同的命题形成不同的推理。普通逻辑学在研究命题时，主要是从二值逻辑（任一命题具有且仅有“真”或“假”二值之一的各种逻辑(包括数理逻辑)系统的统称。）的角度研究命题逻辑形式的逻辑值与命题形式之间的真假关系。本文主要通过逻辑学的研究对象来研究逻辑学的性质及其作用。通过逻辑学的理论了解其在现实生活中的作用。 逻辑的研究对象。 逻辑是一门研究思维的形式结构及其规律和一些简单的逻辑方法的科学。以思维作为研究对象的科学除逻辑外，还有社会学、哲学和心理学。具体讲来，表现在以下几个方面: 首先，从研究对象来看，社会科学研究的是社会各方面的现象，发现其规律性，从而指导人们改造社会的实践活动。逻辑科学不以社会为研究对象，它以人的思维为研究对象，大体上讲，它是一门研究人的思维形式及其规律的科学。尽管人的思维也有一定的社会性，但就思维现象的本质而言，与社会现象是有巨大差别的，这主要表现在人的思维具有相当程度的生物性、自发性、机械性和程序性。其次，大多数社会科学，如政治学、哲学、语言学、文艺学、法学、教育学等，都有一定程度的阶级性和民族性，但就现代意义上的逻辑科学而言，它是以全人类的思维为研究对象的，不存在丝毫的阶级性和民族性，不同的阶级、不同的民族的人，对逻辑知识的发现、认识、掌握或许带有一定的特殊性，但就其本质而言，逻辑科学与数学、物理学、生物学等自然科学学科更有相似性，其知识要点和基本原理是统一和相通的，更具有全人类性。再次，从逻辑科学的发展历程来看，尽管社会、政治、经济、文化、教育诸多领域的实践活动(如生产、论辩、讨论、教学等)以及人文社会科学的进步对逻辑科学的发展起了重要作用，但就逻辑学革命性发展而言，起巨大推动作用的不是社会科学和社会实践，而是数学、心理学学科的发展与需要。 对事物的认识 人们对客观事物的认识过程，可以分为两个阶段，一是感性认识阶段，二是理性认识阶段。所谓感性认识，就是在实践活动中，人们通过感官来认识对象的信息。其反映形式是感觉、知觉、表象。感性认识是认识的初级阶段，它具有两个明显的特征，一是直接性，即感官同认识对象发出的信息必须直接接触，二是表面性，它仅仅是对事物的现象，各个片面和外部联系的认识。人们要认识自然，改造自然，光有感性认识是不够的，为了把握事物的本质，全体和内部联系，感性认识必须上升到理性认识。在处理事情时只有用理性的思维才能做的更好。所谓理性认识，就是人们把感性认识所得来的材料加以去粗取精，去伪存真、由此及彼、由表及里的分析、比较、加工和制作，形成概念，并由概念构成判断，由判断进行推理，从而获得对事物的本质、全体和内部联系的认识，其反映形成是概念、判断和推理。思维，
离散数学作业7答案(数理逻辑部分)
离散数学作业7答案(数理逻辑部分)
离散数学作业7 离散数学数理逻辑部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第三次作业，大家要认真及时地完成数理逻辑部分的综合练习作业。 要求：将此作业用A4纸打印出来，并在07任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分．作业应手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成后上交任课教师（不收电子稿）． 一、填空题 1．命题公式()P Q P →∨的真值是 1 ． 2．设P ：他生病了，Q ：他出差了．R ：我同意他不参加学习. 则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为 P ∨Q →R ． 3．含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式P ∧Q 的主析取范式是 (P ∧Q ∧┐R) ∨(P ∧Q ∧R) ． 4．设P (x )：x 是人，Q (x )：x 去上课，则命题“有人去上课．” 可符号化为 ? x ( P ( x ) ∧ Q ( x )) ． 5．设个体域D ＝ {a , b },那么谓词公式)()(y yB x xA ?∨?消去量词后的等值 式为 (A(a) ∨A(b)) ∨ (B(a) ∧B(b)) ． 6．设个体域D ＝{1, 2, 3}，A (x )为“x 大于3”，则谓词公式(?x )A (x ) 的真值为 0 ． 7．谓词命题公式(?x )((A (x )∧B (x )) ∨C (y ))中的自由变元为 y ． 8．谓词命题公式(?x )(P (x ) →Q (x ) ∨R (x ，y ))中的约束变元为 x ． 三、公式翻译题
数理逻辑用语练习
练习一 判断下列命题的真假(把真或假写在题后的括号内)： 1.5＞2，且7＞3. ( ) 2.3＞4或5＜4. ( ) 3.8≥7. ( ) 4.14能被5或7整除. ( ) 5.5＞2，且3≤－4. ( ) 6.如果∩＝，那么＝. ( ) 用充分条件，必要条件或充要条件填空： 7.＝0是＝0的________. 8.“+是自然数”是“和都是自然数”的_________. 9.＝0，且＝0是+＝0的________. 10.－2－3＝0是＝3的_______. 选择题： 11.在下列四个语句中，是命题的是( ) (A)不是无理数(B)＞0 (C)－1＝0 (D)你喜欢数学吗？ 12.已知命题： (1)2＞－5，且3＜2，(2)2＜－1或2是偶数， (3)6≥6，(4)如果＜3，则＜4， 那么其中是真命题的为( ). (A)(1)、(2)、(3) (B)(2)、(4) (C)(2)、(3)、(4) (D)(3)、(4)
13.“、至少有一个等于1”的否定是( ) (A)、都等于1 (B)、都不等于1 (C)、只有一个等于1 (D)、不都等于1. 14.＝0是≠0的( ) (A)充分但非必要条件(B)必要但非充分条件 (C)充分必要条件(D)既非充分又非必要条件 写出下列命题的非： 15.3是质数. 16.对一个实数，都有+3－5＞0. 17.高一(2)班有一个同学年龄小于14岁. 18.＝0或≠0. 19.说出命题：“一元二次方程有实数根”的等价命题. 答案、提示和解答： 1.真. 2.假. 3.真. 4.真. 5.假. 6.假. 7.充分条件. 8.必要条件. 9.充要条件. 10.必要条件. 11.A. 12.C. 13.B. 14.D. 15.3不是质数. 16.一个实数，使得+3－5≤0. 17.高一(2)班所有同学年龄不小于14岁. 18.≠0，且≠0. 19.一元二次方程根的判别式大于或等于零. 练习二 判断下列命题的真假(把真或假写在题后的括号内)：
第一篇 数理逻辑复习题
第一篇 数理逻辑复习题 第1章 命题逻辑 一、单项选择题 1. 下列命题公式等值的是( ) B B A A Q P Q Q P Q B A A B A A Q P Q P ),()D (),() C ()(),()B (,)A (∧∨?∨∨?∨→→→?→→∨?∧? 2. 设命题公式G ：)(R Q P ∧→?,则使公式G 取真值为1的P ，Q ，R 赋值分别是 ( ) 0,0,1)D (0,1,0)C (1,0,0)B (0,0,0)A ( 3. 命题公式Q Q P →∨)(为 ( ) (A) 矛盾式 (B) 仅可满足式 (C) 重言式 (D) 合取范式 4 命题公式)(Q P →?的主析取范式是( )． (A) Q P ?∧ (B) Q P ∧? (C) Q P ∨? (D) Q P ?∨ 5. 前提条件P Q P ,?→的有效结论是( )． (A) P (B) ?P (C) Q (D)?Q 6. 设P ：我将去市里，Q ：我有时间．命题“我将去市里，仅当我有时间时”符号化为 ( ) Q P Q P Q P P Q ?∨??→→)D ()C ()B ()A ( 二、填空题 1. 设命题公式G ：P →?(Q →P )，则使公式G 为假的真值指派是 2. 设P ：我们划船，G ：我们跑步，那么命题“我们不能既划船，又跑步”可符号化为 3. 含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式P ∧Q 的主析取范式是 4. 若命题变元P ，Q ，R 赋值为(1,0,1)，则命题公式G ＝)())((Q P R Q P ∨??→∧的 真值是 5. 命题公式P →?(P ∧Q )的类型是 ． 6. 设A ，B 为任意命题公式，C 为重言式，若C B C A ∧?∧，那么B A ?是 式(重言式、矛盾式或可满足式) 三、解答化简计算题 1. 判别下列语句是否命题？如果是命题，指出其真值. (1) 中国是一个人口众多的国家. (2) 存在最大的质数. (3) 这座楼可真高啊！ (4) 请你跟我走! (5) 火星上也有人. 2.作命题公式))(()(P Q P Q P ∨∧→→的真值表，并判断该公式的类型． 3. 试作以下二题：(1) 求命题公式(P ∨?Q )→(P ∧Q )的成真赋值． (2) 设命题变元P ,Q ,R 的真值指派为(0,1,1),求命题公式 ))()(()(Q R Q P R P →?∨→?∧?的真值． 4. 化简下式命题公式))()((P Q P Q P ∧?∧?∨∧ 5. 求命题公式))()((Q P P Q P ∧?∧→→的主合取范式. 6. 求命题公式R P R Q P P R Q ∨?∨→?∧→?∧)())((的真值． 7. 求命题公式)()(Q P Q P ?→∧→?的主析取范式，并求该命题公式的成假赋值．